Os alunos utilizam estratégias diversas frente a um mesmo problema matemático envolvendo equações algébricas do 1° grau. Considerando tal diversidade, Davis, Nunes e Nunes (2005) afirmam que encontrar caminhos para a resolução de um problema depende do interesse que o problema desperta em cada um, dos mecanismos que cada um possui para desvendá-lo, dos conhecimentos conceituais e dos recursos cognitivos atuantes. Portanto, como sugere Chi (2011), as diferenças no uso de estratégias estão baseadas em processos cognitivos e organizações mentais que os humanos têm em comum, e que caracterizam sua competência para a solução de problemas.

Nos últimos anos, estudos têm mostrado (PRIMI et al., 2001, PRIMI, 2002; CAMPOS, 2004; SANTOS; PRIMI, 2005; CHI, 2011) a existência da relação entre o desempenho na resolução de problemas específicos e a competência cognitiva, entendida aqui como uma capacidade geral para a resolução de problemas, sendo um fator essencial da aprendizagem, já que parte das dificuldades na resolução de problemas específicos pode ser explicada por baixos níveis de competência cognitiva. Entretanto, essa não é uma relação natural, já que as habilidades cognitivas amplas nem sempre são aplicadas imediatamente pelo aluno para resolver um problema específico (MATLIN, 2004; DAVIS; NUNES; NUNES, 2005; CHI, 2011), como na área da aritmética. Nessa área, a competência em cálculo, ou seja, a capacidade de operar com números, é necessária, mas não suficiente para o bom desempenho na resolução de problemas algébricos. Isso porque são necessárias, além de competências em cálculo, também competências cognitivas, para compreender o problema e tomar decisões apropriadas quanto ao uso de estratégias para a sua resolução (MAYER, 1992). Portanto, essa relação entre competência geral e desempenho específico, observada na área da aritmética, não pode ser generalizada para outras áreas matemáticas sem maiores investigações quanto à veracidade dessa relação.

Sendo assim, há necessidade de pesquisas que investiguem a relação entre competência cognitiva e resolução de problemas em outros campos específicos, como o algébrico, principalmente no que se refere às equações do 1° grau, já que os estudos envolvendo esse importante componente da álgebra ainda são escassos. Desse modo, o presente estudo teve como objetivo investigar a existência dessa relação, apontada na literatura, entre o desempenho na resolução de problemas específicos, nesse caso, problemas com equações algébricas do 1° grau e uma competência cognitiva geral para a resolução de problemas, bem como descrever as diferenças de desempenho entre estudantes com alto (ACC) e baixo (BCC) nível de competência cognitiva e discutir as implicações da existência (ou não) dessa relação para o ensino do conteúdo em questão. Optou-se pelo campo algébrico por esse marcar uma importante ruptura no ensino da Matemática, de uma Matemática supostamente concreta para um campo mais abstrato e generalizável (VERGNAUD, 1996), sendo as equações do 1° grau um dos primeiros conteúdos algébricos formalizados que os alunos têm contato.

Para isso, inicialmente, apresenta-se uma breve discussão sobre o campo algébrico e a resolução de problemas envolvendo equações algébricas do 1° grau, com o aporte de estudiosos dessa área da Matemática (BOOTH, 1995; DA PONTE; BRANCO; MATOS, 2009). A seguir, discute-se a competência cognitiva e sua definição, na perspectiva da Psicologia Cognitiva, bem como sua relação com a resolução de problemas, a qual tem sido evidenciada em diversos estudos (CHI; GLASER, 1992; NOKES; SCHUNN; CHI, 2010; CHI, 2011). Após, apresenta-se o método adotado na presente pesquisa, discute-se os resultados obtidos, tecendo algumas conclusões parciais e implicações para o ensino escolar.

A álgebra é um ramo da Matemática que se ocupa da simbolização de relações numéricas, de estruturas matemáticas e das operações sobre essas estruturas. Seu foco incide no estabelecimento de procedimentos e relações, numa forma simplificada geral. Assim, a razão de se estabelecer essas relações gerais é usá-las como regras de procedimento para a resolução adequada de problemas, encontrando respostas numéricas. Entretanto, Booth (1995) afirma que o foco inicial do ensino de álgebra é o estabelecimento, a expressão e a manipulação de afirmações gerais. Dessa forma, o estudo da álgebra consiste de um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização e, além disso, lhe possibilita a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas (BOOTH, 1995; BERNARD; COHEN, 1995).

Um dos primeiros conteúdos algébricos apresentado aos alunos é a resolução de equações do 1° grau. Essas, na perspectiva de Bernard e Cohen (1995), desempenham um papel muito importante na Matemática e em muitas de suas aplicações, sendo um elemento essencial no ensino da álgebra, já que possibilita a representação e solução de problemas mais complexos que não poderiam ser resolvidos apenas com recursos aritméticos. Uma equação é caracterizada pela existência de letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas incógnitas, um sinal de igualdade, uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro, e uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro. Os membros de uma equação, por sua vez, são compostos por termos, que são informações numéricas ou incógnitas.

O trabalho com equações pressupõe a familiarização dos discentes com essas terminologias, como alertam Da Ponte, Branco e Matos (2009). Os autores ainda destacam a importância da noção de solução de uma equação (raiz), pois, além de serem capazes de resolver equações, os alunos devem ser capazes de verificar se um dado valor é ou não solução de certa equação. A importância do conhecimento pelo educando da definição de raiz também é destacada por Bernard e Cohen (1995), sendo considerada pelos autores como marco inicial de um estudo significativo sobre a resolução de equações. A raiz de uma equação é valor que a torna verdadeira, ou seja, que valida a igualdade entre o primeiro e o segundo membro.

Uma equação do 1° grau pode ser solucionada de diferentes maneiras. Bernard e Cohen (1995) destacam quatro métodos de solução, os quais podem constituir também uma sequência de ensino evolutiva, desde métodos mais simples e vagos, a métodos mais complexos. Os métodos, na sequência de aprendizagem são: (1) gerar e avaliar, (2) esconder, (3) desfazer e (4) equações equivalentes.

O método de gerar e avaliar consiste em gerar valores aleatórios para a incógnita e aplicá-los à equação verificando ou não a validade. O método de esconder é aplicado na resolução de equações simples, consistindo em esconder a incógnita e fixar a atenção ao que a equação pede. Assim, na situação 15 – x = 12, esconder-se-ia a incógnita x e se perguntaria quinze menos quanto resulta em 12? Já o método de desfazer baseia-se nas noções de inversos operacionais e na reversibilidade de um processo envolvendo um ou mais passos invertíveis. Desse modo, as operações, geralmente do primeiro membro, são desfeitas, por meio de operações inversas, buscando isolar a incógnita e determinar seu valor.

O último e mais complexo método de resolução de equações pressupõe a compreensão do conceito de equações equivalentes. Para isso, primeiramente deve haver uma compreensão mais profunda do sinal de igualdade, que deve deixar de pressupor um resultado, como frequentemente é compreendido pelo aluno, e passar a representar a existência de equivalência. Assim o método de equações equivalentes é semelhante ao método de desfazer, mas pelo fato da equação constituir uma equivalência, as operações devem ser desfeitas em ambos os membros da equação (BOOTH, L., 1995; BOOTH, J.; KOEDINGER, 2008; GINSBURG, 2009).

A aprendizagem sobre a resolução de equações parece ser mais eficiente no contexto de resolução de problemas (BERNARD; COHEN, 1995). Para os autores, o contexto de resolução de problemas contribuiria no desenvolvimento de processos para eliminar obstáculos e atingir subobjetivos, criando assim, meios para monitorar e avaliar processos, dando ênfase à tarefa e sua realização bem-sucedida.

Posto isso, para resolver problemas com equações algébricas do 1° grau, os estudantes necessitam de conhecimentos aritméticos anteriormente aprendidos (operações aritméticas), de conhecimentos sobre terminologias utilizadas nos problemas algébricos (incógnita, membro, termo, raiz), assim como outras habilidades cognitivas que constituem a competência cognitiva para a resolução de problemas (raciocínio, capacidade de processamento cognitivo, criatividade), que serão melhor descritas posteriormente.

Caracterizado o campo específico de resolução de problemas abordado neste estudo, passamos a discorrer sobre a competência cognitiva, sua definição e relação com a resolução de problemas matemáticos específicos.

A competência cognitiva para a resolução de problemas pode ser definida como a capacidade de um indivíduo de se envolver em processamento cognitivo para compreender e resolver problemas em que um método de solução não é imediatamente óbvio, e inclui a vontade de se envolver com problemas, com o objetivo de alcançar seu potencial como cidadão construtivo e reflexivo. Essa definição de competência cognitiva, sob o enfoque da Psicologia Cognitiva, parece envolver muito mais do que a reprodução do conhecimento básico acumulado. Trata-se de uma mobilização de aptidões cognitivas e práticas, habilidades criativas, entre outros fatores cognitivos (TARDIF, 2003; OEDC, 2010).

Nessa perspectiva, a competência cognitiva não corresponde a uma forma de algoritmo memorizado e praticado repetidamente, visando à garantia de sustentabilidade e replicabilidade, mas uma forma de agir muito flexível e adaptável a vários contextos e para diferentes problemas, que é passível de ser aprendida (TARDIF, 2003). Assim, para Primi et al. (2001), dizer que um sujeito é competente significa dizer que este atingiu determinado nível de realização. Essa realização se faz possível por meio do uso de estratégias cognitivas e metacognitivas eficazes e bem aplicadas na resolução de problemas (GULGOZ; KAGITCIBASI, 2004).

Dessa forma, a definição de competência cognitiva apresentada por Tardif (2003) e adotada pelo documento do Pisa (OEDC, 2010) contempla o raciocínio, capacidade de processamento cognitivo e criatividade e ainda destaca a importância do conhecimento prévio utilizado pelo sujeito ao se deparar com um problema novo. Essa definição, na perspectiva de Primi et al.(2001) é melhor formulada que as definições anteriores, já que relaciona os conceitos de habilidade, conteúdo e nível de realização, indispensáveis para a resolução adequada de um problema matemático específico.

O estudo correlacional envolveu 38 estudantes brasileiros, 16 meninos e 22 meninas, (IM= 12,7 anos; DP=0,66), alunos do 8° ano de uma escola pública da região metropolitana de Porto Alegre - RS. Definiu-se, como critérios de exclusão, frequência inferior a 75% e percentil inferior a 20 no Teste Não Verbal de Inteligência (R-1).

O Whimbey Analytical Skills Inventory, WASI, (WHIMBEY; LOCHHEAD, 1999), em versão adaptada (SPERAFICO, 2013), avaliou a competência cognitiva e permitiu separar os estudantes em dois grupos, alto (ACC) e baixo (BCC) nível de competência cognitiva, de acordo com a pontuação geral. Para verificar o desempenho dos estudantes nos problemas com equações algébricas do 1° grau, aplicou-se a Tarefa de Resolução de Problemas com Equações Algébricas do 1° grau (TRPEA), composta por quatro problemas verbais com mesmo nível de complexidade, adaptados de Dante (2007). Para identificar a existência de correlação entre as funções investigadas e a diferença entre os grupos ACC e BCC, aplicou-se o teste de Correlação de Pearson e o teste t-Student, respectivamente.

Os estudantes apresentaram no WASI uma média de 9,90 acertos (DP=3,11) em um universo de 22 problemas. O desempenho entre os estudantes variou entre o mínimo de 5 (-2DP) e máximo de 16 acertos (+2DP).

De acordo com o desempenho no WASI, os estudantes foram divididos em dois grupos: 1) grupo de alto nível de competência cognitiva (ACC) e 2) grupo de baixo nível de competência cognitiva (BCC). A designação dos estudantes para os grupos foi realizada com base na média geral do teste (9,90 acertos), sendo que 18 alunos com desempenho inferior à média compuseram o grupo 2 (BCC) e 20 estudantes com desempenho superior à média compuseram o grupo 1 (ACC).

Investigaram-se também, por meio desse instrumento, as categorias de problemas do WASI em que os estudantes apresentaram melhor e pior desempenho. Os dois grupos demonstraram pior desempenho na categoria de Problemas de Resolução Matemática, já que aproximadamente 92% dos estudantes não apresentaram nenhum acerto nos problemas dessa categoria. No grupo 1, apenas três estudantes responderam corretamente um dos dois problemas de Resolução Matemática. Já no grupo 2, não houve acertos nos problemas dessa categoria. A categoria em que ambos os grupos apresentaram melhor desempenho foi a categoria de Relações de Frases Escritas, sendo que apenas dois estudantes (um de cada grupo) não responderam corretamente o problema que representava essa categoria.

Os problemas de resolução matemática, como propõe Mayer (1992), estão relacionados a conhecimentos linguísticos, factuais, de esquemas, de estratégias e algorítmicos. No caso dos estudantes do grupo 2, a baixa capacidade verbal (menos de 50% de acertos, ver Gráfico 1) poderia ser uma das justificativas para o baixo desempenho nessa categoria. Entretanto, problemas em outros tipos de conhecimento envolvidos também podem ter acarretado dificuldades nos problemas matemáticos, como: conhecimentos factuais (compreender que um sexto é representado pela fração 1/6, como requeria um dos problemas da categoria); conhecimento do esquema (para identificar que o outro problema envolvia a relação da grandeza distância entre dois objetos distintos); conhecimento de estratégias para pensar em um plano de resolução (6:1/6, para descobrir quantos sextos há em 6) e conhecimento de algoritmo para executar o procedimento adotado (uma divisão de frações, no primeiro problema e uma regra de três no segundo).

No grupo 1, 80% dos estudantes também apresentaram desempenho insuficiente nos problemas matemáticos, apesar de, em sua maioria, terem demonstrado uma boa capacidade verbal. Isso pode sugerir que as dificuldades encontradas por esses estudantes possam ter origem em dois fatores ou em ambos: conceitos malformados em relação aos conhecimentos numéricos básicos necessários para a resolução de problemas matemáticos ou o conteúdo dos problemas (divisão de frações e regra de três) ainda não está dominado por esses alunos.

Como se pode constatar no Gráfico 1, o grupo 1 demonstrou um desempenho mais homogêneo em relação às categorias (exceto a categoria de Problemas Matemáticos, já comentada), não havendo, na maior parte dos casos, predomínio absoluto de uma categoria em detrimento de outras. Já o desempenho dos estudantes do grupo 2 foi mais heterogêneo, pois grande parte dos alunos apresentou um desempenho melhor na categoria Relações de Frases Escritas, mas baixo desempenho nas demais. Entretanto, cabe destacar que muitos estudantes desse grupo apresentaram baixo desempenho em todos os tipos de problema.

Em relação à Tarefa de Resolução de Problemas com Equações algébricas do 1° grau (TRPEA), os estudantes apresentaram uma pontuação média de 15,71 pontos (DP=2,55), com máxima de 20 pontos (+2DP) e mínima de 10 pontos (-2DP), demonstrando, em primeira análise, um bom desempenho na resolução dos problemas. O desempenho médio em cada questão, por grupos, pode ser verificado na Tabela 1, em que se observa um melhor desempenho dos estudantes do grupo 1 (ACC) na resolução dos problemas da TRPEA (lembramos que a pontuação máxima é de 5 pontos em cada problema).

Tabela 1

		Problema 1	Problema 2	Problema 3	Problema 4
	Média	3,83	4,56	4,72	4,22
Grupo 1	DP	0,79	0,51	0,57	0,55
	Média	2,44	3,67	4	3,67
Grupo 2	DP	1,15	0,91	0,84	0,84

Fonte: dados da pesquisa

Os resultados do WASI apresentaram correlação estatisticamente significativa (0,638; p<0,001) com a TRPEA (apresentação da distribuição dos dados no Gráfico 2), mostrando que há relação entre a competência cognitiva mais geral para a resolução de problemas e o desempenho na resolução de problemas com equações algébricas do 1° grau.

A aplicação do teste t-Student também evidenciou diferença significativa entre os grupos em relação à TRPEA (5,687; p<0,001; M=3,46; DP=0,61).

Pode-se observar, no Gráfico 3, que no grupo 1 há um ponto que representa um dado do grupo que está abaixo do limite inferior da amostra, ou seja, um sujeito do grupo 1 que teve um desempenho bastante inferior à média do grupo. No grupo 2 há um desempenho bastante heterogêneo, como pode ser verificado pelo comportamento do intervalo apresentado no gráfico, sendo que alguns estudantes apresentaram desempenho semelhante aos estudantes do grupo 1.

Essa diferença estatisticamente significativa entre os grupos 1 (ACC) e 2 (BCC) sugere que alunos com maiores níveis de competência cognitiva apresentam melhor desempenho na resolução de problemas com equações algébricas do 1^a grau. Esse achado corrobora os estudos de Chi e Glaser (1992), Nokes, Schunn e Chi (2010) e Chi (2011) que sugerem que diferenças no desempenho estão baseadas em processos cognitivos e organizações mentais, sendo que alunos mais competentes possuem maior capacidade de organização do conhecimento na memória de longo prazo, podendo acessá-lo durante a resolução do problema; processam melhor as informações envolvidas na resolução; possuem esquemas ricos e organizados; e utilizam processos de automatização de etapas da resolução do problema que possibilitam pouco controle consciente, prevenindo a sobrecarga da memória de trabalho, o que resulta em melhor desempenho.

O presente estudo destacou a existência de correlação entre a competência cognitiva geral para a resolução de problemas e o desempenho na resolução de problemas com equações algébricas do 1° grau, evidenciando um melhor desempenho em estudantes mais competentes. Tal diferença no desempenho resulta de conhecimento conceitual e processual bem organizado e processos cognitivos estruturados, que permitem um melhor monitoramento da resolução. Desse modo, na área de resolução de problemas, parece haver possibilidade de generalização de uma capacidade mais ampla para situações mais específicas, como é o caso dos problemas matemáticos com equações algébricas do 1° grau.

Cabe, ainda, destacar que há limitações que impossibilitam a generalização desse resultado, como a amostra reduzida, a abordagem de somente duas variáveis e a TRPEA que possui número reduzido de problemas para avaliar o desempenho. Contudo, este estudo tem implicações para o ensino, pois, ao apontar a relação direta entre competência cognitiva e desempenho na resolução de problemas envolvendo equações algébricas do 1° grau, evidencia a importância dos processos cognitivos que estão subjacentes à resolução de problemas e que podem ser potencializados pelos estudantes, por meio da prática de estratégias que podem ser trabalhadas em sala de aula. Um ensino voltado também para o desenvolvimento de capacidades cognitivas, e não apenas para o exercício do conteúdo matemático, é provável de ser eficaz no que se refere à resolução de problemas com equações algébricas do 1° grau. Entretanto, há necessidade de mais estudos, incluindo estudos interventivos, a fim de verificar a possibilidade do ensino de estratégias cognitivas que visem o aprimoramento da competência cognitiva e o seu efeito na aprendizagem desse e outros conteúdos matemáticos.