INTRODUCCIÓN

Los radares son dispositivos que exploran el medio circundante en busca de blancos de interés. El radar emite ondas electromagnéticas que espera produzcan señales de eco al interactuar con los objetos cercanos (Richards, Scheer & Holm, 2010). Luego de ser recolectados por la antena del radar, los ecos deben ser procesados para eliminar las contribuciones de aquellas superficies reflectoras que no sean de interés a la aplicación en cuestión (Melvin & Scheer, 2014).

En el caso particular de la exploración costera u oceánica, los blancos de interés son barcos o aviones que vuelan a baja altura. Por tanto, el aporte de la superficie reflectora marina es interpretado como interferente y denominado clutter marino (Ward, Tough & Watts, 2013). Aún en la actualidad, uno de los principales desafíos de los radares es la eliminación del clutter para garantizar un buen índice de detecciones correctas y reducir la tasa de falsas alarmas. Múltiples publicaciones actuales están encaminadas en este sentido (Li, Pei, & Zhang, 2014; Weinberg, 2013; Zhang, Gao & Li, 2014).

Dado el importante papel que juega el clutter en el ambiente que rodea al radar, los investigadores han puesto un gran esfuerzo en su modelación (Crisp, Kyprianou, Rosenberg & Stacy, 2008; Griffiths et al., 2010; Ollila, Tayler, Koivumen & Poor, 2012). Una representación fiel del comportamiento del clutter permite evaluar el desempeño de los detectores antes de la instalación y diseñar alternativas que operen de forma estable frente a diferentes condiciones ambientales y características del radar.

Entre las distribuciones más utilizadas para la modelación del clutter marino se encuentra la alternativa Weibull (Dong, 2006; Greco, Bordoni & Gini, 2004; Ping, 2011), que además ha sido aplicada a clutter terrestre (Billingsley, Farina, Gini, Greco & Verrazzani, 1999), clutter de hielo (Sekine & Mao, 1990) y clutter atmosférico (Sekine et al., 1979), demostrando su capacidad de adaptación a diferentes entornos. Por otra parte, la distribución Log-Normal (Sayama & Ishii, 2013) se utiliza frecuentemente para caracterizar clutter más agresivo (spiky) que el que representa la distribución Weibull. Buenos ajustes Log-Normal han sido hallados cuando se utiliza polarización HH (Farina, Gini, Greco & Verrazzani, 1997), se opera a alta resolución con ángulo rasante muy bajo (Ishii, Sayama & Mizutani, 2011), se mide la distribución espacial de los datos (Dong, 2004) o se exploran celdas que contienen fuertes reflexiones de blancos (Ishii et al., 2011; Sayama & Ishii, 2013).

El Grupo de Radares del Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría (ISPJAE-CUJAE) necesita modelar en una aplicación informática estas distribuciones para el posterior diseño de detectores adaptados a condiciones específicas de la superficie marina. Por tanto, el autor del presente artículo se propuso como objetivo la modelación de las funciones principales correspondientes a las distribuciones Weibull y Log-Normal en MATLAB. Si bien este software ya contiene funciones para procesar dichas distribuciones, ellas presentan el inconveniente de ser de código cerrado, lo que dificulta su manipulación y modificación. En cambio, la nueva implementación, que fue finalmente lograda, propone una modelación validada y de código abierto que reemplaza al Toolbox Estadístico de MATLAB, de costo elevado en el mercado internacional.

El artículo se desarrolla como sigue. La sección dos, bajo el nombre de “Materiales y Métodos”, explica los métodos, algoritmos o expresiones utilizados en la modelación de las distribuciones Weibull y Log-Normal, buscando facilitar la reproducción de la implementación por terceros. Posteriormente, en la sección tres, denominada “Resultados y Discusión”, se ofrece prueba de la validez de cada una de las funciones implementadas, a la vez que se establecen comparaciones que ratifican la correspondencia entre ellas. Igualmente, esta sección valora el aporte del presente artículo en el marco de los desarrollos actuales de radar. Por último, en “Conclusiones y Trabajo Futuro” se indican los logros fundamentales de la labor realizada y las líneas inmediatas por las que continúa la investigación.

MATERIALES Y MÉTODOS

La sección “Materiales y Métodos” presentará primeramente las expresiones matemáticas fundamentales relacionadas a las distribuciones Weibull y Log-Normal. Entiéndase que la Función de Densidad de Probabilidad (PDF, Probability Density Function), la Función de Distribución Acumulada (CDF, Cumulative Distribution Function), las función de generación de momentos, el método de generación de variables aleatorias y el método de estimación de los parámetros permiten realizar una modelación precisa de cualquier distribución (Forbes, Evans, Hastings & Peacok, 2011). La sección cierra con la descripción de las funciones implementadas en MATLAB para la modelación de las distribuciones Weibull y Log-Normal.

Distribución Weibull

La PDF de la distribución Weibull puede tomarse de (Gato Martínez, 2014; Machado Fernández, 2015; O’Connor, 2011) donde se usó:

Siendo el valor de la amplitud, y $\alpha$el parámetro de escala y $\beta$ es de forma. La CDF (Gato Martínez, 2014; González Padilla, Bravo Quintana, Machado Fernández & Bueno González, 2013) y la función generadora de momentos algebraicos (Chen, Liu, Wu & Wang, 2013) correspondientes a la expresión (1) son:

Donde es la función Gamma y es el orden de los momentos. Además, las ecuaciones de transformación dadas en (Walck, 1991) pueden usarse para calcular los momentos centrales a partir de los algebraicos.

La generación de una variable Weibull puede hacerse por el método de inversión (Gentle, 2003), obteniéndose finalmente:

Donde $u$ es una variable distribuida uniformemente en el intervalo entre 0 y 1.

El parámetro de forma de la distribución puede hallarse utilizando el método de los momentos que emplea la siguiente expresión para obtener $\beta$ (Nielsen, 2011):

Donde es el cuadrado del primer momento algebraico (media), es el segundo momento algebraico (potencia) y es la función gamma (O’Connor, 2011). Como puede apreciarse, la expresión de (5) no tiene una forma cerrada por lo que debe resolverse por métodos numéricos. Una vez estimada $\beta$, se halla haciendo:

Distribución Log-Normal

La PDF de una distribución Log-Normal es (Mezache, Soltani, Sahed & Chalabi, 2013):

Donde $\mu$ es el parámetro de escala y el de forma de la distribución. La CDF (Ward, Tough, & Watts, 2013) y la expresión generadora de momentos algebraicos (Ward et al., 2013) se dan a continuación:

Las ecuaciones de transformación dadas en (Walck, 1991) pueden usarse, al igual que para el caso Weibull, en el cálculo de los momentos centrales a partir de los algebraicos.

La generación de una variable aleatoria distribuida Log-Normal puede hacerse con el método de inversión (Gato Martínez, 2014):

Donde $u$ es una variable distribuida uniformemente en el intervalo entre 0 y 1, y es la función de error inversa.

Por último, los parámetros Log-Normal pueden ser estimados utilizando la expresión dada en (McLeod, 1998):

Donde es el número total de muestras, es el número de la muestra actual que va desde 1 hasta , y es la muestra número de un conjunto dado.

Funciones Implementadas en Matlab

La tabla 1 muestra las 16 funciones que fueron implementadas en MATLAB para la modelación de las distribuciones Weibull y Log-Normal. Cada una de ellas es comentada un poco más adelante. A continuación, cuando se haga referencia a las funciones se omitirá en ocasiones las letras iniciales en los casos donde no afecte la compresión. Por ejemplo, _pdf se usará para reemplazar a w_pdf y a ln_pdf.

Las funciones _pdf y _cdf permiten graficar la PDF y la CDF Weibull y Log-Normal para cualquier valor de los parámetros. La función _gen genera muestras usando el método de inversión de acuerdo a (4) y (10). La función _gen_plot utiliza _gen para generar muestras y luego grafica el resultado en una serie de tiempo. Algo parecido hace _gen_hist que organiza las muestras en un histograma, ofreciéndose así otra forma de visualización. Conjuntamente, _gen_compare genera muestras y grafica una comparación del histograma y la función PDF teórica; mientras que _gen_compare_cdf hace lo mismo para la CDF. Estas dos últimas funciones son quizás las más ilustrativas de en cuanto a la correspondencia de los datos al modelo.

El código colocado en _residual permite calcular los residuos de la PDF obtenido a partir de muestras generadas con respecto a la PDF ideal. También se grafica este residuo, en lo que constituye un medidor básico de la desviación por el uso de un conjunto finito de muestras. Una alternativa a esta medición es _chi_squared que realiza una prueba de ajuste muy conocida y que es detallada en (Marques de Sá, 2007).

La función _alg_ideal_moments calcula los momentos teóricos algebraicos exactos de los primeros cuatro órdenes de acuerdo a (3) y (9). Por su parte, _alg_real_moments estima los momentos a partir de un conjunto finito de muestras. El par de funciones _ideal_moments y _real_moments hacen lo mismo para los momentos centrados. La comparación entre los resultados de los valores teóricos de los momentos y los obtenidos a partir de un conjunto finito de muestras, permiten realizar inferencias sobre la velocidad de convergencia de los momentos a medida que aumenta el tamaño muestral.

La función _estim_par, implementa las expresiones (5) y (6) para la estimación de los parámetros Weibull, y (10) y (11) los parámetros Log-Normal. Esta función permite apreciar la convergencia de la estimación con respecto al aumento del tamaño muestral.

La función _gen_sets permite generar varios conjuntos en una matriz bidimensional que almacena un conjunto en cada columna. La lógica implementada no utiliza ningún algoritmo nuevo; se limita a llamar en múltiples ocasiones a _gen para lograr una generación fácil de múltiples conjuntos. La conformación de este tipo de conjuntos es deseada cuando se entrenan clasificadores basados en redes neuronales como los desarrollados previamente por el ISPJAE (Instituto Superior José Antonio Echeverría) en (González Padilla et al., 2013; Machado Fernández, Bacallao Vidal, & Chávez Ferry, 2015).

Por último, la función _gen_par facilita la generación de secuencias de valores de los parámetros de forma que luego permitirán utilizar _gen_sets para generar muestras. La función permite cubrir el intervalo de valores del parámetro de forma especificado con saltos idénticos o con un incremento porcentual; a la vez que arregla el parámetro de forma asegurando que la media de las muestras producidas sea igual a la unidad.

RESULTADOS

Esta sección despliega los resultados que se obtienen aplicando las funciones de la tabla 1. Para cada una, se proporcionan gráficos que muestran una salida a modo de ejemplo. El autor comprobó la correcta implementación de las funciones de PDF y CDF por comparación con ilustraciones ofrecidas por otros autores. Luego, el resto de las funciones fueron validas mediante la interacción con las funciones de PDF y CDF.

Curvas de Pdf y Cdf

Las funciones w_pdf y ln_pdf permiten graficar la PDF Weibull y Log-Normal respectivamente. En la figura 1 se observa el efecto del cambio de los parámetros en el trazo de la curva, desplegando dos gráficos construidos con w_pdf. El mismo efecto se puede apreciar en la figura 2 para la distribución Log-Normal.

Figura 1.
Efecto de la variación de los parámetros Weibull sobre la curva de la PDF

Figura 2.
Efecto de la variación de los parámetros Log-Normal sobre la curva de la PDF

Las curvas de las figuras 1 y 2 fueron comparadas satisfactoriamente con aquellas dadas en (O’Connor, 2011) para una configuración semejante de los parámetros. Con ello se pudo comprobar la correcta implementación de las funciones de PDF. Lo mismo se hizo con las curvas de CDF creadas con las funciones w_cdf y ln_cdf que se muestran en las figuras 3 y 4.

Figura 3.
Efecto de la variación de los parámetros Weibull sobre la curva de la CDF

Ambas distribuciones son bi-paramétricas, lo que les permite adaptarse a un amplio rango de condiciones de clutter marino. La distribución Weibull coincide con el modelo Exponencial cuando y con el Rayleigh cuando . Estos dos modelos son clásicos en la representación de clutter. Por su parte, la distribución Log-Normal no tiene una convergencia clara hacia estos modelos clásicos.

Figura 4.
Efecto de la variación de los parámetros Log-Normal sobre la curva de la CDF

Generación de Muestras Aleatorias

Se crearon cinco funciones asociadas a la generación de muestras Weibull y otras cinco para las muestras Log-Normal. Con w_gen y ln_gen se generan muestras Weibull y Log-Normal respectivamente en una matriz columna de salida. Las alternativas w_gen_plot y ln_gen_plot grafican los resultados en una secuencia de valores, según se puede observar en la figura 5.

Figura 5.
Secuencias de 1000 muestras distribuidas Weibull y Log-Normal

Aunque es una representación fiel, la figura 5 no permite comprobar si las muestras generadas siguen las distribuciones tratadas. Gracias a las funciones w_gen_hist y ln_gen_hist, las muestras pueden agruparse en histogramas, lo que permite una comprobación visual de la correspondencia con la PDF teórica de la distribución. La figura 6 presenta dos histogramas generados para Weibull y Log-Normal.

Nótese que a la derecha se utilizó un tamaño inferior para las barras desplegadas. Ambos gráficos se corresponden a la generación de 1000. En el caso Weibull se utilizaron los parámetros y ; mientras que para la distribución Log-Normal se aplicó y .

Figura 6.
Histogramas generados a partir de conjuntos Weibull y Log-Normal

El siguiente par de funciones, w_gen_compare y ln_gen_compare, incluyen en un mismo gráfico los trazos del histograma y de la curva teórica. Alternativamente, las funciones w_gen_compare_cdf y ln_gen_compare_cdf realizan una comparación similar para la curva de CDF. La figura 7 revela la proximidad de agrupaciones formadas a partir de 1000 muestras Weibull y 1000 muestras Log-Normal con las PDFs teóricas.

Figura 7.
Comparación de las PDF teóricas y las generadas a partir de muestras

Ajuste de las Muestras al Modelo

Fueron implementadas cuatro funciones para comprobar el ajuste de las muestras al modelo. Las alternativas w_residuals y ln_residuals calculan la diferencia entre la PDF teórico y el histograma recorriendo las curvas con la longitud del paso solicitada. Las funciones w_chi_squared y exp_chi_squared aplican la prueba de ajuste Chi-Cuadrado a un conjunto de muestras. Esta prueba devuelve un valor que indica la probabilidad de que las muestras pertenezcan al conjunto. Generalmente, se asume que si las muestras no pertenecen a la distribución tratada.

Figura 8.
Dos pruebas de ajuste de las muestras al modelo.

En el gráfico de la izquierda de la figura 8 se observa el cálculo de los residuos sobre un conjunto de 1000 muestras Weibull. Los valores hallados permiten realizar un análisis detallado en relación a la distancia entre la PDF teórica y la hallada a partir de un conjunto finito de muestras. Esta es la principal ventaja del cálculo de los residuos.

En cambio, la prueba Chi-Cuadrado ofrece un único número que aporta menos información pero alcanza a simplificar el análisis. El gráfico a la derecha de la figura 8 representa el cálculo de residuos sobre 100 conjuntos de 1000 muestras cada uno. El lector podrá notar que hay diez conjuntos para los cuales la prueba da un valor inferior a 0,05, rechazándose así la hipótesis de pertenencia.

Momentos y Estimación de Parámetros

Los siguientes seis pares de funciones están destinadas al cálculo de los momentos y a la estimación de los parámetros de las distribuciones Weibull y Log-Normal. Las funciones _alg_ideal_moments y _alg_real_moments calculan los momentos algebraicos; mientras que _ideal_moments y _real_moments hacen lo mismo con los momentos centrados. La figura 9 muestra como la media, la varianza, la asimetría (skewness) y la curtosis (kurtosis) oscilan alrededor del valor teórico luego de procesar 100 conjuntos Log-Normal de 1000 muestras cada uno.

Las funciones w_estim_par y ln_estim_par permiten estimar los parámetros de las distribuciones Weibull y Log-Normal respectivamente. La figura 9 grafica la oscilación en la estimación realizada sobre 100 conjuntos de 1000 muestras. Tanto en la figura 8 como en la 9 puede apreciarse que la oscilación está siempre alrededor del valor teórico conocido, ocurriendo errores por defecto y por exceso, lo que representa un buen comportamiento para un estimador. Con esta última función se concluye con la implementación.

Figura 9.
Dos pruebas de ajuste de las muestras al modelo

Figura 10.
Estimación del parámetro de forma Weibull y Log-Normal

La implementación de las distribuciones Weibull y Log-Normal constituye una solución de código abierto que sustituye a la versión cerrada proporcionada por el Toolbox Estadístico de MATLAB. Las expresiones de PDF, CDF, cálculo de momentos, generación de variables aleatorias y estimación de parámetros, que fueron implementadas, brindan un acceso fácil a la manipulación de las distribuciones. Así, se viabiliza el desarrollo de nuevos detectores adaptados a condiciones variadas de la señal de fondo, por parte del Grupo de Investigación de Radares de la CUJAE.

Se prevé que, en un futuro cercano, la modelación efectuada se una a los aportes de (Machado Fernández, 2015b) para conformar la librería MATE-CFAR 2 que es una progresión del MATE-CFAR 1 presentado en (Machado Fernández & Bacallao Vidal, 2014). Igualmente se planea realizar la traducción de la librería al lenguaje Python donde no se dispone de ninguna una herramienta similar.

En comparación con (Machado Fernández, 2015b); investigación actual incluyó una nueva función de comparación visual de la CDF que complementa la modelación de las distribuciones Weibull y Log-Normal. También se implementó una nueva función para la generación de conjuntos de datos con media igual a la unidad. Todas las funciones implementas fueron validadas por comparación con resultados ofrecidos por otros autores y mediante la interacción de las propias funciones.

CONCLUSIONES

Se implementaron las distribuciones Weibull y Log-Normal en MATLAB para la modelación de clutter de radar. Las funciones de código abierto creadas permiten realizar simulaciones relacionadas a la PDF, CDF, función generadora, momentos y estimación de parámetros; por lo que se consideran como un reemplazo del Toolbox Estadístico de MATLAB. El aporte de este artículo pretende unirse a otros para la constitución de una librería informática de simulación de radares que se denominará MATE-CFAR 2.

El autor se enfocará a continuación en ejecutar la modelación de las distribuciones Pearson e Inversa Gaussiana que han sido relacionadas con clutter de radar. Igualmente, se recomienda la realización de estudios bibliográficos sobre el rango de parámetros que pueden tomar las distribuciones abordadas cuando se ajustan a datos de clutter. Por último, el autor considera que sería provechosa la simulación de detectores CFAR en MATLAB para evaluar el desempeño de las alternativas ante los diferentes tipos de clutter.

Referencias

Billingsley, J. B., Farina, A., Gini, F., Greco, M. V. & Verrazzani, L. (1999). Statistical Analyses of Measured Radar Ground Clutter Data. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 35(2), 579-593.

Crisp, D. J., Kyprianou, R., Rosenberg, L. & Stacy, N. J. S. (2008). Modelling X-band sea clutter at moderate grazing angles. Paper presented at the International Radar. Conference Radar 2008, Adelaide.

Chen, Z., Liu, X., Wu, Z., & Wang, X. (2013, Oct). The Analysis of Sea Clutter Statistics Characteristics Based on the Observed Sea Clutter of Ku-Band Radar. Paper presented at the IEEE Proceedings of the International Symposium on Antennas & Propagation.

Dong, Y. (2004). Clutter Spatial Distribution and New Approaches of Parameter Estimation for Weibull and K-Distributions, DSTO-RR-0274. Edingburgh, South Asutralia: DSTO Systems Sciences Labpratory.

Dong, Y. (2006). Distribution of X-Band High Resolution and High Grazing Angle Sea Clutter, Technical Report DSTO-RR-0316. Edinburgh, South Australia: Electronic Warfare and Radar Division, Defence Science and Technology Organization.

Farina, A., Gini, F., Greco, M. V., & Verrazzani, L. (1997). High Resolution Sea Clutter Data: Statistical Analysis of Recorded Live Data. IEE Proceedings on Radar, Sonar and Navigation, 144(3), 121-130.

Forbes, C., Evans, M., Hastings, N. & Peacok, B. (2011). Statistical Distributions (4th ed.): Wiley.

Gato Martínez, I. (2014). Algoritmo para la Estimación de la Distribución del Clutter Marino. (Ing. en Telecomunicaciones y Electrónica), Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría (ISPJAE), La Habana, Cuba.

Gentle, J. E. (2003). Random number generation and Monte Carlo methods (2da ed.): Springer.

González Padilla, A., Bravo Quintana, B., Machado Fernández, J. R. & Bueno González, A. (2013). Clasificación del Clutter Marino utilizando Redes Neuronales Artificiales. Revista Ingeniería Electrónica, Automática y Comunicaciones 34, (1). 1-11.

Greco, M., Bordoni, F. & Gini, F. (2004). X-Band Sea-Clutter nonstationarity: Influence of Long Waves. IEEE Journal of Oceanic Engineering, 29(2).

Griffiths, H. D., Al Ashwal, W. A., Ward, K. D., Tough, R. J. A., Baker, C. J. & Woodbridg, K. (2010). Measurement and modeling of bistatic radar sea clutter. IET Proc. Radar, Sonar Navig., 4(2), 280–292.

Ishii, S., Sayama, S., & Mizutani, K. (2011). Effect of Changes in Sea-Surface State on Statistical Characteristics of Sea Clutter with X-band Radar. Wireless Engineering and Technology, 2(3), 175-183. doi: 10.4236/wet.2011.23025

Li, X., Pei, B. & Zhang, Y. (2014). An Improved Nonparametric Detector for Non-homogeneous Clutter Environment. Paper presented at the Symposium on Computer Applications and Communications.

Machado Fernández, J. R. (2015). Estimation of the Relation between Weibull Distributed Sea clutter and the CA-CFAR Scale Factor. Journal of Tropical Engineering, 25(2), 19-28. doi: 10.15517/jte.v25i2.18209

Machado Fernández, J. R. (2015). Modelación de la Distribución Gamma en MATLAB para Aplicaciones de Radar. Ciencias Holguín. 22(4)

Machado Fernández, J. R. & Bacallao Vidal, J. C. (2014). MATE-CFAR: Ambiente de Pruebas para Detectores CFAR en MATLAB. Telem@tica, 13(3), 86-98.

Machado Fernández, J. R., Bacallao Vidal, J. C. & Chávez Ferry, N. (2015). A Neural Network Approach to Weibull Distributed Sea Clutter Parameter's Estimation. Inteligencia Artificial, 18(56), 3-13. doi: 10.4114/ia.v18i56.1090

Marques de Sá, J. P. (2007). Applied Statistics using SPSS, STATISTICA, MATLAB and R (2nd ed.). Springer.

McLeod, J. W. (1998). An Investigation of the CDF-Based Method of Moments. (Tesis inédita de Maestria). University of Toronto, Canadá.

Melvin, W. L. & Scheer, J. A. (2014). Principles of Modern Radar. Radar Applications (Vol 3). Scitech Publishing.

Mezache, A., Soltani, F., Sahed, M. & Chalabi, I. (2013). A Model for Non Rayleigh Sea Clutter Amplitudes using Compound Inverse Gaussian. Paper presented at the IEEE Radar Conference (RadarCon13).

Nielsen, M. A. (2011). Parameter Estimation for the Two-Parameter Weibull Distribution. (Tesis inédita de maestría). Brigham Young University, Provo, Utah, Estados Unidos.

O’Connor, A. N. (2011). Probability Distributions Used in Reliability Engineering. Estados Unidos: University of Maryland.

Ollila, E., Tayler, E., Koivumen, D. E. & Poor, V. (2012). Compound-Gaussian Clutter Modeling with an Inverse Gaussian texture distribution. IEEE Transactions on Signal Processing Letter, 19(12), 876-879.

Ping, Q. (2011). Analysis of Ocean Clutter for Wide-Band Radar Based on Real Data. Paper presented at the Proceedings of the 2011 International Conference on Innovative Computing and Cloud Computing, Wuhan, China.

Richards, M. A., Scheer, J. A. & Holm, W. A. (2010). Principles of Modern Radar. Basic Principles (Vol I). Scitech Publishing.

Sayama, S. & Ishii, S. (2013). Suppression of Log-Normal Distributed Weather Clutter Observed by an S-Band Radar. Wireless Engineering and Technology, 4 (3), 125-133. doi: 10.4236/wet.2013.43019

Sekine, M. & Mao, Y. (1990). Weibull Radar Clutter. New York: Peregrinus.

Sekine, M., Musha, T., Tomita, Y., Hagasawa, T., Irabu, T. & Kiuchi, E. (1979). On Weibull-Distributed Weather Clutter. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 15(6), 824-830.

Walck, C. (1991). On Moments and their Estimation (Internal Note SUF-PFY/91-01). University of Stockholm, Suecia.

Ward, K., Tough, R. & Watts, S. (2013). Sea Clutter Scattering, the K Distribution and Radar Performance (2nd ed.). London, United Kingdom: The Institution of Engineering and Technology.

Weinberg, G. V. (2013). Coherent CFAR Detection in Compound Gaussian Clutter with Inverse Gamma Texture. European Association for Signal Processing (EURASIP) Journal on Advances in Signal Processing, 1, 1-13.

Weinberg, G. V. (2013). Constant False Alarm Rate Detectors for Pareto Clutter Models. IET Radar. Sonar and navigation, 7, 153-163.

Zhang, Y. R., Gao, M. G. & Li, Y. J. (2014). Performance Analysis of Typical Mean-Level CFAR Detectors in the Interfering target Background. IEEE 9th Conference on Industrial Electronics and Applications, 1045-1048.

Notas de autor