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Red de Revistas Científicas de América Latina y el Caribe, España y Portugal
Abstract
Tom
ography using CT scans and
MRI scans is now well-known as a
medical diagnostic tool which allows
for detection of tumors and other
abnormalities in a noninvasive way,
providing very detailed images of the
inside of the body using low dosage
X-rays and magnetic fields. They ha-
ve both also been used for determi-
nation of material defects in mode-
rate size objects. In medical and ot-
her applications they complement
conventional tomography. There are
many situations where one wants to
monitor the electrical conductivity
of different portions of an object, for
instance, to find out whether a metal
object, possibly large, has invisible
cracks. This kind of tomography,
usually called Electrical Impedance
Tomography or EIT, has also medical
applications like monitoring of
blood flow. While CT and MRI are
related to Euclidean geometry, EIT is
closely related to hyperbolic geo-
metry. A question that has arisen in
the recent past is whether there is si-
milar “topographic” method to mo-
nitor the “health” of networks. Our
objective is to explain how EIT ideas
can in fact effectively be used in this
context.
Introducción
Problemas tomográficos aparecen
en varios contextos, desde el monito-
reo de redes hasta el procesamiento
de señales, así como situaciones rela-
cionadas a biología y medicina, con-
secuentemente, hay diferentes tipos
de aplicaciones de tomografía y tópi-
cos misceláneos en análisis harmóni-
co y complejo que se relacionan. Es-
tos problemas son vistos como pro-
blemas inversos y entre estos aque-
llos de índole discreto sobre conduc-
tividad en redes, lo cual se basa en
ideas y métodos tomográficos ya
existentes para el caso continuo. Mi
investigación se enmarca en este tipo
de problemas que realizo con la cola-
boración de Carlos Berenstein, quien
129
*
Exalumno del Colegio Salesiano “Santo Tomás Apóstol” de Riobamba-Ecuador. Profesor de Matemática
en Montgomery College, Rockville, Maryland-USA.
Franklin Gavilánez
*
TOMOGRAFÍA: MÁS ALLÁ
DE LAS APLICACIONES MÉDICAS
es un experto mundial en el tema e
investigador en la Universidad de
Maryland en College Park, Estados
Unidos.
El impacto causado por activida-
des investigativas de Berenstein es
grande. Parte del trabajo de Él es
motivado por algunas interrogantes
que aparecen en el estudio de proce-
samiento de señales e imágenes (ob-
tenidas con uso de rayos X). Para ser
conciso, esta investigación se origina
en la pregunta de cómo obtener la
máxima cantidad de resolución de la
imagen de algún órgano humano,
por ejemplo, minimizando la canti-
dad de radiación o tiempo de expo-
sición de acuerdo al contexto, preci-
samente esto llevó a Berenstein a
crear una nueva configuración de
scanners de tomografía computari-
zada que permite la localización, es
decir, la obtención de información y
procesamiento de imágenes sólo de
la región de interés, que es una ca-
racterística que los scanners conven-
cionales no pueden lograr. Por esto,
Berensteín recibió una patente del
gobierno de los Estados Unidos (pa-
tente US-5953388). Uno infiere que
además de las aplicaciones en radio-
logía médica como por ejemplo me-
jorar la resolución en el área de inte-
rés clínico sin necesidad de incre-
mentar la exposición total de la
fuente de energía, la real motivación
fue facilitar el escaneo de objetos
grandes tales como partes de cohetes
o alas de aviones para determinar la
existencia de resquebrajamientos.
Una variación de ésta es considera-
da, en el problema de conductividad
inversa así como
el problema de la
detección de roturas en materiales.
Ahora describiré como esta situa-
ción es análoga a preguntas naturales
acerca de la performance y seguridad
de redes y que permite la detección
temprana de ataques a ellas.
La combinación de ideas tomo-
gráficas y la matemática, específica-
mente deconvolución, está siendo
usado en nuevos equipos de radiolo-
gía desarrollado por C. Jeanguillau-
me, un radiólogo en Angers (Fran-
cia). Esta misma combinación de
ideas tomográficas es también fun-
damental para resolver el problema
de cómo obtener rápida y robusta
discriminación de diferentes fuentes
de sonido con un mínimo número
de micrófonos (identificación o se-
paración de sonidos). Esto describe
brevemente la enorme influencia de
ideas tomográficas y su importancia.
Mi investigación se centra en to-
mografía, transformada de Radón,
problemas inversos en redes (grafos
particulares) y aplicaciones. En nues-
tra sociedad, la transformada de Ra-
dón Euclidiana juega un rol funda-
mental en la obtención de imágenes
Franklin Gavilánez
130
médicas. Por ejemplo, en el plano
Euclideo, tenemos lo que conocemos
como tomografía de rayos
X.
En el
caso del plano hiperbólico (no Eucli-
deo), la transformada de Radón hi-
perbólica aparece naturalmente al
estudiar el problema de conductivi-
dad inverso también conocido como
tomografía de impedancia eléctrica.
EIT (por sus siglas en inglés), o pro-
blema de Neumann-Dirichlet. Existe
también trabajo numérico para de-
tectar roturas en un plato metálico
usando mediciones solamente en la
frontera del plato. Sería interesante
poder usar ondeletas en el contexto
de la geometría hiperbólica para es-
tudiar la transformada de Radón.
Por otro lado, hay evidencia genera-
da por computadores que la trans-
formada de Radón hiperbólica en el
plano puede ser útil para entender
redes, por ejemplo, redes de comuni-
cación. En el caso de redes, si uno
quiere obtener información acerca
del interior de la red o estimar pará-
metros a lo largo de conexiones in-
ternas, suena natural considerar
ideas análogas directamente en el
contexto de grafos, lo que uno podría
llamar
tomografía de redes,
es decir,
entender los modelos de tráfico en
internet y garantizar su seguridad. Al
menos dos de estos problemas tienen
una interpretación natural en térmi-
nos de
EIT:
(1) Mediante observaciones de ca-
racterísticas de tráfico de un
punto a otro punto, reconstruir
las características de la red.
(2) Desarrollar métodos para detec-
tar el comienzo de una interrup-
ción de la red.
Desde el punto de vista de tomo-
grafía de redes. Uno puede referirse
al trabajo de Fan Chung, Graham y
sus colaboradores para determinar la
estructura de un grafo usando un en-
foque probabilístico
al problema de
Neumann Dirichlet, lo que ellos lla-
man “firing chips” sobre grafos muy
perceptivo. En términos no técnicos,
si un nodo o un grupo de nodos ha
parado de funcionar entonces la es-
tructura del grafo ha cambiado. Por
otro lado, parte de la red (ejemplo
una red de cajeros automáticos o una
autopista) podría volverse tan satu-
rada por el tráfico que se vuelve prác-
ticamente infuncional aunque la es-
tructura del grafo (red)
no
haya cam-
biado. En este caso, uno quisiera
mantener información de la canti-
dad de “tráfico” entre los nodos, esto
es, considerar un grafo con pesos, pa-
ra detectar el comienzo de tal inte-
rrupción a través de la transforma-
ción de Neumann-Dirichlet. Esto
puede ser fácilmente considerado co-
mo un problema de Neumann Di-
richlet del operador de Laplace que
131
Tomografía: mas allá de las aplicaciones médicas
involucre el tráfico presente, es decir
debemos considerar en el grafo un
Laplaciano con pesos.
Otros problemas tales como pro-
blemas que involucran la identifica-
ción de grafos han estado entre los
más importantes y famosos proble-
mas abiertos en teoría de grafos.
La mayoría del trabajo en esta
dirección se ha concentrado en teo-
ría espectral de grafos, sobre la rea-
lización de grafos con distancias da-
das y sobre la reconstrucción de
grafos a partir de subgrafos sin vér-
tices. Por lo tanto, la teoría espectral
ha sido una de las más significantes
herramientas usadas para estudiar
grafos y ha conllevado al notable
progreso en el estudio acerca de los
problemas mencionados anterior-
mente. Pero, como es bien sabido,
grafos no son en general completa-
mente caracterizados por
su espec-
tro y esto motiva mi investigación
en una forma más concisa que la
expongo aquí:
Problemas
Cuantificar la correspondencia
entre EIT, tomografía en el caso con-
tinuo y el modelo discreto sobre gra-
fos (redes).
Extender al caso discreto las téc-
nicas ya usadas en el caso continuo
de tomografía.
Objetivo
Descubrir rápidamente si la red
ha sido comprometida y en donde.
Desarrollar un modelo matemáti-
co del Internet que nos permita de-
terminar rápidamente donde y cuan-
do interrupciones de la red ocurren.
Los métodos a desarrollarse son ba-
sados en ideas tomográficas.
Aplicaciones
Permitirá la determinación tem-
prana de la ubicación de los ataques
a una red por lo tanto permitiendo
medidas rápidas para detener o al
menos contener el ataque.
Determinar y parar la intrusión
en redes
ad hoc
grandes como la in-
ternet, redes móviles, redes de pague
por ver
,etc.
Metodología
Extensión de los métodos tomo-
gráficos ya bien desarrollados en el
caso de medios continuos para de-
terminar distribuciones de densidad
en una forma no invasiva. La idea es
similar a aquellas usadas en tomo-
grafía médica y en la determinación
de defectos en materiales.
Redes, en particular, redes de co-
municación como la internet se han
vuelto una parte esencial del diario vi-
Franklin Gavilánez
132
vir y por ello las interrupciones pue-
den causar consecuencias muy serias
y, por lo tanto, aparece la necesidad de
prevenir o al menos detectar tempra-
namente tales interrupciones. El pro-
blema a enfrentar es aquel de obtener
información de la estructura interna
de la red a partir de la recolección de
datos en la periferia de la red. Esto es
análogo a problemas tomográficos
que han sido estudiados en el caso
continuo y es precisamente esta ana-
logía mi fuente de Investigación.
El problema de descubrir la es-
tructura interna de la red en forma
detallada a partir de la recolección
de dalos en la frontera de la red pue-
de ser visto como un tipo de proble-
ma inverso análogo a aquellos que
existen en tomografía convencional
sólo que en este caso estamos en un
ambiente discreto. La situación más
realista corresponde a usar coleccio-
nes más pequeñas de datos para ob-
tener información solamente de una
subregión de la red lo cual corres-
ponde a la tomografía localizada en
el caso convencional. Una de las for-
mas de tratar de entender lo que es-
tá ocurriendo es visualizar el grafo
dirigido que representa a la red en el
espacio hiperbólico de dimensión 3
o inclusive en el espacio hiperbólico
de dimensión 2, dado que en estos
espacios el volumen de la esfera cre-
ce exponencialmente en función del
radio, lo cual es distinto al caso de la
esfera en el espacio Euclideo de di-
mensión 3, respectivamente de di-
mensión
2.
Nosotros hemos desarrollado
una innovadora formulación mate-
mática de estos problemas, usando
esta representación de la red incrus-
tada en el plano hiperbólico. En esta
representación, los caminos entre
nodos se vuelven las geodésicas del
plano hiperbólico. Luego, nuestra
formulación y métodos de solución
al problema confirman que la co-
rrecta tomografía a usar no es la Eu-
clidiana sino aquella del espacio hi-
perbólico real en dos dimensiones o
tres. Hay varias razones por las que
este modelo parece ser el correcto.
Primero, la evidencia empírica y re-
cientes análisis de la topología de la
internet y conexiones de redes pare-
cidas a la internet, las cuales han
mostrado que el número de nodos
de las redes tienen una ley de creci-
miento polinomial con respecto a
cualquier punto de la red. Segundo,
el trabajo de visualización de Mun-
zer (y varios reportes de CAIDA)
que muestra como estos tipos de re-
des pueden ser visualizados en el es-
pacio hiperbólico real.
El principal objetivo de mi inves-
tigación es obtener algoritmos com-
putacionalmente eficientes para so-
lucionar tales problemas inversos, es
133
Tomografía: mas allá de las aplicaciones médicas
decir, el procedimiento para deter-
minar el perfil interno de la red. Mi
idea se basa en trabajos previos de
Berenstein donde Él estudia un pro-
blema inverso clásico de ecuaciones
diferenciales parciales, el problema
de conductividad inversa o tomogra-
fía de impedancia eléctrica, EIT
mencionado anteriormente. Este
problema es el análogo en el caso
continuo de problemas de tomogra-
fía en redes eléctricas.
Los problemas de EIT que apare-
cen de problemas tomográficos son
más similares a problemas inversos
en redes eléctricas discretas como los
investigados y resueltos por Curtis y
Morrow [5] en el caso de una red
cuadrada de resistencias (lattice).
Nuestra aproximación combina los
métodos de Curtís y Morrow con los
antiguos métodos tomográfios para
árboles y grafos, al mismo tiempo
que extiende estos métodos a mode-
los probabilísticos y situaciones co-
mo el caso de arbitrarios grafos fini-
tos donde algún tipo de peso o trafi-
co w se ha definido.
Curtís y Morrow muestran que la
conductividad
ω
puede ser determi-
nada en forma única y proponen un
algoritmo para computar
ω
. En el ca-
so de grafos arbitrarios planos y fini-
tos en los que se definen un peso
ω
,
junto con Berenstein y S-Y Chung se
probó un resultado de unicidad el
cual permite determinar el peso a par-
tir de valores conocidos en la frontera,
y que lo describo a continuación: da-
dos dos pesos positivos,
ω
1
y
ω
2
en-
tonces
ω
1
=
ω
2
si y solamente si el ma-
peo de Neumann a Dirichlet asociado
a
ω
1
es igual al mapeo de Neumann
a
Dirichlet asociado a
ω
2
.
En mi investigación trato de en-
contrar métodos computacionales
que sean efectivos para monitorear
subconjuntos específicos
S
de grafos
planos arbitrarios (regiones de inte-
rés) provistos de un peso a partir de
la fundón
input-output
correspon-
diente a caminos que han cruzado
tales regiones y desde aquí determi-
nar, por ejemplo, áreas congestiona-
das, o mejor aún, anticipar áreas que
se congestionarán y así poder reco-
mendar medidas para evitar la para-
lización del trafico (peso).
Conseguido esto, mi siguiente ob-
jetivo es desarrollar una estrategia
para determinar el peso
w
para el ca-
so de grafos en general provistos de
un peso. Para poder lograr esto, con-
sidero regiones de interés
S
relativa-
mente pequeñas y con elecciones
apropiadas de datos
δ
del problema
de Neumann asociado al peso positi-
vo
ω
para obtener soluciones únicas
U
δ
las cuales satisfacen
ω
U
δ
0
en S
que es la ecuación de Laplace corres-
pondiente al Laplaciano con peso
ω
, (es decir
U
δ
es
ω
harmónica
)
y
Franklin Gavilánez
134
también la condición
en la
frontera de
S,
indicada por
S
,
la de-
rivada normal asociada al peso
ω
.
Dado que
S
es un grafo relativamen-
te simple,
U
δ
es obtenida a partir de
apropiadas elecciones de valores de
δ
y
de aquí
ω
se encuentra numérica-
mente utilizando algún software
existente para resolver sistemas de al-
gebra lineal. Esto permitirá determi-
nar una estrategia para encontrar
ω
para el caso de grafos generales
S,
donde la matriz
T,
asociado al siste-
ma linear que tiene w, como incógni-
ta es una matriz muy grande pero sin
muchos ceros.
Me parece que tal estrategia se ba-
sará en ondeletas para el caso discre-
to, es decir, considerando apropiadas
funciones
, que se comportan como
ondeletas y que serán definidas en la
frontera de
S,
para producir una ma-
triz
T,
con muchos ceros.
En el caso de problemas inversos
continuos sobre un conjunto, uno
observa que la condición de desvane-
cimiento de una ondeleta correspon-
de exactamente al hecho que cual-
quier solución del problema conti-
nuo de Neumann tiene promedio ce-
ro en todo el conjunto y esto es debi-
do al teorema de Green. Antes de re-
tornar al problema que nos ocupa,
quiero indicar otra característica del
resultado principal en [4], el cual
pienso que puede ser útil cuando se
estudian redes muy grandes. Es el lla-
mado principio de localización. En el
caso continuo, considerando la trans-
formada de Radón, esto significa lo
siguiente: Supongamos que uno está
solamente interesado en determinar
los valores de una función
f
en una
subregión
S
1
de una entera región So
y que esto se logra usando rayos
X,
entonces, solamente se necesita que
los rayos
X
pasen a través de
S
1
para
determinar los valores de f en
S
1
.Pa-
ra ser más preciso, uno necesita que
los rayos
X
pasen a través de un con-
junto
S’
1
ligeramente más grande que
S
1
.
El ingrediente clave para probar
este resultado fue el uso de ondeletas,
principalmente el hecho que las on-
deletas son funciones con promedio
cero, esto es que el integral sobre la
frontera es igual a cero.
Regresando al problema sobre re-
des, estamos al momento trabajando
en desarrollar una teoría análoga a
aquella de las ondeletas para imple-
mentar explícitamente la determina-
ción del peso o las cargas del tráfico a
lo largo de las aristas de la red. Debo
indicar que para redes muy grandes el
resultado de localización mencionado
antes puede ser muy importante dado
que nos permitiría monitorear sola-
mente las regiones de interés dentro
de la red en forma muy eficiente.
El ambiente matemático que se
define para estudiar el problema
135
Tomografía: mas allá de las aplicaciones médicas
mencionado antes es aquel de grafos
con un peso
ω
definido en sus aris-
tas. A parte de esto, es asumido que el
subyacente grafo es conocido por
quienes están monitoreando la red.
En este contexto discreto yo modelo
el problema en la siguiente forma.
Consideremos un grafo finito conec-
tado
G = G(E, V),
donde
E
denota el
conjunto de aristas de
G y V
el con-
junto de nodos. Dos nodos
x
y
y
son
adyacentes y se indica por
x ~ y,
si
ellos son los extremos de una arista
en
G.
Es asumido también que hay
un subconjunto no vacío muy espe-
cífico
G
de G, llamado la frontera de
G la cual representa los nodos que
son accesibles a nosotros para moni-
torear el tráfico (peso). Adicional-
mente, se asume que a cada arista en
E
se asocia un número no negativo
ω
(x, y)
el cual corresponde al tráfico
entre los extremos
x
y
y
de la arista.
El grado
δ
ω
x
de un nodo
x
en el gra-
fo
G
con peso
ω
es definido por
El operador Laplaciano correspon-
diente a este peso
ω
se define como
donde f es una función que actúa so-
bre los vértices.
En este modelo, hay dos tipos de
interrupciones de tráfico de datos
que podrían presentarse. En uno de
ellos, las interrupciones ocurren
cuando una arista “deja de existir”,
en este caso la “topología” del grafo
ha cambiado. Este tipo de interrup-
ción esta fuera del objetivo de mi in-
vestigación. En el otro, los pesos
cambian debido a que el tráfico au-
menta, es decir, la configuración de
la red permanece igual pero los pe-
sos han ya sea aumentado o perma-
necido igual.
Uno concluye que escogiendo
una base como el conjunto de datos
del problema de Neumann uno pue-
de decidir si hay un incremento de
tráfico o no en algún lugar de la red.
Aunque este es solamente un teore-
ma de unicidad, sin embargo, este
conlleva a la posibilidad de computar
efectivamente el peso actual a partir
del conocimiento de los datos del
problema de Dirithlet (output) por
convenientes elecciones de los datos
del problema de Neumann (input).
Esto a su vez conlleva a la pregunta
natural sobre la determinación efec-
tiva del peso w en dicho grafo.
De nuevo, monitorear la red en es-
te contexto matemático significa que
estamos monitoreando la cantidad de
trafico w (cargas o pesos) a lo largo de
las aristas durante un período en el
cual la red está trabajando y lo que
Franklin Gavilánez
136
queremos es tomar algunas medidas
preventivas en caso de que el tráfico a
lo largo de algunas aristas esta cerca de
sobrecargar aquellas aristas y causar
una interrupción mayor. Nótese que
en este modelo si una arista se vuelve
saturada, es prácticamente lo mismo
que decir que la arista no existe más y,
por lo tanto, el grafo ha cambiado. Por
supuesto, el punto es luego tener me-
didas a mano para solucionar este
problema. Antes de finalizar nótese
que uso el termino tomografía de re-
des en realidad para indicar que estoy
pensando en este problema en térmi-
nos de una analogía muy cercana al
uso de la transformada de Radón en
un número de aplicaciones en el caso
continuo, por ejemplo, aquel de los
CT escáner.
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