1. INTRODUCCIÓN.

Una gran variedad de aplicaciones en diferentes áreas de la ciencia, exigen en su modelación matemática la necesidad de solución de ecuaciones no lineales para la obtención de un resultado específico. Dicha solución no siempre se puede encontrar de manera exacta y en muchos casos se debe recurrir a métodos numéricos.

Entre los métodos más conocidos para aproximar la solución o raíz de una ecuación no lineal, se destaca el método de Newton que se caracteriza por tener orden de convergencia de al menos 2, lo que hace que su velocidad de convergencia sea considerablemente buena. Este método, también posee teoremas que garantizan la convergencia global y local, es decir, converge para aproximaciones iniciales muy cercanas a la solución deseada; pero esto no impide que converja globalmente (a partir de cualquier aproximación inicial) Burden (2002), Gutiérrez, Olmos y Casillas (2010), Mora (2010) y Sauer (2013). Además, el método de Newton puede ser deducido por diferentes caminos, como es desde su interpretación geométrica, como mejora del orden de convergencia de la iteración del punto fijo y mediante expansiones de series de Taylor, ver en Burden (2002).

En los problemas que se desarrollan en las ciencias, además de encontrar ecuaciones no lineales que representan cierto modelo, se encuentra sistemas de ecuaciones no lineales que responden a las características de modelación. Debido a esto, es importante entender la generalización en varias variables del método de Newton, con la cual se puede buscar una aproximación a la solución de un sistema de ecuaciones no lineales. Incluso, trabajar con esta extensión permite ampliar ciertos conocimientos referentes al cálculo de varias variables y al álgebra lineal, por ejemplo el estudio de la matriz Jacobiana, métodos para encontrar la inversa de esta matriz y hasta aproximaciones numéricas de estos, entre otros. Pita (1995)

Como la representación de números en el plano complejo está dada por un par ordenado, que a su vez se puede relacionar de forma vectorial, entonces con la extensión del método de Newton a sistemas se pueden aproximar soluciones de ecuaciones de variable compleja como un caso particular de ecuaciones de dos variables. A su vez, la versatilidad del método de Newton también permite que se aplique para aproximar soluciones de ecuaciones de variable compleja mediante una función de iteración de variable compleja, Rubiano (2007).

Uno de los problemas más destacados en la aproximación de soluciones de ecuaciones de variable compleja a través del método de Newton es el problema de Cayley, ver en Plazas y Gutiérrez (2013) y Rubiano (2007), el cual se enuncia: “¿si se parte de un punto aleatorio del plano complejo, a qué raíz de la función convergirá el método de Newton?”. Se itera el método de Newton para y al relacionar los valores de convergencia que se producen de la iteración resulta un comportamiento fractal.

Aunque existen otros métodos, como el método de la secante y el método Quasi-Newton, que no presentan la dificultad en el cálculo de derivadas o que tienen un orden de convergencia mayor y aproximan soluciones en un número menor de iteraciones, cabe resaltar que algunos de estos resultan de modificaciones al método de Newton y aun así, este método prevalece como una de los más usados, Plazas y Gutiérrez (2013).

El método de Newton es entonces un método diverso con el que se pueden resolver variados problemas de aplicación. Finalmente, este artículo no solo es beneficioso para las personas relacionadas en su ejecución. También les permitirá a más estudiantes interesados hacer uso de los resultados para desarrollar otros problemas de aplicación.

2. MATERIALES Y MÉTODOS.

En general, es complicado resolver directamente por métodos analíticos ecuaciones no lineales, por lo que se deben usar métodos basados en aproximaciones numéricas para determinar soluciones aproximadas. A continuación se presenta uno de estos métodos numéricos, conocido como el método de Newton, donde la información que se relaciona en esta sección se puede ampliar en Burden (2002) y Gutiérrez, Olmos y Casillas (2010)

2.1 Método de Newton.

Dada la función diferenciable y una aproximación inicial para obtener la solución a la iteración del método de Newton está por

[1]

donde para

El método de Newton se puede obtener de tres formas, por su interpretación geométrica, como mejora al orden de convergencia de la iteración del punto fijo y mediante expansiones de series de Taylor. Presentamos a continuación la deducción por series de Taylor.

Para obtener el método de Newton por expansiones de series de Taylor se considera el primer polinomio de Taylor para . Así, sea una función con segunda derivada continua en un intervalo y una aproximación de la solución , tal que es “pequeño”, además y .

Se expande por series de Taylor alrededor de , obteniendo ()

(2)

[2]

Ahora, se hace

,

Luego como por hipótesis , se tiene que

Como debe ser “pequeño” para ser una buena aproximación, entonces es mucho más “pequeño”. Por tanto, si está acotado, el término .

Así .

Despejamos en la anterior a , se sigue que

o de forma equivalente que .

Y de este modo, al continuar de forma inductiva, se obtiene la ecuación de iteración del método de Newton (1).

Esta iteración del método de Newton puede ser generalizada para encontrar buenas aproximaciones de soluciones de sistemas de n ecuaciones no lineales con n incógnitas, a continuación se muestra, como inicio de este proceso de generalización, el método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.

2.2 Método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.

El método de Newton puede ser generalizado a sistemas de ecuaciones con variables, precisamente se puede obtener una buena aproximación de un vector solución de un sistema a través de este método, Pita (1995). Se considera el caso de un sistema de 2 ecuaciones con dos variables.

Sea un sistema de ecuaciones , dado por dos funciones diferenciables tal que

[3]

Se usa el primer polinomio de Taylor para funciones de varias variables.

Supongamos una aproximación de la solución del sistema, es decir

Donde y son valores cercanos a cero.

Se realiza la expansión de Taylor, para cada función y , alrededor de .

Así para se tiene

De forma análoga a como se hizo en el caso real, se reemplaza en la anterior expansión. De aquí se tiene

Como y tienden ambos a cero, asumiendo que la norma de está acotada, el término tiende también a cero. Por tanto, al sustituir en la serie de Taylor se sigue que

De donde

Procediendo de forma análoga, se obtiene para la función que

Luego, como es una solución del sistema, entonces

Al reemplazar en las aproximaciones determinadas para y , se obtiene

Es decir

Donde es la matriz Jacobiana asociada al sistema de ecuaciones ( 3) y se denota con .

Ahora en el anterior sistema, al recordar que y , se despeja y aplicando la inversa de una matriz , se obtiene

(4)

[4]

Así, ( 3) se puede escribir de la siguiente manera

De la cual se concluye la función de iteración de varias variables del método de Newton para una aproximación inicial , dada por

[5]

[6]

Con esta función iterativa para sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas se puede no solo aproximar las soluciones de este tipo de sistemas de ecuaciones no lineales, sino también las de funciones de variable compleja.

En el siguiente apartado se resume una de las aplicaciones del método de Newton en el plano complejo que es la del problema de Cayley. Además, en la sección 3 se mostrará una simulación numérica de este problema empleando las funciones de iteración ( 5) y ( 6).

2.3 El problema de Cayley.

En 1879 Arthur Cayley enunció el siguiente problema:

“¿Si se parte de un punto aleatorio del plano complejo, a qué raíz de la función convergirá el método de Newton?”. Plazas y Gutiérrez (2013).

Este problema propone el estudio de las zonas de convergencia de sucesiones de puntos obtenidos con la iteración del método de Newton. En Plazas y Gutiérrez (2013) se trabaja este problema considerando la función de iteración de Newton como una función racional compleja, más adelante Julia y Fatou amplían el estudio de la dinámica de ese tipo de funciones, Sutherland (2014).

Cayley intentó deducir la solución de su problema partiendo de un problema más sencillo. E intentó solucionar inicialmente una pregunta como ¿Si se parte de un punto aleatorio del plano complejo, a qué raíz de la función convergirá el método de Newton?”.

Cayley probó que al considerar un dominio complejo y aplicar la iteración del método de Newton para a cada punto, el dominio se subdivida en dos regiones y donde cada región es una zona de convergencia para la raíz que contenía. Se obtiene de esta forma una representación como la presentada en la Figura 1, en la cual los puntos relacionados al color rojo convergen al punto y los puntos relacionados al color verde convergen al punto .

Figura 1: Gráfico de las zonas de convergencia de las raíces de la función

1
Figura 1

Figura 1: Gráfico de las zonas de convergencia de las raíces de la función

Cayley creía que podía generalizar este resultado a su problema, pero el comportamiento de las zonas de convergencia a través del método de Newton para presenta un reto mayor. En la siguiente sección se muestra una simulación del problema de Cayley.

3. RESULTADOS Y DISCUSIONES.

Debido a la equivalencia topológica del plano complejo con el plano real, una función de variable compleja puede ser escrita como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Entonces la función del problema de Cayley , para , se puede escribir de la siguiente forma

[6]

[7]

Donde es la parte real de y es la parte imaginaria de .

Ahora de ( 6) y ( 7), se considera el siguiente sistema de ecuaciones

(8)

[8]

De donde la función de iteración del método de Newton está dada por

(9) (10)

[9]

[10]

La matriz Jacobiana asociada es

(11)

[11]

y su determinante está dado por

(12)

[12]

Por tanto, la función de iteración del método de Newton es como sigue

(13) (14)

[13]

[14]

A continuación se itera el método de Newton para obtener una aproximación de cada una de las tres soluciones del sistema de ecuaciones ( 7), dadas por:

·

·

·

Las siguientes tablas contienen iteraciones del método de Newton para el sistema de ecuaciones ( 7), con una tolerancia y un máximo de 100 iteraciones. En la Tabla 1 la aproximación inicial es y la convergencia es a la raíz Por otro lado, los valores en la Tabla 2 parten de la aproximación inicial y convergen a la raíz Finalmente, en la Tabla 3 se encuentran los valores de la iteración del método de Newton a partir de la aproximación inicial , la cual converge a la raíz

Tabla 1: Iteraciones del método de Newton para aproximar la solución con una aproximación inicial .

Tabla 1
Tabla 1

Tabla 1: Iteraciones del método de Newton para aproximar la solución con una aproximación inicial .

Tabla 2
Tabla 2

Tabla 2: Iteraciones del método de Newton para aproximar la solución con una aproximación inicial .

Tabla 3
Tabla 3

Tabla 3: Iteraciones del método de Newton para aproximar la solución con una aproximación inicial

En las tablas 1, 2 y 3 se muestran buenas aproximaciones de las soluciones del sistema de ecuaciones ( 7) que son, gracias a la equivalencia topológica de con , aproximaciones de las raíces de . Así con las sucesiones de puntos obtenidos se procede a estudiar las zonas de convergencia de las raíces, es decir, cómo convergen dichas sucesiones a las raíces y este análisis se muestra a continuación. El error presentado en estas tablas, se calculó a partir de la norma euclidiana para vectores en .

3.1 Cuencas de Atracción.

Se realiza el estudio de las zonas de convergencia para las tres raíces de la ecuación .

Para la raíz real el análisis gráfico del comportamiento atractor de como punto fijo de la función de iteración del método de Newton para , dada por

(15)

[15]

se representa con una gráfica descendiente en forma de escalera que parte de un punto cualquiera de y que converge al punto . Se procede de la siguiente manera:

1. Se grafica y la diagonal .

2. Se escoge un punto de .

3. Se traza una paralela al eje hasta marcar el punto de corte con la diagonal.

4. Se traza una paralela al eje hasta marcar el punto de corte con la gráfica de , este nuevo punto tiene ordenada .

5. Se repite el proceso las veces que se considere conveniente.

En la Figura 2 se muestra como la órbita del punto converge hacia 1 y esta característica de que exista un intervalo tal que hace que el punto sea un punto atractor de .

2
Figura 2

Figura 2. Comportamiento atractor de la raíz para la función

Para las raíces complejas de el análisis de la convergencia se realiza considerando cada punto o nodo de una subdivisión del plano complejo como aproximación inicial para la iteración del método de Newton, como se muestra en la Figura 3. Luego se le asigna un color a cada raíz real o compleja de y las sucesiones de puntos obtenidas al iterar el método de Newton se pintan del color de a cada raíz en caso de converger a ella, Rubiano (2007).

3
Figura 3

Figura 3: Nodo y subdivisión del plano complejo.

De lo anterior se obtiene el fractal de la Figura 4. Se puede observar que la figura se encuentra seccionada en tres partes y cada una de ellas está representada por un color, donde el color rojo se relación con la raíz , el azul a la raíz , y por último, el marrón con . Además, se observa que los puntos de las fronteras en las secciones tienen un comportamiento caótico, en general estas zonas se conocen como conjunto de Julia y las zonas pintadas de un solo color como conjunto de Fatou, como se muestra en Rubiano (2007).

4
Figura 4:

Figura 4: Fractal asociado al problema de Cayley.

Así, de forma similar al fractal de la Figura 4, se pueden obtener otros fractales. El fractal que se presenta en la Figura 5 es el asociado al extender el problema de Cayley para la función .

5
Figura 5

Fractal asociado al problema de Cayley para la función .

En la Figura 5 se observan cinco zonas pintadas de colores diferentes y el comportamiento caótico de las fronteras de estas.

En general se puede obtener los fractales para las funciones de la forma para en los que el valor de determina el número de zonas en que se divide la imagen.

4. CONCLUSIONES.

Al comparar el resultado de operar la función de iteración del método de Newton para la función , dada por ,

con una tolerancia y un máximo de 100 iteraciones con los resultados de las tablas 1, 2 y 3 se obtiene:

Para la solución , es decir, la raíz .

1. En 9 iteraciones la aproximación con error .

.2. En 8 iteraciones la aproximación con error

Para la solución , es decir, la raíz .

1. En 10 iteraciones la aproximación con error .

2. En 8 iteraciones la aproximación con error .

Así se puede notar que en cualquiera de los casos se encuentra una aproximación de las raíces de y que las aproximaciones parecen ser iguales precisamente por la equivalencia topológica entre los planos real y complejo.

También se concluye que el método de Newton continúa siendo un método eficiente al momento de aproximar soluciones no solo de ecuaciones no lineales de variable real o compleja sino también de sistemas de ecuaciones no lineales.

Agradecimientos

Este trabajo hace parte de los objetivos del proyecto de investigación estudiantil Generalización del método de Newton, financiado por la Vicerrectoría de Investigaciones, Postgrados y Relaciones Internacionales (VIPRI) de la Universidad de Nariño.

6. REFERENCIAS.

Burden, R., Faires, D. (2002). Análisis Numérico, séptima edición, México, lnternational Thomson Editores, pp. 66-74.

Gutiérrez, J., Olmos, M., Casillas, J. (2010). Análisis Numérico, México, Interamericana Editores, pp. 30-37.

Mora, W. (2010). Introducción a los métodos numéricos [e-book]. Costa Rica, Escuela de Matemática - Instituto Tecnológico de Costa Rica: Disponible en https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/WMora_MetodosNumericos/WMora-ITCR-MetodosNumericos.pdf [Consultado 30 de enero de 2017]

Pita, C. (1995). Cálculo Vectorial, México, Escuela de Ingeniería - Universidad Panamericana, pp. 319-331.

Plazas-Salinas, S., Gutiérrez-Jiménez, J. (2013). Dinámica del Método de Newton [e-book], España: Universidad de la Rioja, servicio de publicaciones. Disponible en: Dialnet https://dialnet.unirioja.es/servlet/libro?codigo=529750 [Consultado 25 de noviembre de 2016].

Rubiano, G. (2007). Método de Newton, Mathematica y Fractales: Historia de una Página. Boletín de matemáticas, 14(1), pp. 44-63, [Online] Disponible en http://www.bdigital.unal.edu.co/38088/1/40459-181969-1-PB.pdf. [Consultado 25 de enero de 2017]

Sauer, T. (2013), Análisis Numérico, Segunda edición, México, Pearson Educación, pp. 51-58.

Sutherland S. (2014). An Introduction to Julia and Fatou Sets. In: Bandt C., Barnsley M., Devaney R., Falconer K., Kannan V., Kumar P.B. V. (eds) Fractals, Wavelets, and their Applications. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, [e-book]. Springer. Disponible en https://www.researchgate.net/publication/287394590_An_Introduction_to_Julia_and_Fatou_Sets. [Consultado 25 de enero de 2017]