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Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal
Revista de Investigación Educativa 4
enero-junio  2007  |  ISSN 1870-5308  |  Xalapa, Veracruz
© Todos los Derechos Reservados
Instituto de Investigaciones en Educación  |  Universidad Veracruzana
CPU
-e
Alida M. Masachs
Departamento de Ciencias de la Educación
Germán E. Camprubí
Mauricio M. O. Naudi
Facultad de Agroindustrias
Universidad Nacional del Nordeste
Los entornos de validación en la resolución de problemas
matemáticos
Para citar este artículo:
Masachs, A. M., Camprubi, G. E. & Naudi, M. M. (2007, enero-junio). Los entornos de validación en la
resolución de problemas matemáticos.
CPU-e, Revista de Investigación Educativa, 4
. Recuperado el
El propósito de este artículo es mostrar dos años de experiencia con la resolución de
problemas matemáticos en el aula. El foco de la experiencia estuvo puesto en la creación
de entornos de validación con intercambio de informaciones y argumentos.
Los problemas seleccionados se agruparon en tres niveles para promover la interacción
y el debate colectivo en el aula.
Palabras claves: Matemática, resolución de problemas, validación.
The purpose of this article is to show a two year experience dealing with problem sol-
ving in Math. The focus is in the process by which the teacher and students constitute
social norms and mathematical practices in the course of their classroom interaction.
Different problems were solved so as to promote mathematical signs and symbols (ci-
phers, letters, variables, graphics, diagrams, visualisations, etc.), and social signs and
symbols (in the frame of the classroom culture: hidden hints, remarks, reinforcements,
confirmations, reflections, etc.) made by the teacher, and comments and remarks of
similar types made by other students.
Key words: Math, problem solving, classroom interaction.
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Los entornos de validación en la resolución de problemas
matemáticos
1
Introducción
La Teoría de Situaciones Didácticas
E
ste trabajo se ubica en la perspectiva de la Teoría de Situaciones de Guy
Brousseau (1988,1997), quien propone un modelo desde el cual pensar la en-
señanza como un proceso centrado en la producción, es decir, la transformación
y la validación de los conocimientos matemáticos en el ámbito escolar. Brousseau
considera dos puntos de partida fundamentales: a) el alumno elabora conoci-
miento a partir de la interacción con una situación problemática que ofrece re-
sistencias y retroacciones que operan sobre los conocimientos matemáticos pues-
tos en juego; y, b) la intencionalidad didáctica del docente expresa un aspecto
inherente tanto al proceso de producción de conocimientos en el marco de una
clase
,
como a la articulación de dichos conocimientos con los saberes culturales.
A partir de ellos postula la necesidad de un
milieu
o entorno de validación pen-
sado y sostenido con una
intencionalidad didáctica
. Las interacciones entre alumno
y
milieu
se describen a partir del concepto teórico de
situación adidáctica
, que mo-
deliza una actividad de producción de conocimiento por parte del alumno, de
manera independiente de la mediación docente. El sujeto entra en interacción
con una problemática, poniendo en juego sus propios conocimientos, pero tam-
bién modificándolos, rechazándolos o produciendo otros nuevos, a partir de las
interpretaciones que hace sobre los resultados de sus acciones (retroacciones del
milieu
). El concepto de
milieu
o entorno de validación incluye entonces tanto una
problemática matemática que el sujeto enfrenta, como un conjunto de relacio-
nes, esencialmente también matemáticas, que se van modificando a medida que
el sujeto produce conocimientos en el transcurso de la situación, transformando,
en consecuencia, la realidad con la que interactúa (Sadovsky, ±005).
Desde el punto de vista metodológico, el análisis a priori de la situación
adidáctica que el investigador pretende estudiar, permite construir un conjunto
de observables que constituirán un marco para interpretar los datos del trabajo
experimental.
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El marco cultural de la clase impone restricciones que condicionan el cono-
cimiento que se elabora. La referencia que el docente tiene –inevitablemente– de
la comunidad matemática erudita, juega un papel regulador en la constitución
de ese marco cultural.
Para representar la naturaleza social de los saberes matemáticos, Brousseau
(1986, 1988) propone situaciones adidácticas que se organizan de manera tal que
las interacciones de los alumnos con el entorno requieren intercambios entre
ellos. Se trata de las situaciones de formulación y de validación, en las que los
alumnos intercambian, respectivamente, informaciones y argumentos respecto
del valor de verdad de proposiciones que emergen de la interacción. En estos
modelos, la interacción entre pares es una condición necesaria para abordar el
problema matemático, y esta necesidad está dada por la manera en la que se
organiza la situación: de manera intencional se provoca una asimetría entre los
recursos que tienen unos y otros alumnos, que obliga al intercambio (Sadovsky,
2005).
2 Metodología
Para realizar la transferencia se eligió una institución que integra el sistema edu-
cativo en su Nivel de Educación Superior. En la Argentina, la educación superior
involucra a las Universidades que dependen en cuanto a gestión y financiamiento
del gobierno nacional, y a las Instituciones de Nivel Terciario No Universita-
riodependientes de los gobiernos provinciales. Durante dos años se trabajó en
transferencia con el Nivel Terciario No Universitario “Juan Mantovani”.
Las
actividades se desarrollaron en la asignatura Matemática I del primer año de la
Carrera de Profesorado en Tecnología de dicha institución.
Para la resolución de problemas elaboramos una estrategia que contempla
cuatro etapas, que en su evolución favorecen la socialización de los conocimien-
tos. Denominamos estrategia a la manera particular que despliega el docente para
favorecer los procesos de construcción del conocimiento, y que se compone de
procesos parciales (etapas) que conducen al logro de las expectativas previstas.
El trabajo de resolución de los problemas se organizó a través de una estra-
tegia desplegada en cuatro etapas, a saber (Sadovsky, 2005):
1) los alumnos trabajaron individualmente con la consigna de obtener so-
luciones, decidir cuántas posibles hay, y describir un procedimiento para
obtener todas las soluciones;
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2) trabajo en pequeños grupos para optar por un procedimiento de entre los
postulados por los
integrantes del equipo o, eventualmente, formular uno
nuevo;
3) transcripción en el pizarrón, por parte del docente, de los procedimientos
propuestos por cada grupo, y análisis en pequeños grupos de los procedi-
mientos expuestos;
±) debate colectivo sobre los procedimientos.
En la primera etapa, se propone un
trabajo autónomo
con el problema, en el que el
alumno produce relaciones que le servirán de marco para las etapas posteriores.
En la segunda, cada alumno, en tanto productor de un procedimiento, se
enfrenta con la necesidad de
explicar su trabajo
y tratar de convencer a los demás
de la eficacia de lo producido por él
.
La necesidad de optar obliga a considerar
distintos procedimientos como objeto de trabajo. Al verse obligado a elegir o
descartar, cada alumno recurre –en parte de manera implícita– a diversos ar-
gumentos referidos a la pertinencia del procedimiento. Las negociaciones que
transcurren entre los alumnos sin intervención del docente, están sujetas también
a las condiciones que impone el funcionamiento social del grupo (liderazgos,
alumnos desvalorizados, etc.).
En la tercera etapa, cada grupo de alumnos entabla una
interacción adidáctica
con la producción escrita de los otros grupos, en una posición que combina la
evaluación con la validación. Se ofrece entonces la oportunidad de poner a prue-
ba la propia producción como marco de análisis y procedimientos de control del
trabajo de los otros. Las relaciones construidas en su primer trabajo individual
y los diferentes argumentos desplegados por los integrantes de su grupo en el
momento de elegir un procedimiento, operarán de manera diferente en cada
alumno en el momento de analizar lo presentado por los otros grupos. Al mis-
mo tiempo, como resultado del análisis cada alumno producirá un conjunto de
sentencias relativas a los procedimientos analizados. Sin embargo, muchas de
estas sentencias no podrán ser validadas por sus autores y tendrán entonces para
ellos un listado de preguntas, que requerirá de los otros para ser desplegadas y
tratadas.
La cuarta etapa, consiste en el
debate colectivo
sobre los procedimientos, y da
lugar a la negociación pública de cuestiones como las siguientes: cómo establecer
la cantidad de soluciones, qué criterios se utilizan para validar este asunto, con
qué criterios se acepta o se rechaza una cierta escritura, etc. El debate colectivo
se configura sobre la base de las sentencias acerca de las cuales no hay acuerdo.
La interacción adidáctica de la etapa anterior otorga robustez a las posiciones
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de cada alumno, construyendo el aprendizaje en una interacción colectiva. Se
incorporan al entorno las nuevas afirmaciones que se construyen en esta interac-
ción colectiva.
Analizando las cuatro etapas en su conjunto,
el entorno
se constituye a partir
del recorte que cada uno hace del trabajo en las etapas anteriores. La tercera etapa
es clave para que el alumno “encuentre” otros límites para sus arraigadas prácti-
cas aritméticas, y la cuarta es imprescindible para comenzar a producir respuestas
para las preguntas generadas en la etapa anterior y las que se elaboran en el curso
de la discusión. En este sentido, las etapas tres y cuatro constituyen un entorno
generador de preguntas sobre la propia producción, más que de sanciones a la
misma.
3 Características de los problemas matemáticos
Los problemas matemáticos que constituyen el fundamento de este trabajo se
agrupan en tres niveles. La descripción de los mismos se detalla a continuación:
1.1
Nivel 1
Los Problemas matemáticos del Nivel 1 tienen opciones de respuestas múltiples.
Este tipo de problemas tiene una doble finalidad:
1) Sirven de estímulo a quien los resuelve porque la solución se encuentra
entre una de las alternativas ofrecidas.
2) Las respuestas ofrecidas captan los errores más comunes que pueden come-
terse en el proceso de resolución.
A modo de ejemplo se presentan tres problemas con Alternativas de Respuestas
múltiples que formaron parte de la práctica:
Problema 1-N1
En el 2004 y 200± el precio de una motocicleta aumentó cada año un 1±% sobre
el precio del año anterior. ¿Qué porcentaje aumentó el precio del 200± respecto
del 2003?
a) 21%
b) 4±%
c) 32%
d) 2±%
e) Ninguna de las anteriores.
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Problema 2-N1
Un alumno de la cátedra de Matemática obtuvo ±0, 40 y 80 en las primeras eva-
luaciones. ¿Qué calificación debe obtener en la próxima evaluación para que su
promedio sea ±5?
a) 32
b) 95
c) ±5
d) 80
e) Ninguna de las anteriores.
Problema 3-N1
Dos personas
A
y
B
son socias en una casa de Óptica.
A
es dueña de la tres
quintas partes del negocio y
B
del resto. Recientemente una tercera persona
C
ofreció pagar la cantidad de $ 100.000 para unirse a la sociedad con la condición
de que los tres tendrán la misma participación en la nueva sociedad. Si se hace
una división justa, ¿cuánto deben recibir
A
y
B
de los $ 100,000?
a) ¿
A
debe recibir $ 80,000 y
B
los restantes $20,000?
b) ¿
A
debe recibir $ 25,000 y
B
los restantes $75,000?
c) ¿
A
debe recibir $ 10,000 y
B
los restantes $90,000?
d) ¿
A
debe recibir $ 90,000 y
B
los restantes $10,000?
e) Ninguna de las anteriores.
1.2
Nivel 2
En este nivel se requiere un análisis más complejo al de los problemas presen-
tados en el nivel anterior. Este tipo de situaciones problemáticas requiere que,
además de alcanzar la solución, sea necesario reflexionar sobre otras alterna-
tivas de resolución o bien, de determinar si se trata de un planteo que carece
de solución.
Cada problema consta de un enunciado general y dos informaciones adicio-
nales (1) y (2). Debe decidirse si los datos adicionales entregados son suficientes
para llegar a resolver la situación problemática. Es decir, deben analizarse el
enunciado general y las informaciones adicionales, en el marco conceptual de los
conocimientos generales, para determinar en cuáles de las siguientes clasificacio-
nes puede situarse al problema:
A/ Si la información (1) es suficiente para resolver el problema pero la infor-
mación (2) por sí sola es insuficiente para llegar a la solución.
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B/ Si la información (2) es suficiente para resolver el problema pero la infor-
mación (1) por sí sola es insuficiente para llegar a la solución.
C/ Si las informaciones (1) y (2) empleadas en forma conjunta son suficientes
para hallar la solución pero ninguna de las informaciones por sí sola es su-
ficiente para llegar a la solución.
D/ Si cada información por sí sola es suficiente para solucionar el problema.
E/ Las informaciones (1) y (2) empleadas en forma conjunta no son suficien-
tes para resolver la situación problemática planteada y es necesario contar
con información adicional para resolver el problema.
Seguidamente se presentan tres problemas del Nivel 2 que se resolvieron durante
la práctica docente.
Problema 1-N2
Hallar cuánto vale
x
-4
y
.
1) 2
x
+
2y
=8
2)
x
+2
y
=6
Problema 2-N2
En la figura, el ángulo
x
aparece como
rectángulo. ¿Es cierto que el ángulo
x
tiene una amplitud de 90 grados?
1)
x
=2
y
2)
y
=1.5
z
Problema 3- N2
¿Cuál es el salario mensual promedio de un grupo de 30 obreros? El capataz de
estos obreros recibe un salario de $120.
1) El salario pagado a los 30 obreros y al capataz es de $ 3120.
2) El salario del capataz es 120% del salario semanal promedio de los 30
obreros.
B
C
A
y
o
x
o
zo
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1.3
Nivel 3
Los problemas matemáticos de este Nivel se extraen de la bibliografía recomen-
dada a docentes egresados del Nivel Terciario No Universitario.
Los problemas seleccionados en el Nivel 3 no cuentan con alternativas de
respuesta ni se plantean con análisis de suficiencia de datos, sino que son selec-
cionados de la bibliografía.
Seguidamente se muestran dos problemas seleccionados de la bibliografía
sugerida que se desarrollaron en la práctica:
Problema 1- N3
Un maratonista está compitiendo en una carrera de ±,500m. Sufre una lesión y
se retira cuando ha recorrido la cuarta parte de lo que le faltaba por recorrer.
¿Cuántos metros corrió realmente?
Problema 2- N3
En una pared está colgado un cuadro de 4 pies de altura, de manera que la parte
inferior está a 7 pies del piso. Un observador cuyos ojos están a 5 pies sobre el
suelo se para a “b” pies de la pared donde está el cuadro. Calcular el ángulo
q
sustentado por el cuadro y los ojos para b=±
5
7
4
b
q
a
b
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4
Resultados y Conclusiones
Del Nivel 1 y Nivel 2 se desarrollaron 12 problemas, respectivamente, y del Ni-
vel 3 se desarrollaron 5.
Considerando los diferentes procedimientos elegidos por cada grupo de
alumnos que fueron escritos en el pizarrón, y los episodios de emergencia de co-
nocimientos específicos a partir de la interacción con los procedimientos de los
otros, los problemas del Nivel 2 fueron los que mejor promovieron los procesos
de validación. Los problemas de este nivel implicaron no sólo la identificación de
elementos para llegar a la solución, sino además el posterior análisis de suficiencia
de datos para clasificar la situación problemática.
Las relaciones construidas en un primer trabajo individual y los diferentes
argumentos desplegados por los integrantes del grupo en el momento de elegir
un procedimiento, operaron de manera diferente en cada alumno en el mo-
mento de analizar lo presentado por los otros grupos. Al mismo tiempo, como
resultado del análisis, cada alumno produjo un conjunto de argumentos relativos
a los procedimientos analizados.
El posterior debate colectivo sobre los procedimientos dio lugar a la nego-
ciación pública de cuestiones como las siguientes: cómo establecer la cantidad de
soluciones, qué criterios se utilizan para validarlas, con qué criterios se acepta o
se rechaza la clasificación de suficiencia de datos asignada a cada problema del
Nivel 2. El debate colectivo se estructuró sobre la base de los argumentos acerca
de los cuales no existía acuerdo.
El análisis de las notas de clases permite inferir que los alumnos consi-
deraron las producciones de los otros como objeto de estudio. El trabajo del
otro cumplió la función de interpelar el propio. Los límites que encontró cada
alumno para validar tanto las aceptaciones como los rechazos sobre los pro-
cedimientos de los otros, generaron buenas condiciones para formular nuevas
preguntas. La tarea de evaluar los procedimientos de los otros después de haber
producido el propio, colocó al alumno en una posición de control, agudizando
el análisis crítico.
Seguramente, la necesidad de elegir entre opciones para determinar la sufi-
ciencia de datos abrió la posibilidad de optar por una de las opciones con el re-
chazo simultáneo de las otras. La idea de esa selección múltiple provocó un juego
entre anticipaciones y decisiones que propiciaron la modificación de esquemas
y la producción de conocimientos. Se generó una serie de preguntas y planteos
formulados en el espacio social de la propia clase, a partir del trabajo propuesto.
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En el marco de las discusiones generadas, se fueron elaborando justificaciones
que permitieron resolver los problemas.
Otro elemento a considerar para los problemas del Nivel 2 respecto de los de
otros niveles ensayados, está dado por el hecho de que como es necesario identi-
ficar entre un conjunto de posibles soluciones, el que resuelve el problema no es
conducido como por un carril a la solución del problema, exponiéndose a tener
que tomar decisiones que favorecen la producción del conocimiento.
Entre las interacciones de los alumnos se detectaron procesos de pensamien-
to diversos que, en general, tendieron a la colaboración mutua: a veces, quien
ya había elaborado una aproximación al problema ayudaba a otros para que ter-
minaran de comprender; otras, daban la solución en forma directa, sin ayudar
demasiado a la comprensión de la situación problemática. También ocurrieron
casos de alumnos que respondieron a un criterio de autoridad de otro compañero
o desestimaron su contribución por la posición social de éste en la clase. Las vo-
ces en un grupo de clase no tienen el mismo valor, por lo que el poder académico
en muchas ocasiones condiciona el accionar de los más relegados.
Se registraron casos de procedimientos diferentes con la misma solución
que produjeron diferencias como producto de la interacción entre pares. En esos
casos, la norma según la cual los procedimientos se consideraron equivalentes
necesitó de la interacción entre pares, así como de la intervención docente para
plantearlo como tema a debatir. En estos procesos de validación se pusieron en
juego ideas de unos y otros y los aportes del docente contribuyeron a sostenerlas,
modificarlas o producir nuevas relaciones.
La experiencia permitió además ejercitar un principio fundamental de la
didáctica: la renuncia al “éxito académico” manifestado cuantitativamente, en
beneficio del “éxito educativo” que se logra cuando se persiguen y ejercitan
competencias para evaluar argumentos, construir alternativas de solución, com-
prender los procesos cognitivos, y donde el error se convierte en factor de apren-
dizaje. Las actividades propuestas facilitaron a los alumnos el reconocimiento de
sus fuentes de autoinformación, que lo conducen al sano ejercicio de la autoeva-
luación, en el marco de un verdadero aprendizaje formativo.
La verdadera formación se logra en un diálogo entre personas capaces de
realizar un retorno sobre sí mismos, y para ello es necesario saber que no todo
lo que se aprende pasa por el intelecto; hay componentes afectivos y de contexto
que los sujetos han puesto en juego en el trabajo realizado, lo que fue aprovecha-
do como autoconocimiento, fuente verdadera de aprendizaje.
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Brousseau, G.
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Sadovsky, P.
(2005).
Enseñar matemática hoy.
Buenos Aires : Libros del Zorzal.
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