O interesse pelo estudo das concepções dos professores a respeito das Geometrias não Euclidianas adveio da junção entre a história pessoal dos autores – acadêmica e profissional – e o ensino de Geometrias. Nos últimos seis anos, temos nos dedicado a estudar as consequências da inserção de conteúdos de Geometrias não Euclidianas, que ocorreu em 2008, nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica – DCE do estado do Paraná. Durante esses estudos, frequentemente percebia-se contradições, incertezas, opiniões e preferências dos professores sobre as Geometrias¹.

As DCE é o documento oficial do estado do Paraná, responsável por nortear e recomendar os conteúdos e metodologias que podem ser empregados nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. O Documento está divido em duas partes: na primeira, são exibidas algumas considerações sobre a Educação Básica e a opção pelo currículo disciplinar. A segunda parte trata de questões referentes à disciplina de Matemática, tais como: dimensão histórica da disciplina, fundamentos teórico-metodológicos, os conteúdos estruturantes, os encaminhamentos metodológicos e a avaliação. Quanto aos conteúdos estruturantes, eles são divididos em cinco: Números e Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometrias, Funções e Tratamento da Informação.

O conteúdo Geometrias se desdobra nos seguintes: Geometria Plana, Geometria Espacial, Geometria Analítica e noções básicas de Geometrias não euclidianas. Quanto às Geometrias não Euclidianas, as DCE do Paraná recomendam, para o Ensino Fundamental trabalhar com “geometria projetiva (ponto de fuga e linhas do horizonte); Geometria topológica (conceitos de interior, exterior, fronteira, vizinhança, conexidade, curvas e conjuntos abertos e fechados) e noções de geometria dos fractais” (PARANÁ, 2008, p. 56).

No Ensino Médio as DCE recomendam apresentar aos estudantes noções de Geometrias não Euclidianas, ao abordar a Geometria dos Fractais, Geometria Projetiva, Geometria Hiperbólica e Geometria Elíptica². Com relação a essas Geometrias, as Diretrizes recomendam:

Por fim, o documento expõe que esses conteúdos “são fundamentais para que o aluno do Ensino Médio amplie seu conhecimento e pensamento geométrico” (PARANÁ, 2008, p. 57).

Diante das recomendações das DCE e das experiências vivenciadas pelos pesquisadores, intensificou-se o interesse em investigar as concepções dos professores sobre as Geometrias. Portanto, a problemática desta pesquisa surge como o fruto de um período de interrogações, da procura de fundamentos teóricos e de reflexões sobre o tema concepções e das questões que envolvem as Geometrias.

Desse modo, este trabalho é o resultado de um estudo a respeito das concepções de vinte e sete professores de Matemática, pertencentes a vinte e sete diferentes Núcleos Regionais de Educação – NRE³ – do Estado do Paraná, sobre as Geometrias.

Para atingir o objetivo, realizou-se uma pesquisa qualitativa, cujo instrumento selecionador foi um questionário. Para a coleta de dados, especificamente, organizou-se uma entrevista semiestruturada e trinta e seis cartões que versam sobre as Geometrias.

Como o objetivo era entrevistar um professor de cada NRE, foi necessário criar alguns critérios para selecionar os professores que fariam parte da investigação. Nesse sentido, elaborou-se o questionário, que foi enviado no início de fevereiro de 2012, para os professores que atuam nas escolas públicas do estado do Paraná. O questionário continha tópicos e perguntas relacionadas a dados gerais sobre os professores. Também questionava se os professores ensinam as Geometrias e o que entendem por Geometrias. O questionário foi enviado para os e-mails oficiais de todos os professores do estado do Paraná, via Secretaria de Educação, e as respostas foram encaminhadas para o e-mail de um dos pesquisadores.

Após a obtenção dos questionários respondidos, selecionou-se um professor de cada NRE para participar da entrevista. O critério utilizado para escolher os professores foi selecionar os professores que deram resposta à questão sobre o que eles entendem por Geometria Euclidiana e por Geometrias não Euclidianas. Destaca-se que professores de cinco Núcleos não aceitaram participar da entrevista⁴, portanto, os sujeitos da pesquisa são vinte e sete professores. As entrevistas foram realizadas nas cidades nas quais os professores residem; os horários e dias foram combinados entre um dos pesquisadores e o professor participante.

Antes de iniciar as entrevistas, elaborou-se um roteiro com onze tópicos e questões que versam sobre Geometrias. No entanto, ao elaborar o roteiro percebeu-se que era preciso algo a mais para identificar as concepções dos professores. Diante desse fato, foram confeccionados trinta e seis cartões com palavras, representações de entes geométricos e objetos relacionados com as Geometrias. Para elaborar os cartões, foram investigados os principais conceitos e resultados de cada Geometria e as considerações das DCE sobre as Geometrias não Euclidianas. A figura 1 retrata esses cartões.

Os cartões foram utilizados no decorrer da entrevista, e a apresentação se deu da seguinte forma: o pesquisador apresentava as questões da entrevista semiestruturada e, posteriormente, espalhava os cartões, de forma aleatória, sobre uma mesa. A seguir solicitava que os professores relacionassem aqueles que considerassem pertinentes, ou que escolhessem um ou mais cartões para comentar. Na ocasião, procurou-se deixar os professores à vontade, para que pudessem expressar seus conhecimentos, opiniões, ideias e preferências sobre as Geometrias.

Por fim, para analisar os dados obtidos, utilizou-se a análise de conteúdo descrita por Bardin (2007). Para desempenhar a análise, todas as entrevistas foram gravadas em vídeo e posteriormente transcritas. Após a transcrição, realizou-se a leitura flutuante dos documentos. Durante essa leitura definiu-se qual seria o corpus da análise, ou seja, “o conjunto dos documentos considerados e que seriam submetidos aos procedimentos analíticos” (BARDIN, 2007, p. 122). Surgiram, assim, as primeiras hipóteses do trabalho.

Destaca-se que, quando do início da pré-análise e da exploração do material, não tínhamos hipóteses pré-concebidas a respeito das concepções dos professores. A análise de conteúdo foi feita, como descreve Bardin (2007, p. 124), “às cegas,” ou seja, as hipóteses surgiram com a exploração do material. Após a leitura flutuante, surgiram alguns indicadores que foram imprescindíveis na exploração do material. Nessa fase, realizaram-se, novamente, várias leituras das transcrições, com o objetivo de codificar e construir as categorias.

De acordo com Bardin (2007, p. 129), a codificação diz respeito ao tratamento do material, e “corresponde a uma transformação – efetuada segundo regras precisas – dos dados em bruto do texto”. Bardin (2007, p. 130-1) expõe, ainda, que para realizar uma análise de conteúdo é preciso obter uma unidade de registro e de contexto. No caso da pesquisa, a unidade de registro refere-se às concepções dos professores. As categorias foram construídas por meio de conjuntos de palavras ou de fragmentos das falas dos professores. Para estabelecer as categorias, foram observados os traços mais relevantes, as semelhanças, os contrastes e diferenças obtidos nas respostas dos professores.

Quanto aos participantes da pesquisa, todos são professores de Matemática que atuam em escolas públicas do estado do Paraná. Esses professores têm graduação em Matemática (treze professores), em Ciências com habilitação em Matemática (treze professores) e Ciências Biológicas com habilitação em Matemática (um professor). Todos, no momento da investigação, tinham pelo menos uma especialização, sendo que cinco já haviam participado do PDE⁵, quatro estavam participando do programa, dois eram mestres e cinco estavam cursando o Mestrado.

Quanto à formação em Geometrias não Euclidianas, somente um professor estudou Geometria Projetiva durante a graduação e outros dois comentaram que ouviram falar dessas Geometrias na graduação. Nenhum professor estudou ou ouviu falar das Geometrias não Euclidianas na Educação Básica. Após a graduação, quinze professores estudaram alguns conceitos e resultados das Geometrias não Euclidianas por meio de cursos oferecidos pela SEED⁶, pelos NRE's e nos GTR's⁷. Oito professores conhecem alguns conceitos e resultados das Geometrias não Euclidianas, porque leram e estudaram a respeito do assunto, e quatro professores nunca estudaram as Geometrias não Euclidianas.

Dentre as cinco Geometrias não Euclidianas recomendadas pelas DCE, vinte e três professores já estudaram ou leram algo sobre a Geometria Fractal, seis professores sobre a Geometria Projetiva, quatro professores sobre a Geometria da Superfície da Esfera e dois professores sobre a Geometria Hiperbólica e a Topologia.

Escolheu-se estudar as concepções, por acreditar que elas desempenham um papel importante na vida e na tomada de decisões dos professores. Cury (1994, p. 25) destaca que o interesse pelo estudo das concepções e crenças dos professores de Matemática sobre a disciplina e a influência que ela exerce na prática teve sua “origem no início do século XX, a partir das preocupações dos psicólogos sociais que procuravam entender a influência das crenças sobre o comportamento das pessoas”. A partir da década de 1980, o interesse pelo estudo das concepções e crenças intensificou-se entre os estudiosos de diversas áreas: psicólogos, cientistas políticos, antropólogos e educadores. Com o desenvolvimento da Educação Matemática, a preocupação com o ensino e aprendizagem desta disciplina, bem como o estudo das concepções, passou a ter destaque nos trabalhos dos Educadores Matemáticos, principalmente, nos Estados Unidos e em Portugal.

Embora utilizado por muitos pesquisadores, o termo concepção é polissêmico, e, nesse sentido, difícil de definir porque não apresenta um único significado.⁸ Ferreira (1998, p. 20) destaca que “atitudes, representações, valores, concepções e crenças apresentam características muito próximas, e, por vezes, mostram-se entrelaçados. Agrava a situação o fato de que muitas e diferentes entre si são as definições para cada um destes termos”.

Um dos primeiros trabalhos cujo foco foi o estudo das concepções foi o da pesquisadora norte-americana⁹ Alba Thompson (1997). Thompson (1997) investigou as concepções de Matemática e de ensino de Matemática de três professoras da junior high school (equivalente a 4^a série ou 5° ano do Ensino Fundamental) e analisou a relação entre as concepções das professoras e suas práticas pedagógicas. A pesquisadora observou que as professoras desenvolveram padrões de comportamentos que caracterizavam a sua prática pedagógica e, por isso, “podem ser manifestações de noções, crenças e preferências, conscientemente sustentadas” ou “podem ser crenças ou intuições, inconscientemente sustentadas, que podem ter evoluído fora da experiência do professor” (THOMPSON, 1997, p.12). Anos mais tarde, Thompson (1992) apresentou a seguinte definição para o termo concepções:

Assim, a definição de concepção apresentada por Thompson inclui as crenças, opiniões, conceitos, significados, regras, imagens mentais e as preferências dos professores. Tem-se, então, uma definição mais complexa de concepções, pois abarca um quadro de outras noções que constituem uma rede de representações dos docentes. Em outras palavras, compõem as crenças, as imagens mentais, as opiniões, as preferências; algumas, de dimensões mais elaboradas; outras, de dimensões mais superficiais.

Para o pesquisador português João Pedro Ponte (1992) o interesse pelo estudo das concepções dos professores, bem como de outros profissionais, baseia-se na hipótese de que o indivíduo possui uma base conceitual que determina o seu pensamento e as suas ações. Essa base conceitual “é de uma natureza diferente dos conceitos específicos – não diz respeito a objetos ou acções bem determinadas, mas antes constitui uma forma de os organizar, de ver o mundo, de pensar” (PONTE, 1992, p.1). Para o autor, as concepções atuam como uma espécie de filtro, ou seja, ajudam a estruturar o sentido que damos às coisas, mas também podem agir como um elemento bloqueador em relação a novas realidades ou problemas, limitando nossas possibilidades de ação e compreensão.

Ponte (1992) destaca que a criação e propagação das concepções estão relacionadas com contexto histórico, com a origem profissional (formação inicial e continuada, tanto no que se refere à parte científica quanto pedagógica) e com os aspectos sociais (expectativas dos alunos, pais e professores, administração escolar, currículo, entre outros). Para o autor, o estudo das concepções deve considerar a natureza do conhecimento, uma vez que são as concepções que ajudam a entender e compreender o mundo a nossa volta.

Outro pesquisador português que também discorreu sobre o termo concepções foi Henrique Guimarães (1988, 2003). Para ele, o estudo das concepções dos professores insere-se em uma área reconhecida “como o estudo do pensamento ou do conhecimento do professor” (GUIMARÃES, 2003, p. 4); e esclarece que conhecer as concepções do professor é ter acesso à sua “‘vida mental’ […] conhecer e compreender os vários aspectos do seu pensamento e conhecimento, bem como as relações desses aspectos com a atuação ou comportamento”.

Para o termo concepção, na pesquisa de doutorado, o autor descreve que as concepções são um instrumento do pensar e expõe que, à luz da noção de concepção, pode-se associar um sentido de construção ou criação de algo,

Dos trabalhos de pesquisadores brasileiros que buscaram compreender o termo concepção, destaca-se o da pesquisadora Helena Cury (1994) que, após fazer uma revisão da literatura sobre os termos crenças e concepções, optou pelo termo concepções por acreditar que ele “engloba toda a filosofia particular de um professor” (CURY, 1994, p.37, grifo autor). A pesquisadora destaca a importância das influências, dos professores formadores e dos colegas, na formação do sistema de crenças dos professores a respeito da Matemática. Para a autora, “as idéias veiculadas pela cultura matemática, a partir das principais correntes filosóficas da Matemática, disseminam-se entre os matemáticos, entre os autores de livros-textos, entre os pesquisadores em Educação Matemática, entre os responsáveis pelos currículos dos cursos de Licenciatura” (CURY, 1994, p. 33). Na citação a seguir, encontra-se a conceituação para o termo concepção, dada por Cury,

Por fim, recorre-se também ao Novo Dicionário de Língua Portuguesa. Ferreira (1986, p. 445) expõe que concepção é “o ato de conceber ou criar mentalmente, de formar ideias, especialmente abstrações; noção, ideia, conceito, compreensão; modo de ver, ponto de vista; opinião, conceito”. A definição apresentada pelo Novo Dicionário de Língua Portuguesa engloba a maioria dos termos usados pelos pesquisadores descritos anteriormente.

Diante do exposto, entende-se o termo concepções como os conhecimentos, as opiniões, as preferências e as ideias que os professores apresentam. Portanto, neste trabalho, investigar as concepções dos professores implicará averiguar os conhecimentos, as opiniões, as preferências e as ideias que os participantes desta pesquisa apresentam a respeito das Geometrias.

A história das Geometrias não Euclidianas está atrelada ao quinto postulado de Euclides, o postulado das paralelas. Alguns matemáticos tentaram demonstrar que o quinto postulado era um teorema dedutível dos quatros primeiros postulados, além das definições e dos axiomas. Outros, ao longo dos séculos, tentaram eliminar o quinto postulado do sistema euclidiano. Houve, também, aqueles que tentaram mostrar que o quinto postulado poderia ser substituído por algum princípio mais simples e mais evidente (BARKER, 1969 p. 47-8).

Foi, no entanto, a negação do quinto postulado de Euclides que desencadeou a construção de novas Geometrias. As Geometrias não Euclidianas, por exemplo, são assim chamadas porque não estão de acordo com, pelos menos, um dos cinco postulados de Euclides.

Pela sua história, quando se faz referencias às Geometrias não Euclidianas, em geral, refere-se à Geometria Hiperbólica e à Geometria Elíptica – cujos postulados negam ou abandonam alguns dos postulados de Euclides – mas, após a observação de que existem outras Geometrias que não satisfazem um ou mais postulados dos Elementos de Euclides, foi adotado, neste trabalho, o critério de designá-las, também, de não Euclidianas.

Lobachevsk iniciou a construção da Geometria Hiperbólica. Este matemático rejeitou somente o quinto postulado de Euclides, mas conservou os demais, bem como os axiomas da Geometria Euclidiana. Os matemáticos Felix Klein (1849-1925) e Henri Poincaré (1864-1912) criaram modelos para a Geometria Hiperbólica. Na Geometria Hiperbólica, é possível obter, por um ponto fora da reta, mais de uma reta paralela à reta dada. Uma das consequências desse resultado é que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é menor que dois retos.

Apesar do nome Geometria Elíptica constar nas DCE do Estado do Paraná, espera-se que seja trabalhada, na Educação Básica, a Geometria da Superfície da Esfera. A Geometria Elíptica, particularmente, provém da Geometria da Superfície Esférica, mas é um pouco mais elaborada, conforme foi observado na nota de rodapé número 5. Foi nesse sentido que esta pesquisa foi pensada, ou seja, ela trata das concepções dos professores em relação à Geometria da Superfície da Esfera, e não da Geometria Elíptica.

Após a construção da Geometria Hiperbólica, Riemann (1826-1866) construiu a Geometria da Superfície da Esfera. Nessa Geometria, o primeiro postulado (dois pontos determina uma reta), o segundo (um segmento de reta pode ser prolongado) e o quinto postulados (dada uma reta e um ponto fora dela é possível traçar por este ponto uma única reta paralela a reta dada) de Euclides não são válidos. Na Geometria da Superfície da Esfera, não temos retas paralelas, pois dada uma reta qualquer e ponto fora desta reta, sempre existirá uma reta que passa por esse ponto e intercepta a reta dada. Um resultado importante da Geometria da Superfície da Esfera refere-se à soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, que sempre será maior do que 180°.

A Geometria Projetiva surgiu antes da Geometria Hiperbólica, porém só foi considerada uma Geometria não Euclidiana anos mais tarde. O desenvolvimento da Geometria Projetiva está atrelado ao desenvolvimento da perspectiva. Essa Geometria é o estudo das propriedades descritivas das figuras geométricas e, em termos axiomáticos, uma das diferenças entre a Geometria Euclidiana e a Geometria Projetiva está na inexistência de retas paralelas. Nessa Geometria, as retas se encontram na linha do horizonte, ou linha no infinito, ou ainda, reta imprópria, que contém os pontos de fuga, ou pontos no infinito, ou pontos impróprios. Essa Geometria também não se preocupa com as propriedades métricas de seus objetos e sua axiomática é diferente daquela adotada pela Geometria Euclidiana.

O início da Topologia pode ser creditado ao estudo do problema das sete pontes de Königsberg. A topologia estuda as questões qualitativas dos objetos e não quantitativas. Alguns exemplos básicos de conceitos topológicos são as noções de vizinhança, de interior e exterior, de aberto e fechado, de conexo e desconexo, de contínuo e descontínuo, de orientação de espaços, entre outros. Nota-se que a maioria desses conceitos são percebidos e compreendidos, intuitivamente, pelas crianças antes mesmo da compreensão de conceitos da Geometria Euclidiana.

A Geometria Fractal, por outro lado, está associada à autossimilaridade, à dimensão e à complexidade infinita dos objetos e teve seu início com Benoit Mandelbrot. Fenômenos e figuras encontradas na natureza são explicadas de forma mais satisfatórios pela Geometria Fractal do que pela Geometria Euclidiana. Na Topologia e na Geometria Fractal, também são abandonados os postulados de Euclides.

Diante das leituras sobre as Geometrias não Euclidianas e das recomendações expostas pelas DCE, nos propomos a investigar as concepções dos professores a respeito desses conteúdos. Na sequência, seguem as categorias encontradas e excertos das falas, de alguns dos participantes da pesquisa e a análise.

Durante a investigação foi possível obter três categorias referentes às concepções dos professores a respeito das Geometrias não Euclidianas:

Constatou-se que seis professores não apresentam uma concepção sobre as Geometrias não Euclidianas. Dentre esses, quatro professores nunca haviam estudado essas Geometrias, sendo que uma das participantes da pesquisa não sabia da inclusão das Geometrias não Euclidianas nas DCE do Paraná. Segue o comentário da professora P01:

Antes de iniciar a pesquisa, acreditava-se que seria praticamente impossível encontrar algum professor de Matemática, atuante nas escolas públicas do Estado do Paraná, que não tivesse conhecimento da inclusão desse conteúdo nas Diretrizes. Essa hipótese decorria do fato de que as DCE consistem no documento oficial que norteia e recomenda os conteúdos e metodologias que devem ser aplicadas nas salas de aula das escolas públicas do Estado e, também, pelo fato das reformulações das DCE terem sido debatidas em processo de discussão coletiva¹⁰. O caso dessa professora nos faz pensar sobre a dificuldade da divulgação, da implementação e da utilização de uma estrutura curricular.

Dois professores dessa categoria, apesar de terem lido ou estudado sobre o assunto não apresentaram, mediante as análises dos meios utilizados para a pesquisa, uma concepção sobre o assunto, como se exemplifica com a fala da professora P02, na qual não se identifica uma concepção de Geometria não Euclidiana: “[…] parece que é uma coisa redonda […] essa Geometria parece que só vai ter coisas redondas nela. […] essa Geometria aqui da não Euclidiana […] quando eu penso nela parece que tudo é redondo […] não sei por que, mas na minha cabeça passa isso”.

Da segunda categoria, temos treze professores que apresentaram suas concepções por meio de algumas ideias e opiniões a respeito das Geometrias não Euclidianas. Com o objetivo de compreender melhor os elementos discursivos que levaram a essa categorização, são citados a seguir, com breves análises, algumas das respostas dadas por alguns participantes da pesquisa. Segue o comentário de P03:

Observa-se que essa professora entende que as Geometrias não Euclidianas estão relacionadas a diferentes planos, esferas e curvas, talvez pensando na Geometria da Superfície Esférica. A frase final demonstra que P03 sabe da inclusão das Geometrias não Euclidianas nas DCE do Paraná, mas afirma categoricamente que não trabalha com essas Geometrias com seus alunos. Percebeu-se, em outros momentos da entrevista, que essa professora tinha algumas ideias de Geometria Fractal, mas não soube explicar, mesmo que informalmente, algum conceito ou resultado dessa Geometria. Além disso, ela comentou que reta paralela está relacionada somente com a Geometria Euclidiana e que não comentaria com seus alunos o resultado sobre retas paralelas da Geometria Hiperbólica, por exemplo.

Quando questionado sobre o que responderia a um aluno que o perguntasse sobre o que é uma Geometria não Euclidiana, o professor P04 deu a seguinte resposta:

Infere-se, por meio dessa fala, que o professor P04 acredita que as Geometrias não Euclidianas são Geometrias que foram construídas, porque a Geometria Euclidiana não era suficiente para observar algo, enxergar algo que não está visível naquele momento. Porém, sabe-se que a primeira Geometria não Euclidiana, aceita como tal, foi a Geometria Hiperbólica, que foi construída teoricamente a partir da negação da unicidade de reta paralela a uma reta dada, passando por um ponto fora dela, e não por necessidade de enxergar algo não visível por meio da Geometria Euclidiana.

Para a frase - é difícil para um professor caracterizar que um triângulo pode ser maior ou menor do que 180° - têm-se duas hipóteses: a primeira é que P04 não sabe que o que dá 180° é a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, e não que um triângulo é maior que 180°. A segunda hipótese, e talvez a mais provável, seja a pouca importância que se dá ao expressar conceitos geométricos utilizando a linguagem Matemática, que é uma das mais importantes representações semióticas da Matemática. Além disso, P04 destaca que é difícil encontrar professores que trabalhem a diferença existente sobre a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo na Geometria Euclidiana, na Hiperbólica e na Esférica, e a hipótese muito provável é que isso esteja, de fato, acontecendo no ensino das Geometrias.

Outro professor que apresenta algumas ideias e opiniões em relação às Geometrias não Euclidianas é a professora P05, segue o recorte da sua fala: “[…] eu poderia falar assim das paralelas, dos meridianos […] e também que ela tá (sic) muito envolvida com o computador, e iria praticar com o computador; assim a mão seria praticamente, seria difícil aqueles gráficos bem complicados”.

Além disso, quando P05 é apresentada à palavra Topologia, comenta que: “[…] o que eu entendo de Topologia, mais ou menos, é uma Geometria que foi, tipo assim, fotografada lá de cima, uma visão assim maior”.

Para completar, P05 afirma que:

Para a professora P05, as Geometrias não Euclidianas estão relacionadas aos paralelos e meridianos e envolvem o computador. Porém, P05 não soube explicar de que modo elas estão relacionados com paralelos e meridianos. Também comentou que só conseguiria trabalhar com essas Geometrias se o estudo fosse feito no computador e que, para ela, Fractais, Geometria Projetiva e Topologia não eram Geometrias não Euclidianas, e que Fractais só tinha aplicação na Arte, sendo utilizados pela questão da beleza. Essa observação, por sua vez, nos coloca diante de um fato: será que a professora leu as DCE, já que lá são citadas como Geometrias não Euclidianas todas as outras Geometrias tratadas na pesquisa? Outro elemento interessante dessa frase é: como será que essa professora conheceu a palavra Geometria Hiperbólica, classificando-a como não Euclidiana? Quando questionada sobre o que chamou sua atenção nas Geometrias não Euclidianas, ela comentou que nada chamou sua atenção e que ela somente havia feito, durante a graduação, um trabalhinho sobre Lobachevsky.

Em relação à Topologia, a participante P05 a confunde com a palavra Topografia, uma vez que ela afirma que a Topologia é “uma Geometria que foi, tipo assim, fotografada lá de cima, uma visão assim maior,” que não tem relação com conceitos topológicos descritos anteriormente, e sim, com acidentes geográficos, que podem ser obtidos por meio de fotos para estudar suas situações e localizações.

Na sequência é dado mais um exemplo de uma professora, P06, que apresenta algumas ideias e opiniões em relação às Geometrias não Euclidianas:

P06 ainda fez o seguinte comentário: “É preciso ficar tudo bem definido da Geometria Euclidiana pra (sic) eu saber o que não é dela. Isso que você fala faz sentido: por que a gente não trabalha; tem a questão do professor não estar dominando? Tem; e tem a questão assim, é tanto conteúdo”.

Para a professora P06, a Geometria Euclidiana não satisfazia mais e, por isso, surgiram as Geometrias não Euclidianas para auxiliar no cálculo de curvas, até na teoria da relatividade. A professora P06 acredita que as Geometrias não Euclidianas são Geometrias que foram construídas, por que a Geometria Euclidiana não era suficiente para resolver alguns problemas do cotidiano. A professora P06 destacou a importância do conhecimento da Geometria Euclidiana para conseguir compreender e trabalhar com as Geometrias não Euclidianas. Citando Poincaré, temos:

Em outras palavras, é possível estudar outras Geometrias sem conhecer a Geometria Euclidiana, mas a história nos apresentou primeiramente a essa Geometria e, assim, aparentemente, todas as outras estão baseadas nela, o que não é verdade, pois, por exemplo, não há modelos da Topologia e os principais exemplos da Geometria dos Fractais não são fundamentados na Geometria Euclidiana, mas, sim, nasce utilizando espaços topológicos.

Mas a frase – é preciso ficar tudo bem definido o que é da Geometria Euclidiana pra (sic) eu saber o que não é dela - é bastante importante, pois aponta uma observação que se tem feito, em relação à preocupação de muitos professores em querer conhecer melhor a Geometria Euclidiana, para poder compreender melhor o que não faz parte dessa Geometria.

Por meio dos dados obtidos, percebe-se que as concepções da maioria dos professores é fundamentada em suas opiniões, ideias e preferências a respeito das Geometrias. Em geral, não são fundamentadas nos conceitos e resultados sobre as Geometrias. Também, observou-se que elas foram construídas, principalmente, no decorrer de cursos oferecidos pela SEED e pelos Núcleos Regionais de Educação do estado do Paraná. A maioria dos professores já ouviu falar, principalmente dos Fractais, por meio desses cursos. No entanto, acredita-se, os estudos realizados nos cursos não foram suficientes para integrar os conteúdos não euclidianos às suas concepções. Esses novos conteúdos podem ter criado uma instabilidade intelectual, mas não foram suficientes para produzir uma nova concepção.

Oito professores apresentaram suas concepções por meio de resultados ou conceitos das Geometrias não Euclidianas. Destacam-se as falas de quatro professores, que são seguidas de comentários. Para o professor P07

Para o professor P07, as Geometrias não Euclidianas estão relacionadas com curvas, com a quebra do quinto postulado e, por isso, as retas se encontrariam no infinito. Ao mencionar a quebra do quinto postulado, P07 está se referindo à negação do quinto postulado. Acredita-se que, ao mencionar que as retas se encontram no infinito, está aludindo ao fato de que na Geometria Projetiva, não existem retas paralelas e, ao mencionar a questão das curvas, refere-se à Geometria da Superfície da Esfera.

Outro participante que expôs suas concepções por meio de resultados e conceitos das Geometrias não Euclidianas foi a professora P08:

Na opinião da professora P08 a diferença entre a Geometria Euclidiana e as não Euclidianas está pautada no fato de que em outras Geometrias existem outros planos, diferentes do euclidiano, como se observa na frase nosso planeta, ele não é um plano, então existe uma outra Geometria que trabalha com ele. Cita, também, mesmo que indiretamente, a Geometria Projetiva, quando afirma que se você vê uma estrada as duas retas, que no caso são o meio fio, lá na frente elas vão se encontrar. Cabe ressaltar, aqui, a frase: na Geometria Euclidiana, duas retas não se encontram. Provavelmente, o que a professora quis dizer aqui é que, nessa Geometria, as retas paralelas não se encontram. Novamente, destaca-se a importância da linguagem apropriada. Apesar, evidentemente, que alguns professores não se sentem à vontade diante de uma câmera. Quanto ao comentário - a Geometria Fractal que trabalha mais com a realidade, com os formatos das montanhas que não são feitas de figuras perfeitas - percebe-se a concepção segundo a qual, com Geometria Fractal, é possível analisar e dar respostas mais satisfatórias para as questões da natureza do que com a Geometria Euclidiana. A seguir destaca-se a fala de mais uma professora, P09:

Segundo a professora P09, as Geometrias não Euclidianas surgiram de uma mudança no postulado das paralelas. Aliás, a frase responsável por levar a essa conclusão merece ser comentada, pois P09 afirma que historicamente tinham os postulados e que o povo começou a desconfiar daquele tal do postulado. Ao comentar que o povo começou a desconfiar tem-se como hipótese que P09 está se referindo aos matemáticos que buscaram entender o postulado das paralelas. Essa professora também utiliza uma frase bastante comum que apareceu nesta pesquisa, e também nas pesquisas de Santos (2009) e Carli (2012): as paralelas podem ter um ponto em comum lá no infinito. Nesse caso, está se referindo, na verdade, ao ponto de fuga acrescentado na Geometria Projetiva. A professora P09 também comentou que nos Fractais nos deparamos com figuras com diferentes dimensões. Por fim, salienta-se a fala da professora P10:

O professor P10 conhecia conceitos e resultados de todas as Geometrias não Euclidianas apresentadas, mas com alguns problemas conceituais. Por exemplo, P10 expôs que as Geometrias não Euclidianas estão relacionadas aos espaços curvos, mas o que é espaço curvo? Outro problema é com a frase: aquela coisa que por um ponto fora de uma reta só tem uma reta paralela isso cai por terra na Geometria, por exemplo, esférica. Que aí vai ter uma infinidade. Na Geometria da Superfície da Esfera, não existem retas paralelas. Quanto à Geometria Fractal, P10 afirma: você pode ter um polígono com infinitos lados e comprimento finito. A hipótese, nesse caso, é de que para o professor P10 os polígonos continuam existindo nessa Geometria, só que agora eles podem ter infinitos lados e comprimento finito. P10 também expressa um pouco de conhecimento de Topologia, como pode ser observado na frase: as ideias da Topologia […] na faixa não tem dentro e fora […] a ideia de dentro e fora não faz sentido. Provavelmente, ele está se referindo à faixa de Möbius, mas, na Topologia, os conceitos de interior e exterior são fundamentais, mas de fato, na faixa de Möbius, não faz sentido falar de dentro e fora.

Ressalta-se, aqui, a importância de um participante fazer vários comentários, uma vez que é possível observar com mais clareza as suas concepções. Observem a frase: a Geometria Euclidiana é excelente, para um universo pequeno; se você for estudar um universo maior, você vai ver que ela é insuficiente. A hipótese é que, para esse professor, as Geometrias não Euclidianas têm sua importância no estudo de objetos de dimensão (tamanho) muito grandes. Talvez, isso venha da relação que existe entre a Geometria da Superfície da Esfera e a Superfície da Terra. De fato, nesse caso, localmente, não se percebe a curvatura da Esfera e a Geometria Euclidiana pode ser explorada localmente, como se ela fosse plana no sentido euclidiano. Mas, outras Geometrias não Euclidianas não se preocupam com as questões métricas, como é o caso, por exemplo, da Geometria Projetiva ou da Topologia.

Diante dos dados obtidos, destaca-se que ao investigar as concepções dos professores, buscava-se saber, de um modo geral, o que os professores pensam sobre as Geometrias não Euclidianas. Na verdade, pretendia-se ter acesso ao pensamento do professor, ou como diz Guimarães (2003, p. 4) à sua “vida mental […] em conhecer e compreender os vários aspectos do seu pensamento e conhecimento”. Diante das concepções obtidas, observa-se que elas são, em sua maioria, fundamentadas em opiniões, preferências e ideias sobre as Geometrias. Nesse sentido, tudo indica os professores estão na fase de identificação dos conceitos não euclidianos, ou seja, eles ainda não integraram os conhecimentos não euclidianos às suas concepções.

No entanto, sejam as concepções sobre as Geometrias, pautadas em conhecimentos ou não, opiniões ou preferências, formadas e mantidas por meio das experiências vividas e/ou assimiladas nos cursos de graduações, de pós-graduações ou em cursos de formação, acredita-se que elas são apresentadas no cotidiano da sala de aula.

Estudar as concepções dos professores é, segundo Ponte (1992), fazer antropologia na nossa própria cultura; trata-se de um esforço particularmente difícil, tanto pelo objeto de estudo quanto pelo fato de o investigador estar inserido na mesma cultura que o investigado. Ponte (1992, p. 34) expõe que as pessoas raramente sentem-se à vontade para expor “as partes mais íntimas do seu ser,” bem como em expressar as suas concepções, particularmente, àquelas que não estamos habituados a pensar reflexivamente.

Nesta investigação, o termo concepção foi entendido como o conjunto de conhecimentos, opiniões, preferências e ideias que os professores possuem a respeito das Geometrias não Euclidianas. Salientamos que a esses aspectos somam-se às opiniões dos professores sobre a Matemática como disciplina, sobre seu ensino e aprendizagem, sobre seu papel como professores de Matemática e sobre o aluno como aprendiz.

No que se refere às concepções sobre as Geometrias não Euclidianas, obtivemos três categorias: 1) professores que não apresentam concepções a respeito dessas Geometrias; 2) professores que apresentam algumas ideias e opiniões; 3) professores que expõem suas concepções por meio de resultados e/ou conceitos das Geometrias não Euclidianas.

Na categoria 1, encontram-se professores que desconhecem as Geometrias não Euclidianas e professores que já ouviram falar sobre o assunto, porém ainda não construíram uma concepção a respeito. Os professores da categoria 2 apresentam algumas ideias e opiniões a respeito das Geometrias não Euclidianas. Nota-se, assim, que os professores conhecem pouco os fundamentos teóricos das Geometrias não Euclidianas constantes na DCE. Cabe destacar que a maioria dos professores ainda não integrou os conteúdos não euclidianos às suas concepções. Grande parte dos professores que compõem essa categoria estudou Geometrias não Euclidianas em cursos oferecidos pela SEED ou pelos NRE's, contudo, esses cursos não foram suficientes para instaurar novas concepções e reflexões acerca do conhecimento geométrico. Tudo indica que o estudo dos conteúdos não euclidianos não foi suficiente para produzir uma nova concepção. Acredita-se que se trata, portanto, de concepções em formação. Os professores da categoria 3 já apresentam noções que se aproximam da teoria das Geometrias não Euclidianas. Eles usaram conceitos e/ou resultados dessas Geometrias para expressar suas concepções.

Apesar das concepções observadas, defende-se a inclusão do tópico noções de geometrias não-euclidianas nas DCE, uma vez que essa inclusão estimulou, ainda que insatisfatoriamente, o estudo das Geometrias e promoveu, inclusive, uma reflexão sobre a própria Geometria Euclidiana, além de mostrar que a Geometria Euclidiana não é a única Geometria que existe. Nossa hipótese – mas que necessita de outras pesquisas – é a de que as concepções sobre as Geometrias foram e estão sendo alteradas e formadas com a inclusão das novas Geometrias na Educação Básica.

Por fim, salienta-se que identificar, descrever e analisar as concepções dos professores é uma condição indispensável para transformar o cenário do ensino de Geometrias.