Na reflexão a respeito das informações que os alunos apresentam em situações de aula ou de prova, mais especificamente na busca da compreensão das formas como os alunos lidam com tarefas de Matemática, deve-se levar em consideração o papel relevante que os enunciados das tarefas propostas exercem.

Estudos desenvolvidos pelo GEPEMA¹ que tiveram como objeto a “avaliação como prática de investigação” (BURIASCO; FERREIRA; CIANI, 2009; FERREIRA, 2009) e a análise da produção escrita e, como meta, conhecer as formas pelas quais alunos e professores lidavam com as tarefas propostas revelam que uma das principais dificuldades apresentadas pelos estudantes refere-se à interpretação de seus enunciados em situação de avaliação. Por considerar relevante conhecer o papel que os contextos podem desempenhar nas tarefas dos estudantes, apresentamos um estudo a respeito de enunciados de tarefas matemáticas na busca para conhecer suas classificações, características, potencialidades, constituição.

Considerando que, por um lado, o contexto envolvido em uma tarefa exerce um papel importante (TREFFERS; GOFFREE, 1985; DE LANGE, 1987; TREFFERS, 1987; VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 1996, 2005; SHANNON, 2007), sendo, por vezes, um aspecto que pode determinar o sucesso, ou não, dos estudantes em suas resoluções (CLEMENTS, 1980; VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 1996, 2005) e, por outro, que as tarefas de sala de aula não devem ser diferentes das de avaliação, e que esta deveria mostrar indícios da aprendizagem do estudante, fez-se relevante um estudo do que as tarefas podem oportunizar, isso na perspectiva de uma Educação Matemática que leva em conta a fenomenologia didática², a matematização, a reinvenção guiada³.

Nessa direção, a pesquisa (FERREIRA, 2013) que gerou este artigo buscou apresentar um quadro de referência para a leitura de enunciados de tarefas matemáticas e, no sentido de conhecer suas características, seguiu uma abordagem qualitativa de cunho interpretativo sob as orientações presentes na análise de conteúdo (BARDIN, 2004), à luz de pressupostos teóricos da Educação Matemática Realística como quadro de referência para a análise dos enunciados e contextos de tarefas de Matemática presentes em um livro didático.

Partindo do pressuposto de que a avaliação escolar deve fornecer informações a respeito da aprendizagem dos estudantes, devemos pensar em instrumentos de avaliação que contenham tarefas que possibilitem aos estudantes apresentar essas informações. Para tanto, a flexibilidade⁴ da tarefa, a pergunta, o contexto, a forma de apresentação são assuntos que merecem ser estudados.

A ênfase que a RME (Realistic Mathematics Education - Educação Matemática Realística) coloca no contexto das tarefas matemáticas, que envolvem situações por meio das quais os estudantes possam imaginá-las, torná-las reais em suas mentes, realizá-las, é o que dá o nome à abordagem realística da educação matemática preconizada por Hans Freudenthal (FREUDENTHAL, 1983). Os contextos, nessa perspectiva, parecem ser a matéria-prima da matematização.

O contexto de uma tarefa pode apresentar situações realísticas, fantasiosas, factuais, ou pode até mesmo ser estritamente circunscrito por uma linguagem matemática (VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 1996). O contexto pode ser um potencializador para a oportunidade de matematizar. O fato de um contexto integrar uma situação do cotidiano não é suficiente para que o estudante possa aprender algo ao lidar com ele. Com isso, não é possível dizer a priori quais seriam bons problemas de contexto, visto que essa caracterização depende da relação que o resolvedor em potencial estabelece com o enunciado. Todavia, a hipótese é de que a proximidade do contexto com o repertório do estudante aumenta a possibilidade de matematização⁵.

Para Borasi (1986), um dos principais papéis do contexto para a realização de uma tarefa é o de fornecer ao resolvedor as informações que possam permitir sua resolução. Também argumenta que experiências na resolução de problemas da vida real poderiam contribuir para o desenvolvimento de diferentes estratégias, para analisar contextos, para elaborar formulações matemáticas.

Clements (1980) chamou a atenção para a necessidade de pesquisas a respeito dos fatores que fazem com que alguns problemas aritméticos verbais sejam mais acessíveis do que os correspondentes aritméticos estruturados, apesar de envolverem mais leitura, compreensão e transformação. Sua pesquisa revelou que, em um teste com 126 estudantes, 58 acertaram o item⁶ a seguir “Questão 5 - Escrevam a resposta correta para 1−1/4″, enquanto 98 acertaram o problema aritmético verbal correspondente “Questão 18 - Um bolo é cortado em quatro partes iguais e Bill leva uma das partes. Que fração do bolo resta?” (CLEMENTS, 1980, p. 19, tradução nossa).

Os problemas que apresentam situações contextuais não devem ser apresentados apenas em fase de aplicação, como é feito tradicionalmente, mas também em fase de desenvolvimento e exploração, pois fazem com que os estudantes reconheçam a utilidade da Matemática em suas necessidades e vida diária, além de despertarem a curiosidade e a criatividade (DÍAZ; POBLETE, 2005; VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 2001). Para Van den Heuvel-Panhuizen (2001), Problemas de Contexto e situações da vida real servem para constituir e aplicar conceitos matemáticos: enquanto trabalham com problemas de contexto, os alunos podem desenvolver ferramentas e compreensão matemática. Os Problemas de Contexto são definidos na RME como situações-problema que são experimentalmente reais para os estudantes (GRAVEMEIJER; DOORMAN, 1999).

Um problema de contexto, em geral, necessita de matematização, o que pode demandar alguma exploração do estudante que pretende resolvê-lo. Por outro lado, se for possível matematizar o problema de maneira quase automática e sem muitos esforços, não se trata de um problema de contexto, mas de um exercício de matematização (DÍAZ; POBLETE, 2005). Contextualizar o conhecimento matemático não significa simplesmente simulá-lo em sala de aula com qualquer atividade cotidiana, porém exige conhecer as representações que os alunos fazem desse conhecimento e conhecer o significado de suas concepções (DÍAZ; POBLETE, 2005). Díaz e Poblete (2005) apresentam uma classificação para tarefas (problemas⁷) segundo seu contexto:

O papel dos contextos nas tarefas de avaliação é um assunto complexo que vai muito além de simplesmente motivar os estudantes a lidar com uma tarefa (SHANNON, 2007). Para a autora, a importância atribuída aos contextos das tarefas está associada mais à oportunidade que representam para a abstração matemática por meio de situações diversas e diferentes representações do que tornar o contexto matemático familiar aos estudantes. No entanto, ela reconhece que esse é um papel importante dos contextos para tornar o conhecimento matemático mais acessível a eles e ainda argumenta que o potencial de uma tarefa de contexto para gerar discussão e abstração depende do modo como ela é tratada. Além disso, por mais útil que a tarefa seja, pode ser inútil se os alunos não tiverem condições de lidar com a complexidade da Matemática intrínseca subjacente.

Problemas de contexto têm formas específicas, conteúdos e funções, podem ser editados em linguagem puramente aritmética, como problemas de palavra e texto, e serem apresentados por meios de jogos, histórias, noticiários, modelos, gráficos, ou ainda pela combinação de tais portadores de informações, agrupados em temas ou projetos (TREFFERS; GOFFREE, 1985). Dependendo da forma como o problema é utilizado, pode ser considerado como de contexto ou não (problema de palavra⁹).

Um dos princípios da RME é relativo ao papel que os contextos dos problemas desempenham na formação dos estudantes. De acordo com Treffers e Goffree (1985), esses contextos cumprem uma série de funções:

Os Problemas de Contexto são considerados como uma matéria-prima no que diz respeito ao Princípio da Realidade, o qual, dentre outros quatro/cinco princípios, caracteriza a Educação Matemática Realística, segundo educadores como Van den Heuvel-Panhuizen (1996, 2000, 2001, 2010), Treffers (1987) e Streefland (1991). Esse princípio concebe a realidade como uma fonte para a aprendizagem. Fundamentado na perspectiva da Matemática como atividade humana, assim como a Matemática tem origem na matematização da realidade, a natureza da aprendizagem matemática também tem sua origem na matematização da realidade¹⁰.

No ambiente pedagógico, matematizar a realidade significa explorar contextos ricos que demandam uma organização matemática ou, em outras palavras, contextos que podem ser matematizados. Se os estudantes vivenciarem o processo de reinventar a Matemática como uma expansão do que já conhecem, essa pode ser uma aproximação desejável entre suas experiências de vida cotidiana e a Matemática, pois ambas farão parte da mesma realidade (GRAVEMEIJER; DOORMAN, 1999).

Nesse sentido, espera-se que os estudantes, ao trabalhar com problemas de diferentes contextos, possam desenvolver ferramentas matemáticas, compreensão, estratégias que sejam intimamente ligadas ao contexto. Partindo da exploração de fenômenos diversos, por meio de estratégias menos informais, e progredindo no sentido de sistematizar e obter caráter de um modelo formal, por meio da matematização, certos aspectos do contexto matemático podem tornar-se mais gerais e fornecerem apoio para a resolução de outros problemas relacionados (VAN DEN HEUVEL-PANHUIZEN, 2001). A fim de cumprir a função de passagem entre um nível informal e o formal, os modelos que recebem caráter modelo de (específicos) passam a um modelo para (mais geral) (STREEFLAND, 1991).

No que diz respeito às possibilidades de matematização, De Lange (1987, p. 76-77) classifica diferentes usos/utilidades/fins/objetivos (uses) dos contextos (de terceira, segunda e primeira ordem), como segue.

Uma das funções mais características da RME é o uso dos contextos para formação conceitual, tal aspecto está relacionado ao que se chama de “processo de matematização conceitual”. De Lange (1995) explicita que, quando se trata de tarefas de prova escrita, essa função do contexto não é sempre utilizada, pelo fato de que, usualmente, não são introduzidos novos conceitos durante uma prova, mas são aplicados conceitos matemáticos de alguma forma. Por conseguinte, nas tarefas de avaliação são associadas, quase sempre, apenas as três primeiras classes de funcionalidades dos contextos.

A seguir são apresentados alguns exemplos de enunciados de tarefas, segundo a classe de funcionalidade do contexto, apresentados por De Lange (1995).

Com base nos três níveis de funcionalidade de contexto apresentados por De Lange (1995), Meyer et al. (2001, p. 523) destacam cinco papéis do contexto no ensino e aprendizagem da que são muitas vezes interativos: motivar os alunos para explorar nova Matemática; oferecer a eles a oportunidade de aplicar a Matemática; servir como uma fonte de Matemática nova; sugerir uma fonte de estratégia de solução; fornecer uma âncora para a compreensão matemática.

No que diz respeito à importância da utilização de problemas de contexto, Dekker e Querelle (2002) apresentam algumas razões: (a) para introduzir um novo assunto ou conceito em Matemática – por meio de exemplos dentro de um contexto, o conteúdo matemático envolvido pode tornar-se mais claro; (b) para praticar um novo conceito ou procedimento – resolvendo muitos problemas de contexto diferentes com mesmo conteúdo matemático, os estudantes podem aprender a utilizar e aplicar o conteúdo; (c) para mostrar o poder da Matemática – ao compreender que diferentes problemas de contexto podem envolver o mesmo conteúdo matemático; (d) para envolver os estudantes no problema – usando problemas da vida real, eles podem mostrar que são matematicamente alfabetizados e que sabem como a Matemática é utilizada para resolver problemas que surgem em situações da vida real.

Em uma tentativa de clarificar o conceito de problema, Borasi (1986) faz uma análise de vários exemplos a partir de quatro conceitos relacionados: (a) a formulação de um problema, isto é, a definição da tarefa a ser executada, (b) o contexto em que o problema está inserido, (c) o conjunto de soluções adequadas, (d) os métodos de abordagem que poderiam ser empregados na resolução do problema. De acordo com os quatro conceitos relacionados e suas características, a autora classifica os problemas em sete agrupamentos, que são apresentados parcialmente¹¹ no quadro a seguir juntos de suas relações com o contexto (item b) e exemplos.

Segundo tal classificação, a existência de contexto parece estar relacionada ao “grau” em que uma situação é apresentada no enunciado, de uma forma mais geral, diz respeito à “situação na qual o problema está embutido” (BORASI, 1986, p. 129).

O projeto PISA¹³, segundo o documento INEE (2005), pretende dar possibilidade de que a intuição e a compreensão matemática dos estudantes sejam avaliadas em diferentes situações¹⁴. Documentos do PISA (OECD, 2003; OECD, 2004a; OECD, 2006; OECD, 2010), em geral, classificam as situações em quatro ou cinco grupos. Para o PISA (OECD, 2006), a situação é a parte do mundo do estudante em que as tarefas se situam e está localizada a certa distância do estudante. A situação mais próxima é a da vida pessoal do estudante, em seguida vêm a da vida escolar, da vida profissional e de lazer, depois a da comunidade local e a sociedade. Situações científicas são as mais distantes¹⁵.

O uso de situações nos contextos das tarefas de Matemática do PISA está relacionado à possibilidade de fornecer um contexto autêntico¹⁶ para o uso da Matemática.

Propor aos estudantes tarefas matemáticas que apresentem contextos diversos é uma alternativa para que possam ampliar seus conhecimentos, pois, mais do que aprender a operar dados, o ensino da Matemática deveria propiciar que os alunos pudessem resolver tarefas com mais referência em sua realidade do que aquelas apenas do tipo efetue, some, divida, calcule a seguinte regra de três, apresentadas rotineiramente nas escolas. Até porque a aprendizagem escolar pode se constituir como uma base para que nossos alunos continuem aprendendo, dentro e fora da escola, para que tenham uma participação efetiva na sociedade.

No que diz respeito à classificação das tarefas com base no agrupamento de Díaz e Poblete (2005), Ferreira (2013), que estudou tarefas matemáticas em um livro didático tradicional, observa que os contextos das tarefas explorados no seu estudo limitam-se apenas a dois grupos: ser puramente matemáticos ou revestidos de alguma situação artificial com referência na realidade. Os problemas de contextos reais (que podem ser produzidos efetivamente na realidade) e os fantasiosos não são explorados. Por esse motivo, dentre outros, acreditamos que estabelecer relações entre os conteúdos matemáticos aprendidos na escola e suas utilidades em situações reais, fora dela, parece tão difícil aos estudantes. A referência obtida se resume, quase sempre, em aprender Matemática de forma técnica, mecânica ou, no máximo, inserida em situações artificiais.

Há de se levar em consideração que não é o fato de uma tarefa apresentar alguma situação real, ou com referência na realidade, ou ainda fictícia que faz com que ela venha a se constituir em um Problema de Contexto. Com isso, autores como De Lange (1999) e Van den Heuvel-Panhuizen (1996, 2005) justificam a relevância do contexto para a resolução do problema. Se a questão pode ser facilmente despida e resolvida sem o uso da situação, muito provavelmente estamos lidando com um Problema de Palavras, cuja situação pode ser substituída por outras análogas.

Um bom Problema de Contexto é o que conta com a característica de a situação ser autêntica para a resolução do estudante. Desse ponto de vista, o assunto matemático e a situação são dificilmente separáveis. O caráter da autenticidade vai ao encontro do que a Educação Matemática Realística propõe: a Matemática no ambiente de ensino e aprendizagem deve emergir da exploração de fenômenos que são experiencialmente reais, mais especificamente, realísticos. Real não no sentido de ser factual, verdadeiro, mas real no sentido de ser imaginável, concebido, concreto (por ter passado pelo processo de abstração²⁴), verossímil. Por esse motivo, acreditamos que a tradução para realístico é mais apropriada.

A autenticidade de uma tarefa está fortemente ligada à relação que o sujeito estabelecerá com ela. Portanto, é possível acontecer de um bom Problema de Contexto (aos olhos do educador) não representar um problema (que valha a pena ser resolvido) para o estudante.

Contudo, considerar que, mesmo que uma tarefa envolva situação de fato real, não é condição suficiente para ser um Problema de Contexto se o estudante não reconhecer na situação a relevância para a resolução. Nesse caso, pode-se dizer que o problema é de contexto camuflado, serve apenas para promover a Matemática desejada.

Com relação à relevância do contexto para o problema, De Lange (1987, 1995, 1999) estabelece alguns critérios, que se relacionam tanto com a importância que o contexto desempenha na resolução quanto com a oportunidade de matematização. Com isso, a possibilidade de matematizar parece estar fortemente associada ao papel que o contexto desempenha no sentido de que quanto mais realístico o contexto proposto for, mais o estudante tem a oportunidade de torná-lo familiar e, por conseguinte, produzir a sua Matemática.

Consideramos que o enunciado de uma tarefa, por si só, não garante a possibilidade ou não de matematização. O enunciado da tarefa é apenas um mote, e para que sua execução oportunize a matematização deve-se considerar também o contexto prático no qual a tarefa é empregada, o tratamento e a situação na qual o professor trabalha com ela. Tal aspecto pode ser motivo de análises futuras.