Modelo matemático para la planificación de servicios y programación de rutas en empresas prestadoras de servicios de control de plagas

Mathematical model for the services planning and scheduling of routes on companies that offer services of pest control

Modelo matemático para planejamento de serviços e programação de rotas no serviço de controle de empresas de pragas

En la actualidad, las compañías colombianas prestadoras del servicio de control de plagas (CP) generalmente desarrollan la planificación de necesidades y programación de rutas de servicios de manera manual. Esta tarea normalmente es realizada por un coordinador de servicios, quien adicionalmente se encarga de las ventas, el proceso de atención a los clientes, la asignación de operarios y la supervisión diaria de cobro y cartera (Daniella Noguera Botero y Francisco Javier Mateus, 2014). Al ser un cargo con una gran cantidad de tareas, la probabilidad de incumplimiento en alguna de ellas es alta. Por lo tanto, no es posible asegurar un buen funcionamiento en las actividades de programación de servicios y generación, secuenciación y asignación de rutas para la prestación de servicios. Cualquier decisión relacionada con la programación de servicios y planificación de rutas bajo este escenario será un experimento riesgoso que podría generar grandes pérdidas para cualquier compañía de este sector. Los efectos más significativos de una mala planificación de servicios y programación de rutas son:

• Reducción en los ingresos de las compañías. Este aspecto está ligado a la pérdida progresiva de clientes potenciales a lo largo de los años.

• Pérdida de clientes por servicios adicionales. En particular, cuando un cliente utiliza un servicio de CIP, existe una alta probabilidad de que use otros servicios que ofrecen estas compañías. Incumplimientos y retrasos en la prestación de servicios CP generarían una pérdida de clientes por servicios adicionales.

• Pérdida de reputación en el mercado. La cantidad de clientes perdidos y la frecuencia con la que se pierden, apoyado en el voz a voz, ocasiona que algunas compañías no sean recomendadas como empresas prestadoras de servicios de calidad.

Otro factor importante dentro de las consideraciones del problema, corresponde a que los clientes no cuentan con un contrato, compromiso o un documento que informe cuáles son sus derechos y deberes en el momento de la prestación del servicio y después del mismo (Noguera y Mateus, 2014). Este factor representa una afluencia general de quejas formales por parte de los clientes, donde se manifiesta el malestar por las negaciones de sus garantías, la inconformidad con el tiempo en la prestación del servicio y la incomodidad por la impuntualidad del servicio. En particular, las rutas programadas manualmente superan la capacidad productiva, por cuanto las horas del día no alcanzan para cumplir los objetivos trazados en la prestación de servicios, además que no se consideran los tiempos de espera en los clientes (Noguera y Mateus, 2014).

Este texto propone un modelo matemático de programación lineal entera mixta para la planeación de servicios y asignación de rutas para empresas prestadoras del servicio de control de plagas (CP). El objetivo fundamental de la problemática es asignar nodos (Clientes) a redes (Rutas), minimizando la suma de los costos de transporte y los costos asociados al tiempo ocioso de los operarios. Se han considerado restricciones de capacidad de servicios, eliminación de subtour y cumplimiento de demanda.

La metodología propuesta se ha probado con datos reales obtenidos de una de las empresas más importantes en Colombia, con operación en Cali, Bogotá y Medellín. La empresa ha diversificado sus servicios, brindando a sus clientes implementos de seguridad industrial, venta, revisión, mantenimiento y recarga de extintores. A principio del 2005, la compañía empieza a notar la pérdida de clientes por carencia de cobertura a nivel nacional. En este momento decide iniciar operación en otras ciudades principales del territorio nacional. A inicios del año 2010, entran nuevos competidores que tomaron gran parte del mercado, sentando como estrategia la reducción considerable de precios. En la actualidad la empresa sigue perdiendo clientes gradualmente y aunque logra sostenerse financieramente, se encuentra inmersa en un mercado en el cual se compite por precio, calidad y servicio al cliente.

En la literatura revisada, no existe información que considere las particularidades del problema de planificación de servicios y programación de rutas para empresas que prestan el servicio CP. Este problema se enmarca dentro del bien conocido problema de Ruteo de Vehículos (VRP). El problema VRP consiste en la determinación de un conjunto de rutas para una flota de vehículos que parten de un depósito, las cuales deben satisfacer la demanda de varios clientes dispersos geográficamente (Bernal et al., 2016). Cada ruta debe iniciar y finalizar en un centro de operación (Toth y Vigo, 2014). Aplicaciones de variantes del problema de ruteo de vehículos han sido propuestas por Escobar y Linfati, 2012; Chávez, Escobar y Granada, 2016; Linfati, Escobar y Gatica, 2014; y Escobar, Linfati y Adarme-Jaimes, 2015.

El problema del VRP puede ser representado por un problema de grafos: Sea un grafo completo indirecto, donde es el conjunto de vertices representado por los clientes con el depósito localizado en el vértice es el conjunto de archos, cada una con un costo de viaje no negativo _^cij. Cada cliente tiene una demanda no negativa _^dj, la cual debe ser satisfecha desde el depósito. Una flota homogénea con cada vehículo con capacidad Q, es disponible en el depósito v₀. La meta del VRP es determinar las rutas a ser desarrolladas para satisfacer la demanda de los clientes considerando el mínimo costo de viaje. Las siguientes restricciones son impuestas:

• Cada ruta debe comenzar y terminar en el depósito;

• Cada cliente es visitado exactamente por un vehículo;

• La suma de las demandas de los clientes pertenecientes a cada ruta no debe exceder la capacidad del vehículo Q;

• La duración total de cada ruta no debe exceder un valor D;

• El número de rutas desarrolladas no debe exceder el numero de vehículos;

• Cada cliente requiere un tiempo de servicio.

Varios algoritmos para el VRP han sido propuestos durante las ultimas décadas (Golden, et al., 2008a, Golden, et al., 2008b). Estos métodos consideran esquemas de optimización para solucionar pequeñas y medianas instancias, y varias heurísticas y algoritmos metaheurísticos para instancias grandes del VRP. Los algoritmos heurísticos y metaheurísticos reúnen todos los principios o conceptos que contribuyen a reducir el tiempo promedio de búsqueda de una solución (Ballou, 2004). Dichos métodos permiten obtener buenas soluciones aproximadas dentro de tiempos computacionales reducidos.

Una de las variantes del problema VRP que considera restricciones en el horario o tiempo de atención, se denomina en la literatura VRPTW. Este problema supone dos tipos de ventanas de tiempo (horario de atención): duras y suaves. Las restricciones de ventanas de tiempo duras, especifican para cada cliente que se debe cumplir estrictamente un horario en el que cual forzosamente debe ser visitado; mientras que las restricciones suaves especifican un tiempo flexible en el cual el cliente debería ser visitado (Li y Lim, 2003; Desrochers et al., 1992; Brá'ysy y Gendreau, 2005; Sosa 2005; y Badillo, 2011). Normalmente, las restricciones de ventanas de tiempo suaves son violadas por los algoritmos propuestos, permitiendo soluciones infactibles durante las búsquedas (Toth y Vigo, 2014). El VRPTW esta relacionado íntimamente con la problemática de las empresas que prestan el servicio de CP, debido a que la asignación y cumplimiento de ventanas de tiempo es una prioridad para la satisfacción del cliente.

El artículo se encuentra organizado de la siguiente manera: en la Sección 2 se presenta la metodología propuesta, basada en la formulación de un modelo matemático de programación entera mixta. Finalmente, resultados computacionales y conclusiones son presentados en las secciones 3 y 4, respectivamente.

Para el desarrollo del modelo propuesto, se han identificado los requerimientos y especificaciones con las que cuentan las empresas del sector de servicios de control integral de plagas (CP). Dentro de estos aspectos se han considerado la capacidad instalada, la demanda, el número de operarios y otros elementos que permiten la formulación del modelo. Las decisiones del modelo están relacionadas con la asignación de operarios y la generación de rutas para los servicios demandados por un conjunto de clientes. El objetivo del modelo es la minimización de los costos de transporte (suma de los costos asociados a los tiempos de traslado de los operarios y los tiempo de servicios) y los costos del tiempo ocioso de los operarios.

El modelo matemático considera la siguiente notación:

Conjuntos

• Vértices del grafo considerando los puntos de servicio y el centro de operaciones _^{v0}; indexados por i y j.

• Arcos del grafo .

• Operarios indexados por k.

Parámetros

• : Tiempo promedio de recorrer el arco (vi , vj) en minutos.

• : Costo de transporte por unidad de tiempo del arco (vi , vj) ($/min).

• Sik:Tiempo promedio del servicio i realizado por el operario k en minutos.

• COk: Costo del operario k por unidad de tiempo ($/min).

• Pk: Número máximo de servicios que pueden ser asignados al operario k.

• TPk: Tiempo máximo por turno de trabajo del operario k en minutos.

• n: Número de vértices del grafo.

Variables de decisión

es visitado por el operario k 0 de lo contrario

1 si el cliente i es asignado al operario k 0 de lo contrario

_^ui = Número de nodos visitados en cada ruta hasta el nodo i

_^Wik= Instante de tiempo donde inicia el servicio i ofrecido por el operario k

_^TOk:= Tiempo ocioso del operario k

Función objetivo

Restricciones

La función objetivo (1) suma los costos de la distancia recorrida por los operarios y los costos del tiempo ocioso. Notese que el tiempo ocioso depende del tiempo de recorrido y del tiempo de servicio empleado. El grupo de restricciones (2) garantiza que cada clientes sea visitado exactamente por un solo operario y que solamente tenga un predecesor en la secuencia de la ruta. Restricciones (3) y (4) aseguran la continuidad de cada ruta y adicionalmente que cada una de ellas comience y termine en el mismo depósito. Restricciones (5) permiten que cada cliente sea asignado al servicio del operario, solamente si existe una ruta que lo une. La eliminación de subtour en las rutas se realiza mediante el conjunto de restricciones (6). El número de servicios por operario es limitado por ecuaciones (7), mientras que el tiempo máximo de procesamiento esta determinado por (8). El tiempo ocioso de cada operario es igual a la diferencia entre la duración del turno y la sumatoria de los tiempos de servicio y los tiempos de traslado a su ruta asignada, según restricciones (9). El grupo de restricciones (10) limita a que un servicio sea realizado por un operario solamente si existe una ruta que contenga al cliente. Restricciones (11) aseguran que el servicio en el nodo no se puede iniciar, si el arco no ha sido asignado a la ruta del operario. El grupo de restricciones (12) limita el tiempo de inicio de un servicio, teniendo en cuenta el tiempo de traslado del operario y el tiempo de servicio del predecesor en la ruta. Finalmente, la naturaleza de las variables está determinada por ecuaciones (13).

Para validar el modelo matemático propuesto, se ha considerado el caso de una compañía colombiana que presta servicios de control de plagas (CIP) en las principales ciudades colombianas. En particular, se ha considerado la información de la ciudad de Cali para la ejecución de pruebas computacionales. Los resultados obtenidos se han comparado con la programación empírica que realiza la empresa.

2.2. Resultados obtenidos

El modelo matemático se ha programado en AMPL y se ha ejecutado utilizando el solver CPLEX®. En la Tabla 1 se resumen los resultados obtenidos para un día típico de la compañía caso de estudio.

Tabla 1
Resultados obtenidos del modelo matemático

Fuente: Elaboración propia

Como se puede observar, los resultados obtenidos por el modelo matemático dan referencia del orden de atención de los clientes (Rutas de atención). En este caso, el 0 indica el nodo del centro de operaciones, donde las rutas deben comenzar y terminar. Los resultados del modelo se han comparado (Tabla 2) con la programación empírica de la compañía, en función del tiempo total ocioso de las rutas y la función objetivo.

Tabla 2
Comparación de resultados del modelo con la programación empírica

Fuente: Elaboración propia

De acuerdo con la información de la Tabla 2, se puede observar claramente que hay una reducción del 81.32% en el tiempo ocioso y un 23.71% en la reducción de los costos totales por día. De esta manera se puede comprobar la importancia y eficiencia de la metodología propuesta para la solución de la problemática de planificación de servicios y programación de rutas en empresas pequeñas y medianas que prestan el servicio de control de plagas.

En el contexto colombiano, la mayoría de empresas pequeñas y medianas que se dedican a la prestación de servicios de control de plagas (CP) no cuentan con metodologías y herramientas cuantitativas que les ayuden a tomar decisiones acertadas en la planificación de sus procesos logísticos. Una decisión importante que esta directamente relacionada con la atención a los usuarios, es la de planificación de servicios y programación de rutas. Generalmente, estas decisiones son realizadas de forma empírica, lo cual no deja de ser un experimento riesgoso que afecta directamente los ingresos, el número de clientes y la reputación en el mercado.

Este trabajo propone un modelo de programación lineal entera mixta que considera la minimización de costos asociados a la distancia recorrida y el tiempo ocioso de los operarios que ejecutan las tareas. En comparación con los métodos tradicionales (programación empírica), el modelo matematico propuesto permite una reducción significativa en tiempo ocioso y en costos. Los resultados encontrados reflejan la importancia y eficiencia de la metodología propuesta como alternativa para el problema CP. Evidentemente, a medida que aumenta el número de clientes, las metodologías de solución aproximadas podrían ser una mejora alternativa para la problemática considerada.

Queda un interesante campo de investigación en el cual se pueden realizar extensiones en cuanto la consideración de otras funciones objetivo, otras restricciones adicionales e inclusión de variabilidad en los parámetros económicos. De igual manera se podrían considerar otras metodologías de solución para estos problemas del sector de CP. Finalmente, decisiones de selección de modo de transporte y tipos de vehículos, podrían ser incluidas dentro del modelo matemático.