En los últimos años se ha prestado una atención cada vez mayor al modo en que las ideas, las concepciones, los conocimientos y los valores del docente influyen en las estrategias de enseñanza que utiliza en su actuación en clase. Tales concepciones, conocimientos y valores incluyen aspectos que van más allá del mero conocimiento de su disciplina. La investigación educativa ha aportado evidencias de que para enseñar contenidos no es suficiente dominarlos, sino que es necesario un conocimiento específico profesional. Este conocimiento viene siendo denominado de diferentes formas como Conocimiento Didáctico del Contenido (CDC) o Conocimiento Práctico Profesional (CPP) (PORLAN et al., 2010; BRYAN; ATWATER, 2002). Como indica SchÖn (1992), el CPP no es una mera aplicación de la teoría en la acción educativa, sino que como cualquier otro conocimiento profesional surge de la investigación y resolución de problemas relevantes del ámbito disciplinar o profesional.

Dar sentido al conocimiento pedagógico en relación con la docencia de un área de conocimiento requiere un proceso complejo de reflexión en la acción, que lleva a establecer nuevas concepciones epistemológicas y un conocimiento diferenciado del pedagógico y del disciplinar para una problemática (la enseñanza de la disciplina) también diferenciada (PORLAN et al., 2010). Similarmente, Ortíz, Batanero y Contreras (2012) indican que la caracterización del Pedagogical Content Knowledge (PCK) de Shulman (1986) habla, de una forma particular, del conocimiento del contenido que incorpora aspectos relacionados con la propia enseñanza de la disciplina, esto es, incluye, también, las formas de representar y formular el contenido para que sea comprensible a otros. Este PCK incluiría también las perspectivas de los profesores acerca de la relación con otras materias, la historia de las Matemáticas, el conocimiento del modo en que los estudiantes aprenden cierto contenido particular, sus dificultades, el currículo etc. Desde la propuesta inicial de Shulman se ha observado un creciente interés por el estudio del conocimiento del profesor, y, en las últimas décadas, ese interés ha tenido una incidencia considerable en el campo de la Educación Matemática (RIVAS; GODINO; CASTRO, 2012; DÍAZ et al., 2012). En este estudio se han seleccionado dos aspectos del PCK: la epistemología y la didáctica de las Matemáticas que subyacen en las propuestas de los profesores para la enseñanza de la Probabilidad. Seguidamente se justifica esta elección.

Para analizar una propuesta de enseñanza es necesario explicitar, en primer lugar, qué se entiende por comprender los objetos matemáticos en cuestión. Como indica Godino (1996), debe estudiarse la estructura de tales objetos y los modos posibles de comprenderlos, los aspectos o componentes que es posible y deseable que determinados estudiantes, en determinadas circunstancias, aprendan. Todos los aspectos que han sido objeto de nuestro estudio epistemológico tienen cabida en el marco teórico fenomenológico (FREUDENTHAL, 1983). Como indica Puig (1997), el análisis fenomenológico de una estructura matemática consiste en describir cuáles son los fenómenos para los que dicha estructura sirve como medio de organización y qué relación tiene con ellos. La descripción de esta relación ha de mostrar de qué manera la estructura matemática actúa sobre los fenómenos como medio de organización y de qué poder nos dota sobre ellos.

Si bien esta descripción ha de tomar las Matemáticas en su desarrollo y uso actuales, Freudenthal (1983) se refiere también a una importante óptica de análisis: la fenomenología histórica. Se trata de la toma en consideración de los fenómenos para cuya organización históricamente se creó la estructura matemática y cómo esta organización se extendió a otros fenómenos. Jankvist (2009) establece diversas perspectivas acerca de los posibles beneficios de incrementar la investigación empírica en el uso de la historia en educación Matemática, donde la historia no solamente se considere una herramienta, sino que también sea un objetivo de aprendizaje. En el mismo sentido, Barona (1994) señala que la Historia de la Ciencia posee en sí una función didáctica acerca de la naturaleza del conocimiento científico que la convierte en una disciplina capaz de ejercer una función crítica y antidogmática. También Batanero, Godino y Roa (2004) y Fernandes, Fernandes de Carvalho y Correira (2011) consideran en el conocimiento profesional de los docentes una componente epistémica, que recoge no solo el significado matemático, sino también su desarrollo histórico y las controversias que tuvieron lugar, que pueden ayudar a comprender mejor las dificultades de los alumnos.

Este análisis fenomenológico nos permitió caracterizar qué concepción de la Probabilidad debe enseñarse para aprovechar su potencial en la práctica de la Ingeniería y qué aspectos clave debíamos examinar en las propuestas de los profesores. De este modo, fueron tres los aspectos clave identificados.

El primer aspecto clave consiste en que la Teoría de la Probabilidad debe presentarse como un marco teórico para la construcción de modelos matemáticos útiles para intervenir con éxito en la realidad (MARTÍNEZ; REQUENA, 1986;MEYER, 1992; GNEDENKO, 1995). Los modelos deterministas se muestran insuficientes para proporcionar respuestas en muchas situaciones de interés práctico, y el cambio de estrategia que se adopta consiste en estudiar comportamientos medios en vez de comportamientos individuales. Se trata de un cambio significativo en lo que se entiende por solución, puesto que, ahora, se acepta que una parte de la población no se ajuste a las inferencias que se formulen.

En segundo lugar, la Teoría de la Probabilidad constituye una evidencia más de la naturaleza problemática del proceso de construcción del conocimiento científico y matemático. Y, en tercer lugar, la consideración histórica revela los saltos cualitativos y reformulaciones que tuvieron lugar en el desarrollo de la teoría (BARRAGUÉS; GUISASOLA, 2009). Tanto la naturaleza problemática como la existencia de saltos cualitativos se hacen muy visibles en un análisis histórico de la construcción de la Teoría de la Probabilidad (DAVID, 1962; BOROVCNIK; BENTZ; KAPADIA, 1991;DÍAZ; BATANERO; CAÑIZARES, 1996; BARRAGUÉS; GUISASOLA, 2009). Por ejemplo:

-La concepción clásica o Laplaciana de la Probabilidad, que ya desde sus inicios se encontró restrictiva en su ámbito de uso y circular en su definición, puesto que exige que todos los posibles resultados tengan idéntica verosimilitud, lo cual equivale a la equiprobabilidad de todos los sucesos elementales.

-La controvertida interpretación subjetivista, según el cual la Probabilidad es un grado de creencia personal acerca de un fenómeno impredecible, y, por tanto, es dependiente del sujeto.

-La difícil reconciliación entre la búsqueda de una conceptualización científica del azar y la visión profundamente determinista del mundo, predominante en la segunda mitad del siglo XVII.

Según lo expuesto en este apartado, el análisis epistemológico realizado selecciona como aspectos importantes los que se muestran en el Cuadro 1, y que responden a la primera pregunta que planteamos en esta investigación (apartado 1), en cuanto a la identificación de aspectos históricos y epistemológicos a tomar en consideración para el diseño de unidades didácticas.

Se ha estudiado, también, en qué medida las propuestas de los profesores tomaban en consideración los resultados de la investigación en didáctica de la Probabilidad puesto que, como proponen Hill, Ball y Schilling (2008), el PCK incluye el conocimiento de cómo los estudiantes piensan, saben o aprenden este contenido particular, el conocimiento de sus errores y dificultades, sus concepciones erróneas, las estrategias que utilizan y cómo evoluciona su razonamiento matemático. Naturalmente, el PCK también recoge la capacidad para construir procesos adecuados para ayudar a los estudiantes en sus dificultades y promover el aprendizaje comprensivo.

La investigación acerca de la comprensión, por parte de los estudiantes, de los conceptos relativos al azar y la Probabilidad es muy numerosa, y evidencia el uso de diversas estrategias no probabilísticas por parte de las personas cuando deben emitir algún juicio acerca de situaciones no deterministas. Muchas de esas estrategias son adquiridas a través de las experiencias de la vida cotidiana y proporcionan argumentos para tomar decisiones y enjuiciar, de modo que cuentan con un valor práctico para el individuo (SÁENZ, 1998; SERRANO et al., 1998; GUISASOLA; BARRAGUÉS, 2002; DÍAZ et al., 2012). Las investigaciones demuestran que los juicios probabilísticos de muchas personas están dirigidos por el uso sistemático de unos pocos patrones de inferencia o heurísticas que han sido descritos mediante un marco teórico conocido como Paradigma de heurísticos y sesgos (KAHNEMAN; SLOVIC; TVERSKY, 1982). Este paradigma describe, por ejemplo, la llamada heurística de accesibilidad, que conduce a estimar la probabilidad de un suceso por la facilidad con que pueden recordarse o generarse ejemplos en los que tal suceso ocurre; y también describe el denominado sesgo de equiprobabilidad, creencia de que todos los sucesos asociados a un experimento aleatorio son equiprobables. El problema es que tales estrategias informales alternativas pueden resultar para los estudiantes más plausibles que las estrategias probabilísticas, y, en consecuencia, pueden sesgar su utilización y dificultar su aprendizaje.

Como indican Batanero, Burrill y Reading (2011), los profesores encuentran en los estudiantes mayores dificultades en Estadística que en otros tópicos matemáticos, y no se consideran suficientemente preparados para ayudarles en sus dificultades. Estas razones muestran que uno de los criterios más importantes que se debe utilizar para evaluar la competencia probabilística, alcanzada trasla enseñanza, consiste en investigar la persistencia de este tipo de razonamientos (PEARD, 2008; KAPADIA, 2008).

Según lo expuesto en este apartado, se han seleccionado como aspectos importantes los que se muestran en el Cuadro 2, y que terminan de responder a la primera pregunta que planteamos en esta investigación (apartado 1), en cuanto a la identificación de aspectos didácticos que deben tomarse en consideración para el diseño de unidades didácticas.

Una transformación significativa se produce cuando el conocimiento matemático (lo que se tiene que enseñar) llega al aula (conocimiento enseñado), un proceso que Chevallard (1991) denominó la transposición didáctica. En esta transformación, otros factores diferentes al conocimiento matemático, tales como objetivos educativos, concepciones/creencias/experiencia de los profesores y las ideas de los estudiantes, son agentes que ejercen influencia.

Para investigar la transposición didáctica, en el caso de la enseñanza de la probabilidad a nivel universitario, se han analizado las secuencias de enseñanza de diez profesores mediante un cuestionario escrito y una entrevista semiestructurada. Como indican Cohen, Manion y Morrison (2007), si bien el cuestionario escrito es un instrumento ampliamente usado para la recogida de datos, debe tenerse en cuenta el limitado alcance de los datos recogidos y la posible falta de flexibilidad en las respuestas. Por ello, hemos decidido complementar el cuestionario escrito con una entrevista personal, a lo largo de la cual el profesor tiene la oportunidad de desarrollar con mayor detalle sus respuestas al cuestionario previo escrito.

El cuestionario escrito consta de dos partes. En la primera parte el profesor debe describir los términos generales del modo en que justifica ante los estudiantes la secuenciación de contenidos que utiliza (aspectos epistemológicos, Cuadro 1). En la segunda parte se pide al profesor que explique el modo en que toma en consideración las dificultades de aprendizaje, las formas de razonamiento y las ideas previas de los estudiantes, la forma en que introduce los conceptos, así como la forma de evaluación que realiza (aspectos didácticos, Cuadro 2).

El Cuadro 3 recoge el guión de la posterior entrevista grabada, utilizada para profundizar en las respuestas que los profesores dieron al cuestionario escrito en los aspectos epistemológicos A1-A3 (parte I) y en los didácticos A4 y A5 (parte II). La parte I constituye la respuesta a la segunda pregunta que planteamos en esta investigación (apartado 1), en cuanto a la identificación de los elementos de la epistemología de la Probabilidad que el profesorado utiliza al diseñar una secuencia de enseñanza. La parte II responde a la tercera pregunta, que trata del conocimiento didáctico del profesorado.

Acerca de la utilidad de las entrevistas, Cohen, Manion y Morrison (2007) sostienen que la entrevista es una potente implementación para los investigadores, mediante la cual se pueden obtener respuestas explícitas y detalladas. El uso de entrevistas marca un distanciamiento respecto a la simple recogida de datos, hacia el conocimiento generado entre humanos a través de una conversación. Como indica Smith (1990), a medida que las entrevistas van progresando, los datos se van adecuando a un patrón, emerge una tendencia, en este caso acerca de lo que realmente están enseñando a sus alumnos los profesores investigados en sus clases de Probabilidad. Este estudio trata de describir dicha tendencia.

Para la planificación de la entrevista y su posterior análisis, se ha prestado atención a las fuentes más usuales de sesgo en este tipo de prueba, como pueden ser las actitudes, opiniones, expectativas y nociones preconcebidas del entrevistador (COHEN; MANION; MORRISON, 2007).

El diseño experimental que se ha descrito se aplicó para analizar las programaciones, estrategias y formas de evaluación utilizadas por un grupo de diez experimentados profesores (10-20 años de experiencia) de Escuelas de Ingeniería de Universidad del País Vasco (España). Estos profesores impartían la asignatura de Métodos Estadísticos para la Ingeniería en primer curso (alumnos de 18-19 años de edad), asignatura de 6 créditos ECTS (lo que equivale a 60 horas presenciales más 90 horas no presenciales) que incluye en su programa el cálculo de probabilidades, Estadística descriptiva, variables aleatorias, contraste de hipótesis y análisis de la regresión. La elección de estos diez profesores fue deliberadamente arbitraria, sin definir criterios de elección, excepto que impartieran la asignatura de Métodos Estadísticos. Como indican Cohen, Manion y Morrison (2007), esta forma de elegir la muestra es frecuente y perfectamente válida en un tipo de investigaciones que no pretenden ser a gran escala ni intentan generalizar los resultados obtenidos, sino obtener conocimiento de una o dos escuelas, dos o tres grupos de estudiantes o, como en este caso, un grupo particular de profesores. Nuestro objetivo no es derivar conclusiones generales sobre el camino usual en el que el tema es enseñado en la universidad, sino entender en profundidad cómo se tratan aspectos epistemológicos y didácticos importantes a la hora de hacer la transposición didáctica al aula.

Cada uno de los profesores de la muestra completó previamente un cuestionario escrito donde describió el modo en que justifica ante los estudiantes la secuenciación de contenidos que utiliza (aspectos epistemológicos), y el modo en que toma en consideración las dificultades de aprendizaje, las formas de razonamiento y las ideas previas de los estudiantes, la forma en que introduce los conceptos, así como la forma de evaluación que realiza (aspectos didácticos). Posteriormente, cada profesor fue entrevistado personalmente por los investigadores, según el guión del Cuadro 3, para ampliar o matizar sus respuestas. Seguidamente se muestran los resultados obtenidos, que se ilustran con ejemplos significativos (los nombres de los profesores son figurados).

A la hora de justificar la secuenciación de contenidos que proponen, todos los profesores hacen referencia a un orden lógico en el que cada concepto superior debe ir precedido de los conceptos básicos necesarios. Desde este punto de vista, las secuenciaciones aspiran a contar con rigor matemático. Pero no hemos encontrado ninguna referencia a una justificación problemática a la hora de construir las secuenciaciones propuestas, esto es, los conceptos no se van introduciendo según aparecen problemas que los justifican. Se pierde de vista, así, que todo conocimiento es la respuesta a un problema, como afirmara Bachelard (1938), y ello hace difícil captar la racionalidad del proceso matemático(aspectos epistemológicos A1 y A2, Cuadro 1).

Seis de los diez profesores investigados explican, en una introducción, qué problemática se va a tratar, empleando problemas sencillos con monedas y dados. Solo uno de ellos hace una referencia clara, explícita, a la insuficiencia de los modelos deterministas para describir fenómenos reales, a la ingenuidad que supone el tratar de explicar los fenómenos complejos mediante relaciones causa-efecto y al cambio de estrategia que supone el uso de modelos probabilísticos. Los restantes cinco profesores explican los términos aleatorio/determinista, pero en las explicaciones que ofrecen a sus alumnos aparece una fuente de dificultades: el intento de clasificar los fenómenos reales como deterministas oaleatorios. Uno de los profesores (Unai, profesor titular de Escuela Universitaria) lo explicaba del siguiente modo:

Este tipo se explicación muestra a los alumnos que los fenómenos reales son intrínsecamente aleatorios o intrínsecamente deterministas, cuando, en realidad, el carácter determinista o aleatorio se refiere al modelo matemático utilizado, y surge del conjunto de hipótesis bajo las cuales se estudia el fenómeno real. Por ejemplo, Martínez y Requena (1986) señalan lo crucial de distinguir entre fenómeno real y modelo, y hablan de la amplísimafamilia de modelos que pueden ser empleados, y entre ellos los modelos deterministas (modelos con ecuaciones analíticas) y los modelos probabilísticos (modelos con ecuaciones estocásticas). Esta cuestión podría reducirse a una mera cuestión terminológica, si se cuida de señalar suficientemente en clase que un fenómeno aleatorio es un fenómeno real que habitualmente se estudia empleando modelos probabilísticos, y que un fenómeno determinista es un fenómeno real que se estudia empleando relaciones deterministas.

Todos los profesores introducen las concepciones frecuencial, Laplaciana y axiomática. Solo un profesor introduce, además, la interpretación subjetiva (aspecto epistemológico A2). Se trata del único profesor en el que hemos encontrado una referencia suficiente a las problemáticas de las diferentes interpretaciones. El resto no analiza la problemática de cada conceptualización de la Probabilidad ni justifica la axiomática de un modo claro para los alumnos (aspectos epistemológicos A1 y A2). Como ejemplo Carla (profesora titular de Universidad), solo alude para justificar la axiomática, al problema matemático de contar con un punto a partir del cual derivar la teoría y a tratar de que el alumno piense en términos abstractos. Ninguna referencia aparece en su explicación, por ejemplo, hacia la necesidad de construir modelos probabilísticos generales con los que estudiar una amplia variedad de situaciones, o al porqué de la elección de esos axiomas determinados (aspecto epistemológico A2).

Ninguno de los profesores emplea, de forma sistemática, situaciones problemáticas estructurantes de las cuales surja la necesidad del nuevo concepto (aspecto epistemológico A1). Ahora bien, todos ellos aseguran emplear ejemplos para ilustrar cada nuevo concepto que va a ser definido, o bien muestran un ejemplo inmediatamente después de presentar formalmente el concepto. Como ejemplo, Gorka (Profesor titular de Escuela Universitaria), lo sostiene del siguiente modo:

Los datos muestran que los profesores construyen una secuenciación para el bloque de Probabilidad, atendiendo como criterio general a una estructura lógica matemáticamente rigurosa; seguidamente colocan alrededor de cada concepto importante alguna situación ilustrativa simple. De este modo, el profesor procura justificaciones posteriores para mostrar que los conceptos no surgen de forma arbitraria. Ahora bien, en este esquema la situación problemática no es el motor que impulsa el proceso de construcción de los conceptos (aspecto epistemológico A1). El alumno no percibe situaciones que no pueden resolverse mediante el marco teórico que se conoce hasta el momento, no hay un proceso de acercamiento intuitivo y refinamiento del concepto que desemboque en su definición formal, ni se hace ver por qué dicho concepto es importante (aspectos epistemológicos A1 y A2).

El término procedimiento (cuestión I.5, Cuadro 3) fue interpretado de forma generalizada por los profesores como conjunto de reglas de aplicación mecánica (reglas de combinatoria, de la probabilidad total, de la probabilidad condicionada etc.). Sin embargo, existen contenidos procedimentales de mayor demanda cognitiva, como el análisis cualitativo de la situación, el establecimiento de hipótesis, la discusión/interpretación del valor probabilístico obtenido y la búsqueda de generalizaciones (aspecto epistemológico A3). No recogimos ninguna referencia hacia la participación de los alumnos en la construcción de los procedimientos. El objetivo que los profesores establecen es que los alumnos simplemente reproduzcan procedimientos ya elaborados para una variedad de situaciones prototípicas o enunciados-tipo (aspecto epistemológico A2). Los profesores se refirieron a tareas como la lectura atenta, la identificación de sucesos, la expresión formal etc. Por ejemplo, Fátima (profesora titular de Universidad) lo explica como sigue:

Todos los profesores reconocen la importancia del concepto de Probabilidad en las construcciones teóricas siguientes y señalan la importancia de que se comprenda su significado. Pero se le presta escasa atención y solo se evalúa el aprendizaje de la operativa de cálculo de probabilidades. Los estudiantes no se enfrentan a auténticas situaciones problemáticas (aspectos epistemológicos A1-A3). Por ejemplo, veamos cómo lo explica Jesús María (profesor titular de Universidad):

El siguiente ejemplo muestra la opinión de Roberto (profesor Titular de Universidad), que reconoce el escaso interés de los estudiantes por la asignatura. Además, lo que él denomina problema, en realidad es un ejercicio en el que el estudiante debe reconocer una situación-tipo y aplicar cierto algoritmo:

La cuestión I.6 del Cuadro 3 buscaba una reflexión por parte del profesor acerca del interés de la Historia de los conceptos probabilísticos. Se trataba de revelar si el profesor estaba interesado en la Historia de las Matemáticas y consideraba importante mostrar a los alumnos los cambios cualitativos que se dieron en la teoría, una visión problematizada de su proceso de construcción, los enfoques erróneos que tuvieron lugar y las dificultades que hubieron de superarse, a fin de ofrecer al alumno una visión más ajustada de las Matemáticas, como una construcción humana falible que responde a problemas y que está sujeta a revisión (aspectos epistemológicos A1-A3).

Siete de los diez profesores encuentran algún interés en introducir la Historia de los conceptos en la enseñanza. Tres profesores creen que se trata solamente de cultura general que quizá interesaría a algún alumno, pero sólo uno de ellos lo encuentra absolutamente inútil en escuelas técnicas, en las cuales, según su opinión, únicamente es necesaria la versión actual del concepto.

Las razones de los profesores para considerar interesante el estudio de la historia de los conceptos probabilísticos son básicamente de dos tipos no excluyentes. El primero, usar la anécdota histórica para ayudar a recordar conceptos y para lograr una clase distendida; el segundo, dar una versión de las Matemáticas en la que la teoría no se presenta como algo acabado sino que muestre los orígenes, por qué ha surgido, que responde a una necesidad. El siguiente ejemplo ilustra la opinión de Mikel (profesor titular de Escuela Universitaria), que encontraría interesante mostrar al alumno no solo la versión acabada de la teoría, sino también la génesis y evolución de los conceptos. Sin embargo, es consciente de su falta de conocimiento del tema y de otras limitaciones.

Respecto a las estrategias concretas para mostrar a los alumnos la utilidad de la Teoría de la Probabilidad (pregunta I.7, Cuadro 3), las propuestas de los profesores señalan, fundamentalmente, las aplicaciones de la Probabilidad y de la Estadística en las diferentes ramas técnicas y en la vida cotidiana, comprender gráficos estadísticos, la información técnica de encuestas de opinión etc. La aplicación práctica de una teoría puede, evidentemente, servir para señalar su importancia. No obstante, se descuida una visión de la Teoría de la Probabilidad en el marco general de la Ciencia, no se plantean reflexiones acerca de las posibles implicaciones sociales y científicas que podrían despertar el interés de los estudiantes hacia la metodología científica y matemática, y de generar actitudes positivas hacia la Ciencia en general (aspecto epistemológico A3).

Respecto a las dificultades de los alumnos para comprender los conceptos y procedimientos elementales de la Teoría de la Probabilidad, los profesores aluden a carencias en la comprensión de enunciados, y a prerrequisitos como la Combinatoria y la Teoría de conjuntos. Los profesores desconocen los estudios didácticos acerca de las preconcepciones de los estudiantes. Sin embargo, la práctica docente ha permitido a algunos de ellos detectar ciertas dificultades bien conocidas y estudiadas en la literatura (aspecto didáctico A4). Tomemos como ejemplo la respuesta de Marta (profesora titular de Escuela Universitaria):

Marta ha observado que sus alumnos atribuyen cierta propiedad de la muestra (el valor de la desviación típica) a la población completa, sin consideración alguna hacia el tamaño muestral (aspecto didáctico A4). Así pues, esta profesora ha detectado lo que se denomina insensibilidad al tamaño de la muestra en el ya citado paradigma de heurísticos y sesgos (Serrano et al., 1998), y que puede conducir a que los alumnos no tomen en consideración la importancia del número de ensayos en sus estimaciones frecuenciales de probabilidad.

Del mismo modo, dos profesores entrevistados detectan en los alumnos una tendencia a pensar en términos de causas y efectos a la hora de resolver problemas, y que ello se traduce en dificultades a la hora de comprender los conceptos relativos al azar y la probabilidad. El paradigma de heurísticos y sesgos describe, también, una forma de razonamiento según la cual los sujetos emplean esquemas causales como mecanismos de enjuiciamiento en situaciones en las que interviene el azar. Estos sujetos, por tanto, no estarían apreciando el carácter aleatorio, bajo las hipótesis establecidas, de las variables que intervienen en el fenómeno (BOROVCNIK; BENTZ; KAPADIA, 1991). Como indica Sáenz (1998), el sistema educativo tradicionalmente entrena el pensamiento causal, introduciendo desde los primeros años de escolarización una visión determinista del mundo (física Newtoniana, variables funcionalmente ligadas por una relación determinista…) en forma de leyes de obligado cumplimiento. De hecho, el Cálculo Infinitesimal, muy presente en los programas escolares, no es sino la herramienta matemática para tratar la complejidad del cambio y de la causalidad determinista. A nuestro entender, la interpretación determinista del azar es una posible dificultad de los alumnos a tomar muy en consideración. La historia de la Teoría de la Probabilidad muestra que esta misma actitud básica hacia el mundo fenomenológico se ha apuntado como posible explicación de la tardía conceptualización de la Probabilidad (DAVID, 1962; BARRAGUÉS; GUISASOLA, 2006). Veamos un ejemplo de respuesta en el que Nekane (profesora titular de Escuela Universitaria) apunta la dificultad que ha detectado en sus alumnos:

Sin embargo, el diagnóstico de la totalidad de los profesores tanto acerca del origen de las dificultades como de la propuesta para solucionarlas (cuestión 1.2 del Cuadro 6) son ingenuos, lo cual no es de extrañar si no se conocen los estudios acerca de las dificultades de aprendizaje de la Probabilidad. Los profesores creen que el uso de procedimientos probabilísticos formales por parte del alumno es suficiente para relegar las ideas previas incorrectas (aspectos didácticos A4 y A5). Solo uno de los profesores, Roberto (profesor Titular de Universidad), ha leído algún estudio acerca de las dificultades de los alumnos para comprender los conceptos estadísticos. Sin embargo, sus propuestas para superar las dificultades de los alumnos son también ingenuas (aspectos didácticos A4 y A5). Veamos un fragmento de su respuesta:

Los profesores investigados emplean, habitualmente, clases expositivas y resolución de ejercicios en la pizarra, a menudo relacionados con especialidad técnica de los estudiantes. También emplean enunciados con juegos de azar. Pero, fuera de las aplicaciones técnicas inmediatas, no se refieren a ninguna relación Ciencia/Técnica/Sociedad que contribuya a despertar el interés hacia la Teoría de la Probabilidad y atender a aspectos motivacionales de los estudiantes (aspecto didáctico A5).