El punto de partida de este trabajo es el de seguir indagando en cómo y bajo qué condiciones es posible integrar actividades de modelización en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas y, en particular, en la enseñanza universitaria de esta disciplina. En las últimas décadas, numerosas investigaciones han mostrado cómo las actividades de modelización matemática pueden desarrollarse bajo ciertas condiciones adecuadas en los distintos niveles educativos y en muchos contextos curriculares distintos. A pesar del importante progreso en este ámbito de investigación conocido como modelización y aplicaciones, la difusión y pervivencia de la modelización como una actividad central en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, en todo nivel educativo, se mantiene como uno de los grandes retos de las últimas décadas para la Educación Matemática. Entre otros, Burkhardt (2006) enfatiza la existencia de dos universos: por un lado, el buen progreso y resultados prometedores en el campos de investigación y, por otro, las grandes dificultades y restricciones que nuestras aulas, en todo nivel educativo, tienen por integrar este tipo de actividades. Por su parte, Galbraith (2007, p.78) describe la situación usando una metáfora un tanto provocadora:

El problema de investigación que nos propondremos en este trabajo requiere, en primer lugar, llevar a cabo un análisis epistemológico riguroso y preciso de qué se entiende por modelización matemática, para situarla dentro de un modelo epistemológico general de la actividad matemática. En el ámbito de investigación en el que nos situaremos, el de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD, en adelante), se asume que la modelización matemática debe formar parte integrante de cualquier proceso de estudio de las matemáticas puesto que esta actividad se considera como sinónimo de actividad matemática funcional en contraposición a la actividad matemática formal. Más concretamente, se propone describir los procesos de modelización como procesos de estudio, construcción y articulación de organizaciones matemáticas de complejidad creciente (puntuales, locales, regionales) con el objetivo de dar respuesta a ciertas cuestiones problemáticas que plantean en cierto ámbito de la realidad intra-matemática o extra-matemática (GARCÍA et al., 2006; BARQUERO; BOSCH; GASCÓN, 2011). Estas cuestiones problemáticas serán las que constituirán la razón de ser del proceso de estudio y la modelización matemática el motor e instrumento clave en el proceso de búsqueda, construcción y articulación de herramientas y modelos matemáticos, posibilitando a su vez la constante elaboración de respuestas cada vez más amplias y completas.

Asumiendo este concepto de modelización matemática propuesto des del ámbito de la TAD, será crucial tomar en consideración la dimensión ecológica del problema de la modelización matemática, que significará asumir la existencia de condiciones y de restricciones que, con independencia de la voluntad de los sujetos, inciden sobre la vida institucional de las actividades de enseñanza y aprendizaje de la modelización matemática. Esta nos llevará a cuestionar y estudiar las condiciones de vida (génesis, desarrollo, relación, desaparición etc.) y de difusión de dichas prácticas en las distintas instituciones consideradas. Partiendo de las investigación previas citadas, el problema de investigación didáctica relativo a la enseñanza de la modelización matemática a nivel universitario puede formularse en los siguientes términos, incorporando de manera esencial las dimensiones epistemológica y ecológica inherentes (ARTAUD, 2007; GASCÓN, 2011):

Aparece, aquí, la propuesta de los recorridos de estudio e investigación (REI), introducidos por Chevallard (2006, 2013) cuyo diseño, implementación y análisis ecológico se situarán en la base de esta investigación. Se considera que un REI viene generado por el estudio de una cuestión inicial, que llamaremos cuestión generatriz Q₀, con fuerte poder generador capaz de plantear un gran número de cuestiones derivadas: Q₁, Q₂, …, Q_n. El estudio de estas cuestiones va a conducir a la construcción de ciertas respuestas provisionales R_i que delimitarán el mapa de los posibles trayectorias a recorrer y sus límites, aunque provisionales, en la elaboración de una respuesta final a Q₀. Se generará, así, una red de cuestiones y respuestas que se despliegan en una dialéctica compleja en la cual la construcción y estudio de modelos matemáticos jugará un papel fundamental en proporcionar las herramientas matemáticas necesarias para la elaboración de las sucesivas respuestas y su contraste con el medio experimental intra - o extra - matemático más adecuado.

El problema de la ecología de la modelización matemática, en el caso especial de la propuesta de los REI para la enseñanza universitaria de las matemáticas, ha sido abordado en distintas investigaciones (WINSLØW et al., 2014). En particular, partimos de los trabajos a nivel universitario de Barquero, Bosch y Gascón (2011, 2013) en el caso de los estudios universitarios de Ciencias Experimentales (CCEE) y Serrano, Bosch y Gascón (2013) en el caso de Ciencias Económicas. Con este objetivo se han diseñado, implementado y analizado los REI como dispositivo didáctico para facilitar la inclusión de la modelización matemática y, más concretamente, para situar explícitamente los problemas de modelización matemática en el corazón de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas a nivel universitario. Dichas implementaciones y su posterior análisis han permitido, además de comprobar que el diseño de un REI permitía cubrir los contenidos de un curso anual de matemáticas, empezar a constatar la aparición de diversas restricciones cuando estos dispositivos se introducen en los sistemas de enseñanza universitarios. Entre otros, la necesidad de romper con la rigidez de la estructura clásica de teoría-sesión de problemasexamen y de articular el REI con los dispositivos tradicionales, la necesidad de nuevos dispositivos didácticos para dar cabida a un nuevo contrato didáctico y donde nuevas técnicas didácticas puedan tomar vida, la ausencia de un discurso matemático alternativo para referirse al trabajo de modelización (como las propias nociones de sistema, modelo, reformulación de las hipótesis y de los modelos etc.).

Por otro lado, en Barquero, Bosch y Gascón (2014) se muestra el grado de influencia e impacto que tiene la epistemología espontánea del profesorado de CCEE y de la pedagogía escolar dominante en las instituciones universitarias sobre las condiciones de vida de los REI y, por extensión, sobre la enseñanza de la modelización matemática en dichas instituciones. Esta influencia se materializa en un conjunto de restricciones que se derivan de la forma de interpretar la relación entre las matemáticas y las CCEE y del papel que se otorga a las matemáticas en la enseñanza de las CCEE. En el trabajo citado se caracteriza y contrasta hasta qué punto prevalece la epistemología dominante en la enseñanza universitaria de las matemáticas para las CCEE, que los autores denominan aplicacionismo, bajo la influencia del cual la noción de modelización se restringe enormemente para ser identificada como una mera aplicación del conocimiento matemático previamente enseñado.

En este trabajo nos proponemos dar un paso más para seguir profundizando en el problema de la ecología institucional de la modelización en la enseñanza universitaria de las matemáticas. Nos proponemos analizar distintos aspectos de la relatividad institucional de las organizaciones matemático-didácticas que puedan dar cabida a este tipo de actividades. Como se describe en Sierra (2006), y siguiendo los trabajos de Castela (2004) y Castela y Romo (2011), cada institución mantiene una relación institucional con los saberes matemáticos, por ello, cada institución impone un conjunto de restricciones y condiciones específicas en el proceso de estudio y construcción de los saberes, es decir, en la reconstrucción de las organizaciones matemáticas y didácticas correspondientes, en el sentido de la TAD.

Ciertos aspectos de esta relatividad institucional están estrechamente ligados a los modelos epistemológicos y pedagógicos dominantes de cada institución (SIERRA, 2006, p.111-121). Así, por ejemplo, si en una institución docente determinada, en nuestro caso la universitaria, se restringe enormemente la forma de interpretar la modelización matemática entendiéndola como una mera aplicación del conocimiento matemático previamente construido por el profesor o, en su caso más extremo, como una simple ejemplificación de las herramientas matemáticas en ciertos contextos extra-matemáticos artificialmente construidos¹, entonces se estará dificultando que los estudiantes puedan desarrollar un trabajo autónomo donde propongan, construyan y desarrollen distintos modelos matemáticos, den sus propias respuestas provisionales a ciertas cuestiones problemáticas, exploren entre distintas posibilidades en base a su propio trabajo etc.

Será aquí donde pondremos nuestro foco principal. Nos proponemos empezar a analizar los efectos ligados a la relatividad institucional de los REI y, con ello, estudiar la emergencia, persistencia y alcance de las condiciones y restricciones que emergen en el proceso de diseño (o rediseño), implementación de los REI y análisis de sus puestas en práctica bajo variaciones institucionales. Más concretamente, nos planteamos:

Consideramos, en este trabajo, una doble experimentación realizada a partir de un mismo REI impartido en dos instituciones universitarias distintas: en el grado de matemáticas en la Universidad de Copenhague (curso 2008/09) y en la Universidad Autónoma de Barcelona (curso 2009/10)². Cabe destacar que en estos cursos nos encontramos en condiciones bastante ideales dadas de antemano: se tratan de cursos con estudiantes del grado universitario de matemáticas, que van a cursar una asignatura dedicada en exclusiva a la modelización matemática, la organización temporal de las sesiones son más largas que la organización de otros cursos (sesiones Taller de 2 horas, un par o tres días a la semana), el profesorado implicado en su docencia está muy formado en el ámbito de modelización, entre otros aspectos que iremos destacando a lo largo del trabajo.

A continuación, describimos el diseño de un REI a partir de una cuestión generatriz Q₀ en torno al estudio de la dinámica del flujo de bicicletas en la ciudad de Barcelona, sirviendo de hilo conductor de todo el proceso didáctico. Su estudio generará la construcción de una cadena de cuestiones y respuestas a partir de un proceso progresivo de modelización matemática y con una constante dialéctica con los medios disponibles, que nos llevará a la configuración del cuestión-grama³ del REI que nos servirá de base para analizar posteriormente sus respectivas implementaciones.

La experimentación del proyecto Bicing se realizó en dos ocasiones, durante el curso 2008/09, con estudiantes del grado de matemáticas. Ambas experimentaciones se realizaron bajo condiciones que podrían considerarse excepcionales (en comparación a las descritas en BARQUERO; BOSCH; GASCÓN, 2011, 2014): nos situamos en asignaturas con estudiantes del grado de matemáticas dedicadas exclusivamente a la enseñanza de la modelización matemática. Muchas de las restricciones que habíamos tenido que aceptar en investigaciones previas quedan, aquí, muy atenuadas: la rigidez de los dispositivos didácticos tradicionales teoría-ejercicios-examen, el papel secundario otorgado a la modelización, el examen final como único dispositivo de evaluación, la estructura tradicional de los programas en términos de contenidos matemáticos, entre otras. Aunque debemos destacar, antes de empezar con la breve descripción de ambas experimentaciones, que los cursos plantearon propuestas docentes bastante antagónicas.

A pesar de que ambas experimentaciones fueron muy ricas y se ajustaron bastante a su diseño previsto, tanto los estudiantes como los profesores encargados de los cursos manifestaron diversas resistencias que sacaron a la luz algunas restricciones importantes. En lo que se refiere a los estudiantes las reacciones fueron bastante diferentes, debidas, sin duda, a una diferencia esencial entre ambas experimentaciones: en la UC la experimentación del REI se realizó al final del curso MathMod en el que el contrato didáctico ya estaba bien establecido y los estudiantes ya tenían cierta práctica de lo que, según el enfoque del curso, significaba desarrollar una actividad de modelización matemática. Esperaban, por lo tanto, que fuera el profesor quien propusiera los modelos que había que utilizar y los problemas y sistemas a estudiar. Pero ya disponían de un vocabulario para referirse a la actividad de modelización, habían cogido el hábito de trabajar en grupo, de redactar informes, discutirlos, defenderlos etc. Por el contrario, en la UAB, la experimentación tuvo lugar al inicio del curso y los estudiantes manifestaron muchas de las resistencias que eran predecibles al toparse con unas propuestas completamente atípicas dentro de unos estudios universitarios de matemáticas, resistencias que se debían, principalmente, a cambios bruscos en el contrato didáctico tradicional y a la nueva organización didáctica del curso.

Si nos centramos en la primera experimentación en la UC, podemos considerar que algunas de las restricciones que surgieron, específicamente aquí, fueron consecuencia (o manifestación) del impacto que tiene el modelo epistemológico espontáneo subyacente en las posibles formas de desarrollar el conjunto de prácticas de modelización matemática. Creemos que dicho modelo epistemológico comparte fuertes rasgos aplicacionistas (BARQUERO; BOSCH; GASCÓN, 2014), por ejemplo, el asumir una distinción neta entre las matemáticas y sus posibles intrusiones en los sistemas extra-matemáticos, donde las primeras preexisten a los últimos. En esta concepción, la actividad de modelización se restringe a la ejemplificación puntual de ciertos modelos preestablecidos. Como consecuencia, la estructura y dinámica del curso siempre presentaba una misma distribución: una primera sesión en la que se el profesor enseñaba los modelos ya definitivos que, posteriormente, se aplicarían a distintas situaciones extra-matemáticas; el ejercicio del uso de estos modelos en casos prototípicos sencillos; finalmente, un uso más complejo en proyectos para realizar en grupo. En otras palabras, el modelo docente subyacente tiende, en coherencia con el modelo epistemológico espontáneo aplicacionista, a potenciar un encuentro cultural-mimético (CHEVALLARD, 1999) con los modelos previamente existentes.

En este contexto, no es de extrañar que, al iniciarse el proyecto Bicing, los estudiantes de la UC presentaran mucha resistencia a tener que asumir nuevas responsabilidades que, hasta el momento, habían quedado en manos del profesor: formulación de hipótesis, construcción de modelos imperfectos (no cristalizados), uso de los modelos para dar respuestas a cuestiones, planteo de nuevas cuestiones, limitaciones y evolución de los modelos iniciales etc. Ahora bien, a pesar del desconcierto en las primeras sesiones, y del intento fracasado de utilizar todos los modelos que tenían en sus apuntes (maltusiano, logístico, predador-presa etc.) y ver que nada funcionaba, poco a poco los estudiantes fueron entrando en el desarrollo de su propio estudio.

Centrándonos, ahora, en la segunda de las experimentaciones, la de la UAB, en este caso las restricciones más claras no fueron manifestadas por los estudiantes, sino por el profesor responsable del curso. A pesar de que dejó total libertad a la investigadora para organizar las sesiones, en sus comentarios expresaba que el proceso seguido durante la experimentación del REI había sido muy largo, demasiado guiado, con demasiadas entregas y puestas en común y que se debía dejar más tiempo a los estudiantes para que trabajaran solos, sin interferir demasiado en su trabajo y dejarles explicar su propuesta final. Reacciones bastante contrarias a las presentadas en la experimentación anterior, donde el profesor danés consideraba que el problema era demasiado abierto y los estudiantes pedían constantemente ayuda sobre qué modelos utilizar.

En el caso de la UAB, podemos decir que la organización didáctica que el profesor quería implementar, y que describía mediante sus comentarios, corresponde a un modelo docente espontáneo que tiene un fuerte componente modernista (GASCÓN, 2001). Este modelo es compatible con un modelo epistemológico que, entre otras características, considera la creación como un proceso individual o, en todo caso, privado, y tiende a hacer desaparecer los espacios compartidos donde se pueda construir, cuestionar y acordar colaborativamente herramientas y estrategias para desarrollar el propio proceso de modelización. En este modelo, y como la propuesta del curso completo puso posteriormente en evidencia, la actividad de modelización matemática tiende a ser interpretada como el estudio y resolución de un conjunto de problemas aislados y suficientemente abiertos como para requerir una elaboración creativa informal, privada e inenarrable. Se tiende, así, a eliminar todos aquellos dispositivos didácticos que puedan dar espacio a un trabajo compartido sobre la propia actividad de creación y contraste de los modelos. Tampoco aparecen, de forma institucionalizada, muchas de las nociones, conceptos, discursos – elementos de la tecnología matemática, en el sentido de la TAD – necesarios para poder hablar del trabajo de modelización, como las propias nociones de sistema, modelo, hipótesis que modifican el sistema etc.) y poder institucionalizarlo. Todo ocurre como si, en el contrato didáctico establecido, el proceso de construcción de los modelos y de las respuestas derivadas del trabajo con estos modelos quedara en la esfera de lo privado y fuera del trabajo compartido entre el profesor y los alumnos en el aula; como si el propio contrato se encargara de ocultar lo didáctico, haciendo invisible el proceso de producción de conocimientos matemáticos nuevos.

El problema de la ecología de la modelización matemática, y su problema correlativo de la introducción y difusión de los dispositivos didácticos necesarios para sustentar nuevas organizaciones didácticas para una enseñanza funcional de las matemáticas, en nuestro caso, la propuesta de los REI requiere, hoy en día, grandes esfuerzos e investigación para pasar de un estadio experimental a una práctica generalizada. Nos encontramos frente a una gran aventura que va a requerir generar nuevas condiciones que superen restricciones que son muy difíciles de abordar, puesto que se enraízan en las concepciones más profundas de qué son las matemáticas, en qué consiste el proceso de construcción de matemáticas nuevas y qué condiciones facilitan el desarrollo de este proceso. Todo un desafío que seguro sobrepasa el ámbito de actuación de la TAD, e incluso el ámbito de actuación de la didáctica de las matemáticas en general, requiriendo la cooperación de toda la comunidad escolar.