Determinar o conhecimento que o professor deve possuir para poder exercer a sua tarefa de ensinar encontra-se no centro das preocupações da investigação educacional. Schulman (1986) foi um dos primeiros investigadores a expressar a complexidade deste conhecimento, distinguindo três grandes categorias: o conhecimento do conteúdo, que se refere ao conhecimento do que se vai ensinar; o conhecimento pedagógico do conteúdo, relativo às formas como o professor representa e formula o seu conhecimento do conteúdo quando ensina; e o conhecimento do currículo, que se refere ao conhecimento relativo aos programas escolares, aos materiais de ensino e às indicações neles existentes.

Tendo por referência o trabalho de Schulman (1986), no caso da Matemática, Hill, Ball e Schilling (2008) distinguem duas grandes categorias de conhecimento relevantes para os professores: o conhecimento matemático e o conhecimento pedagógico do conteúdo. Na primeira categoria inclui-se o conhecimento comum do conteúdo, que se refere ao conhecimento que um adulto mobiliza para resolver problemas matemáticos; o conhecimento especializado do conteúdo, que diz respeito ao conhecimento especial do professor que o habilita a planificar e desenvolver sequências de ensino; e o conhecimento no horizonte matemático, que se refere aos aspetos mais avançados, como aspetos históricos e filosóficos, que proporciona perspetivas ao professor. Na segunda categoria inclui-se o conhecimento do conteúdo e os estudantes, que é relativo ao conhecimento sobre como os estudantes pensam, concetualizam ou aprendem um conteúdo; o conhecimento do conteúdo e o ensino, que é o conhecimento que resulta da integração do conhecimento do conteúdo matemático com o conhecimento sobre o ensino desse conteúdo; e o conhecimento do currículo, que se refere ao conhecimento das diretrizes curriculares, orientações, fins e motivações das mesmas, materiais curriculares e sequencialização do tema nos diferentes níveis escolares. O conhecimento pedagógico do conteúdo relativo a um tema matemático é mais do que o conhecimento resultante da simples prática profissional do professor. Diferentemente, ele resulta de investigação numa área de interseção entre o conhecimento matemático e o conhecimento educacional geral e tem como finalidade contribuir para melhorar a aprendizagem do conteúdo em causa (KANSANEN, 2009).

Integrando e ampliando os modelos anteriores, Godino (2009) e Godino, Batanero e Font(2007) propõem várias dimensões para analisar os processos de ensino e aprendizagem da Matemática: epistémica, que se refere aos conhecimentos matemáticos relativos ao contexto institucional em que se realiza o processo de aprendizagem (problemas, linguagens, procedimentos, definições, propriedades e argumentos); cognitiva, relativa aos conhecimentos pessoais dos estudantes e à progressão das aprendizagens; afetiva, que diz respeito aos estados afetivos (atitudes, emoções, crenças, valores) de cada aluno em relação aos objetos matemáticos e ao processo de estudo seguido;mediacional, relativa aos recursos tecnológicos e à atribuição do tempo às distintas ações e processos; interacional, referente aos padrões de interação entre o professor e os alunos e sua sequencialização orientada para a fixação e negociação de significados; e ecológica, em que se enfatiza o sistema de relações com o contexto social, político e económico.

No presente estudo estão especialmente envolvidas as dimensões epistémica, cognitiva e ecológica, no último caso enfatizando, sobretudo, as aplicações e conexões do conceito de razão.

Segundo Livy e Vale (2011), a “razão é a comparação entre duas quantidades” (p. 26). O conceito de razão é um conceito multifacetado e que se relaciona com muitos outros conteúdos matemáticos como, por exemplo, número racional, proporcionalidade e semelhança. Consequentemente, trata-se de um conceito usado em todas as principais áreas da Matemática, designadamente em números e álgebra, em probabilidades e estatística e em geometria.

No caso das diferentes interpretações de número racional, Lamon (2007) salienta que o conceito de razão mantém conexões com essas interpretações, incluindo mesmo a razão num dos seus constructos. De facto, a interpretação parte-todo tem fortes conexões com as interpretações de medida, razão e operador, o que facilita o desenvolvimento da noção de unidade de medida e de frações equivalentes e, em consequência, das operações de adição e de subtração. A interpretação de quociente mantém conexões naturais com razões e taxas, permitindo aos alunos usar com facilidade frações equivalentes, comparar frações e adicionar e subtrair frações. Já a interpretação de operador constitui um contexto útil para a multiplicação e divisão de frações. Por sua vez, a interpretação de medida facilita o desenvolvimento das noções de unidade, equivalência, ordem e densidade dos números racionais e das operações de adição e subtração. Embora as interpretações, anteriormente referidas, sejam concetualmente diferentes, elas são indistinguíveis quando são escritas simbolicamente, pelo que as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, apesar de diferentes, regem-se pelas mesmas regras. Já no caso da interpretação de razão não operamos com razões da mesma forma que operamos com frações.

Segundo Suggate, Davis e Goulding (2006), existem três principais tipos de comparações de razões: parte-parte (por exemplo, o José comeu duas partes do bolo e a Maria comeu três partes); parte-todo (por exemplo, o José comeu duas das cinco partes do bolo); e todo-todo (por exemplo, 1 cm no mapa corresponde a 1 000 000 cm no terreno). Para Livy e Vale (2011), “a linguagem e a variedade de situações de razão podem ser motivo de confusão quando se trabalha com situações de razão” (p. 26). Essa confusão pode ser reforçada pelo facto de os manuais escolares adotarem diferentes abordagens e sequências concetuais e de selecionarem aplicações com características diferentes, por vezes centradas unicamente no conceito específico em causa (LO; CAI; WATANABE, 2001). Por isso, Beswick (2011) defende que um aspeto chave quando se ensina acerca de razão consiste em ajudar os estudantes a conhecerem e a relacionarem as diferentes representações da mesma, designadamente em contextos reais. No entanto, o sucesso alcançado pelos estudantes depende do tipo de problema com que são confrontados (SINGH, 2000), mesmo quando se recorre a estratégias especificamente desenhadas para fomentar o domínio deste conceito, incluindo interligação concetual e diversidade de representações (JITENDRA ET AL., 2009).

Tal como os alunos, também os professores dos primeiros anos de escolaridade revelam limitações no conhecimento do conteúdo matemático, ao verificar-se que são bem-sucedidos na realização de cálculos, mas incapazes de mostrarem uma compreensão concetual em diversos tópicos matemáticos, salientando-se o de não reconhecerem a diferença entre frações e razões e o raciocínio proporcional (LIVY; VALE, 2011). Ora, esta falta de conhecimento matemático é também consequência de, frequentemente, a formação inicial destes professores não incluir o estudo do conceito de razão, centrando-se antes em outras áreas de conhecimento dos números.

Também Berenson et al. (2013) examinaram as conceções e as representações de futuros professores do Ensino Primário e de Matemática e de Ciências do Ensino Secundário para determinar o seu conhecimento para o ensino do conceito de razão. Em termos de significado, muitos alunos definiram a razão como comparação/relação ou como fração/percentagem/proporção/divisão. Já em termos de representações através de símbolos matemáticos, os alunos usaram os dois pontos (:), isoladamente ou em expressões do tipo x:y ou 3:2, e frações; enquanto nas representações de como as razões são usadas, os alunosfizeram desenhos, diagramas e outras representações pictóricas, refletindo comparações ou representações numéricas (usualmente em contextos do dia a dia), propriedades geométricas (por exemplo, a semelhança) ou apresentações estatísticas (gráfico de barras); e poucos alunos apresentaram desenhos que ilustravam aplicações de razão (escalas de mapas, culinária, arquitetura e design). Finalmente, outros alunos apresentaram representações numéricas, algébricas ou verbais, semelhantes às representações vistas antes em termos de símbolos matemáticos.

Chick (2010) constatou que embora professores de Matemática consigam reconhecer as conceções alternativas que os alunos perfilham sobre o conceito de razão, eles não conseguem gerar exemplos considerados adequados para ajudar os alunos a alterá-las. Já Ilany, Keret e Bem-Chaim (2004) constataram que o uso de atividades de investigação envolvendo tarefas familiares aos futuros professores de Matemática e que requerem o uso e relacionamento de diversos conceitos implicados na noção de razão podem ajudar a melhorar, não só o seu conhecimento concetual, mas também o seu conhecimento pedagógico do conteúdo. Assim, parece necessário conhecer as dificuldades concetuais e metodológicas dos futuros educadores e professores dos primeiros anos de escolaridade relacionadas com o conceito de razão para, a partir delas, organizar estratégias formativas que lhes permitam desenvolver a sua própria compreensão concetual do conceito de razão, bem como estratégias adequadas para o ensinarem aos seus futuros alunos.

Quando questionados sobre o significado de razão, os estudantes inquiridos apresentaram uma diversidade de significados, que constam da Tabela 1, embora cada estudante tenha apresentado apenas um significado.

De entre os diferentes significados atribuídos ao termo razão, salienta-se que cerca de metade (51%) identificaram a razão com uma comparação/relação entre grandezas(Tabela 1), sendo que as respostas de 68% desses estudantes foram mais específicas, referindo que essa comparação/relação envolve duas grandezas. Esta ideia é ilustrada pela resposta do estudante E1, apresentada na Figura 2.

Seguiu-se, em termos de percentagem, a ideia de razão como operação matemática, com 17% de respostas (Tabela 1). Na maioria dos casos, as operações mencionadas foram a multiplicação ou a divisão, como é ilustrado na Figura 3.

Contudo, 29% desses estudantes atribuiu ao termo razão o significado de operação de adição ou de subtração, o que corresponde a um significado errado da ideia de razão. No caso da resposta dada pelo estudante E29 (Figura 4), verifica-se que, para além da identificação da razão com a operação de subtração, ele admite que o conceito de razão poderá envolver mais do que dois termos.

Finalmente, e embora em pequenas percentagens (Tabela 1), alguns estudantes atribuíram ao termo razão o significado de proporção(9%), fração(5%) e número racional(1%). O primeiro destes significados pode ser ilustrado pela resposta do estudante E42, apresentada na Figura 5. Embora sem serem coincidentes, o significado de proporção está relacionado com o significado de razão, pois uma proporção envolve uma igualde entre duas razões.

Observaram-se, ainda, algumas (5%) não respostas e situações (12%) em que não foi possível categorizar as respostas dos estudantes em virtude da sua não inteligibilidade, tendo as mesmas sido incluídas na categoria incompreensíveis.

Em síntese, salienta-se a definição de razão como razão/relação entre (duas) grandezas, tal como a estabelece Livy e Vale (2011), traduzindo coincidência entre as dimensões cognitiva e epistémica (GODINO,2009). Já na dimensão cognitiva, sem coincidência com a dimensão epistémica, destacam-se as dificuldades explícitas dos estudantes ao identificarem a razão com as operações de adição e subtração de grandezas e implícitas ao não responderem e ao apresentarem respostas incompreensíveis.

Quando os estudantes foram questionados sobre as situações em que usam as razões, constatou-se que a maioria das suas respostas (78%) centra-se em contextos académicos (Tabela 2).

Dentro desta categoria foram indicadas várias situações, em que o conceito matemático de razão surge associado ao contexto escolar. Especificamente, os estudantes referem-se a fazer uso do conceito de razão em:

A categoria seguinte, o uso do conceito de razão em contextos do quotidiano, foi indicada por cerca de um terço (31%) dos estudantes (Tabela 2). Muitos destes estudantes não especificaram as situações de uso em contextos do quotidiano (76%), mas outros explicitaram essas situações, mencionando, designadamente:situações de compra e venda de produtos envolvendo o cálculo de percentagens (16%); situações de culinária (8%);e situações de agricultura (8%).

Finalmente, os 6% dos estudantes cujas respostas foram incluídas na categoria medição de quantidades (Tabela 2) afirmaram utilizar o conceito matemático de razão no ato de medir.

Observou-se, ainda, uma resposta que não foi possível categorizar, em virtude da sua não inteligibilidade, a qual foi incluída na categoria incompreensíveis, e algumas (4%) não respostas.

Na Tabela 3 encontram-se registados os resultados obtidos quando os estudantes foram questionados relativamente a situações de uso do conceito matemático de razão por outras pessoas, que não eles próprios. Note-se que alguns estudantes apresentaram mais do que uma situação.

Da análise da Tabela 3, constata-se que, de entre as diferentes áreas mencionadas pelos estudantes, as ligadas à Matemática (26%) e às Ciências (25%) foram as referidas por um maior número (cerca de um quarto) de estudantes. No caso de situações ligadas à área da Matemática foram indicados profissionais tais como professores de Matemática (2%), profissionais ligados à Estatística e/ou Probabilidades (9%) e matemáticos em geral (15%). Neste caso observa-se uma grande discrepância entre a incidência do uso do conceito de razão, consoante os alunos se referem a si próprios ou às outras pessoas, muito inferior neste último caso. No caso das situações de uso no âmbito das Ciências (Física e Química), os estudantes reportam-se aos casos dos engenheiros físicos e/ou químicos (12%), dos investigadores (12%) e dos professores(1%).

Um número considerável de estudantes (16%) indica que o conceito de razão é usado pelas pessoas em geral(Tabela 3), referindo-se, provavelmente, ao uso do conceito razão como sendo independente da situação profissional que a pessoa possa ter.

Na categoria seguinte, em termos percentuais, ciências humanas e sociais(12%), observou-se que os respetivos estudantes indicaram profissões como geógrafos (6%), sociólogos (3%), filósofos (1%), políticos (1%) ou psicossociólogos (1%).

Na categoria negócios, com cerca 11% de respostas, os estudantes mencionaram profissionais tais como contabilistas (4%), bancários (4%), economistas (2%) ou comerciantes (1%).

As restantes áreas de atividade registaram percentagens inferiores a 10% (Tabela 3) e incluem:

Nesta questão verificou-se um elevado número de estudantes (22%) que não apresentou qualquer resposta e algumas respostas (6%) que se revelaram incompreensíveis.

Para os estudantes, as aplicações e conexões do conceito de razão, que se inserem na dimensão ecológica (GODINO, 2009), são diversificadas e a maior incidência nas situações académicas, quando os estudantes se referem a si próprios, terá certamente origem nas suas próprias experiências escolares.

Na Tabela 4 apresentam-se os diferentes tipos de representações de razão indicadas pelos estudantes, quando lhes foi solicitado que representassem esse conceito recorrendo a símbolos matemáticos. Note-se que alguns estudantes apresentaram mais do que uma representação.

Pela Tabela 4 verifica-se que mais de metade dos estudantes apresentaram representações simbólicas (59%) que se referem a operações com letras. Estas representações incluem algumas palavras e constituem representações, de natureza geral, envolvendo operações ou frações do tipo a:b, % e a/b (Figura 6). Particularmente nas duas últimas representações, os símbolos–e / podem referir-se tanto a uma fração como à operação de divisão.

A Tabela 4 mostra ainda que cerca de um terço dos estudantes (31%) apresentaram representações do tipo operações com constantes. Estas representações, de natureza específica, são semelhantes na forma às representações do tipo anterior, de natureza geral, quandoos estudantes substituem as letras por números na respetiva operação de divisão (Figura 7), adição ou subtração. No caso da operação de adição e subtração (três representações) corrobora-se o significado errado antes atribuído por alguns alunos ao conceito de razão.

No caso do recurso apenas sinais de operação(14%), os estudantes referiram somente símbolos das operações de divisão (quatro representações), de multiplicação (uma representação), de subtração (três representações) e de adição (uma representação).

Os restantes tipos de representações foram efetuados por percentagens de estudantes iguais ou inferiores a 10% (Tabela 4) e incluem os seguintes:

Nesta questão, e como se pode constatar pela Tabela 4, verificou-se um reduzido número de não respostas (6%) e não se obtiveram respostas incompreensíveis.

Em síntese, em termos de formas de representação mais adequadas, destaca-se que cerca de 76% das representações referidas pelos estudantes incluem os símbolos ou, seja de forma isolada ou envolvendo letras ou números. Estas representações simbólicas do conceito de razão também foram observadas por Berenson et al. (2013) em futuros professores, verificando-se, para a maioria dos estudantes, existir coincidência entre as dimensões cognitiva e epistémica e envolver a interpretação de quociente de números racionais, de acordo com uma das interpretações de número racional proposta porLamon(2007). Adicionalmente, nos casos das outras representações referidas pelos estudantes, elas são pouco frequentes e explicitam ou indiciam discrepâncias entre as duas dimensões, a epistémica e a cognitiva, o que corresponde a dificuldades e erros dos estudantes.

Na última questão foi pedido aos estudantes que indicassem formas de representação que eles utilizariam para explicar o conceito razão. Também neste caso alguns estudantes apresentaram mais do que uma representação.

Da análise dos dados apresentados na Tabela 5, verifica-se que diagramas ou representações gráficas foi o tipo de representação a que maior número de estudantes (42%) recorreria. Este tipogeral de representação abrange uma diversidade de representações específicas que diferem em alguns aspetose que explicitamos em seguida. Assim, alguns estudantes:

Ainda com base na Tabela 5 constata-se que um quinto dos estudantes recorreria a representações que incluem apenas um símbolo matemático (20%) para representar uma razão quando da explicação deste conceito. As suas respostas mencionavam apenas o símbolo matemático (que, na maioria das vezes, era o símbolo da operação de divisão ou de multiplicação), não acrescentando mais informação.

As restantes categorias foram apresentadas por um número de estudantes igual ou inferior a dez por cento e destacam características muito variadas. Assim, alguns estudantes forneceram representações do tipo:

Finalmente, note-se que nesta questão observou-se um elevado número de alunos que não responderam (17%) e, embora em menor número (5%), alguns alunos apresentaram respostas incompreensíveis.

Nesta questão, focada nas dimensões epistémica e cognitiva, face à solicitação de explicar o conceito de razão a outrem, os estudantes apresentaram representações mais explicativas, o que contrasta com as representações muito sintéticas indicadas pelos estudantes na questão anterior. Esse caráter mais explicativo resultou do uso de diagramas, gráficos, desenhos e tabelas, como também referem Berenson et al. (2013), e revela, ao nível da dimensão cognitiva, uma perspetiva mais profunda do conceito de razão. Por outro lado, nestas representações, ainda que não explicitadas, observam-se relações do tipo todo-todo e parte-todo, esta última referida por Lamon (2007) como uma das interpretações de número racional.