1. Introducción

El presente trabajo es parte de una investigación docente en tesis de diploma acerca del comportamiento estructural de las escaleras helicoidales o en espiral, las cuales no se abordan en la carga docente del análisis y diseño de estos tipos estructurales. Fue necesario establecer ciclos de conferencias en una primera etapa para impartir un curso a profesionales recién graduados en la empresa de proyectos Eprob y después se condensó tiempo después en una sola conferencia en la fecha anteriormente señalada, todo enfocado en la adquisición de habilidades para enfrentar cualquier diseño.

Se partió de un breve bosquejo histórico, estableciéndose la selección del modo de análisis y la calibración del modelo para un adecuado diseño.

2. Breve reseña histórica.

En la Edad Media la escalera más revolucionaria y funcional fue sin duda la escalera de caracol que está presente hasta hoy, porque logra salvar un desnivel con un desarrollo en un reducido espacio, a partir de esta escalera surgieron adaptaciones y remodelaciones a lo largo de la historia, por lo que puede asegurarse que es la estructura más práctica y funcional.

Entre muchas de ella se encuentran la escalera de caracol en el monumento subterráneo romano de Gabia la Grande (Granada) y la escalera de caracol abovedada en la torre norte del transepto de la catedral de Barcelona. Siglo XIII. Obras como esas están diseminadas en conventos, fortalezas, iglesias y palacios por todo el mundo.

Una de las primeras personas en dedicarse al estudio de esta singular geometría para las escaleras fue Andrea Palladio (1508-1580), que dedicó el capítulo XVIII de sus “Quattro Libri dell’Architecture” a este tipo de escaleras. Declaró lo siguiente: “(…) funcionan muy bien las que no cuentan con apoyo en el centro ya que permiten el paso de la luz desde los niveles superiores, y posibilitan que los que están en lo más alto vean a los que suben y a su vez sean vistos por ellos (…), he construido una escalera sin apoyo central en el monasterio de la Caritá en Venecia la cual funciona de un modo admirable (…)”.

El arquitecto inglés Iñigo Jones (1573-1652), considerado como el introductor de la arquitectura renacentista en Inglaterra, fue el primero en construir una escalera caracol en ese país: la Tulip Staircase que se encuentra en la Queen´s House, Greenwich.

3. Tipos de escaleras helicoidales o en espiral. Parámetros que las definen.

Las escaleras de tramo curvo pueden ser varios tipos y entre ellos se encuentran:

1. 1. Helicoidales planas.
2. 2. Helicoidales ortopoligonales.
3. 3. Helicoidales de nervio central curvo.
4. 4. Helicoidales de dos nervios curvos con los pasos intermedios.

Los ejemplos más usuales son las de tramo curvo planas y las de tramo curvo ortopoligonales, aunque éstas últimas deben analizarse con mayor atención en cuanto a su peralto y las deformaciones pues pueden tener un efecto indeseado de oscilar con el transitar de las personas.

Y para puntales dobles o algo superiores, siempre es un recurso incorporar un descanso intermedio para beneficio de los usuarios, con ramas de no mayor de 14 peldaños para evitar el cansancio del ascenso.

La determinación de las huellas y contrahuellas se establece por el diseño arquitectónico y bajo parámetros ya definidos según distintas expresiones como las de Tournos, Neufert o la de Blondel, las cuales no se muestran en este trabajo pues pueden ser consultadas en cualquier manual referente al tema.

El profesor titular de la CUJAE Dr. Sc. Ing. Julio A. Hernández Caneiro, cuya pérdida ha sido muy sensible para colegas y amigos, incluyó una nueva propuesta en su libro “Estructuras Especiales de Hormigón. Tema 3. Escaleras especiales. Escaleras Helicoidales.” Monografía editada por la UMSA. La Paz. Bolivia / 2003.

4. Ley de desarrollo de las escaleras helicoidales.

Los helicoides reproducen la trayectoria del desplazamiento lineal de una hélice circular mientras rota y ésta a su vez, es el lugar geométrico enmarcado por el movimiento de un punto sobre la superficie de un cilindro circular recto.

La altura que puede lograr este punto es proporcional al ángulo que describe alrededor del eje del cilindro.

Las ecuaciones paramétricas que representan la trayectoria de una hélice en los tres ejes de referencia están en función de:

• el valor del ángulo de desarrollo de la hélice (θ)

• el factor de proporcionalidad de la altura con respecto al ángulo de desarrollo (K)

• el radio de la hélice (a).

Para variar la geometría de la escalera, es suficiente con variar a y K. Ver figura 1.

5. Puntos de partida para el diseño.

a) Métodos manuales.

Para el arquitecto la escalera es un símbolo gráfico en planta y representa un acceso curvo entre dos niveles, sea decorativo o no.

Para el ingeniero civil, una losa curva que requiere como datos, los siguientes:

1. 1. Ancho.
2. 2. Dimensiones y cantidad de huellas y contrahuellas.
3. 3. Espesor de la losa.
4. 4. Punto de origen del desarrollo de la escalera.
5. 5. Radios: interior y exterior.
6. 6. Ángulo de barrido.
7. 7. Desnivel a alcanzar.

El ingeniero civil debe estar consciente de lo que representa enfrentarse a una escalera helicoidal (sea plana u ortopoligonal), o sea, debe tener en cuenta que resulta ser un acceso a niveles superiores además ser un elemento decorativo y su análisis puede ser sencillo pero todo celo profesional no es suficiente. Para una vivienda de mediano o alto estándar, sólo basta calcularla por métodos simplificados manuales, partiendo de un eje central que contenga toda la sección transversal.

Uno de ellos es el “Método utilizado en la escuela militar de Ecuador para el cálculo de una escalera helicoidal”, que es está basado en el libro “Formulario del ingeniero” de ediciones URMO, [Romo Proaño Marcelo / CAPÍTULO XV, ESCALERAS HELICOIDALES/Formulario del Ingeniero/ Escuela Politécnica del Ejército – Ecuador/2008].

Se utiliza para el cálculo de una escalera helicoidal de sección transversal constante, sustentadas en losas o vigas rectangulares, empotradas en sus dos extremos y sometidas a cargas verticales uniformemente distribuidas en su longitud. El autor del presente trabajo lo considera muy recomendable y sugiere digitalizar sus expresiones en formato Excel o Mathcad, lo cual ahorraría tiempo de cálculo.

Otro de los métodos manuales es el “Método simplificado para el análisis y diseño de una escalera helicoidal”, por Víctor R. Bergman. [Bergman, V. R. “Helicoidal Staircases of Reinforced Concrete”, ACI Journal, V.28, No 4, Oct. 1956 (Proceedings V.53), pp. 403-412.]. Este método analiza la escalera helicoidal como una viga curva en la proyección horizontal de la hélice, parte de considerar el caso simétrico cortando la hélice en el punto medio y así analizar cada mitad como un voladizo independiente, pero no tiene en cuenta las correcciones generadas por los cambios de ángulos de los extremos libres en cada voladizo.

Demasiado conservador según opinión del autor y sugiere usarlo como herramienta de cálculo grueso solamente para tener una idea rápida del diseño. Los métodos manuales que se utilicen pueden traer comparaciones y preferencias, todo depende de la magnitud e importancia de lo que se analice.

En la figura 2 se observan los resultados entre los valores de momentos negativos y positivos obtenidos por los dos métodos anteriormente mencionados para un mismo ejemplo de desarrollo de escalera helicoidal plana según estudio de tesis de diploma. [Calderón Tamayo Leonardo/ “Determinación del refuerzo longitudinal de una escalera helicoidal según distintos enfoques de análisis” /La Habana, 2013]. Nótese la gran diferencia entre los valores de ambos métodos, siendo excesivos los valores de los resultados del método de Bergman.

Otro de los métodos manuales es artículo “Análisis de vigas helicoidales bajo cargas simétricas”, de Alan M.C.Holmes, proyectista estructural, Skidmore, Owings y Merrill, Chicago, Illinois, muy completo y ambicioso. [Journal of the Structural Division (proceedings of the American Society of Civil Engineers) November 1957, Art. 1437].

b) Métodos computacionales.

El proyectista estructural puede optar por una de las 2 opciones para la modelación mecánica computacional, mediante barras y nudos que no son más que elementos finitos lineales o elementos finitos planos, en la práctica cotidiana se usa el elemento finito plano de 4 nodos. En este caso solo se abordará el modelo con elementos finitos de superficie, aunque la calibración es válida para el modelo con elementos finitos lineales en varias subdivisiones de la sección transversal.

Para poder obtener un modelo confiable que se acerque a la estructura real, es necesario establecer una calibración del modelo computacional. Esto no es optativo, es obligatorio. Según el gráfico de la figura 3 el esquema de conceptos de modelación conlleva a una calibración del modelo matemático y físico, lo cual resulta imprescindible para un modelo óptimo y un resultado racional.

Con el desarrollo computacional, el método de los elementos finitos ha resultado la herramienta adecuada para enfrentar estos modelos. Ahmad (1969), [Ahmad, S., "Curved Finite Elements in the Analysis of Solid, Shell and Plate Structures”, Ph.D. Thesis, University College of Swansea, 1969] y Ahmad. (1970), [Ahmad, S., Irons, B. M., and Zienkiewicz, O. C., "Analysis of Thick and Thin Shell Structures by Curved Finite Elements", Int. J. Num. Methods in Engineering, 2, pp. 419-451, 1970], usó el Método de Elementos Finitos para el análisis de una losa de escalera, Amanat (1993), [ Amanat, K. M., "A Design Rationale for Free Standing Stair Slabs Based on Finite Element Analysis", M.Sc. Thesis is, Department of Civil Engineering, Bangladesh University of Engineering and Technology, Dhaka, Bangladesh, 1993.],analizó escaleras en voladizo; el elemento tipo placa fue utilizado en este análisis. Para efectuar dicho análisis se empleó para la modelación matemática el software ANSYS, utilizando 181 elementos de cuatro nodos y una malla de tipo hexagonal, Amin y Ahmad (1998) [Amin, S. and Ahmad S., „An Economic Design Approach for Helicoidal Stair Slabs based on Finite Element Analysis‟, Advances in Civil and Structural Engineering Computing for Practice, Editor. B.H.V. Topping, Civil-Comp Press, Edinburgh, pp. 241-246, 1998] analizaron la escalera helicoidal plana con cualquier idealización geométrica usando el elemento finito tipo placa.

Esto representó un ahorro de cerca del 47% del refuerzo por la solicitación de momentos y casi un 17% del total económico. En abril del 2013 es publicado por Md. Fozail Ahmad, Abdul Baqi y Mohammed Arif un artículo titulado “Analysis of Helical Stair Slab” [Md. Fozail Ahmad, Abdul Baqi and Mohammed Arif. ¨Analysis of Helical Stair Slab¨. Consultado en mayo del 2013.http://es.scribd.com/doc/19184786/How-to-Design-rc-Flat-Slabs-Using-Finite-Element- Analysis.], donde se realiza la validación analítica de los resultados obtenidos por Amin y Ahmad (1998).

El trabajo no fundamenta el uso de ese tipo de elemento en específico, sin definir si ésa es la densidad de malla óptima, por lo tanto, se desconoce si el análisis realizado puede validar los resultados ofrecidos y si el diseño eficiente, al cual se hace alusión, se refiere al uso de elementos finitos o a la metodología de modelación empleada.

No es interés en este trabajo enunciar los tipos de errores que se evalúan en el método de elementos finitos, que al final es un método aproximado y que pueden atenuarse cada uno de ellos mediante la evaluación de la corrección, estimación de la incertidumbre y el seguimiento de la deriva.

El caso que nos ocupa se realizó con la sugerencia de evaluar para un estado de carga como el del peso propio, para un mismo nodo común a las diferentes densidades de mallas, el desplazamiento del mismo y graficarlo.

Se puede consultar la Tesis de Diploma de la Ing. Daimarys Martínez Rodríguez: [Ing. Daimarys Martínez Rodríguez/ “Definición del mallado óptimo en elementos finitos para la modelación de una escalera helicoidal” /La Habana 2013. Tutor: Ing Lucas Martínez Rodríguez, Cotutora: Ing. Julia Rosa Álvarez López]

Para ello, se propuso una gran variedad de mallados, algunos se pueden considerar demasiados gruesos pero establecidos con toda intención para evidenciar cuán lejos de la realidad pueden ser los resultados y como ejercicio docente una forma de ejercitar el criterio de confección de un modelo. Se tomó la huella o pasos de la escalera como lugar geométrico del mallado, la autora de dicha tesis tomó dos variantes de mallado, en la Variante A se fijó el valor de subdivisión del mallado en el lado b y la Variante B en el lado a respectivamente, realizando su modelación en Staad Pro 2007, ver figura 4.

Y en base a esos puntos de partida se planteó diferentes densidades de mallas desde gruesos o poco densos hasta otros densos o fino.

Se les aplicaron las cargas a los modelos de los diferentes mallados y para establecer la calibración de tomó un nodo central (común a todos los mallados) del séptimo peldaño para la lectura del desplazamiento, aclarando que, aunque es el mismo nodo en el peldaño coincidente en todo los mallados, por supuesto que la numeración cambia según la cantidad de nodos en cada modelo.

Los resultados obtenidos fueron tabulados para evaluar el comportamiento de la variación de densidad del malladovariante A, lo mismo que para la variante B y llevados a gráficos en Excel, en ejes cartesianos donde el eje de las abscisas correspondió a las diferentes densidades de mallas y las ordenadas al valor del desplazamiento en el nodo común central del séptimo peldaño, ver figuras 5 y 6 respectivamente.

Se determinó la densidad de mallado desde la cual el valor del desplazamiento del nudo seleccionado toma una tendencia asintótica.

Ese resulta por lo tanto el mallado óptimo para realizar el modelo computacional, los mallados inferiores no resultan confiables por la dispersión de resultados del desplazamiento del nudo seleccionado y tomar mallados más densos resulta superflua la selección pues se obtendría el mismo resultado con mayor tiempo computacional.

Lo que resultó ser un ejercicio docente, llevó a la conclusión de que cumpliendo con las relaciones de lados de los elementos finitos de superficie o placa y analizando solamente dos o tres densidades de mallas solamente, se logra de manera rápida el mallado óptimo para la escalera en cuestión.

Una vez aplicadas las cargas se obtuvieron los resultados tensionales del modelo, los desplazamientos de los nodos y las reacciones de apoyo, como es usual en los modelos estructurales.

En la tesis, de los cuatro posibles mallados óptimos de la variante A se desecharon los dos primeros por no cumplir la relación de lados los elementos finitos planos o de placa, cuya relación debe estar entre 1:1 ó 1:4 como máximo y en la variante B sucedió de forma similar y al final de cada variante solo quedó dos propuestas de mallado óptimo, por lo que se escogió en cada caso la menor, aunque con una densidad de malla apropiada para la obtención del modelo final.

Nótese que, en todos los casos de ambas variantes, para una determinada densidad de mallado, los desplazamientos tienen una tendencia asintótica hacia un mismo valor de desplazamiento.

6. Estados tensionales.

Para ello hay que abordar antes algunos aspectos de las escaleras helicoidales, como son las secciones notables de las mismas que resultan de interés tanto en el análisis como en el diseño a la hora de distribuir el refuerzo.

a) Secciones notables.

Resulta favorable tener definidas las secciones notables desde el arranque hasta el arribo pues a la hora del diseño se pueden distribuir los aceros de refuerzo según los estados tensionales que aparecen en las secciones notables de la escalera.

Desde el arribo hasta el ½ del desarrollo de la escalera, la rama que se cuelga está a flexotracción, mientras que, desde el ½ de la sección hasta el arranque, la escalera está a flexocompresión, es por eso que en los procedimientos manuales de cálculo se corta el eje de la escalera en la sección a ½ de su desarrollo y se establecen las ecuaciones de equilibrio a partir de esa sección para las dos ramas.

También el tramo de escalera que va desde la sección a ¼ hasta la sección a ¾ del desarrollo, resulta muy peculiar ya que es la porción de escalera más excéntrica y por la que los valores de torsión más notales se detectan en las secciones a ¼ y a ¾ del desarrollo. Una vez que se tienen bien definidos estos parámetros del desarrollo de la escalera es entonces que se pueden interpretar lo que tensionalmente ocurre ante las cargas impuestas.

b) Resultados de la modelación.

Para el caso de las escaleras calculadas por métodos manuales, debido a que su ancho no resulta notable, ni su desarrollo tampoco, solamente basta en el diseño, calcular el acero que se requiera para las solicitaciones y las de flexión distribuirlas equitativamente en toda la sección, pero para escaleras de un ancho y desarrollo considerables, una vez obtenido el mallado óptimo se deben verificar las solicitaciones en las secciones notables, sobre todo las secciones ¼, ½ y ¾, ya que para anchos considerables se observan en muchos casos alabeos de las secciones, o sea que en una misma sección notable pueden aparecer tracciones en ambas caras de la sección en posiciones diferentes, generalmente hacia el borde interior por la cara superior de la sección y hacia el borde exterior, por la cara inferior, lo que en consecuencia se requiere un armado no uniforme. En cuanto a las torsiones, más evidentes en las secciones notables de arranque, ¼, ¾ y arribo, determinan un espaciado menor de los cercos en dichas zonas que en la sección notable de ½.

Considerando las solicitaciones de momentos referidos a los ejes generales del desarrollo de las escaleras, ha de tenerse en cuenta que el My trata de abrir la escalera desde su radio interior, por lo que el acero a calcular debe ser considerado con una sección cuyo peralto es el ancho de la escalera, el Mx es desarrollado en el sentido del desarrollo de la escalera y el Mz resulta el torsional en las secciones que se evalúan. De la misma manera resulta racional el armado por cortante y fuerza axial. Se advierte que se referencian en estos casos a los ejes generales, aunque se pudieran referir a ejes locales, según conveniencia del proyectista.

Se enfatiza que el diseño se basa en dar respuestas de armados en las secciones notables, se tiene básicamente el armado total del desarrollo de la escalera, las zonas intermedias son de transición que se puede evaluar como zonas de anclajes de aceros que siguen de una sección notable a otra, pues puede que no todos los aceros que empiezan en una zona no necesariamente continúen hacia otra, como ocurre en una losa o viga y sus respectivos cortes de barras.

7. Comentario sobre una escalera recientemente ejecutada.

El autor de este trabajo tuvo la oportunidad de ser el calculista de la escalera helicoidal del Hotel Gran Aston como parte del excelente y competente grupo de ingenieros civiles encargado del proyecto estructural por la empresa Eprob, ver figura 7.

Por Arquitectura, el diseño fue impuesto por las ideas conceptuales aprobadas en otras instancias y a la cual se tuvo que responder estructuralmente, no obstante, a juicio del proyectista de no ser adecuado desde el punto de vista tensional.

Los descansos intermedios se plantearon en las secciones notables de ¼ y ¾ del desarrollo de la escalera, donde evidentemente ocurren las mayores torsiones de elemento helicoidal, lo cual conllevó a una atención preferencial en el diseño del refuerzo por torsión donde la sección es más débil, ya que la rama central excéntrica tiene una carga adicional de escalones tributando hacia secciones de losas expuestas al torque.

Un diseño más racional hubiese sido un solo descanso central definiendo de manera racional una rama a flexocompresión y otra a flexo tracción, más congruentes con el modelo, tanto para métodos computacionales como manuales, con solo doce peldaños por ramas.

Es cierto que nada es imposible para lograr un objetivo ya que las herramientas actuales de softwares de análisis así lo permiten, pero a veces el costo en refuerzo y tiempo de diseño se elevan en el intento.

8. Resumen.

Siempre el arquitecto es el principal responsable de un proyecto y las ingenierías apoyan dicho proyecto para hacerlo posible, pero para nadie es un secreto que siempre debe existir compatibilización, sobre todo en las ideas y estructuración de dicho proyecto, otro punto de vista solo demostraría anarquía en el diseño.

Para el caso de las escaleras helicoidales, el arquitecto debe concientizar que éstas no solo son pares de curvas con escalones entre ellas para salvar un desnivel y a la vez dar una imagen decorativa, pues los radios interior y exterior parten de un punto que debe ser referenciado a los ejes principales de la planta arquitectónica, lo cual a veces no existe dicha referencia. Por otro lado, el comportamiento tensional de dichas escaleras a veces no es conocido por el arquitecto, es por ello que el autor de este trabajo realizó una conferencia referente al tema para arquitectos e ingenieros en la empresa de proyectos Eprob en la fecha anteriormente señalada.

En caso de que las escaleras sean modeladas en cualquier software, se deberá calibrar el mallado para obtener el óptimo y proceder al análisis y el diseño de forma adecuada.

Conocer lo que ocurre en las secciones notables del desarrollo de las escaleras helicoidales para proceder al diseño, simplifica el armado, anclajes y cortes de barras.

Se partió de un breve bosquejo histórico, estableciéndose la selección del modo de análisis y la calibración del modelo para un adecuado diseño.

Otro de los métodos manuales es el “Método simplificado para el análisis y diseño de una escalera helicoidal”, por Víctor R. Bergman. [Bergman, V. R. “Helicoidal Staircases of Reinforced Concrete”, ACI Journal, V.28, No 4, Oct. 1956 (Proceedings V.53), pp. 403-412.]. Este método analiza la escalera helicoidal como una viga curva en la proyección horizontal de la hélice, parte de considerar el caso simétrico cortando la hélice en el punto medio y así analizar cada mitad como un voladizo independiente, pero no tiene en cuenta las correcciones generadas por los cambios de ángulos de los extremos libres en cada voladizo.

Otro de los métodos manuales es el “Método simplificado para el análisis y diseño de una escalera helicoidal”, por Víctor R. Bergman. [Bergman, V. R. “Helicoidal Staircases of Reinforced Concrete”, ACI Journal, V.28, No 4, Oct. 1956 (Proceedings V.53), pp. 403-412.]. Este método analiza la escalera helicoidal como una viga

curva en la proyección horizontal de la hélice, parte de considerar el caso simétrico cortando la hélice en el punto medio y así analizar cada mitad como un voladizo independiente, pero no tiene en cuenta las correcciones generadas por los cambios de ángulos de los extremos libres en cada voladizo.

9. Bibliografía.

1. Martínez Rodríguez Lucas de la C. / Mallado óptimo y esfuerzos tensionales en escaleras helicoidales/ Conferencia impartida en Eprob/ 09/Marzo/2022.

2. Bergman, V. R. “Helicoidal Staircases of Reinforced Concrete”, ACI Journal, V.28, No 4, Oct. 1956 (Proceedings V.53), pp. 403-412.

3. Romo Proaño Marcelo / CAPÍTULO XV, ESCALERAS HELICOIDALES/Formulario del Ingeniero/ Escuela Politécnica del Ejército – Ecuador/2008.

4. Calderón Tamayo Leonardo/ “Determinación del refuerzo longitudinal de una escalera helicoidal según distintos enfoques de análisis” /La Habana, 2013.

5. Journal of the Structural Division (proceedings of the American Society of Civil Engineers) November 1957, Art. 1437.

6. Martínez Rodríguez Daimarys / “Definición del mallado óptimo en elementos finitos para la modelación de una escalera helicoidal” /La Habana 2013.

7. Moya Cardellá Alejandro/ “Análisis del comportamiento de una escalera helicoidal mediante el método de Elementos Finitos” / La Habana, junio 2012.