Desde as últimas décadas do século XX, diversos estudos e pesquisas relatam dificuldades de aprendizagem em matemática, desde as séries iniciais até o segmento superior de ensino. No último, observamos que essas dificuldades se manifestam de maneira expressiva em Cálculo. Por isso, optamos por investigar a problemática da apreensão do conceito de limite de uma função de uma variável real¹, dada sua importância para o entendimento de outros conceitos. Enfatizamos – neste artigo – a relação entre limite e continuidade de uma função, bem como suas implicações nas evocações de imagens conceituais relacionadas a tais conceitos.

Os aspectos discutidos neste trabalho constituíram-se como parte dos resultados de uma pesquisa de mestrado, na qual objetivamos investigar as imagens conceituais de universitários acerca do conceito de limite de uma função. Para isso, aplicamos um questionário para estudantes universitários do curso de licenciatura em matemática de duas universidades públicas no estado do Pará.

Nesse primeiro momento, tivemos a oportunidade de – através dos registros escritos dos sujeitos investigados – verificar suas evocações relacionadas ao nosso objeto de estudo. A segunda etapa de nossa pesquisa consistiu na realização de entrevistas com alguns dos sujeitos investigados, a fim de descrever e analisar mais profundamente as imagens conceituais evocadas por eles na etapa anterior. Ressaltamos, no entanto, que o presente artigo apresenta trechos da entrevista realizada com apenas um desses sujeitos.

Um dos temas que se fez presente durante as entrevistas foi a relação entre a existência (ou não existência) do limite e a continuidade de funções. As discussões levantadas – norteadas tanto em registros escritos obtidos por meio do questionário, quanto em estudos anteriores a nossa pesquisa com foco pautado na relação limite x continuidade – foram analisadas atrelando nosso estudo às noções de imagem conceitual e definição conceitual (TALL; VINNER, 1981; VINNER, 1991).

Optamos por essa temática, devido às dificuldades atreladas à apreensão conceitual de limite de uma função. Baseamo-nos tanto em nossa experiência, enquanto docentes de Cálculo, quanto em estudos realizados nesse âmbito, donde identificamos que, para muitos estudantes:

Percebemos, ainda, que os entraves relativos à aprendizagem do conceito de limite estão ligados, principalmente, à dificuldade em correlacionar as noções intuitiva e formal desse conceito. Concordamos com Rodríguez (2009, p.97) no sentido de que, normalmente:

Os fundamentos de nossa pesquisa estão atrelados às noções de imagem conceitual e definição conceitual de Tall e Vinner (1981) e Vinner (1991). Isso porque, as atividades propostas, bem como as discussões realizadas nas etapas de investigação de nossa pesquisa possibilitariam a ativação da cela² da imagem conceitual dos sujeitos investigados, permitindo-nos analisar suas interpretações relacionadas ao conceito de limite de uma função (MESSIAS; BRANDEMBERG, 2014). No tópico subsequente apresentamos mais esclarecimentos acerca desse referencial.

A Imagem conceitual relativa a um conceito é constituída por associações não verbais efetivadas em nossa mente quando em contato com o nome de determinado conceito. Sendo assim, estão incluídas representações visuais, figuras mentais, impressões e experiências que podem ser traduzidas em formas verbais por meio dessas associações (VINNER, 1991). Tall e Vinner (1981, p.152) destacam que:

Ressaltamos que as experiências vivenciadas pelo indivíduo são de extrema importância para a formação de sua imagem conceitual que, por sua vez, não é necessariamente coerente com a definição a que se relaciona, haja vista que pode apresentar propriedades ou interpretações contraditórias. Ainda assim, a formação de uma imagem conceitual – por meio do exercício de múltiplas representações de um conceito – permite que o sujeito recupere suas impressões e experiências relacionadas a esse conceito e, quem sabe, garantir sua contextualização (MESSIAS, 2013; MESSIAS; BRANDEMBERG, 2014).

Assumimos, portanto, que “adquirir um conceito significa formar uma imagem conceitual sobre ele. Saber de cor a definição de um conceito não garante seu entendimento. Entender, assim supomos, significa apresentar uma imagem conceitual” (VINNER, 1991, p. 69, tradução nossa).

O termo definição conceitual está atrelado às definições, memorizadas ou autoconstruídas por um indivíduo. É toda forma em palavras utilizada para especificar um conceito, podendo sofrer variações à medida que o sujeito é submetido a novos estímulos (MESSIAS; BRANDEMBERG, 2014).

Para Cornu (1983, p.66), o termo definição conceitual consiste em um conjunto de palavras adquiridas em uma composição própria a cada indivíduo. Em suas palavras, define esse termo como:

Meyer (2003) destaca que imagem e definição conceitual pontuam a diferença entre um conceito matemático quando formalmente definido e os processos cognitivos pelo qual esse conceito é concebido. Sendo assim:

Apresentamos, no tópico a seguir, ilustrações de imagens conceituais que se fizeram presentes em evocações de estudantes investigados em outras pesquisas sobre os conceitos de limite de função e continuidade. Baseados nessas pesquisas, destacamos a relação do suporte teórico sobre o conceito de limite com alguns questionamentos por nós levantados que, por sua vez, motivaram a construção de nosso instrumento de obtenção de dados e nortearam as discussões estabelecidas a partir das entrevistas.

O estudo realizado por Cottrill et al. (1996) foi baseado na teoria APOS³ (Action Process Object Schema) e objetivou por em prática suas perspectivas teóricas, conhecimento matemático e análises acerca da aprendizagem de estudantes universitários no que concerne à noção de limite. Os dados obtidos na pesquisa foram levantados a partir da observação e das entrevistas realizadas com os estudantes que faziam parte de um curso experimental de Cálculo, tendo como estratégia pedagógica a combinação de atividades computacionais, tarefas no ambiente lápis e papel e exercícios.

As atividades propostas no decorrer da pesquisa se basearam em investigações computacionais de aproximação, investigações gráficas do conceito de limite, construções computacionais da aproximação de um valor ao limite, construções computacionais do conceito de limite e investigações com ε,δ. Dentre os dados obtidos na pesquisa, os autores observaram que:

Em (i), evidenciamos claramente que os indivíduos participantes da pesquisa de Cottrill et al (1996) mobilizaram, em suas imagens conceituais, a ideia de que a existência do limite em determinado ponto está condicionada à continuidade da função naquele ponto e que, portanto, .

Barto (2004) objetivou investigar e analisar a produção de significados de estudantes de pós-graduação em educação matemática em relação à continuidade de funções de uma variável, buscando, dentre outras situações, verificar como ocorre a dinâmica da produção de significados para a continuidade e quais os significados produzidos para objetos matemáticos como ponto, curva, intervalo, épsilon, delta, domínio e imagem de funções.

Barto (2004) observou os sujeitos participantes da disciplina Tópicos de Cálculo Diferencial e Integral e em seguida, os entrevistou, questionando-os sobre aspectos relacionados às tarefas realizadas em sala. Dentre os argumentos que emergiram durante a pesquisa da autora, evidenciamos que:

Os itens (v) e (vi) mostram que o conceito de continuidade constituiu-se como um fator de conflito potencial para os sujeitos investigados por Barto (2004). Isso porque, em alguns momentos eles utilizavam o cálculo de limites laterais para determinar a continuidade de uma função. No entanto, quando os mesmos sujeitos investigavam representações gráficas de funções, concluíam que uma função contínua não apresenta saltos ou buracos que, por sua vez, não foram – em nenhum momento – relacionados com o fato de o limite não existir ou

Jordaan (2005) objetivou identificar os erros conceituais apresentados por estudantes de engenharia elétrica da Tshwane University of Technology (África do Sul) sobre o conceito de limite de função, no qual verificou como os sujeitos investigados entendiam a noção de limite, que tipo de erros apresentavam e como relacionavam (des) continuidade em um ponto à (não) existência do limite (MESSIAS; BRANDEMBERG, 2014). Os resultados obtidos por Jordaan (2005) permitiram que enunciasse as seguintes observações:

Evidenciamos nos itens (vii), (viii) e (ix) que os indivíduos investigados na pesquisa de Jordaan (2005) também evocaram em suas imagens conceituais a ideia de que para o limite existir em determinado ponto do domínio, a função deve estar definida nesse ponto. Ou seja, para esses sujeitos, a existência do limite – em um primeiro momento – depende da continuidade da função.

Em sua pesquisa, Nair (2010) investigou imagens conceituais de estudantes de Cálculo relativas aos conceitos de função racional, assíntotas, limites e continuidade. A autora objetivou verificar que conexões entre os conceitos de assíntotas, continuidade e limite de funções racionais os sujeitos investigados apresentavam. Sua pesquisa constituiu-se de uma entrevista, na qual as imagens conceituais identificadas subsidiaram a elaboração de planos de aula que foram usados nos episódios de ensino realizados ao longo da investigação (MESSIAS; BRANDEMBERG, 2014).

No que se refere à relação entre os conceitos de limite e continuidade, Nair (2010) – assim como Cottril et al (1996) e Jordaan (2005) – evidenciou que:

Os resultados obtidos nesses estudos fomentaram a elaboração de questionamentos que, por sua vez, permitiram-nos estruturar, tanto o questionário aplicado na 1^a etapa de nossa investigação, quanto o roteiro que norteou as discussões estabelecidas durante as entrevistas com os sujeitos investigados. Destacamos, no quadro 1, as implicações das imagens conceituais identificadas nos referenciais teóricos adotados para a formulação de nossas questões de pesquisa.

Tais questões norteadoras em nosso estudo propiciaram algumas reflexões acerca de como poderíamos estruturar os momentos de investigação junto aos sujeitos investigados, de maneira a ser possível identificar se os mesmos evocariam imagens conceituais semelhantes àquelas destacadas em nosso quadro de referências.

Em nossa pesquisa, objetivamos investigar – através de um questionário e sessões de entrevistas – as imagens conceituais evocadas ao resolverem questões envolvendo o conceito de limite de função. E, como identificamos em pesquisas anteriores que a relação limite x continuidade é um fator de conflito potencial para muitos estudantes, optamos por explorar, junto aos sujeitos investigados, essa relação e as implicações que ela pode ter na formação de suas imagens conceituais no que se refere ao conceito de limite de função.

Ressaltamos que este trabalho apresenta parte dos resultados de uma pesquisa de mestrado que foi realizada em duas etapas. Na primeira, os sujeitos responderam a um questionário e, na segunda, selecionamos alguns sujeitos para serem entrevistados. Para isso, elaboramos um roteiro específico para cada estudante, levando em consideração as imagens conceituais sobre o conceito de limite de uma função, evocadas na etapa anterior. Para responder às questões de pesquisa concernentes à relação limite x continuidade, solicitamos aos sujeitos investigados que respondessem a seguinte questão (Figura 1):

A elaboração dessa questão norteou-se nas considerações de Juter (2006) sobre as mobilizações das Imagens Conceituais de estudantes em relação ao comportamento da função próximo e no próprio valor do limite. Nosso intuito foi verificar como os estudantes interpretariam a (não) existência do limite em funções descontínuas. Nossas hipóteses, quanto aos resultados obtidos em nossa investigação, pautaram-se nas seguintes evocações:

Na primeira etapa de nossa investigação, contamos com a participação de 25 estudantes universitários que cursavam o 3° e 4° semestre do curso de licenciatura em matemática de duas universidades públicas no estado do Pará (Brasil), que já haviam cursado a disciplina Cálculo I. No caso da questão destacada na figura 1 deste artigo, objetivamos verificar como os estudantes interpretariam a (não) existência do limite em funções descontínuas, bem como a relação entre os limites laterais, a fim de observar a unicidade do limite. Observamos que alguns dos sujeitos investigados apresentaram dificuldade em interpretar os gráficos, isso porque, 7 dos 25 estudantes que responderam ao questionário não responderam a essa questão.

A investigação da aproximação à direita e à esquerda do ponto dado fez parte da resolução de 9 estudantes que atribuíram à existência do limite, o fato de seus limites laterais existirem e serem iguais (Figuras 2 e 3).

Nesse sentido, nossos resultados não estão em conformidade com os de Barto (2004), cujos sujeitos investigados consideravam somente as investigações à direita e à esquerda do ponto satisfatórias para a existência do limite, descartando a sua unicidade. De qualquer maneira, ainda assim observamos, nas respostas dos sujeitos, a mobilização de uma ideia de limite de função como sendo uma aproximação contínua em relação a um ponto sem, no entanto, atingir esse ponto (TALL; VINNER, 1981).

Evidenciamos em nossos resultados que – semelhante aos estudos de Cottrill et al. (1996), Jordaan (2005) e Nair (2010) – os sujeitos investigados condicionam a existência do limite de uma função à continuidade dessa função em todos os pontos do domínio, pois para “uma função satisfazer o conceito de limite…precisa ser contínua em todo o seu domínio” (resposta do sujeito S15). Nesse sentido, observamos que os sujeitos investigados apresentam mobilizações em suas imagens conceituais semelhantes às de Leibniz no séc. XVII, em que a existência do limite dependia da continuidade da função no ponto e não o contrário.

Verificamos que alguns sujeitos evocaram, em suas imagens conceituais, que a continuidade de uma função está condicionada a não existência de saltos no gráfico da função (TALL; VINNER, 1981; BARTO, 2004), conforme elucidamos na resposta do sujeito S20.

Somente a resposta do sujeito S09 demonstrou estar de acordo com as considerações de Barto (2004), dado que se preocupou somente com as investigações à direita e à esquerda do ponto dado. Além disso, observamos para o referido sujeito, os saltos no gráfico implicam na existência de duas funções diferentes. Portanto, ao contrário da maioria dos participantes de nossa pesquisa, ele não evocou a ideia de continuidade para responder à questão, conforme evidenciamos em sua resposta:

Elucidamos que, a partir das análises dos resultados obtidos, identificamos que s seguintes imagens conceituais foram evocadas, no que concerne à relação limite x continuidade:

A análise das imagens conceituais evocadas pelos sujeitos subsidiou a elaboração do roteiro utilizado durante as entrevistas. Optamos, nesse sentido, por investigar mais profundamente a relação limite x continuidade, por meio do Tema de Discussão (TD) intitulado: (Des) continuidade implica na (não) existência do limite?. O objetivo desse TD voltou-se para a análise das imagens conceituais evocadas, conforme os resultados obtidos por Cottrill et al. (1996), Jordaan (2005) e Nair (2010), ou seja, conforme a percepção de que para o limite de uma função existir em determinado ponto, a função deve ser contínua nesse ponto.

Com o intuito de complementar os resultados obtidos no que concerne à relação limite x continuidade, elaboramos um roteiro de entrevista para discutir junto aos sujeitos investigados que mobilizaram em suas imagens conceituais os aspectos descritos no quadro 1. Nossas discussões nortearam-se, como segue:

O roteiro de entrevista (figura 6) explora a relação entre (des) continuidade de função em um ponto e a (não) existência do limite nesse ponto. Incluímos um gráfico de função descontínua para ser analisado pelos sujeitos. Nosso intuito foi levantar possíveis evocações que estivessem voltadas para a ideia de que o limite de uma função existe se Acreditamos, também, ser importante pedir que os sujeitos definissem limite de função, bem como explicassem o seu significado, pois dessa maneira poderíamos comparar as imagens conceituais evocadas e definição conceitual pessoal com a definição conceitual formal de limite de função. Mais uma vez, ressaltamos que o referido roteiro norteou-se, principalmente, nos estudos de Cottrill et al. (1996), Jordaan (2005) e Nair (2010).

A escolha do sujeito investigado deu-se a partir da análise dos resultados obtidos na etapa anterior. Ou seja, selecionamos um estudante, cujas imagens conceituais evocadas melhor representassem o TD em questão. Nesse sentido, solicitamos a participação do sujeito S09 e exploramos junto a ele suas percepções voltadas para a relação entre limite e continuidade. Ressaltamos que S09 evocou, na etapa anterior, imagens conceituais que contemplaram a ideia de que para o limite existir a função deve ser contínua, ou seja,

A investigação foi realizada na última semana de setembro de 2012, e a entrevista durou em torno de 15 minutos. A análise das entrevistas foi fundamental para complementar nossas interpretações acerca das imagens conceituais evocadas pelos sujeitos investigados na 1^a etapa. Destacamos, neste trabalho, a descrição de alguns trechos referentes às discussões estabelecidas, analisando-os de acordo com os pontos de conformidade e/ou não conformidade com o referencial teórico previamente estabelecido. Apesar de termos elaborado um roteiro para o TD, realizamos outros questionamentos que pudessem complementar nossas análises, sendo esses questionamentos realizados conforme as particularidades do sujeito investigado.

No decorrer da entrevista, o sujeito S09 evocou que a existência do limite em determinado ponto não está, necessariamente, atrelada à (des) continuidade, conforme elucidamos a seguir (Figura 7):

Nos pontos x = −7 e x = 5, o limite – conforme destacado por S09 – não existe, sendo que esse salto elucidado pelo sujeito é uma consequência dos limites laterais serem diferentes (no caso de X = −7, lim_x→−7⁺ f(x) = e lim_x→−7 – f(x) = 2). Entretanto, em nenhum momento S09 mencionou que o fato dos limites laterais serem diferentes implica na não existência do limite no ponto. Para ele, o limite não existe em virtude de a função ter um salto⁶. Nesse sentido, nossos resultados se assemelham aos de Tall e Vinner (1981).

A transcrição não nos permite afirmar que para S09 a existência do limite em determinado ponto dependa da continuidade nesse ponto, haja vista que em x = 7 a função é descontínua. Todavia, segundo ele, o limite existe e seria igual a f(7) Entretanto, evidenciamos que, de alguma maneira, a relação (des)continuidade x (não)existência do limite faz parte de sua imagem conceitual. Pautamos essa afirmação nas seguintes possibilidades:

No decorrer da entrevista, observamos que o sujeito menciona os intervalos na tentativa de explicar quando o limite em determinado ponto existe ou não existe, sendo que o domínio da função se configurou como um fator de conflito potencial (VINNER, 1991) para esse sujeito, conforme destacamos na transcrição a seguir (Figura 8):

Diante das respostas de S09, percebemos, também, que o mesmo considera o limite como sendo uma aproximação dinâmica em relação à x, conforme evidenciamos em suas palavras: “para pontos cada vez mais próximos de a…”. Entretanto, quando define o valor do limite em P, restringe-se a esse ponto, já que no caso do salto em x = −7, não analisou o comportamento do gráfico nas proximidades desse ponto e, consequentemente, desconsiderou seus limites laterais. Nesse âmbito, nossos resultados assemelham-se com as considerações de Cottrill et al. (1996).

Ressaltamos, ainda, que o sujeito S09 mostrou-se inseguro quanto ao questionamento levantado acerca da necessidade de a função estar ou não definida no ponto para que o limite exista. Em um primeiro momento, diz que o domínio da função não deve ser considerado e, sim, a imagem. No entanto, afirma que o ponto a deve estar definido no intervalo. Acreditamos, nesse aspecto, que os próprios conceitos de domínio e imagem mostraram-se como fatores de conflito potencial.

Com essa pesquisa nos propusemos a investigar os elementos que compõem a imagem conceitual de estudantes universitários sobre limite de função, inferidos a partir da evocação de aspectos relacionados a esse conceito. Os resultados obtidos nos subsidiaram a verificar as imagens conceituais evocadas pelos estudantes investigados no que concerne ao conceito de limite de função, bem como sua relação com a noção de continuidade. Nesse sentido, observamos que as imagens conceituais dos sujeitos pautaram-se, sobretudo, nas duas importantes evocações a seguir:

Ressaltamos que a evocação E1 assemelha-se aos resultados obtidos por Tall e Vinner (1981), Jordaan (2005) e Juter (2006). Isso porque, nossos resultados permitiram-nos evidenciar que, de fato, os estudantes pesquisados relacionavam o conceito de limite de função com interpretações estáticas e/ou dinâmicas que, em alguns momentos, constituíram-se como fatores de conflito potencial (VINNER, 1991), principalmente no que concerne à possibilidade do valor do limite poder ou não ser alcançado (MESSIAS; BRANDEMBERG, 2014).

E2 encontra-se em conformidade com as pesquisas realizadas por Cottrill et al. (1996), Jordaan (2005) e Nair (2010). As evocações E1 e E2 nos permitiram evidenciar que algumas das imagens conceituais evocadas pelos sujeitos investigados não se fizeram coerentes com a definição conceitual, fato que os influenciou a construir uma definição conceitual pessoal diferente da definição conceitual formal de limite de função.

Evidenciamos – por meio das imagens conceituais evocadas pelos sujeitos investigados – os elementos que compõem essas mobilizações. Além disso, observamos que existem divergências entre a definição conceitual pessoal apresentada pelos estudantes e a sua definição conceitual formal. Sendo assim, acreditamos que as duas etapas da pesquisa nos possibilitaram responder aos nossos questionamentos e alcançar, de maneira satisfatória, os objetivos traçados para esta pesquisa, uma vez que conseguimos identificar as principais dificuldades relacionadas à apreensão do conceito de limite de uma função, correlacionar imagens conceituais evocadas, definição conceitual pessoal e definição conceitual formal desse objeto de estudo e, por fim, elucidar os pontos de conformidade e/ou não conformidade desses resultados em relação à fundamentação teórica preestabelecida.

Consideramos os resultados obtidos em nossa investigação relevantes no sentido de que permitem verificar alguns conflitos que permeiam a construção de imagens conceituais dos estudantes em relação ao conceito de limite. Nossos resultados, em um primeiro momento, subsidiaram discussões realizadas pelos membros do Grupo de Estudos e Pesquisa em História e Ensino da Matemática – GEHEM⁷. Durante as reuniões, alguns apontamentos foram realizados, tais como a possibilidade de usar a História da Matemática como componente metodológica para o ensino de conteúdos de Cálculo, inclusive os conceitos de limite e continuidade de uma função.

Nesse âmbito, em Messias e Brandemberg (2013), apontamos que atividades contemplando episódios da história do desenvolvimento do Cálculo podem ser utilizadas para auxiliar no entendimento dos conceitos de limite e continuidade de uma função. Tais episódios podem ser relacionados, por exemplo, a dois marcos importantes da história do Cálculo: os paradoxos de Zenão de Elea e a Quadratura da Parábola.

No caso dos paradoxos de Zenão, é possível permitir que os estudantes vivenciem as dúvidas relacionadas à ideia de movimento (de maneira semelhante aos gregos na antiguidade). Sob essa perspectiva, os estudantes podem buscar – intuitivamente – conceitos como o de continuidade, infinito e convergência que são necessários para solucionar tais paradoxos e, extrínsecos ao pensamento matemático grego da época. O método de exaustão, utilizado para encontrar a área do segmento parabólico, envolve a ideia de quantidades infinitamente pequenas que jamais chegam a zero e que caracterizam a área remanescente entre o polígono e a parábola. Esse episódio pode desafiar o comportamento dos estudantes no que concerne ao cálculo dessa área remanescente, bem como sua relação com o conceito de limite.

Ressaltamos que este estudo tem sido discutido pelos membros do GEHEM; a elaboração de uma sequência didática envolvendo a construção histórica dos conceitos de limite e continuidade encontra-se em andamento, e se configura como parte de um estudo maior, no qual estão incluídas pesquisas relacionadas ao ensino de outros conceitos – tais como os de derivada e integral – por meio da utilização da história da matemática como componente metodológica, de maneira a promover um ensino-aprendizagem de Cálculo que busque dar uma ressignificação aos conhecimentos matemáticos produzidos ao longo de seu desenvolvimento e, consequentemente, formar imagens conceituais coerentes com suas definições formais.