Este modelo teórico experimental de cálculo se basa en el estudio del método desarrollado por Fiorelli ⦋1⦌. En cuanto a la determinación del momento último, el autor se basa por el método de dimensionamiento ⦋2⦌, según Fiorelli este conduce a resultados superiores a los determinados experimentalmente. De esta forma desarrolla un modelo más preciso, considerando la compatibilidad de deformaciones entre los diferentes elementos que componen la sección.

Fiorelli emplea la norma NBR 7190/97 - Proyecto de Estructuras de Madera, basada en el Método de los Estados Límites para verificación de la seguridad estructural. Para la verificación del estado límite de utilización, los desplazamientos verticales se determinan a partir de la rigidez a la flexión evaluada según un modelo elástico lineal de cálculo (método de la sección transformada). Para la determinación del momento flector último utiliza un modelo teórico que considera comportamiento elasto-plástico para la madera solicitada a la compresión, y comportamiento elasto-frágil para la madera traccionada y para la fibra de refuerzo ⦋1⦌.

Las vigas reforzadas fueron analizadas por el autor de acuerdo con la teoría clásica de la flexión, que considera los estiramientos y acortamiento de las fibras longitudinales proporcionales a sus distancias al eje neutro, considerando el material en el régimen elástico lineal. Para este tipo de viga, constituida por dos materiales diferentes basta determinar la sección equivalente de la viga idealizada constituida por apenas uno de los materiales. La sección rectangular mostrada en la Figura 1 (a), constituida por madera (material 1) y fibra (material 2) ilustra este modelo. Para el refuerzo de fibra se establecerá un ancho igual al de la viga de madera y espesor "e".

Figura 1
Viga constituida por dos materiales diferentes (a) y sección equivalente (b).

La sección transversal equivalente, presentada en la Figura 1 (b), se considera constituida sólo por el material 1 (madera). El ancho b’ es determinado según la ecuación (1) por el producto de la relación de los módulos de elasticidad de la fibra (E2) y de la madera (E1) por el ancho b de la viga de madera.

(1)

Las especies adoptadas en el análisis son Pinus hondurensis (Pinus caribea var. Hondurensis), Eucalipto grandis (Eucalyptus grandis) y Jatobá (Hymenaea spp) ⦋1⦌. Los valores de los módulos de elasticidad de las fibras y de la madera utilizados en los cálculos de Fiorelli se presentan en la Tabla 1. Los cálculos del momento se hicieron considerando el grosor de la fibra, no se consideró el aumento en el espesor debido a la aplicación del adhesivo.

Tabla 1
Valores de elasticidad y resistencia de las maderas y FRP empleados por Fiorelli.

Cálculo del momento flector último

Para la evaluación del momento flector último será considerado los estados límites de ruptura por tracción y por compresión de la madera. Este modelo se obtiene a partir de la hipótesis de Navier / Bernoulli (las secciones planas permanecen planas después de la deformación), como ilustra la Figura 2. Siendo “m” el ángulo de giro de la sección al deformarse.

Figura 2
Sección transversal de la viga de madera con refuerzo y diagrama de deformación.

El valor del estado límite de compresión fue estipulado hasta el punto que el cuerpo de prueba pueda absorber los esfuerzos. Este valor fue evaluado experimentalmente en ensayos de compresión paralela a las fibras realizados por Fiorelli. La Figura 3 presenta uno de los ensayos realizados, mostrando el diagrama de tensión en MPa contra deformación. La relación entre la deformación total (ε_2) y la deformación en la fase elástica del modelo elastoplástico (ε_1) idealizado se denomina como “k”.

Figura 3
Diagrama σ contra ε en compresión paralela a las fibras.

Para la madera traccionada y para el refuerzo de fibra se considera un comportamiento elasto-frágil, admitiendo que la deformación específica máxima de la madera es igual a la de la fibra. Entonces, la relación entre la máxima tensión actuante en la fibra y la máxima tensión actuante en la madera es igual a la relación entre los módulos de elasticidad de la fibra y de la madera. Como esta relación siempre es muy inferior a la relación observada para la resistencia a la tracción de la fibra y de la madera, se puede concluir que la ruptura por tracción siempre ocurrirá en la madera.

A continuación, se presentan las deducciones de las expresiones para la evaluación del momento flector último, considerando los estados límites de compresión y de tracción en la madera. Obviamente, el momento flector último debe ser evaluado por la expresión que proporciona el menor valor.

Para las dos evaluaciones (ruptura por compresión o por tracción), se hace las siguientes consideraciones:

a) para ε_1<ε<ε_2, la tensión de compresión en la madera es igual a: σ_c=f_co

b) la deformación en la fibra es igual a la deformación máxima de tracción en la madera, despreciando la variación de la deformación a lo largo del espesor de la fibra.

El autor establece las siguientes denominaciones:

C1 y C2 - Fuerzas de compresión resultantes de la madera;

TM - Fuerza de tracción resultante en la madera;

TF - Fuerza de tracción en la fibra;

h - altura de la viga;

e - espesor de la fibra;

fco- resistencia a la compresión paralela a las fibras de madera;

fto - resistencia a la tracción paralela a las fibras de la madera;

Ec -módulo de elasticidad a la compresión paralela de la madera;

Et -módulo de elasticidad a la tracción paralela de la madera;

Ef -módulo de elasticidad a la tracción de la fibra.

Los valores de “s” de la ecuación (2) y “p” de la ecuación (3) representados en las Figuras 4 y 5 respectivamente, están en función de:

(2)

(3)

Modo de ruptura: compresión.

Se considera alcanzado el estado límite último en la compresión cuando la máxima deformación en la parte comprimida alcanza el valor ε_2. A partir de las relaciones establecidas entre tensiones y deformaciones, la Figura 4 presenta la distribución de tensiones cuando este límite es alcanzado, así como las fuerzas resultantes de estas tensiones y sus posiciones ⦋3⦌.

Figura 4
Distribución de tensiones en la sección transversal (ruptura por compresión).

Los valores de las fuerzas resultantes de compresión y de tracción para este modo de ruptura son:

(4)

(5)

(6)

(7)

A partir de la condición de equilibrio de fuerzas horizontales, sustituyendo los valores de “s” en la ecuación anterior y reajustando los términos, se obtiene:

(8)

(9)

Modo de ruptura: tracción.

Se considera alcanzado el estado límite de tracción en la madera, cuando la máxima tensión actuante de tracción en la madera es igual a su resistencia a la tracción. A partir de las relaciones establecidas entre las tensiones y las deformaciones, la Figura 5 presenta la distribución de tensiones cuando este estado límite es alcanzado, así como las fuerzas resultantes de esas tensiones y sus posiciones [3].

Figura 5
Distribución de tensiones en sección transversal (ruptura por tracción de la madera).

Los valores de las fuerzas resultantes de compresión y de tracción para este modo de ruptura son:

(10)

(11)

(12)

(13)

A partir de la condición de equilibrio de fuerzas horizontales, sustituyendo los valores de “s” y “p” en la ecuación anterior y cambiando los términos, se obtiene:

(14)

Después de la determinación de “m”, por medio de la ecuación anterior, se puede evaluar el valor del momento resistente, a partir de la suma de los momentos de las fuerzas. Se adoptó la posición de la línea neutra para hacer la suma de las fuerzas involucradas en el problema, obteniéndose:

(15)

Análisis de vigas reforzadas con fibras, utilizando el modelo teórico experimental según Fiorelli.

Con el objetivo de evaluar la influencia del número de capas de refuerzo en la resistencia de vigas de madera, se presentan gráficos elaborados a partir del modelo teórico deducido para tracción y para compresión. Para este último fue variada la magnitud de plastificación de 1 a 4 (parámetro k).

En el gráfico de la Figura 6, se observa que el valor del parámetro k igual a uno (k = 1) equivale a considerar un comportamiento elasto-frágil para la compresión.

Figura 6
Gráfico de relación entre momento resistente y número de capas de fibra de vidrio para madera de densidad media (Eucalipto).

De acuerdo a este gráfico (Figura 6), se observa un aumento lineal creciente, en el valor del momento de ruptura de vigas de madera reforzadas con fibra de vidrio. Para maderas con alta densidad la ganancia de resistencia es baja (aproximadamente 30%), en comparación con la ganancia obtenida para maderas de baja densidad (aproximadamente 70%), para vigas reforzadas con veinte capas de tejido. Se concluye por la ventaja de aplicar el refuerzo en este tipo de madera.

Realizando el mismo análisis para los resultados obtenidos con la fibra de carbono se observa una ganancia más significativa en el aumento de la resistencia y de la rigidez de las vigas reforzadas con este tejido (Figura 7), en comparación con las vigas reforzadas con fibra de vidrio. Esto ocurre, pues la fibra de carbono presenta valores de módulo de elasticidad y de resistencia a la tracción, superiores a los de la fibra de vidrio.

Figura 7
Gráfico de relación entre momento resistente y número de capas de fibra de carbono para madera de densidad media (Eucalipto).

Es importante resaltar que el estado límite último más crítico será el de tracción, en la gran mayoría de los casos. Esto ocurre luego de una pequeña plastificación en la fibra superior que conduce a la ocurrencia del estado límite último por tracción.

Cuanto mayor sea la diferencia entre las resistencias de compresión y de tracción, mayor será el valor de “k”, para que el estado límite último sea por tracción.

Evaluación del parámetro “k”

Para el modelo de ruptura por compresión, el cálculo considera la relación entre las deformaciones, ε_2 / ε_1= k. Este valor fue evaluado experimentalmente por medio de ensayos de compresión paralela a las fibras de la madera. Se evaluaron las especies Pinus caribea var. Hondurensis, Eucalipto grandis y Jatobá, ensayando 6 cuerpos de prueba para cada una de ellas. La Tabla 13 muestra los valores del parámetro “k” obtenidos experimentalmente.

Tabla 2
Valores del parámetro k determinados por Fiorelli.

El autor recomienda utilizar parámetros k = 3 a 3,8 para Pino y Eucalipto que son maderas más deformables, y parámetro k = 2 para Jatobá, pues estos son los valores obtenidos experimentalmente, por medio de ensayos con cuerpos de prueba de compresión paralela a las fibras de la madera.

Para determinar el comportamiento de una viga de madera reforzada a flexión utilizando el modelo teórico-experimental de cálculo, tanto para polímeros reforzados con fibras de vidrio como para fibras de carbono, se tomó un inmueble ubicado en el municipio Habana Vieja, de grado de protección 2 establecido por las regulaciones urbanas de esa localidad. Debido al deterioro que se detectó en el local objeto de estudio una vez realizado el diagnóstico por la Oficina del Historiador: desfibramiento de la cara superior de 12 de las 24 vigas que componen el forjado, se tomará el peralto residual para comprobar la capacidad resistente de las vigas y determinar si es necesario su reforzamiento. A continuación, se resumen los datos que serán empleados en el cálculo del refuerzo.

Tabla 3
Datos empleados para el cálculo del caso de estudio.

Verificación de la capacidad resistente del forjado

El momento flector último fue determinado a partir de las cargas actuantes, considerando un incremento de carga para el nuevo uso de 4kN/m2 según la NC-284: 2003 en edificios para la docencia, educación e investigación científico-técnica, talleres y según las normativas NC 283: 2003 (densidad de materiales naturales, artificiales y de elementos de construcción) y la NC 450: 2006 para combinaciones de carga; se obtuvo por el método de estados límites de acuerdo a la vigente norma de madera NC 53-179: 1988 (Proyectos de construcción. Estructuras de madera. Métodos de cálculo) siendo: Mu* = 10,63 kN*m.

La sección de la viga de madera sin deterioro es 10cm x 25cm y su momento resistente es:

M_resistente= T_flexión*W

(16)

(17)

(18)

(19)

La sección residual de la viga de madera con deterioro es 10cm x 22cm y su momento resistente es:

(20)

(21)

(22)

(23)

Para que las vigas puedan resistir la sobrecarga de uso a que serán sometidas el momento resistente debe ser mayor que el momento actuante.

Para la viga de madera sin deterioro:

Mresistente= 11,72 kN*m > Mactuante = 10,63 kN*m

En este caso se comprueba que la viga original de madera con sección transversal de 10cm x 25cm no requiere reforzamiento, es capaz de admitir las nuevas solicitaciones debido al cambio de uso.

Para la viga de madera con deterioro:

Mresistente = 9,07 KN*m < Mactuante = 10,63 KN*m

Por lo que es necesario reforzar para que pueda soportar la nueva carga de uso a la que va a estar sometida.

Aplicación del modelo teórico-experimental para el cálculo del refuerzo con fibra de vidrio

Para el diseño, siguiendo el modelo propuesto por Fiorelli, es necesario el parámetro k, relación entre la deformación en la fase elástica de la madera y la deformación total, obtenido a partir de ensayos realizados de compresión paralela a las fibras de la madera (ver Figura 3).Se asume de los tres tipos de madera de la investigación el valor de k correspondiente a densidad media siendo la de eucalipto (ver Tabla 2),para ser consecuentes con los datos de la madera Pinus sp presente en el caso de estudio, por lo que se tomará un valor k = 3,8.

En la evaluación de la resistencia en cuanto al esfuerzo cortante, se desprecia la contribución de la fibra, considerando la pieza de madera como responsable de la absorción total de este esfuerzo.

Se calcula según las ecuaciones (2,3,4,5,6,7,8,9) para el modo de ruptura a compresión y para el modo de ruptura a tracción según las ecuaciones (2) y (3) y de la (10,11,12,13,14,15).

M_c=9,72 kN*m>M_t=8,89 kN*m → predomina para el diseño del refuerzo, el modo de ruptura de la viga a tracción.

M_t=8,89 kN*m <M_actuante=10,63kN*m → por lo que se decide aumentar el número de capas de la fibra de refuerzo hasta lograr la resistencia necesaria.

Tabla 4
Resultados obtenidos con la fibra de vidrio.

Fig, 8
Comparativa entre modos de ruptura con la fibra de vidrio.

Para que el refuerzo de la viga en su cara traccionada con FRP de vidrio supere el momento actuante de 10,63 kN*m se necesita no menos de 6 capas de fibra, pero poner estas resulta antieconómico.

Aplicación del modelo teórico-experimental para el cálculo del refuerzo con fibra de carbono

Se utiliza el mismo procedimiento y los mismos diagramas de tensiones que se utilizaron en el cálculo con fibra de vidrio. De modo que se obtienen los valores de momento para cada modo de ruptura.

M_c=10,06 kN*m>M_t=9,32 kN*m →predomina para el diseño del refuerzo, el modo de ruptura de la viga a tracción.

M_t=9,32 kN*m <M_actuante=10,63 kN*m → por lo se decide aumentar el número de capas de la fibra de refuerzo hasta lograr la resistencia necesaria.

Tabla 5
Resultados obtenidos con la fibra de carbono.

Figura 9
Comparativa entre modos de ruptura con la fibra de carbono.

Se comprueba que a pesar de que el tejido de polímero reforzado con fibra de vidrio (GFRP, por sus siglas en inglés) posee propiedades mecánicas inferiores al tejido de polímero reforzado con fibra de carbono (CFRP, por sus siglas en inglés), se alcanzan resultados significativos de aumento de resistencia a la rigidez. Teniendo en cuenta su menor costo (costo de venta del tejido), con relación al tejido de fibra de carbono, de requerir en el diseño del refuerzo de una estructura de madera los polímeros reforzados con fibras se podrá emplear la fibra de vidrio si las solicitaciones, por ejemplo, ante sobrecargas de uso no elevadas, de lo contrario se podrá utilizar la fibra de carbono por sus mejores prestaciones.

A partir de lo mostrado en el Gráfico 2, se observa, que en la medida que se aumenta el número de capas de tejidos de CFRP, la tendencia es que la capacidad resistente a flexión para el modo de fallo por tracción aumente de manera más rápida con relación a la capacidad resistente a flexión para el modo de ruptura por compresión. Se comprobó que lo anterior tiene su respuesta fundamentalmente en el aumento del ángulo de giro de la sección (m), que aumenta más rápido en el modo de ruptura por tracción que en el modo de ruptura por compresión, lo que provoca un mayor nivel de deformación a nivel de fibra y por lo tanto mayor nivel de tensión. Por lo que, además del factor k que establece el autor del modelo teórico, el ángulo de giro de la sección al deformarse también influye en las iteraciones para determinar el número de capas de tejido que requiere el elemento sometido a flexión.