Las culturas mesoamericanas fueron marcadas por una amplia influencia religiosa que, como es sabido, guardo siempre una estrecha significación astronómica. En las distintas regiones de Mesoamérica todas las ciudades se construyeron obedeciendo los modelos astronómicos de acuerdo a los movimientos de los astros sobre el horizonte. Por lo general, los monumentos religiosos - pirámides, estelas, altares, discos etc. - dedicados a los dioses, fueron vinculados, principalmente, con el planeta Venus y con el Sol. Las conjunciones de estos astros - es decir, los eclipses o tránsitos de Venus por el disco solar - fueron la clave para establecer, inicialmente, los cómputos calendáricos durante el período clásico maya. No obstante, una estructura vigesimal relacionada con los cómputos astronómicos se aprecia en monumentos mayas de los siglos I a. C. y I d. C. y con gran dinamismo en la determinación de las conjunciones de estos astros a lo largo de los siglos III y IV d. C. (GARCÉS, 1982, p. 45).

El principio motor de la cultura maya del clásico, estriba en que las conjunciones entre los dos astros se producen cada 584 días - también llamado período sinódico de Venus -, resulta que 5 de estos períodos equivalen a 2,920 días, que, divididos por 365 días, - período sinódico del Sol - dan, precisamente, 8 años; de aquí que después de este tiempo tendrá lugar una conjunción de Venus estando la Tierra en el mismo puesto que ocupaba 8 años antes. Esto indica que 5 años venusinos equivalen a 8 años solares (584X5=2,920=365X8). El numeral 2,920 fue llamado por el investigador alemán FORSTEMANN (1906) número correlacional lo cual dio la pauta para entender todo el sistema numérico y astronómico contenido en las estelas mayas y en el códice Dresden - un códice precolombino que contiene fundamentalmente información astronómica relacionada con la cultura maya² - fue nombrado de esa manera por la correspondencia que establece entre el 5 y el 8 y los períodos sinódicos de los astros mencionados; como puede comprobarse, en cada caso se guarda la proporción de la constante astronómica 1.6 días.

Los numerales mayas que describen tanto los números correlacionales como las proporciones entre el Sol y los diferentes planetas, se refieren a las tres notaciones: el punto, con valor de una unidad, la barra horizontal que representa al cinco y el cero que se simbolizaba con una flor calendárica, una concha o, incluso, un caracol. Con estas argumentaciones de naturaleza matemática los antiguos mesoamericanos geometrizaron, con gran precisión, los observatorios astronómicos, incluso el de Paquimé guarda esa proporción, como se intenta probar en los siguientes rubros.

Los observatorios astronómicos y centros ceremoniales fueron construidos a través de las proporciones calendáricas mencionadas, toda vez que el ingreso del Sol, por alguno de sus lados, era controlado por uno de los símbolos deidades dominantes de estas culturas, es decir las Grecas escalonadas y en espiral. El observatorio astronómico de Paquimé no fue la excepción.

Como es sabido, uno de los objetos de arte característicos de Paquimé son las ollas de barro, las cuales fueron decoradas con figuras de Grecas escalonadas en recoveco, y en otros casos en espiral, simétricas con amplios diseños geométricos y pintadas de colores policromados vivos que van en tonalidades del ocre al rojo (Figura 3). No obstante, estas formas geométricas se aprecian en las configuraciones de cerámica de las antiguas culturas mesoamericanas desde principios de nuestra era, de donde después serían llevadas al occidente de México y, posteriormente, al noroeste (BRANIFF, 2009, p. 74), como debió ser en el caso de Paquimé. Por su lado, VEGA (1980) estudió una buena cantidad de ollas de cerámica azteca - 117 en total - de aproximadamente el año de 1400 de nuestra era, asumiendo que estas:

Para su estudio, Vega bosquejó los diseños de las ollas en planta, como si les viera desde arriba y boca abajo, y les cruzó con un par de diagonales (Figura 4) que simulan los ejes cardinales, en este caso sesgados a 45° o bien cada uno contenido en un arco de 90°, con lo cual se aprecian las seriaciones de las grecas en forma simétrica respecto de esta última. Según la autora, las grecas escalonadas, en meandro y en espiral de la cerámica - en uno de los casos analizados, cuyo color es bicromado bruñido en negro sobre rojo oscuro - “[…] representan un semi-año del curso del Sol que iría del solsticio de invierno al de verano o viceversa” (VEGA, 1980, p.160)³.

Como se verá más adelante, la definición estacional otorgada por Vega a la posición de las grecas en la cerámica es importante, ya que forma parte de la actividad práctica, cultural, religiosa y astronómica que desarrollaron los grupos mesoamericanos.

Bajo el mismo diseño se encuentra la Olla de Paquimé que se muestra en la Figura 5. Esta última es policromada en rojo con fondo ocre y muestra las representaciones de grecas en espiral y en recoveco dispuestas simétricamente respecto de un conjunto de líneas en diagonal. La disposición simétrica de estas figuras se reproduce, además, en la parte media inferior de la olla.

De manera semejante, BRANIFF, (2009, p.78-82) analizó el que ha llamado Espejo de Cintura (Figura 6), pequeño ornamento circular en cobre, correspondiente a la cultura Paquimé, cercana a los años 1100-1200 de nuestra era, que contiene grecas escalonadas en forma de meandro dispuestas simétricamente, cuyas huellas tienen incrustado mosaico de turquesa y concha. Según la investigadora, las grecas representan a la diosa mesoamericana Xiuhcóatl - Serpiente de Fuego - la cual aparece en diversas manifestaciones religiosas de las culturas maya, tolteca y azteca: pirámides, lienzos, estelas etc.

En el caso del círculo exterior que representa al Espejo de Cintura, es innecesario trazar las diagonales para verificar la simetría de las figuras. Si se asume el punto de vista del curso del Sol en la cerámica estudiada por Vega, se pudiera afirmar que la cabeza de la Xiuhcóatl apunta en dirección de los puntos solsticiales. No obstante que en esta dirección Braniff sólo comenta la influencia mesoamericana en el diseño del Espejo de Cintura.

Sin embargo, el modelo solsticial en este ornamento no es casual, ni vago, puesto que el mismo enfoque conceptual se encuentra a diferente escala en otros monumentos mesoamericanos, como es el caso de la pirámide de Tenayuca, al norte de la Ciudad de México⁴ (Figura 7). Según afirma GARCÉS (1982, p. 276):

En si mismos, los glifos analizados por VEGA (1980), la propia cerámica de Paquimé, así como el Espejo de Cintura estudiado por BRANIFF (2009) y la pirámide de Tenayuca, representan modelos en los que se aprecian diferentes técnicas y recipientes en las que los mesoamericanos y, en su caso los paquiménses, ordenaron los movimientos astronómicos de los astros. Incluso en la pirámide de Tenayuca, la figuración de los solsticios en los diferentes ornamentos refleja una representación viva del pensamiento religioso y astronómico de esas culturas.

Según ÁVILA (2002) y BRANIFF (2009), algunos de los ornamentos, como en el caso del Espejo de Cintura, fueron artículos que comerciantes toltecas distribuyeron en el la zona de Paquimé.

Sin embargo, esta interacción mercantil no aclara cómo esos comerciantes pudieron ayudar a los paquiménses en el diseño, trazo y construcción del Observatorio Astronómico del sitio, hoy conocido como Montículo de la Cruz, ni tampoco cómo hicieron para orientar al Norte Verdadero dicho montículo.

Según ÁVILA (2002, p.28) “[…] los edificios ceremoniales (mesoamericanos) se orientaban generalmente según los puntos cardinales y se colocaban alrededor de enormes espacios abiertos […]”, como es el caso de Monte Albán⁵ y el Tajín. No obstante, otros centros ceremoniales fueron orientados a partir de los ejes solsticiales y equinocciales: “[…] estas estructuras son en la mayoría de los casos orientadas en relación a las salidas o puestas de Sol en días específicos del ciclo solar” (BRODA, 1993), como es el caso de los observatorios de Uaxactún, en Guatemala y el observatorio del Caracol en Chichén Itzá en Yucatán, e incluso Teotihuacán. Ambos modelos de orientación astronómica determinan intenciones cosmológicas que se complementan. El asunto de los solsticios atendía la necesidad de tener control del año ritual de 260 días que ayudaba a ajustar el trabajo agrícola a los ciclos naturales de las estaciones, mientras que la orientación con los ejes cardinales de los observatorios obedece más a una postura de carácter arquitectónica, sujeta también al modelo solsticial. El modelo de observación solsticial de la Figura 8 se refiere al observatorio de Uaxactún, Petén Guatemala, el cual fue estudiado por MORLEY (1964) y es considerado un clásico que ha encaminado en el estudio de este tipo de observatorios. Cabe destacar que la plataforma sobre la que se encuentran dispuestas las tres pirámides está debidamente orientada al Norte Geográfico, cuyo eje E-O establece el propio eje solsticial, siendo el eje perpendicular N-S el que corresponde a los equinoccios⁶, además de la rigurosa simetría que guarda la disposición de los edificios. Como se puede ver en la imagen de la Figura 8, enfrente de la plataforma se encuentra otra pirámide, la E-VII, sobre cuyas escalinatas se ubica el punto de observación. Según GARCÉS (1982):

El observatorio de Uaxactún procede del siglo IV d.C. y representa un instrumento geométrico muy sencillo y adecuado para las observaciones solsticiales.

Una sofisticación y mejoramiento de los observatorios mayas se puede apreciar, todavía, en el juego de luz y sombras del templo de Kukulcán en Chichén Itzá (600-900 d.C.), cuya ilusión óptica deja ver el movimiento de una serpiente que indica los solsticios del 21 de marzo y aquel del 22 de septiembre. Otro monumento importante, y de mayor sofisticación, es el observatorio del Caracol, también en Chichén Itzá, el cual involucra una mayor cantidad de posibilidades de observación como son la puesta de la Luna en su máxima declinación, así como los ejes solsticiales y equinocciales del Sol. El mismo modelo solsticial se muestra en Copán, hoy Honduras, según MORLEY (1964):

El Montículo de la Cruz - véase este último en la parte superior de la fotografía satelital de la Figura 2 - fue efectivamente un observatorio solsticial y equinoccial diseñado bajo el mismo concepto que los observatorios mesoamericanos referidos anteriormente. El montículo se edificó al norte del caserío de Paquimé sobre una parte plana y alta del terreno, desde la cual se domina todo el sitio, se encuentra a flor de tierra y tiene una altura promedio de 0.64 cm. Para su edificación se involucraron materiales elementales, fue construido con piedra rústica, conformando, así, plataformas que se rellenaron posteriormente con tierra y escombro, sin utilizar mortero o cal.

Desde su origen el eje vertical fue orientado al Norte Geográfico; es posible que la orientación se haya efectuado alineando el eje N-S de la cruz con alguna de las estrellas circumpolares de la época de su construcción⁷, puesto que las culturas mesoamericanas tenían conocimiento de estas últimas.

En cuanto a su diseño, los ejes principales de la cruz miden 13.7 m el N-S, por 15 m el E-W. En la punta de cada eje cardinal aparecen basamentos circulares que, aparentemente, muestran la posición estacional del Sol tanto en el eje E-W como en el N-S (Figura 9). El eje E-O tiene un ancho de 3.90 m, en tanto que el que corresponde al N-S lo es de 1.72 m. En promedio, los círculos de cada extremo cuentan un diámetro de entre 6.90 y 7.50 m. El eje N- S se encuentra ligeramente desviado de la vertical hacia el SE, en lo que correspondería al Sur franco, incluso el eje E-W se ve ligeramente desviado, como se puede corroborar en la fotografía satelital de la Figura 2. Habrá que destacar que a lo largo de los años el montículo ha sido remozado en sus paredes laterales, de manera que las longitudes actuales cuentan con ligeras modificaciones.

No obstante lo anterior, ¿cuál fue la perspectiva geométrica a la que obedecen las construcciones de los centros ceremoniales mesoamericanos que todavía sobreviven?

La cruz de Paquimé es muy semejante a otras que se han encontrado en diversas regiones mesoamericanas, por ejemplo las que se muestran en la Figura 10, - la segunda y la tercera son representaciones solsticiales que aparecen en glifos mayas y se aprecian en el códice Dresden, en tanto la primera se encuentra en un petroglifo del sitio conocido como el Tecomate, en el estado mexicano de Sinaloa - e, incluso, se ha considerado que es parecida al ícono que representa al planeta Venus en las propias culturas mesoamericanas. Estas representaciones son dispuestas en cuatro cuadrantes cardinales los cuales forman un rectángulo, como se aprecia en las imágenes segunda y tercera. Por la banda E-O transita el Sol durante el año, mientras que por la N-S se presentan los fenómenos equinocciales.

Según Mora (1984, citado en CEDEÑO, 1998), el estudio que este último realizó sobre el montículo de Paquimé, alrededor de los años ochenta del siglo pasado:

Lo cierto es que Mora encontró una buena aproximación entre las proporciones de los ciclos calendáricos y los valores de las raíces de 2, 3 y 5, más ello no significa que los antiguos mesoamericanos conocieran explícitamente los resultados de esas cantidades, como lo menciona CEDEÑO en algún apartado de su reporte, además de que Mora contempla la utilidad de dichas raíces considerándoles diagonales de los cuadrados unitario y doble en el diseño original de los templos y observatorios, lo cual en la práctica de la modelación geométrica de estos centros resulta complicado. No obstante, y como se verá enseguida, son las relaciones calendáricas asociadas con la conocida razón de oro de Fibonacci, las que permiten modelar geométricamente el diseño de los observatorios mesoamericanos.

Si con la idea de las proporciones calendáricas se verifican las relaciones entre las longitudes de los rectángulos que determinan algunos de los centros ceremoniales mesoamericanos conocidos, por ejemplo el de Zempoala, que se aprecia en la Figura 11, se tendrían los siguientes valores, para la Plataforma (rectángulo externo): - relación Venus-Sol - para el Templo Mayor: - relación Sol-año ritual - y para el Templo de las Chimeneas: - relación Sol-año ritual - resultados, estos últimos, que efectivamente indican cierta veracidad con las proporciones calendáricas.

Enseguida se ha construido un rectángulo de Fibonacci a partir de un cuadrado de lado dos, como sugiere Mora, resultando el que aparece en la Figura 12, con las longitudes que ahí se muestran. El rectángulo se dibujó partiendo el cuadrado doble por la mitad y, haciendo centro en ese punto medio, se trazó enseguida el semicírculo que se muestra - el proceso que se siguió es el mismo con el que se llega a la conocida como razón de oro - El rectángulo así trazado tiene por lados los valores +1 y 2, siendo la relación entre ambos la proporción aurea: . 618, que se corresponde con la proporción que guardan las longitudes de los lados de la plataforma del centro ceremonial de Zempoala, es decir: , toda vez que estos últimos se relacionan con las proporciones del ciclo calendárico ya mencionado de Venus respecto al Sol: . Sin embargo, y como se ha comentado, la validez del modelo se restringe solamente a una cifra después del punto decimal y deja una clara incertidumbre en la determinación de los valores reales del centro ceremonial a través del propio modelo geométrico.

Por otra parte, si el semicírculo que se trazó desde el punto medio del cuadrado doble de la Figura 12, solamente tocara los extremos de éste último en su parte inferior, se puede, así, construir otro rectángulo cuyos lados sean y 2, con una diagonal de longitud 3, como el que se muestra en la segunda imagen de la Figura 13. En este caso, está en proporción con el ciclo calendárico de Venus y el año ritual de 260 días, es decir: , siendo que □ 2.24.

Lo interesante de este último rectángulo es que modela, con muy buena precisión, a las cruces mesoamericanas que se aprecian en la Figura 14, las cuales son semejantes con la cruz de Paquimé. Para verificarlo, se dejo el lado menor del rectángulo que forman cada una de ellas con una longitud de tamaño dos - independientemente de la escala a la que originalmente se hayan diseñado - de manera que la longitud del lado restante se aproxima al valor de ≈ 2.236 , obsérvese esto último en las tres imágenes de la Figura 14. La proporción que guardan ambos lados del rectángulo es de . En el caso de los lados más anchos de la segunda y tercera cruces, estos miden 0.90 cm por 0.666 cm, los lados más delgados, cuya proporción es de , que viene a ser la misma entre la diagonal 3 del rectángulo y el lado , es decir: .

En la misma proporción que las cruces anteriores se encuentra la de Paquimé. Como vimos, esta última mide 15 por 13.7 m, cuya proporción arroja , muy semejante a la citada de , obsérvese la proporción en la imagen de la Figura 15. Además, se guarda la proporción entre el ancho de ambos ejes con el ciclo calendárico de Venus y el año ritual de 260 días, es decir: .