Introducción

Es bien conocido que el comportamiento esfuerzo deformación de materiales granulares está muy influenciado por el tamaño de la partícula. Resultados de ensayos controlados de laboratorio en suelos como el corte directo muestra una alta dependencia con el tamaño de la partícula (Bazant y Xiang, 1997; Bareither, 2008; Wu et al., 2008; Ceratto y Lutenegger, 2006; Orlando et al., 2009; Zhou et al., 2009; Palmeira y Milligan, 1989; Gao et al., 2000; Ramos y Prada, 2015; Techjman, 2007). Dicha dependencia surge cuando el tamaño de la partícula es comparable con el tamaño de la caja de corte. En este caso, la supocisión de continuo convencional o continuo de Boltzmann deja de ser válido y para su modelación es necesario recurrir a modelos alternativos que esten más acordes con la fenomenología del proceso. La modelación con elementos finitos con el continuo convencional o continuo de Boltzman presenta dos limitaciones para simular materiales granulares cuyo tamaño característico afecta los resultados: 1. No se puede determinar la rotación de las partículas dado que no es un grado de libertad habilitado y 2. El continuo convencional no tiene una longitud característica que permita simular procesos dependientes de la escala. Como una alternativa para sobrepasar las dos limitaciones mencionadas, surge el continuo de Cosserat. El continuo de Cosserat presenta una longitud intrinseca que logra generar solución del problema de valor de contorno dependiente de la escala y además su formulación se basa en que cada punto material tiene grados de libertad de traslación y de rotación. A pesar que se observan en los últimos años modelaciones con elementos finitos que usan medios continuos alternativos al convencional (Ramos y Prada, 2015; Riahi y Curran, 2009; Sharbati y Naghdabadi, 2006; Azadeh y Curran, 2008; Riahi y Curran, 2010; Neff et al., 2007), no se presenta la derivación de los insumos básicos para realizar un análisis de elementos finitos con el continuo de Cosserat. En este trabajo se presenta la formulación especializada de los elementos finitos para un problema de deformación plana para el continuo de Cosserat. Se presentan los grados de libertad de un elemento finito cuadrilatero y se deduce el operador diferencial para obtener el vector de deformación, su función de forma, la matriz de interpolación, la matriz de rigidez y el vector de fuerza nodal. Finalmente se implementa el continuo de cosserat con el elemento descrito en un programa de elementos finitos codificado por los autores. El programa se ejecuta para resolver el problema de esfuerzos y deformaciones en una capa homogenea de material con comportamiento lineal elástico. Se obtiene las diferencias entre los componentes de esfuerzos y deformaciones de corte entre el continuo convencional y el de Cosserat junto con la aparición de momentos y rotaciones a nivel de punto de Gauss. La deducción e implementación del continuo de Cosserat permite un análisis de elementos finitos alternativo al del continuo Convencional con la posibilidad de introducir una longitud característica en su formulación para tener en cuenta los efectos de escala que se observan en materiales granulares.

Metodología

El continuo de Cosserat

El continuo de Cosserat fue propuesto por los hermanos Cosserat (Cosserat y Cosserat, 1909), sin embargo, no fue hasta que Eringen (1968) realizó un tratamiento detallado con la comparación explícita con el continuo convencional.

En la parte superior de la Figura 1 se presenta esquemáticamente la cinemática del medio continuo convencional. En la parte inferior se presenta el medio continuo de Cosserat. En la parte izquierda está la configuración de para un tiempo t=0 y en la parte derecha, la configuración para un tiempo t>0. Se supondrá que el continuo está compuesto por esferas. Cada esfera tiene un punto negro que permite observar la posible rotación y desplazamiento de los elementos que están sometidos a un campo de fuerzas. Se observa que no existe diferencia para la configuración de referencia entre el continuo convencional y el de Cosserat(t=0). Cuando se aplica un campo de fuerzas (t>0), la cinemática del continuo convencional permite que los elementos presenten un movimiento diferencial, es decir, cada esfera puede cambiar de pocisión por medio de una traslación en el plano, pero no puede rotar sobre su centro de masa, en tanto que las esferas que representan el continuo de Cosserat presentan traslación y rotación.

Figura 1.
Representación esquemática de la cinemática del continuo convencional o de Boltzman y del continuo de Cosserat.
Elaboración propia.

El método de elementos finitos aplicados al continuo de Cosserat

En condiciones planas de deformación, el continuo de Cosserat tiene tres grados de libertad, dos traslacionales Ux , Uy y una rotación Wc. El vector de desplazamiento en notación de elementos finitos es (ecuación 1)

(1)

El vector de deformación (ecuación 2) para el continuo de Cosserat se define como (Eringen, 1968)

(2)

Donde cada componente del vector de deformación es (ecuación 3)

(3)

es la longitud característica y es el tamaño medio del arreglo granular

Los esfuerzos axiales, esfuerzos de corte y momentos en deformación plana en un continuo de Cosserat se representan en la Figura 2, junto con los grados de libertad.

Figura 2
Grados de libertad en condición plana de deformación y esfuerzos y momentos que se presentan en un continuo de Cosserat.
Elaboración propia.

El vector de deformación está relacionado con el vector de desplazamientos por medio del operador diferencial L. La ecuación 4 presenta además el número de elementos da cada componente.

(4)

Por lo tanto, el operador diferencial (ecuación 5) se puede obtener por inspección de la ecuación 3

(5)

Por otro lado, si se supone una relación elástica esfuerzo deformación (c=C2) lineal para un continuo tipo Cosserat tiene los siguientes componentes (ecuación 6)

(6)

En donde cada uno de los componentes de la matriz de rigidez estan en función de los grados de libertad para el problema de deformación plana. Para un elemento cuadrilatero lineal, el vector de desplazamiento del elemento está relacionado con los desplazamientos de los nodos por medio de la siguiente relación (ecuación 7):

(7)

La matriz de interpolación o matriz de conectividad (ecuación 8) está dada por (Belytschko et al., 2006)

(8)

Donde los componentes de la matriz están dados por (ecuación 9)

(9)

E y n son las coordenadas naturales del elemento cuadrilatero y estan relacionadas con las coordenadas físicas por medio de la relación E=x/a y n=y/b (Figura 3). 2a y 2b son los lados iniciales del elemento finito cuadrilatero

Figura 3
Elemento cuadrilatero en el sistema de coordenadas naturales y físicas.
Elaboración propia.

El vector de desplazamientos (ecuación 10) del elemento cuadrilatero lineal en un continuo de Cosserat de la ecuación 7 está dado por los grados de libertad representados graficamente en la Figura 4.

(10)

La Figura 4 presenta un esquema de los grados de libertad de un elemento cuadrilatero lineal en un continuo de Cosserat.

Figura 4.
Grados de libertad en un elemento lineal cuadrilatero en el continuo de Cosserat.
Elaboración propia.

La matriz de deformación B=LN, definida como la que relaciona el operador diferencial y la matriz de forma está dada por (ecuación 11)

(11) B=

La matriz de rigidez para el elemento cuadrilatero de Cosserat está definido por (ecuación 12)

(12)

Dado que y E=x/a y n=y/b, el diferencial de área de la ecuación 12 está dado por y la matriz de rigidez del elemento será (ecuación 13)

(13)

La matriz de rigidez C dada por la ecuación 6, que estan incluída en la definición de la matriz de rigidez del elemento para el continuo de Cosserat en elasticidad lineal se presenta en la ecuación 14.

(14)

Donde E es el módulo de Young, es la realción de poisson,G es el módulo de corte,G^ es el módulo de rotación (referencia) y d50 es la longitud característica. La matriz de rigidez del elemento (ecuación 12) tiene tamaño 12 x 12. Para el caso de elasticidad lineal de Cosserat, la evaluación de los términos de la matriz de rigidéz de los elementos se pueden obtener de forma analítica. Algunos de los términos son (ecuación 15):

(15)

(15)

El vector de fuerza nodal está dado por la integral en superficie de la matriz de conectividad transpuesta por el vector de fuerza (ecuación 16)

(16)

Especializando la ecuación 16 al continuo de Cosserat se tiene la ecuación 17:

(17)

En la ecuación 17, fsx y fxy son cargas uniformemente distribuídas y fw es un momento aplicado directamente en el nodo. Al desarrollar el primer elemento del vector fe (ecuación 17) se obtiene (ecuación 18)

(18)

Si se supone que la carga está aplicada en el lado 1-2 del elemento (Figura 5), entonces la ecuación 18 queda como se muestra en la ecuación 19

(19)

Como las coordenadas n=-1 en el lado 1-2 del elemento cuadrilatero, se obtiene que (ecuación 20)

Dependiendo del lado donde se encuentre cargado el elemento, el vector de fuerza nodal será diferente para el mismo nodo. Generalizando la ecuación 17 para la aplicación de la carga en cualquiera de los cuatro lados del elemento finito cuadrilatero se tiene (ecuación 21):

(20)

(21)

para elementos cargados en el lado L1-2, para elementos cargados en el lado L1-4, para elementos cargados en el lado L2-3 y para elementos cargados en el lado L3-4 (Figura 5)

Figura 5.
Elemento cuadrilatero de Cosserat cargado con momentos puntuales en los cuatro nodos y una carga uniformemente distribuída en el lado 3-4
Elaboración propia.

Para clarificar la aplicación del vector de fuerza nodal por elemento, se muestra la ecuación 22, que es la especialización para el elemento cuadrilatero de la Figura 5

(22)

Carga uniformemente distribuída en un continuo de cosserat con material elástico lineal

En la sección anterior se plantearon todos los elementos necesarios para realizar un análisis de elementos finitos. De lo anterior, es necesario ensamblar la matriz de rigidez general y el vector de carga general para el problema de valor de contorno y de esta manera obtener los desplazamientos – rotaciones en los nodos y las varibles derivadas: deformaciones y gradientes de rotaciones.

Para aplicación, se plantea el caso típico de un carga distribuída en una parte de la superficie asemejando el caso de un zapata cargada superficial. Las constantes elasticas para el modelo constitutivo seleccionadas son: = 1E6 Pa. = 0.35; = 3.7E5 Pa; =7.4E5 Pa; = 2E-4 . La malla de elementos finitos se realiza con elementos cuadrilateros con base y altura igual a 0.5 m ( = =0.5 ). Una vez solucionado el sistema general , se tienen los desplazamientos nodales. Al ser un modelo constitutivo elástico lineal, se puede obtener la inversa de la matriz de rigidéz sin necesidad de recurir a métodos incrementales, ya que los desplazamientos no dependen de la trayectoria (conservativos).

La malla de elementos finitos junto con la deformada en el continuo de Botzmann y el continuo de Cosserat se presentan en la Figura 6.

Figura 6
Malla de elementos finitos del problema de valor de contorno. Pocisión de los nodos en el estado deformado y no deformado. Izquierda: Continuo de Boltzmann. Derecha: Continuo de Cosserat.
Elaboración propia.

Los circulos de la Figura 6 presentan la pocisión de los nodos en su estado no deformado. Las cruces muestran la deformada de la malla una vez se aplica la carga superficial en el continuo de Cosserat y en continuo convencional. Se observa que no se generan diferencias entre los dos continuos (Cosserat y Boltzmann) en los valores de los grados de libertad convencionales, desplazamientos horizontales y verticales. Sin embargo, en la Figura 7 se presenta las rotaciones de Cosserat. La dirección del flecha indica proporcionalmente la cantidad que rotó cada nodo. Cuando no hay carga, la totalidad de las flechas apuntan hacia arriba. La parte inferior está restringida a la rotación de Cosserat, por lo que las flechas son completamente verticales. Como es de esperarse, debido a la simetría del problema de valor de contorno, las rotaciones de Cosserat en el eje de simetría son cero. La mayor concentración de rotaciones se encuentran inmediatamente debajo de la base cargada. Este grado de libertad no está presente en el continuo de Boltzmann y está indicando la rotación como cuerpo rígido que puede tener los elementos. La rotación, que es una característica importante de los materiales particulados, no puede ser simulado con la modelación con elementos finitos basado en el continuo convencional. Se ha visto desde el punto de vista experimental y numérico con modelación con elementos discretos que la resistencia a la rotación de las partículas es la responsable de la generación de las bandas de corte y de la localización de la deformación (Correa et al., 2015; Arévalo et al., 2014), razón por la que es ventajoso que un modelo tenga la posibilidad de tener en cuenta este grado de libertad adicional.

Figura 7
Rotaciones de Cosserat para el problema de valor de contorno.
Elaboración propia.

Con relación a los esfuerzos, en el continuo de Cosserat los esfuerzos de corte son diferentes a los esfuerzo de corte , por lo que el tensor de esfuerzos no es simétrico. Para garantizar la ecuación de balance de momentum de momentos, surgen los momentos aplicados en un punto material (Figura 2). La Figura 8a presenta la distribución de esfuerzos para el continuo convencional y los esfuerzos (Figura 8b) y (Figura 8c) para el continuo de Cosserat.

Figura 8
a.Distribución espacial de esfuerzos de corte en el continuo de Boltzmann. b. Distribución de esfuerzos en el continuo de Cosserat y c. Distribución de esfuerzos en continuo de Cosserat
Elaboración propia

Finalmente se presenta los momentos del tensor de esfuerzos y junto con y (Ecuación 6). Estos últimos términos no aparecen en el continuo convencional y representan la variación infinitesimal espacial de las rotaciones con las coordenadas, análogo a las deformaciones convencionales que indican la variación infinitesimal espacial de los desplazamientos con las coordenadas (Figura 10).

Figura 9.
Distribución espacial de a. Momentos del tensor de esfuerzos b. Momentos del tensor de esfuerzos c. Microrrotaciones y d. Microrrotaciones .
Elaboración propia.

Se observa que los momentos que se presentan en cada una de los nodos afectando el equilibrio del tensor de esfuerzos son complmentarios a los esfuerzos de corte desarrollados en el problema de valor de contorno. Las microrrotaciones surgen de forma análoga a los componentes convencionales del tensor de deformaciones. Estos no estan asociados a la gneración de cambio de volumen, sino que se magnifica la distorción que puede presentar el continuo representado por Cosserat. Por otro lado, es importante anotar que dentro del modelo constitutivo elástico lineal de Cosserat se encuentra inmerso una longitud característica. En este caso se define como el tamaño medio de la partícula . Este aspecto permite tener en cuenta que la respuesta esfuerzo deformación depende del tamaño de la partícula y por otro lado, el continuo tiene el grado de libertad de rotación por lo que estaría representando la posibilidad cinemática inherente a su naturaleza que tiene los materiales granulares. El efecto del tamaño de la muestra se ve reflejado que la muestra en más rígida con muestras más pequeñas que con muestras grandes para el mismo material (Ramos y Prada, 2015). Los resultados del continuo de Cosserat tiene la posibilidad de ser complementados con análisis de confiabilidad (Prada et al., 2011), de abarcar problemas de carácter dinámico (Vega-Posada et al., 2016) o de solucionar problemas de valor de contorno donde las distorciones pueden ser importantes (Ramos-Cañón, 2015; Lamus et al., 2015).

Financiamiento

El primer autor agradece a la Pontificia Universidad Javeriana por el apoyo económico por medio del proyecto No 5267 “Estudio de la inestabilidad en un flujo de material granular seco.”

Conclusiones

Es de esperarse que cuando un material particulado está cargado, los elementos que constituyen este material presenten rotaciones. Dicho aspecto no lo puede representar el continuo de Boltzmann, en tanto que se observa en la Figura 7 y 9 que los nodos del continuo de Cosserat presentan rotación del orden de 5 E-4 rad como resultados del proceso de carga.

Las rotaciones, los esfuerzos normales, los esfuerzos de corte y los momentos están relacionados con la longitud característica, que en este caso es el diámetro medio de la partícula. Se presentan diferencias de los esfuerzos de corte y del orden de 200 kPa para nodos específicos. El análisis elástico convencional no podría tener en cuenta una longitud característica del problema por lo que los resultados serían independientes de la escala del problema del valor de contorno.

El continuo de Cosserat genera componentes adicionales del tensor de deformación denominados microrotaciones. Los valores pueden ser mayores a -2E-4 1/m. Es importante mencionar que dichas microrotaciones (variación espacial de la rotación) son proporcionales a la longitud característica del problema.

Se presentan los ingredientes fundamentales para realizar un análisis de elementos finitos con el continuo de Cosserat. Las matrices de deformación, las funciones de forma, la matriz de rigidéz de un elemento tipo cuadrilatero y el vector de carga se desarrollan explícitamente para que tengan la posibilidad de ser integrados a las estructuras de programación de elementos finitos en el marco de modelación convencional. Lo anterior abre las perspectivas de análisis de problemas esfuerzo – deformación cuyo material sea de carácter granular. Las formulaciones presentadas en este trabajo pueden ser adoptadas a modelos constitutivos inelasticos para poder considerar el comportamiento no lineal de geomateriales por lo que es una manera alternativa de incluir aspectos inherentes al comportamiento del material granular que no es posible describirlos con base en el continuo convencional.

Referencias

Arévalo, G.; Ramos-Cañón, A.; Prada, L. (2014). Análisis de confiabilidad en un modelo de descarga de silos de almacenamiento mediante el método de elementos discretos (DEM). Obras y proyectos 15, pp 21-30.

Azadeh, R.; Curran, J. (2008). Application of Cosserat Continuum approach in the finite element shear strength reduction analysis of jointed rock slopes. The 12th international conference of international association for computer methods and advances in geomechanics. Goa, India.

Bareither, C.; Benson, C.; Edil, T. (2008). Reproducibility of Direct Shear Tests Conducted on Granular Backfill Materials. Geotechnical Testing Journal, 31(1), pp. 1 -11.

Bazant, Z.; Xiang, Y. (1997). Size Effect in Compression Fracture: Splitting Crack Band Propagation. Journal of Engineering Mechanics. ASCE 123 (2), 162 - 172.

Belytschko, T.; Liu, W.; Moran, B. (2006). Nonlinear finite elements for continua and structures. John Wiley & Sons, Ltd. England.

Cerato, A.; Lutenegger, A. J. (2006). Specimen Size and Scale Effects of Direct Shear Box Test of Sands. Geotechnical Testing Journal, 29(6).

Correa, C.; Maldonado, M.; Prada, L.; Ramos, A. (2015). Aplicabilidad de la energía cinética en el inicio de la inestabilidad de materiales granulares en un tambor rotador mediante la técnica PIV. Revista ingeniería y región, 13 (1).pp 9-18.

Cosserat, E.; Cosserat, F. (1909). Theorie des Corps Deformables. Hermann, Paris.

Eringen, A. (1968). Fracture, volume II – MathematicalFundamentals, Chapter Theory of Micropolar Elasticity. pp. 621-729. Academic Press. London.

Gao, J.; Haixue, Y.; Weibing, Z. (2000). Characteristic Study of Interface Between Soil and Concrete by Using Larger Size Single Shear Apparatus and Numerical Analysis. China Civil Engineering Journal, 33(4), pp. 42-46.

Lamus, F.; Plazas, M.; Luna, P. (2015). Resistencia de una conexión empernada solicitada a cizalladura doble paralela a la fibra para estructuras de guadua angustifolia. Tecnura 19 (43), pp 52-62.

Neff, P.; Chelminski, K.; Muller, W.; Wieners, C.; (2007) A numerical solution method for an infinitesimal elasto-plastic –Cosserat model. Mathematical models and methods in applied sciences. 17 (8), pp 1211-1239.

Orlando, A.; Hanes, D.; Shen, H. (2009). Scaling Effects in Direct Shear Test. Powders and Grains 2009 . Proccedings of the 6th International Conference on Micromechanics of Granular Media. AIP Conference Proceedings Col 1145 Issue 1.

Palmeira, E.; Milligan, G. (1989). Scale Effects in Direct Shear Test on Sand. Proceedings of the 12th InternationalConference on Soil Mechanics and Foundation Engineering. 1(1), pp. 739-742.

Prada, L.; Ramos, A.; Solaque, B.; Caicedo, B. (2011). Confiabilidad aplicada al diseño geotécnico de un muro de contención. Revista Obras y Proyectos, 9, pp 49-58. http://dx.doi.org/10.4067/S0718-28132011000100006

Ramos-Cañón, A. (2015). Influence of the void ratio and the confining on the static liquefaction in slopes in Changi sand. Tecnura, 19, (43), pp 63-73.

Ramos-Cañón, A.; Prada, L. (2015). Desempeño del continuo de Cosserat para tener en cuenta efectos de escala en un ensayo de corte directo. Revista EIA, 12 (23), pp 51-59.

Riahi, A.; Curran, J. (2009). Full finite element Cosserat formulation with application in layered structures. Applied mathematical modelling, 33 (8), pp 3450-3464

Riahi, A.; Curran, J. (2010). Comparison of the Cosserat Continuum approach with finite element interface models in a simulation of layered materials. Transactions A: Civil Engineering, 17 (1), pp. 39-52.

Sharbati, E.; Naghdabadi, R. (2006). Computational aspects of the Cosserat finite element analysis of localization phenomena. Computational material science, 38 (2), pp 303-315.

Tejchman, J. (2007). FE Analysis of contract shear zones in loose granular materials. Granular Matter, 9:pp49-67.

Vega-Posada, C.; Zapata-Medina, D.; Ramos-Cañón, A. (2016). Blast densification: A proposed methodology to quantify the amount of densification required to prevent liquefaction and flow in sandy soils. Revista Facultad de Ingeniería Universidad de Antioquia, 80 , pp 4-8

Wu, P.; Matsushima, K.; Tatsuoka F. (2008). Effects of Specimen Size and Some other Factors on the Strength and Deformation of Granular Soil in Direct Shear Tests. Geotechnical Testing Journal, 31 (1), pp. 1-20.

Zhou, Q.; Helenbrook, B.; Shen, H. (2009). A Computational Study of the Micromechanics Under Pre and Post-Failure in a 2-D Direct Shear Test, Chinese Science Bulletin. Disponible en Doi:10.1007/s11434-009-0516-5.

Notas