Actualmente, uno de los problemas principales en la línea de investigación sobre la Formación de Profesores de Matemática es estudiar el conocimiento profesional del profesorado (ENGLISH, 2008), donde se analiza su naturaleza, las características que lo conforman, el grado de conocimiento matemático que tienen y han de tener los profesores para desarrollar su tarea docente. Aspectos reflejados en las distintas reuniones internacionales de Educación Matemática celebradas cada año y en las nuevas revistas de profesores que han ido surgiendo en el último tiempo.

Es evidente que existen inquietudes acerca del conocimiento y las habilidades del profesor y en cómo estas cuestiones repercuten en la tarea de enseñanza, correspondiendo a algunos de los fenómenos que se estudian en Educación Matemática (SCHOENFELD, 2010). El informe Teachers for Tomorrow's Schools (OCDE, 2001) que analiza los indicadores educativos desarrollados por la OCDE/UNESCO (World Education Indicators– WEI), sostiene que obtener información a un nivel micro es indispensable, ya que se requieren evidencias que provengan directamente del aula, como una vía para comprender los problemas reales de la educación (OCDE, 2001, p. 14). De este modo, contar con nuevas experiencias, identificadas a partir de la práctica de los propios profesores, puede llevar a comprender las distintas situaciones a las que se enfrentan en su labor docente (RIBEIRO, 2009).

La actuación del profesor está influenciada por el conocimiento profesional, que le permite diseñar, aplicar, actuar frente a las respuestas de los alumnos, improvisar unas acciones por otras, entre otros aspectos. Es de interés estudiar el conocimiento del profesor de matemáticas manifestado en la acción de enseñar, para apreciar su desarrollo profesional y la idiosincrasia de cada profesor. Es especialmente interesante, profundizar en el conocimiento especializado del profesorado para la enseñanza de las matemáticas (CARRILLO et al., 2013); es decir, aquel conocimiento que ponen en juego quienes tienen la intencionalidad de enseñar un contenido matemático.

En esta investigación nos focalizamos en describir el conocimiento especializado de un profesor de matemáticas experto de Educación Primaria, que enseña el tema de los números racionales a estudiantes de 11 a 12 años de edad. Exponemos una descripción detallada del conocimiento que manifiesta un profesor en 21 sesiones de clases, al enseñar el tema de los números racionales. La descripción del conocimiento revelado por el docente nos aproxima a la comprensión del conocimiento especializado del profesor en un entorno real.

El profesor se ha seleccionado empleando criterios que nos llevan a considerarlo un docente experto, quien puede aportar más información sobre qué conocimiento ha desarrollado a lo largo de su práctica profesional. En lo que sigue, detallamos los aspectos conceptuales en los que se enmarca la investigación, la metodología que nos guía a una descripción del conocimiento del profesor y los resultados a los que hemos llegado.

Una importante contribución al estudio del conocimiento profesional de los profesores aparece en los trabajos de Shulman (1986; 1987), en los que se busca resaltar la importancia del conocimiento del contenido para la enseñanza y diferenciarlo del conocimiento del contenido que tienen otros profesionales. Estos fundamentos han inspirado al grupo de investigación de la Universidad de Michigan liderado por Deborah Ball, quienes se centran en el estudio de la naturaleza del conocimiento matemático necesario para enseñar y en el desarrollo de medidas que hacen posible el análisis de relaciones entre el conocimiento matemático para la enseñanza, la calidad de su enseñanza y el rendimiento de los estudiantes (HILL et al., 2008). Ellos establecen una base práctica basada en lo que se denomina conocimiento matemático para la enseñanza (en inglés Mathematical Knowledge for Teaching – MKT¹), que se conceptualiza como “el conocimiento matemático que los profesores utilizan en el aula para producir aprendizaje y crecimiento en los alumnos” (HILL; BALL; SCHILLING, 2008, p.374).

Los estudios de este equipo de investigación han logrado caracterizar en detalle el conocimiento matemático para la enseñanza, basándose en componentes del conocimiento profesional propuesto por Shulman. Plantean un modelo de conocimiento en el que distinguen dos grandes dominios: el conocimiento del contenido matemático y el conocimiento didáctico del contenido.

El conocimiento del contenido matemático está compuesto por tres subdominios. El conocimiento común del contenido, que alude al “conocimiento matemático y habilidades que se emplean en situaciones que no son exclusivas de la enseñanza” (BALL;THAMES; PHELPS, 2008, p.399), incluyendo, entre otros, el conocimiento que el profesor pone en juego para resolver problemas matemáticos, operar correctamente etc. El conocimiento especializado del contenido, definido como el “conocimiento matemático y habilidad exclusiva para la enseñanza” (BALL;THAMES; PHELPS, 2008, p.400-401). El conocimiento del horizonte matemático es “el conocimiento que tiene el docente de cómo están relacionados los temas matemáticos incluidos en el currículo” (BALL; THAMES; PHELPS, 2008, p.403). Puede considerarse como el conocimiento sobre las relaciones entre los distintos temas matemáticos y la forma en que el aprendizaje de los temas evoluciona en los distintos niveles escolares.

El conocimiento didáctico del contenido queda compuesto por tres subdominios. El conocimiento del contenido y de los estudiantes, que implica el“conocimiento del contenido que se entrelaza con el conocimiento de cómo los estudiantes piensan, saben o aprenden un contenido particular” (HILL et al., 2008, p.375); es decir, es el conocimiento que se utiliza en tareas de enseñanza que conllevan atender a un contenido específico y en aspectos particulares de los alumnos. El conocimiento del contenido y la enseñanza queda definido como “el conocimiento que combina el conocimiento sobre la enseñanza con el matemático” (BALL; THAMES; PHELPS,2008, p.401); es decir, abarca saber construir procesos pertinentes para tratar de estimular el aprendizaje y corregir los errores y concepciones erróneas de los estudiantes. Finalmente, el conocimiento del currículo alude al conocimiento de los objetivos, contenidos, fines, orientaciones curriculares, materiales y recursos disponibles para la enseñanza, que permiten al profesor guiar su práctica y seleccionar las tareas adecuadas para el aprendizaje de sus estudiantes (BALL; THAMES; PHELPS, 2008).

Los trabajos desarrollados por Ball y colaboradores tienen gran repercusión en Educación Matemática por la extensión de sus estudios y la cualidad analítica de sus propuestas sobre el conocimiento del profesor (BALL, 2000; BALL; THAMES; PHELPS, 2008; HILL et al., 2008). Se trata de un modelo que surge de la observación de la práctica docente y de cuestionarios aplicados a los profesores, y puede emplearse como punto de referencia para la formación del profesor. No obstante, tal como los propios autores han reflejado en sus investigaciones, se requiere una mayor precisión en la naturaleza de cada dominio de conocimiento del profesor necesario para su práctica.

El grupo SIDM de la Universidad de Huelva, España, liderado por José Carrillo, ha precisado algunos aspectos del modelo MKT, considerando el carácter especializ do del modelo completo, no exclusivamente de uno de sus subdominios, lo que lleva a redefinir el modelo MKT dando origen al modelo de conocimiento especializado del profesor de matemáticas (Mathematics Teacher's Specialized Knowledge –MTSK²). El modelo MTSK se centra en la especificidad del conocimiento del profesor de matemáticas respecto de la enseñanza del contenido, además considera las creencias de los profesores relacionadas con las matemáticas y la enseñanza de las matemáticas. En este trabajo las creencias no serán objeto de estudio.

El modelo MTSK parte, al igual que el modelo MKT, de dos grandes dominios de conocimiento: (a) conocimiento del contenido matemático(MK) y (b) conocimiento didáctico del contenido(PCK), como se ilustra en la Figura 1.

El conocimiento del contenido matemático (MK)es considerado un elemento articulador del MTSK; asimismo, el conocimiento didáctico del contenido (PCK) se centra en las diferentes formas de profundizar en el contenido matemático cuando se tiene la intención de enseñanza y aprendizaje.

(a) El conocimiento del contenido matemático está compuesto por tres subdominios de conocimiento.

El conocimiento de los temas (Knowledge of Topics – KoT) incluye el conocimiento de los conceptos y procedimientos matemáticos con sus correspondientes fundamentos. Este subdominio se concreta en saber matemáticas; conocer los aspectos fenomenológicos asociados al tema; conocer los distintos significados del tema; conocer ejemplos específicos en aspectos concretos de un tema matemático, etc.

El conocimiento de la estructura de las matemáticas (Knowledge of the Structure of Mathematics– KSM) es el subdominio que encierra una visión de conjunto de la matemática. Considera la idea de conexión y complejidad del contenido matemático. Las conexiones abarcan las interconceptuales y temporales³ (MARTÍNEZ et al.,2011). Las conexiones interconceptuales comprenden vínculos entre ideas o conceptos matemáticos distintos, siendo los conectores las ideas matemáticas que vinculan representaciones de un concepto con el de otros. Las conexiones temporales enlazan los conocimientos previos y posteriores con el contenido de enseñanza, permitiendo, por ejemplo, estudiar otras propiedades de un concepto o procedimiento en situaciones nuevas o más complejas, como se define en el conocimiento del horizonte del modelo MKT.

La complejidad matemática obliga al docente a analizar los contenidos matemáticos, con el objeto de establecer aquellos que se conectan o son parte de la matemática, lo que implica una comprensión global de la estructura de la matemática vinculada a los conceptos (MONTES et al., 2013).

El conocimiento de la práctica matemática (Knowledge of the Practice of Mathematics– KPM) implica el modo de proceder en matemáticas. Incluye el conocimiento de las formas de conocer y crear o producir en matemáticas (conocimiento sintáctico sobre la lógica en matemáticas), el razonamiento y la prueba, saber definir y usar definiciones, elegir representaciones, argumentar, generalizar o explorar, aspectos de la comunicación matemática (CARRILLO et al, 2013).

Además, el modelo considera los aspectos de enseñanza y de aprendizaje de un contenido matemático, así como las consideraciones curriculares y el conocimiento didáctico derivado de la literatura de investigación, que configuran el dominio del conocimiento didáctico del contenido matemático(PCK).

(b) El PCK está compuesto por tres subdominios de conocimiento:

El conocimiento de la enseñanza de las matemáticas (Knowledge of Mathematics Teaching– KMT) es el conocimiento que permite al profesor elegir una determinada representación o un material para la enseñanza de un concepto o procedimiento, seleccionar ejemplos y tareas matemáticas para el proceso de instrucción; o bien, elegir recursos didácticos que lleven a adquirir, reforzar o ejercitar los contenidos. También, incluye el conocimiento de teorías de enseñanza, como por ejemplo, enseñar a través de la resolución de problemas.

El conocimiento de las características del aprendizaje de las matemáticas (Knowledge of Features of Mathematics Learning–KFLM) es aquel conocimiento que permite al profesor conocer el modo de pensar de los estudiantes sobre las tareas matemáticas y comprende todo lo relacionado con generar aprendizaje de las matemáticas. Por ejemplo, conocer las dificultades más frecuentes en el aprendizaje de un contenido o procedimiento matemático, así como saber detectarlas en las respuestas erróneas de los alumnos.

El conocimiento de los estándares de aprendizaje (Knowledge of Mathematics Learning Standards–KMLS) alude a conocer los contenidos propuestos en las normativas curriculares de los niveles de enseñanza (los contenidos, objetivos, orientaciones de enseñanza, los materiales o recursos en los niveles educativos). Puede extenderse a orientaciones que van más allá de las estipuladas en los documentos oficiales; es decir, aquellas recomendaciones de expertos en la materia o asociaciones profesionales o de investigadores (NCTM, PISA, OCDE, UNESCO), investigaciones en el área, entre otros.

Los seis subdominios que dan origen al modelo de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas sitúan la matemática como elemento común, centrando la atención en las diferentes formas de profundizar en el contenido matemático cuando es objeto de enseñanza y aprendizaje.

El modelo MTSK se muestra como una herramienta de investigación que permite identificar con precisión los dominios de conocimiento. El grupo de investigación está identificando indicadores precisos de conocimiento para cada subdominio. Ello nos ha permitido establecer un sistema de categorías con el que analizar las clases impartidas por el profesor, como presentamos en el siguiente apartado.

Para elaborar el sistema de categorías para analizar el conocimiento del profesor nos hemos valido de la realización de un análisis didáctico de la enseñanza y aprendizaje de los números racionales. El grupo de investigación FQM193. Didáctica de la Matemática. Pensamiento Numérico, del Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Granada, ha definido el análisis didáctico como “el procedimiento con el que es posible explorar, profundizar y trabajar con los diferentes y múltiples significados del contenido matemático escolar, para efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza y aprendizaje.” (GÓMEZ, 2007, p.18-19). Esta idea del análisis didáctico se fundamenta en la teoría curricular que se articula a partir de cuatro dimensiones, cultural/conceptual, cognitiva, ética o formativa y social, en distintos niveles de especificación (RICO; LUPIÁÑEZ; MOLINA, 2013;RICO, 1997a; RICO, 1997b), siendo un recurso que permite al profesor organizar la actividad de enseñanza en relación con un tema matemático específico. Así, este análisis tiene por objetivo facilitar la práctica del profesor de matemáticas, de una manera sistemática y profunda, considerando el máximo de dimensiones que influyen en su actuación, mediante cuatro tipos de análisis parciales: a) de contenido, b) cognitivo, c) de instrucción y d) de actuación (GÓMEZ, 2007).

Para profundizar en el conocimiento de la enseñanza de los números racionales hemos realizado el análisis didáctico de los números racionales para tener un referente con el cual comprender mejor los diversos elementos que intervienen en la enseñanza de este contenido (ROJAS; FLORES; CARRILLO, 2013; ROJAS; FLORES; RAMOS, 2013).

Luego de realizar el análisis didáctico del contenido matemático, en nuestro caso de los números racionales, examinamos los componentes que intervienen según la descripción de los subdominios de conocimiento del modelo MTSK. Lo que lleva a establecer categorías respecto de cada subdominio de conocimiento. En el Cuadro 1 indicamos las categorías establecidas para los tres subdominios que abordamos en este trabajo.

Para cada categoría establecemos indicadores de conocimientos que nos permiten identificar qué conocimiento se observa a partir de la actuación del profesor en el aula. Hemos definido 57 indicadores respecto de los seis subdominios del modelo de conocimiento MTSK y según las categorías que surgen del análisis didáctico. En el Cuadro 2 detallamos algunos indicadores de conocimiento para el subdominio KoT en relación con nuestro tema de estudio.

Los indicadores de conocimiento tuvieron una primera redacción que fue sometida a revisiones de expertos en el área de Didáctica de la Matemática, posteriormente se consideraron las revisiones y observaciones para elaborar la lista final de indicadores.

El objetivo que guía este estudio es describir el conocimiento manifestado por un profesor de Educación Primaria al enseñar el tema de los números racionales. Por lo cual hemos elegido el estudio de caso como diseño de investigación (STAKE, 2007).

Empleamos métodos cualitativos vinculados al paradigma interpretativo. Mediante la observación no participante indagamos, detallada y sistemáticamente, las características de un proceso de enseñanza, de modo de alcanzar el objetivo planteado (COHEN; MANION; MORRISON, 2011). A continuación, describimos la selección del caso y el proceso de recogida y análisis de datos.

En la enseñanza impartida por el profesor de este estudio prevalece una comunicación instructiva en las cuales se integran las contribuciones de los estudiantes (CARRILLO et al., 2008). El profesor es un gestor de las actividades, más que informador de los contenidos. Utiliza, explícitamente, preguntas que llevan a los estudiantes a desarrollar o reforzar ideas matemáticas, aclarar o mejorar aquellas interrogantes que surgen a lo largo del proceso, dejando espacio para que los alumnos reflexionen sobre aspectos del contenido, focalizándose en las ideas o señalamientos de sus estudiantes. Aunque estos aspectos se relacionan con el conocimiento pedagógico general, nos llevan a una primera aproximación de la dinámica de enseñanza generada por el profesor.

Detallamos el conocimiento especializado del profesor de matemáticas, respecto de tres subdominios de conocimiento del modelo MTSK, aquellos que a lo largo de las clases han aparecido con más significatividad: conocimiento de los temas matemáticos (KoT), conocimiento de las características del aprendizaje de las matemáticas (KMLS) y el conocimiento de la enseñanza de las matemáticas (KMT).

Una idea central que surge, del análisis de las sesiones de clase, es que el profesor enseña los números racionales como números fraccionarios. La enseñanza del contenido se desvincula de los aspectos matemáticos formales y se centra en dar sentido a la representación fraccionaria del número racional, según distintos significados. Explícitamente, el profesor trabaja la fracción como parte-todo y operador y, en alguna ocasión, alude al significado de fracción como cociente. Predomina el significado de parte-todo en la conceptualización de la fracción, especialmente en situaciones que llevan a pasar de la representación figural a la simbólica (expresar con una fracción las partes pintadas), complementando con tareas que envuelven trabajar distintas magnitudes (longitud, superficie), identificar la unidad, completar la unidad, entre otras.

El significado de fracción como parte-todo se conecta con el significado de fracción como operador; pese a las diferencias que existen entre ellas (ESCOLANO; GAIRÍN, 2005). Para ello relaciona la expresión simbólica en forma de fracción, con la representación gráfica (representación de la porción en la fracción como parte-todo), con las operaciones de multiplicar y dividir por los términos de la fracción, reconociendo la importancia multiplicativa del número racional. Esta acción se realiza en contextos continuos o discretos.

En el caso del fraccionamiento, propone al menos dos formas: %.

En las operaciones para multiplicar y dividir fracciones, el profesor se limita a la enseñanza de los procedimientos simbólicos mediante algoritmos convencionales, promueve la automatización de los algoritmos para efectuar las operaciones. Esto nos lleva a establecer que el profesor muestra un buen manejo de los procedimientos matemáticos enunciados para operar correctamente, plantear y resolver situaciones matemáticas, teniendo conocimiento del tema (KoT). Sin embargo, no muestra, ni busca una comprensión profunda del proceso o plantea situaciones en que tengan sentido las operaciones, antes de automatizar los procedimientos. Por ello podemos decir que no busca desarrollar el sentido numérico de las operaciones multiplicativas de los números racionales, ya que escasamente se establecen relaciones numéricas y apenas se aprecian en enunciados que muestren estas acciones; solo se refuerzan los procedimientos.

En las actividades que involucran indagación, exploración o ejercitación el profesor también permite espacios para la reflexión, buscando que los estudiantes modifiquen la comprensión matemática de lo abordado cuando resuelven incorrectamente. Dentro de estas estrategias de enseñanza el profesor refleja conocer los errores y las dificultades que los estudiantes presentan al trabajar el tema matemático, desarrolla explicaciones y enuncia tareas que refuerzan los conceptos o procedimientos matemáticos. Lo que lleva a inferir que el profesor tiene conocimiento de las características de aprendizaje de los números racionales, igualmente de las características de la enseñanza del tema matemático. Esto último, al emplear distintas estrategias de enseñanza (cambio de representaciones, trabajo con material concreto) para abordar los errores y dificultades asociados con el tema, de modo de permitir a los estudiantes adquirir o reforzar el contenido y, principalmente, desarrollar líneas argumentales que faciliten la adquisición de los conceptos y los procedimientos matemáticos estudiados. Los sistemas de representación verbal, simbólico y figural fueron los más usados en la enseñanza del tema, complementándose, en ocasiones, con materiales manipulativos; aspectos necesarios en los primeros años escolares donde se introduce el contenido de los números racionales (CASTRO; TORRALBO, 2008).

En resumen, el análisis de las clases observadas sobre la enseñanza de los números racionales ha puesto de relieve un predominio de situaciones en las que destaca el conocimiento didáctico del contenido. De este hecho no inferimos ausencias o lagunas en el dominio del conocimiento matemático (acordes con su formación como maestro generalista), ya que, por un lado, la observación del aula no es la única fuente de la que los investigadores podemos extraer indicios del conocimiento del profesor, y, por otro lado, la ausencia de muestra de conocimiento no significa su carencia. Independientemente de esta elucubración sobre la procedencia o explicación de los resultados en cuanto al predominio de un dominio sobre otro, asunto que es poco tangible, el análisis ha mostrado la importancia de profundizar en situaciones de aula para tratar de comprender mejor los elementos que integran el conocimiento del profesor. Esto nos lleva a seguir en la dirección de comprender el conocimiento especializado del profesor de matemáticas, donde los elementos teóricos empleados son un referente potente para comprender este conocimiento.