Na Educação Matemática existe uma multiplicidade de abordagens práticas, concebidas nos contextos escolares e, dentre elas, a modelagem matemática. Essa tendência tem ganhado destaque nas pesquisas no campo da Educação Matemática, sendo abordada a partir de diversos olhares teóricos e objetivos referentes às práticas em sala de aula (KAISER;SRIRAMAN, 2006).

Neste artigo, assumimos a concepção de Barbosa (2007a), segundo a qual a modelagem matemática, na Educação Matemática, é um ambiente de aprendizagem¹ em que os alunos são convidados a investigar, por meio da Matemática, situações com referência na realidade. Essa concepção destaca que os alunos são convidados a participarem, o que implica em adquirirem responsabilidade pelo processo de investigação. Ou seja, os alunos estão no centro da ação pedagógica no desenvolvimento de atividades dessa natureza.

A participação (ou a prática) dos alunos nesses ambientes de aprendizagem é o foco deste artigo. Nosso objetivo é compreender o envolvimento de dois alunos, integrantes de um grupo, em uma atividade de modelagem², a partir de suas relações com o saber matemático, entendidas no sentido da relação com o saber de Bernard Charlot.

Para tal, começamos, na próxima seção, com a apresentação de alguns trabalhos que versam sobre as práticas dos alunos em ambientes de modelagem e do referencial teórico de Charlot (2000) sobre a relação com o saber. Na seção seguinte, trazemos informações sobre os sujeitos e o contexto deste estudo e sobre a organização da atividade de modelagem. Na seção 4, discutimos a abordagem metodológica. Em seguida, apresentamos três episódios ocorridos durante o desenvolvimento da atividade, assim como uma análise desses episódios. Como consequência da análise, propomos a ideia de possibilidades de ação, como um constructo teórico para ajudar a compreender o envolvimento dos alunos em ambientes de aprendizagem de modelagem.

As discussões sobre modelagem na Educação Matemática têm, como um de seus focos de debate, as práticas dos alunos no desenvolvimento de atividades dessa natureza (ARAÚJO; BARBOSA, 2005; MAAß, 2005;OLIVEIRA; BARBOSA; SANTANA, 2009). Tais discussões levantam questionamentos sobre a relação entre as práticas dos alunos e as especificidades da modelagem.

Araújo e Barbosa (2005) discutem o caso de um grupo de alunas que decidiu inventar uma situação fictícia na qual os dados correspondiam, exatamente, a uma função previamente escolhida, percorrendo um caminho inverso ao que se propõe normalmente para a modelagem. Os autores denominaram tal ação de estratégia inversa. Maaß (2005), por sua vez, defende que as crenças que os estudantes têm em relação à Matemática interferem na maneira como eles se comportam em atividades de modelagem e na aquisição de competências em modelagem. Para Maaß (2005), essas crenças podem se caracterizar como barreiras na inserção da modelagem nas práticas dos alunos. Já Oliveira, Barbosa e Santana (2009) discutem a resistência de um grupo de alunos em desenvolver uma atividade de modelagem. Para eles, a atividade causou um estranhamento aos alunos, visto que se caracterizou como um ambiente atípico às aulas de Matemática.

A análise desses estudos (ARAÚJO; BARBOSA, 2005; MAAß, 2005; OLIVEIRA; BARBOSA; SANTANA, 2009) aponta entendimentos sobre o que pode acontecer quando os alunos desenvolvem atividades de modelagem. Eles nos apresentam a importância de se buscar entender como se dá o envolvimento dos alunos em atividades de modelagem. Esses três estudos destacam, de uma forma ou outra, que o envolvimento dos alunos em atividades de modelagem é marcado pelo que acontece em suas aulas de Matemática.

Skovsmose (2000) destaca que ambientes de aprendizagem em que os alunos são convidados a investigar, como é o caso da compreensão de modelagem aqui adotada, são ainda pouco frequentes nas salas de aula de Matemática. Por isso, entendemos que uma atividade de modelagem pode representar uma mudança de paradigma em relação ao que os alunos percebem como comum às aulas de Matemática. Acreditamos, então, que considerar a relação com o saber matemático (CHARLOT, 2000) é algo que merece nossa atenção, para compreendermos aspectos que envolvem as práticas dos alunos em atividades dessa natureza.

A relação com o saber é conceituada por Charlot (2000) a partir de uma proposição básica: é uma forma de relação do sujeito com o mundo. Esse conceito foi desenvolvido a partir do objetivo de construir uma sociologia do sujeito, dando destaque à importância de se compreender cada sujeito como um ser singular. Charlot (2000) entende que o sujeito está em relação com o meio, que é o mundo partilhado por esse sujeito com outros sujeitos. Dessa forma, o sujeito não está situado em um ambiente de maneira que este exerça uma ação sobre ele, mas sim, o sujeito está em relação com um meio.

A relação com o saber é compreendida como “a relação de um sujeito com o mundo, com ele mesmo e com os outros. É a relação com o mundo como conjunto de significados, mas também, como espaço de atividades, e se inscreve no tempo“ (CHARLOT, 2000, p. 78; grifos do autor).

Charlot (2000) explica que o conjunto de significados é a maneira como o sujeito percebe, imagina e pensa o mundo, por meio do que deseja e do que sente. Esse conjunto de significados é partilhado com outros sujeitos. Além disso, o mundo é, também, horizonte de atividades. E o aprender requer tempo e jamais acaba. Esse tempo se desenvolve em três dimensões: presente, passado e futuro. O aprender é entendido como “a apropriação do mundo, a construção de si mesmo e a inscrição em uma rede de relações com os outros” (p. 78). Ainda de acordo com esse autor, ”analisar a relação com o saber é estudar o sujeito confrontado à obrigação de aprender, em um mundo que ele partilha com outros” (p. 79).

Apoiadas em Charlot (2000), buscaremos analisar e gerar compreensões acerca do envolvimento de dois alunos em atividades de modelagem. Esses alunos, sujeitos deste estudo, são apresentados a seguir, assim como o contexto em que o estudo foi realizado.

Os estudantes, sujeitos deste estudo, eram alunos da disciplina Matemática A, componente da grade curricular do primeiro período do curso de Gestão Pública, em nível de graduação, da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). Tal curso é ofertado pela Faculdade de Filosofia e Ciências Humanas (FAFICH) e tem suas atividades desenvolvidas no turno da noite, no campus da Pampulha, na Cidade de Belo Horizonte.

A disciplina Matemática A, sob responsabilidade do Departamento de Matemática, do Instituto de Ciências Exatas (ICEx), da UFMG, tem uma ementa que visa abordar os conteúdos de funções, derivadas e integrais, com carga horária de 60 horas, cumprida em um semestre letivo. No período que corresponde a este estudo (segundo semestre de 2011), constava um total de 67 alunos matriculados em uma turma da referida disciplina que tinha, como docente responsável, a segunda autora deste artigo³.

O desenvolvimento de projetos de modelagem foi proposto pela professora como uma das atividades da disciplina. Dos 100 pontos distribuídos entre as avaliações da disciplina, 40 foram destinados para a avaliação dos projetos de modelagem. A organização de tais projetos, pela professora, pressupõe a seguinte compreensão:

A partir da escolha dos temas pelos próprios alunos, eles se organizaram em nove grupos, cada um composto por um número de alunos que variava entre cinco e oito. Para orientar os alunos no desenvolvimento dos projetos, a professora contou com a colaboração de sete tutores-orientadores⁴, entre eles a primeira autora deste artigo. A professora criou um espaço no Moodle⁵ para cada grupo, nos quais os tutores-orientadores e os alunos poderiam se comunicar. Cada grupo desenvolveu uma dinâmica própria com seu tutor-orientador e a professora não interferiu nessa dinâmica no decorrer do desenvolvimento dos projetos. Os projetos de modelagem foram avaliados em três momentos durante seu desenvolvimento:

A atuação dos tutores-orientadores estava prevista para depois do 1° momento. A primeira autora deste artigo atuou como tutora-orientadora de dois grupos: aqueles que aceitaram participar de sua pesquisa⁶ (CAMPOS, 2013), da qual este artigo apresenta parte dos resultados.

Em particular, neste artigo, nossas atenções estão voltadas para o envolvimento de um grupo de estudantes no desenvolvimento do projeto de modelagem, especificamente no decorrer da terceira reunião do grupo. Essa reunião aconteceu em um dia de sábado, no período da manhã. Nesse dia, a lanchonete do ICEx foi o espaço escolhido para o grupo se encontrar e dar andamento ao desenvolvimento do projeto.

Esse grupo era formado por sete estudantes, todos do primeiro período do curso de Gestão Pública. Na referida reunião, estavam presentes cinco dos sete integrantes do grupo, denominados⁷ como Carlos, Catarina, Eduardo, Emanuel e Rodrigo. Além deles, a tutora-orientadora do grupo estava presente na reunião.

O tema escolhido pelo grupo foi A PPP no sistema penitenciário em Minas Gerais. A sigla PPP significa parceria público-privadas, ou seja, de maneira geral, consiste em articulação entre o setor público, empresas e organizações não-governamentais, na qual parte das responsabilidades quanto à administração ou outros serviços, que antes eram assumidos pelo Estado, passam a ser de responsabilidade do setor privado. Em específico, ela está sendo implementada no sistema penitenciário no Brasil pela primeira vez, por iniciativa do governo do Estado de Minas Gerais, para a construção, e posterior administração, de um complexo penitenciário na cidade de Ribeirão das Neves, localizada na região metropolitana de Belo Horizonte. Essa proposta é apresentada pelo Governo de Minas Gerais como uma possibilidade de promover a ressocialização dos detentos. Diante dessa proposta, o grupo teve como objetivo investigar quais as vantagens da implementação da PPP no sistema penitenciário para o Estado de Minas Gerais.

Para o desenvolvimento do trabalho, o grupo definiu uma noção de lucro que correspondia à diferença entre o que o Estado gastaria, no seu atual sistema, para manter o mesmo serviço que será oferecido com a implementação da PPP, e o custo que terá para manter o detento nesse novo sistema, somado a isso o valor que economizará na construção do complexo penitenciário. Embora nessa PPP a construção não seja de responsabilidade do setor privado, o terreno é cedido pelo Estado e, ao fim do contrato, o imóvel pertencerá a ele.

Para manter um detento no sistema penitenciário, vários aspectos estão envolvidos, como alimentação, saúde, educação, higiene etc. O grupo, foco de nosso estudo, escolheu abordar a educação, pois, para eles, esse é um aspecto determinante no processo de ressocialização dos detentos. Sobre educação, o grupo esclareceu que se trata, em seu projeto, das modalidades de ensino da Educação Básica e de formação para o trabalho.

Em síntese, o grupo buscou calcular o lucro como o valor que o Estado não precisará dispor para a construção do complexo penitenciário e a diferença do valor entre o que o Estado gastaria para que todos os detentos tivessem acesso a alguma modalidade de ensino, assim como previsto na PPP, e o valor que o Estado gasta atualmente atendendo apenas uma pequena parcela dos detentos em tal demanda.

Os aspectos metodológicos referentes à pesquisa e os procedimentos adotados para seu desenvolvimento trarão melhores esclarecimentos sobre o desenvolvimento do projeto, principalmente sobre o papel da tutora-orientadora. Esses aspectos serão discutidos na próxima seção.

Em convergência com o nosso propósito de gerar compreensões sobre o envolvimento dos alunos em uma atividade de modelagem, este estudo é de natureza qualitativa (ALVES-MAZZOTI, 1998; BOGDAN; BIKLEN, 1994).

Os dados apresentados neste artigo são oriundos da filmagem de uma reunião dos cinco estudantes com a tutora-orientadora, assim como das entrevistas realizadas pela pesquisadora com cada aluno, individualmente.

Os procedimentos metodológicos adotados na pesquisa foram ganhando contornos a partir da relação entre os objetivos da pesquisa e as especificidades do contexto do estudo. Tais procedimentos também se adaptaram à organização que a professora da disciplina propôs para o desenvolvimento dos projetos de modelagem.

A orientação presencial da tutora-orientadora ao grupo de alunos propiciou formar o que Barbosa (2007b) denomina espaços de interação, que são os momentos de encontro entre o professor e os alunos e entre os alunos para discutirem a atividade. Na especificidade da atividade em discussão, a tutora-orientadora desempenhou o papel de professora, no entendimento de Barbosa (2007b). Dessa maneira, foram constituídos espaços de negociação (BARBOSA, 2004), que são momentos em que os alunos, juntamente com o professor, negociam sobre os objetivos e os procedimentos para o desenvolvimento da atividade.

Por essa razão, podemos dizer que o procedimento metodológico adotado pela pesquisadora, na reunião com o grupo, foi a observação não-estruturada e participante (ALVES-MAZZOTTI, 1998; VIANNA, 2003). Alves-Mazzotti (1998) explica que, nesse tipo de observação, “os comportamentos a serem observados não são predeterminados, eles são observados e relatados de forma como ocorrem, visando descrever e compreender o que está ocorrendo em uma dada situação” (p. 166). Sobre observação participante, Vianna (2003) afirma que o observador é parte integrante da situação, podendo até contribuir para que a situação aconteça.

Das observações desenvolvidas no decorrer da pesquisa de campo, emergiram alguns questionamentos que foram abordados nas entrevistas realizadas com os sujeitos. As entrevistas, do tipo semiestruturadas, podem ser caracterizadas a partir de “uma formulação flexível, [nas quais] as sequências e minúcias ficam por conta do discurso dos sujeitos e da dinâmica que acontece naturalmente” (ROSA; ARNOLDI, 2006, p. 31).

Com relação ao tratamento dos dados, dos vídeos, obtidos a partir da filmagem da reunião, foram selecionados três episódios, que serão apresentados na próxima seção. Primeiramente, analisaremos os episódios para entender o que aconteceu. Posteriormente, buscaremos, nas entrevistas, compreensões sobre o que aconteceu a partir das perspectivas dos sujeitos. Em seguida, proporcionaremos um diálogo entre episódios, entrevistas e o referencial teórico

Analisando os envolvimentos do Emanuel e do Carlos, compreendemos que, inicialmente, os dois percebiam que suas possibilidades de ação eram limitadas quando a Matemática entrava em cena. Isso devido às suas próprias percepções sobre suas relações com a Matemática, que foram constituídas não só na experiência que estava sendo vivenciada naquele momento, mas, também, a partir de suas experiências anteriores. Entendemos que essa percepção inicial refere-se à relação de cada um com eles mesmos (CHARLOT, 2000), quando confrontados com uma situação que demandava lidar com conhecimentos matemáticos. Utilizando os conceitos de Charlot (2000), podemos dizer que a atividade de modelagem se caracterizou como conjuntos de significados diferentes para cada um deles.

A análise do episódio 1 nos levou a compreender que, nessa reunião, o Emanuel iniciou sua participação como o escritor do relatório do grupo. Mas, a partir das falas (2), (6) e (8) da tutora-orientadora, ele passou a atuar como o responsável pelo processo de matematização. Cabe destacar que, naquele momento, dos componentes do grupo, somente o Emanuel e o Rodrigo estavam presentes. Além disso, as falas da tutora-orientadora podem ser entendidas como ações para interromper uma determinada ação, parte do projeto, que estava sendo desenvolvida pelo Emanuel, cujo tempo para realização poderia ser um momento futuro, visto que dependia de resultados que ainda não tinham sido obtidos.

O Emanuel mudou de função pela segunda vez quando surgiu a dúvida sobre o e-mail enviado pela Fernanda, no episódio 2. Então, ele se responsabilizou pela busca por esclarecimentos sobre o e-mail e abandonou a função anterior. A nova função do Emanuel foi legitimada pelo Carlos quando o solicitou, na fala (26), que buscasse as informações sobre o valor da construção de um presídio.

Nas falas (29) e (34), do Emanuel, ele buscou explicitar para o grupo que não tinha interesse em atuar no processo de matematização: na fala (29), ele explicitou que estava atuando, naquele momento, na pesquisa das informações sobre o valor da construção do presídio e, na fala (34), disse existir uma pessoa, entre eles, mais habilitada para tal função, que era a Catarina.

A mudança das funções exercidas pelo Emanuel tem a ver com a relação dele com os outros sujeitos (CHARLOT, 2000) envolvidos na atividade: autoridade exercida pela orientadora, a legitimidade que o Carlos deu à função de Emanuel de buscar informações na internet e como ele percebia as capacidades das outras pessoas se comparadas às dele, no caso específico da Catarina, quando referia ao conhecimento matemático.

O Carlos assumiu, no episódio 3, o processo de matematização das informações, a partir da ação de escrevê-las no quadro. Dessa forma, entendemos que, naquele momento, ele mudou de função em relação as suas responsabilidades na atividade, já que antes ele estava, apenas, participando oralmente das discussões.

As falas (27), (28), (31) e (36) da tutora-orientadora podem ter significado um convite para que o Carlos entrasse em cena no processo de matematização. Esse convite foi aceito por ele a partir de sua necessidade de criar possibilidades para entender o que estava sendo discutido. Nas falas (35) e (37), ele explicitou a importância de ver as informações escritas como determinantes para sua compreensão. Mas, foi somente depois dafala (36), na qual a tutora-orientadora esclareceu que não assumiria a responsabilidade pelo processo de matematização, que o Carlos assumiu a cena.

A relação com os outros (CHARLOT, 2000) também foi decisiva na mudança de funções vivida por Carlos: a postura do Emanuel, de não assumir a matematização, a autoridade da tutora-orientadora e, de forma não explícita, o incentivo dos demais colegas (por exemplo, Catarina, na fala (30), dá uma pista sobre como dar prosseguimento à matematização) funcionaram como impulsionadores dessa mudança.

A partir dessa análise, consideramos que, para o Emanuel, a referida atividade de modelagem se caracterizou como um conjunto de significados(CHARLOT, 2000)que não o favoreceu a participar confortavelmente da atividade quando a Matemática entrava em cena. No caso do Carlos, possibilitou que ele passasse a atuar no processo de matematização da situação em estudo.

Nosso objetivo, neste artigo, foi compreender o envolvimento de dois alunos, integrantes de um grupo, em uma atividade de modelagem matemática, a partir de suas relações com o saber matemático. Para tal, criamos o conceito de possibilidades de ação vislumbradas pelos alunos em atividades de modelagem e o discutimos, inicialmente, tendo por referência a relação com o saber (CHARLOT, 2000).

A natureza de atividades de modelagem possibilita que os alunos atuem em diferentes funções. Por um lado, isso parece representar uma divisão de tarefas, o que nem sempre é desejável em atividades desse tipo. Por outro, pode oferecer aos alunos um maior número de possibilidades de ação e, consequentemente, pode nos fornecer informações mais ricas sobre o envolvimento dos alunos em atividades que demandam conhecimentos matemáticos.

Diante disso, consideramos pertinente questionar o que significa dizer que os alunos se envolveram ou não em uma atividade de modelagem. A partir da análise que fizemos, o envolvimento dos alunos poderia ser compreendido não apenas como as ações efetivamente assumidas pelos alunos, mas também pelas possibilidades de ação vislumbradas por eles. As mudanças de funções assumidas pelos alunos possibilitaram que tais níveis de ações fossem percebidos.

Essas mudanças, por sua vez, sugerem que o envolvimento, em atividades de modelagem, pode modificar a relação que cada aluno estabelece com o saber matemático. Não estamos afirmando que serão sempre mudanças positivas. Portanto, entendemos que compreender as possibilidades de ação dos alunos é algo que pode contribuir para os professores interferirem positivamente no desenvolvimento de atividades dessa natureza. Além disso, embora não tenha sido o propósito neste artigo, pudemos perceber que alguns fatores são geradores de mudanças nas ações dos alunos, e que podem interferir, e até mesmo modificar, as possibilidades de ação dos alunos em atividades de modelagem. Neste caso em estudo, percebemos que a presença de diferentes mídias e a interferência da tutora-orientadora tiveram papéis importantes para tais mudanças.

O referencial da relação com o saber de Charlot (2000) nos possibilitou perceber que o envolvimento dos alunos em atividades de modelagem sofre influência de fatores que não necessariamente se relacionam às condições propostas para a realização e condução desse ambiente de aprendizagem (SKOVSMOSE, 2000), ao que efetivamente acontece nos ambientes de modelagem. Ou seja, faz-se necessário buscar compreender fatores que extrapolam as condições momentâneas, demanda-se compreender que outros fatores desencadeiam as ações dos sujeitos nesses ambientes de aprendizagem, tais como, aspectos de sua história de vida e os seus desejos futuros.

Como não é nosso propósito esgotar essa discussão neste artigo, agendamos, para um próximo momento, a discussão sobre fatores geradores de mudanças nas possibilidades de ação dos alunos em atividades de modelagem e quais são as possíveis implicações favorecidas por essas mudanças.