A análise e interpretação de relações bivariadas é uma atividade importante em várias disciplinas e, por conseguinte, a literatura acerca do raciocínio sobre estes dados aponta a relevância desta temática na investigação de diversas áreas tais como na Psicologia, Ciência, Educação Matemática e Educação Estatística. Os conceitos ligados ao estudo de dados e relações bivariados, nomeadamente, associação, correlação e regressão linear e o diagrama de dispersão são referidos no programa de Matemática A¹ do 10° ano do ensino secundário, em Portugal, no tópico de dados e relações bivariados.

O estudo de dados bivariados envolve análises de variáveis individuais e sua variabilidade, e da forma das distribuições bivariadas em gráficos (GARFIELD; BEN-ZVI, 2008). A compreensão da regressão e correlação exige conhecimento básico sobre funções e, sobretudo, a consideração da variação à volta de uma possível tendência (ENGEL; SEDLMEIER, 2011).

Vários autores referem a complexidade do ensino e aprendizagem sobre dados e relações bivariados e apontam a necessidade de mais investigação nessa área que informe sobre desafios a superar, em particular, sobre os aspetos do conhecimento didático a que se deve dar mais atenção na formação de professores (ESTEPA; BATANERO, 1996; GARFIELD; BEN-ZVI, 2008). É neste contexto que surge o presente estudo com o objetivo de compreender o conhecimento didático de duas professoras do ensino secundário, tendo em conta a especificidade do ensino de dados bivariados (BURRIL; BIEHLER, 2011; ENGEL; SEDLMEIER, 2011).

O conhecimento profissional do professor de Matemática desdobra-se por vários domínios, nomeadamente, o conhecimento na ação relativa à prática letiva, à prática não letiva, à profissão e ao seu próprio desenvolvimento profissional (PONTE; OLIVEIRA, 2002).

Ponte e Oliveira (2002) designam a dimensão do conhecimento profissional chamado a intervir diretamente na prática letiva por conhecimento didático. É reconhecido que as práticas dos professores são contextos privilegiados que podem revelar aspetos relevantes do conhecimento didático dos professores (PONTE; CHAPMAN, 2006). Apesar de, habitualmente, a Estatística no ensino não superior ser estudada no âmbito da disciplina de Matemática vários autores reconhecem a especificidade do seu ensino (por exemplo, BATANERO et al., 2013; BURRIL; BIEHLER, 2011; SCHEAFFER, 2006). O modelo do conhecimento didático em Estatística, adotado neste trabalho, decorre do modelo do conhecimento didático do professor de Matemática de Ponte e Oliveira (2002) (com forte influência de Shulman (1986) mas assumindo tratar-se de um conhecimento fortemente orientado pelas situações da prática) e que inclui quatro domínios: conhecimento do conteúdo, conhecimento do currículo, conhecimento dos alunos e da aprendizagem e conhecimento do ensino. Estes domínios, que estão intimamente relacionados na prática letiva, são descritos a seguir tendo em conta a especificidade da Estatística, tal como apontado por vários autores da literatura nessa área.

O conhecimento do conteúdo refere-se, de uma forma genérica, ao conhecimento da disciplina e das interpretações dos seus conceitos, representações e procedimentos fundamentais, bem como, formas de raciocínio, argumentação e validação (PONTE; OLIVEIRA, 2002). Inclui conhecimento de Matemática e de Estatística. Integra a capacidade de reflexão epistemológica sobre a natureza do conhecimento estatístico e entendimento profundo deste conhecimento (BATANERO; GODINO, 2005). Envolve o conhecimento de ideias estatísticas essenciais (dados e contexto; variação, distribuição, representações, transnumeração²; associação e correlação; amostragem e inferência), suas interligações e conhecimento dos diversos dilemas e desafios que envolvem lidar com essas ideias (BURRILL; BIEHLER, 2011).

O conhecimento do currículo inclui o conhecimento das grandes finalidades e objetivos do currículo escolar e sua articulação vertical e horizontal (PONTE; OLIVEIRA, 2002) e, ainda, a compreensão das ideias estatísticas fundamentais expressas no currículo (BATANERO et al., 2013; BURRILL; BIEHLER, 2011). Contempla, ainda, a capacidade de analisar criticamente documentos curriculares, manuais escolares e outros recursos metodológicos disponíveis (BATANERO; GODINO, 2005).

O conhecimento dos alunos e da aprendizagem inclui o conhecimento das dificuldades, erros e obstáculos na aprendizagem dos conceitos, procedimentos e representações e das estratégias usadas pelos alunos na resolução de problemas (PONTE; OLIVEIRA, 2002). Abrange, também, o conhecimento dos diversos níveis de compreensão dos alunos (BATANERO; GODINO, 2005).

O conhecimento do ensino compreende a capacidade de planificação da sequência de conteúdos, nomeadamente adequando conteúdos a diferentes níveis de ensino, tendo em conta o grau de profundidade com que estes necessitam de ser tratados e relacionados. Inclui o conhecimento de estratégias de ensino e a fundamentação para as opções tomadas quanto às tarefa propostas e aos recursos usados, entre outros (BATANERO; GODINO, 2005). Esse conhecimento do ensino inclui o reconhecimento das vantagens e desvantagens do uso de diferentes representações no ensino dos diferentes tópicos (CURCIO; ARTZT, 1996). Abarca, igualmente, a capacidade de ajudar os alunos a desenvolver o raciocínio e pensamento estatísticos (BURRILL; BIEHLER, 2011; GARFIELD; BEN-ZVI, 2008).

Para ensinar Estatística o professor precisa ter experiência e familiaridade com elementos específicos do pensamento estatístico, nomeadamente, o reconhecimento da necessidade de dados e seu conhecimento contextual, e da transnumeração, dando atenção à variação e raciocínio com modelos, integrando-os na sua prática (WILD; PFANNKUCH, 1999). Para Ben-Zvi e Garfield (2004), o raciocínio estatístico engloba, por exemplo, ser capaz de compreender e interpretar estatísticas sumárias de dados, estabelecer ligações entre conceitos estatísticos e entre diferentes representações estatísticas ou relacionar ideias estatísticas com o acaso. Já o pensamento estatístico, para estes autores, envolve saber como e por que se usa um determinado método ou modelo, conhecer as limitações que se encontram, por exemplo, numa inferência estatística e ser capaz de criticar resultados de um estudo.

No ensino da Estatística, o raciocínio sobre dados bivariados deve suportar algo mais do que raciocinar sobre diagramas de dispersão, correlação, regressão e funções. Deve envolver o entendimento de ideias de estrutura e força na relação bivariada, a análise residual e ajuste do modelo, bem como, a compreensão do papel da relação bivariada em modelos e na previsão de eventos. Engel e Sedlmeier (2011) registam que, com frequência, os dados bivariados são trabalhados na aula como uma dependência funcional entre duas variáveis, descurando-se a variação dos dados. Os autores apontam a necessidade de os alunos ganharem experiência com o processo de modelação, de modo a desenvolverem os seus conhecimentos de correlação e regressão. Destaca-se a importância de se propor tarefas que incluam dados reais, elementos sobre o seu contexto e questões que valorizem os dados (CURCIO; ARTZT, 1996; SCHEAFFER, 2006).

Garfield e Ben-Zvi (2008) sugerem que atividades de estabelecimento de conexões entre valores de coeficientes de correlação e diagramas de dispersão podem permitir que os alunos desenvolvam um melhor entendimento dos diferentes níveis de covariação e entendimento acerca de fatores que influenciam o maior ou menor valor do coeficiente de correlação. Por exemplo, um resultado de correlação linear alto não implica, necessariamente, a validade do modelo de regressão linear, devendo examinar-se cuidadosamente representações gráficas dos dados, como o diagrama de dispersão, medida muito influenciada por outliers.

Vários autores (ENGEL; SEDLMEIER, 2011; SHAUGHNESSY; CHANCE, 2005) também referem exemplos de conjuntos de dados para os quais a afirmação de que a correlação positiva entre duas variáveis traduzida como assim que uma delas aumenta, a outra também aumenta, nem sempre é verdadeira. Para esse caso, uma afirmação mais precisa é: valores acima da média de uma das variáveis correspondem a valores acima da média da outra variável. Esse conhecimento mais pormenorizado poderá contribuir para uma melhor apreciação da variação local e global dos dados e entendimento da fórmula do coeficiente de correlação (SHAUGHNESSY; CHANCE, 2005). A tecnologia pode proporcionar a visualização de representações diversificadas, o estabelecimento de conexões entre elas, e ainda a exploração e manipulação dos dados, concedendo um apoio significativo à análise (GARFIELD; BEN-ZVI, 2008).

Este estudo insere-se numa investigação mais ampla, qualitativa e de índole interpretativa, sobre o conhecimento didático do professor no ensino da Estatística, no ensino secundário. O estudo foca-se, especificamente, no tópico dos dados bivariados e foi realizado com duas professoras, Estela e Lia, ambas licenciadas em ensino da matemática, possuindo a primeira também o grau de mestre em educação matemática. As suas experiências profissionais são de cerca de 20 e 15 anos, respetivamente. Na recolha dos dados que informam este estudo foram usados diversos métodos, nomeadamente: (1) observação participante, com registo áudio e vídeo de três aulas, em duas turmas de 10.° ano com cerca de 25 alunos, uma de cada professora; (2) recolha documental dos materiais utilizados pelas professoras nessas aulas, designadamente fichas de trabalho e ainda, embora com menor expressão, (3) duas entrevistas semiestruturadas com registo áudio a cada professora (antes e após a realização das aulas) com foco no tópico de dados bivariados. A análise de dados foi efetuada de forma descritiva e interpretativa, conduzindo à identificação de situações da prática das professoras que remetiam para os aspetos centrais do conhecimento didático referente ao estudo de dados e relações bivariados, complementados com elementos das entrevistas.

No ensino do tema da Estatística, as duas professoras seguiram a sequência de conteúdos sugerida no programa de Matemática A do ensino secundário (DEPARTAMENTO DO ENSINO SECUNDÁRIO, 2001): (1) generalidades sobre Estatística (evolução histórica e objetivos); população, amostra, e amostragem; o procedimento estatístico: Estatística descritiva e Estatística inferencial; (2) organização de dados qualitativos e quantitativos (numérica e gráfica); e (3) estudo de dados bivariados (abordagem gráfica e intuitiva). Quanto ao último ponto, o programa salienta o desenvolvimento de ideias intuitivas relativamente à noção de correlação, de centro de gravidade e de reta de regressão, essencialmente a partir da visualização de diagramas de dispersão e de cálculos recorrendo à calculadora gráfica.

As aulas de Estela são habitualmente estruturadas e organizadas em torno da resolução de tarefas que, na maioria das vezes, são trabalhadas pelos alunos com o apoio da calculadora gráfica. Estela solicita a participação dos alunos, quer nos momentos de exposição dos conteúdos quer nos de correção dos trabalhos, pedindo-lhes que respondam a questões ou que vão ao quadro ou ao computador (cujo ecrã está, usualmente, projetado na tela) mostrar a sua resolução de alguma questão com a calculadora gráfica. O estudo em torno dos dados bivariados foi desenvolvido num curto espaço de tempo, no decorrer de três aulas de 90 minutos; por conseguinte, as tarefas propostas tiveram, sobretudo, o propósito de introduzir conceitos e representações, providenciando as respetivas explicações que a professora considerou necessárias. De entre estas aulas, escolhemos os seguintes três episódios associados a diferentes tarefas realizadas, de modo a evidenciar aspetos centrais do conhecimento didático de Estela relativamente a dados bivariados.

As aulas de Lia são, habitualmente, estruturadas e organizadas em torno da exposição dos conteúdos (definições e exemplos) e da resolução de tarefas pelos alunos aos pares, ainda assim bastante conduzida por si. Essa professora mostra ter alguma preocupação em promover a participação dos alunos nas aulas, quer nos momentos de exposição dos conteúdos quer nos de correção dos trabalhos, solicitando-lhes respostas diretamente do lugar ou que apresentem as suas resoluções no quadro. A calculadora gráfica foi usada pontualmente no ensino do tema da Estatística, mas a professora deu-lhe particular destaque quando abordou o tópico dos dados bivariados. O estudo em torno dos dados bivariados foi desenvolvido por Lia no decorrer de três aulas de 90 minutos. O trabalho desenvolvido nessa temática consistiu, numa primeira fase, na apresentação de definições dos conceitos e de representações e, ainda, de vários exemplos de aplicação desses conceitos e, numa segunda fase, na resolução de tarefas com o auxílio da calculadora gráfica. De entre as aulas, selecionámos três episódios, de modo a evidenciar aspetos centrais do conhecimento didático da professora desse tópico: o primeiro associado à introdução dos conceitos com o apoio de um software disponível no computador da sala de aula e os outros dois a tarefas propostas na aula (ver anexo).

As professoras deste estudo denotam um conhecimento do currículo que as leva a selecionar um conjunto de situações que visam os objetivos indicados pelo programa do ensino secundário vigente. No ensino de dados bivariados, ambas propõem algumas tarefas com potencial para promover o desenvolvimento do raciocínio e pensamento estatísticos dos alunos sobre dados bivariados e suas relações. No caso de Estela, as tarefas A equipa de basquetebol do Porto e População residente em Portugal, e no caso de Lia, a tarefa A evolução do crescimento do Pedro, podem facilitar um aprofundamento da situação real, subjacente aos dados fornecidos, com base no raciocínio sobre representações gráficas e sobre o modelo de regressão linear (SCHEAFFER, 2006). As tarefas de associação entre diagramas de dispersão/ nuvem de pontos e coeficientes de correlação, que as duas professoras desenvolveram nas suas aulas, podem contribuir para o desenvolvimento do raciocínio dos alunos ao nível da compreensão de gráficos e aprofundamento dos conceitos (CURCIO; ARTZT, 1996; GARFIELD; BEN-ZVI, 2008).

No que diz respeito ao conhecimento do ensino, embora as práticas das duas professoras possam ser globalmente caraterizadas por uma abordagem de ensino direto, as diferenças que se evidenciam entre ambas parecem influenciar a perceção que detêm das dificuldades e obstáculos na aprendizagem dos dados bivariados. Lia centra a aula em si própria, optando por transmitir a informação que considera necessária, apresentar exemplos, fornecer explicações e colocar algumas questões aos alunos, o que reduz muito a possibilidade de participação destes na aula. Já Estela sustenta habitualmente a introdução e discussão dos conteúdos na realização das tarefas pelos alunos e, em simultâneo, vai colocando questões, orientando o trabalho a realizar, num ambiente que proporciona uma maior participação destes; ainda assim, nem sempre explora as situações de modo a promover o raciocínio dos alunos sobre dados e relações bivariados.

Ainda no domínio do conhecimento do ensino, observa-se, nas duas professoras, o desenvolvimento do tópico de dados e relações bivariados através da análise do diagrama de dispersão, do coeficiente de correlação e do uso da reta regressão com o apoio da calculadora gráfica, embora de modo superficial. Por exemplo, uma correlação positiva entre duas variáveis quantitativas foi sempre traduzida pelas duas professoras como assim que uma aumenta a outra também aumenta, mesmo quando se tratava de distribuições com vários dados que não seguiam essa tendência, aspeto apontado como crítico por Engel e Sedlmeier (2011). Estela optou por levar os alunos a usar a calculadora como primeira abordagem para calcular o coeficiente de correlação a partir dos dados representados em diagramas de dispersão. Essa abordagem parece prender-se mais com o uso da calculadora como um meio rápido de obtenção de resultados do que como um recurso que pode permitir trabalhar ideias intuitivas sobre correlação linear. Contudo, essa situação pode, igualmente, espelhar a importância que atribui à exploração de tarefas com essa ferramenta. No caso de Lia, o propósito principal do uso da calculadora no ensino dos dados bivariados foi a realização de cálculos ou a obtenção dos resultados.

As duas professoras definiram a reta de regressão de modo semelhante e, embora tenham feito uma abordagem diferenciada no seu ensino, não fizeram qualquer referência a ideias chave de estruturação dessa reta. Também, quando referiram o centro de gravidade, na aula, tentaram relacioná-lo com alguns conceitos mas, ainda assim, de modo pouco aprofundado. Estela assumiu-o como um ponto pertencente à reta de regressão, mas não se deteve na exploração da sua importância e utilidade. Lia, por seu turno, não referiu que a reta de regressão passava sempre por esse ponto. O raciocínio sobre o modelo de regressão linear, interligando-o com o contexto em que se inserem os dados, nem sempre foi visível. Estela suscitou alguma discussão à volta das limitações do modelo de regressão linear embora esta pudesse ter sido mais completa, incidindo em análises de exemplos concretos em que o modelo não era conveniente para estimar a população e de outros exemplos em que era adequado, dando-se o devido valor aos dados. Lia não teve a preocupação de fazer uma análise cuidadosa dos dados em estudo, tendo focado os alunos unicamente na obtenção da equação da reta de regressão na calculadora. Embora essa reta não tenha sido referida como modelo linear, foi utilizada para estimar valores dentro do intervalo de variação de cada variável. Também não foram discutidas na aula as limitações do uso da reta de regressão na previsão de resultados.

As duas professoras revelam, de uma maneira geral, um conhecimento pouco profundo sobre o aluno e a aprendizagem de dados e relações bivariados. No caso das tarefas de associação entre diagramas e coeficientes de correlação, os alunos das duas turmas realizaram as associações corretas e descreveram o coeficiente de correlação em termos de sinal e força/intensidade, tal como lhes foi ensinado. Estela não solicitou a justificação das suas respostas. Apesar de Lia ter pedido essa justificação, as respostas dos seus alunos foram sucintas e tiveram em conta, sobretudo, a dispersão/concentração dos dados no gráfico sem fazer alusão à reta de regressão. Quando os alunos das duas professoras observaram os diagramas de dispersão, na análise de cada situação, não ponderaram a forma das distribuições em termos da existência de grupos ou outliers, nem como estes poderiam alterar o valor do coeficiente de correlação. Essa experiência pode tê-los conduzido à ideia de que encontrar o valor do coeficiente de correlação por si só é suficiente para tirar conclusões sobre a existência de relação linear ou sobre a validade do modelo de regressão linear, tal como Engel e Sedlmeier (2011) alertam.

Na resolução da tarefa A equipa de basquetebol do Porto quando uma aluna associou o comentário da professora - Quanto menor for a distância dos pontos do diagrama à reta de regressão, mais forte é a correlação - às distâncias de cada ponto à reta de regressão representadas através de quadrados que um outro aluno conseguiu colocar no ecrã da sua calculadora mais avançada, Estela optou por não dar seguimento a esse comentário, desperdiçando, assim, uma oportunidade para aprofundar os conceitos de correlação e de reta de regressão através das distâncias mencionadas numa análise residual (GARFIELD; BEN-ZVI, 2008). Lia ficou surpreendida com o facto de os alunos terem dificuldades em usar a calculadora para estimar um valor de y (ou de x) de uma reta de regressão, sendo conhecido um valor de x (ou de y), mas não conseguiu indicar, no imediato, instruções que permitissem chegar aos resultados. Essas estimativas podem ter induzido nos alunos a ideia errónea de que as retas de regressão y em função de x e x em função de y são sempre a mesma e, assim sendo, qualquer uma delas serve para estimar um valor de x ou de y. Essa situação não foi observada na prática de Estela.

Relativamente ao conhecimento do conteúdo destaca-se, nas duas professoras, o entendimento da relação bivariada associada, muitas vezes, à dependência funcional de duas variáveis, em que se atende sobretudo à tendência global dos dados, mesmo quando existem vários dados numa distribuição que não seguem essa tendência ou quando a observação do gráfico sugere outra relação que não a linear. Verifica-se a necessidade de as professoras promoverem análises de variação local e global e de recorrerem a descrições mais precisas sobre dados bivariados (ENGEL; SEDLMEIER, 2011; GARFIELD; BEN-ZVI, 2008). Relativamente à reta de regressão, apesar de ter havido uma referência ao método dos mínimos quadrados, de forma explícita, no caso de Lia, e de forma implícita, no caso de Estela, nenhuma das professoras sentiu necessidade de ensinar esse conceito com o devido aprofundamento. Adicionalmente, Lia revelou desconhecer propriedades estruturais da reta de regressão, ao solicitar aos alunos para prever valores não só da variável dependente mas também da independente de uma mesma reta de regressão. As duas professoras também revelaram algumas dificuldades em estabelecer relações mais profundas entre conceitos e representações no desenvolvimento desse tópico estatístico.

Em suma, em algumas instâncias, não parece ser considerada pelas professoras a complexidade de que se reveste para os alunos o raciocínio sobre dados bivariados. Foram referidas, ao longo deste texto, algumas oportunidades de ensino não aproveitadas pelas professoras para ajudar os alunos a aprofundar os seus conhecimentos e a superar dificuldades, o que também evidencia o grau de exigência requerido na aprendizagem dessa temática. Tais situações parecem estar fortemente relacionadas com a leitura que as professoras fazem do currículo escolar em Estatística e com o nível de conhecimento que detêm sobre dados bivariados. Este estudo aponta para a necessidade de um aprofundamento do conhecimento didático do professor sobre dados bivariados, que contribua mais significativamente para o desenvolvimento do raciocínio e do pensamento estatísticos dos alunos. Uma maior compreensão do conhecimento didático do professor em Estatística nessa temática pode contribuir para desenvolver ações relacionadas com o currículo e com a formação inicial e contínua que visem melhorar o processo de ensino-aprendizagem de dados bivariados e suas relações.