¿Cuándo se introdujeron las notaciones actuales de las operaciones numéricas, de uso universal y presentes en las teclas de la calculadora más sencilla? Con respecto a esta pregunta, la enciclopedia en línea Wikipedia en inglés en el artículo Plus and minus signs (consultado en noviembre de 2015) da la respuesta: “Though the signs now seem as familiar as the alphabet or the Hindu-Arabic numerals, they are not of great antiquity”. Esta aparición la sitúa Cajori (1928, vol. 1, p. 128) en el fin del siglo XV: “The + and - symbols first appeared in print in Mercantile Arithmetic or Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft, by Johannes Widmann (born c. 1460), published in Leipzig in 1489. However, they referred not to addition or subtraction or to positive or negative numbers, but to surpluses and deficits in business problems.” Sin embargo, en una página del libro de Widmann (Figura 1) aparece que se hacen operaciones aritméticas en el contexto mercantil considerado (donde aparecen quintal y libra, en alemán Zentner y lb). En efecto, en las líneas 5 y 6 desde abajo del párrafo, se ven los verbos que subrayamos: addieren (sumar en alemán) y susstrahieren (restar en alemán de la época), y se hace la resta 4539 – 387 = 4152.

Figura 1

La fecha de publicación del libro (1489) es de tres años anterior al desembarque de Cristobal Colón en América (1492), que buscaba llegar a las Indias, una época de fuerte desarrollo del comercio. Otro factor de importancia fue la invención de la imprenta (Gutenberg, alrededor de 1449). En una conferencia titulada La Innovación y lo Digital impartida el 28 de enero del 2013¹, el filósofo de las ciencias Michel Serres declara: “La revolución digital en curso tendrá efectos al menos tan notables como en su tiempo los de la invención de la escritura, y luego la invención de la imprenta” (traducido del Francés). ¿Qué efecto tuvo la imprenta, precisamente en el caso que nos interesa aquí: los símbolos del cálculo aritmético? Nuestra hipótesis es que esta técnica necesitaba una normalización, que tomó la forma de fuentes de caracteres. La composición de un libro impreso no autorizaba la libertad de la escritura de un manuscrito y su copia, pero la obra obtenida se podía difundir a larga escala.

El signo de igualdad apareció por primera vez en el libro The Whetstone of Witte (el Hito de la Sabiduría) de Robert Recorde, publicado el año 1557. El autor comenta su elección de dos segmentos paralelos de igual longitud para representar el símbolo de igualdad, declarando (véase Figura 2): "bicause noe 2 thynges can be moare equalle" (porque dos cosas no pueden ser más iguales).

Figura 2

Una vez difundidas las notaciones de las operaciones numéricas, no pasó mucho tiempo, hasta que aparecieron dos avances matemáticos que todavía hoy tienen validez: los números negativos y el álgebra. Los negativos que nos interesan aquí son los que con los positivos determinan una estructura de anillo o de campo. Esto significa que se deben definir sobre ellos las operaciones a la vez aditivas y multiplicativas. Sin esta restricción, las cuentas con valores negativos ya se usaban en China antigua (con una convención todavía valida en contaduría: color negro para indicar ganancias y color rojo para indicar pérdidas o deudas). El álgebra que consideramos aquí es el tópico que los matemáticos llaman álgebra elemental y que trata de formación y resolución de ecuaciones reales.

Las obras de dos autores se destacan con respecto a estos tópicos: Simon Stevin (1548-1620) y François Viète (1540-1603). Algo que merece la atención es que ambos no sólo se dedicaron a estudios de matemáticas, sino también fueron hombres metidos en la vida pública. Stevin sostuvo una actividad importante como ingeniero, incluso militar, y Viète fue perito en derecho y administración. A Stevin se le atribuye el esbozo de la escritura decimal que conocemos hoy en su forma acabada con la coma o el punto decimal (por ejemplo 3,12 o 3.12 como escritura de 78/25), y no se podría olvidar que la contribución de este autor a la consideración de la recta numérica fue decisiva.

Algunas veces en la literatura científica se pretende que fue John Wallis (siglo XVII) el matemático que reconoció el vínculo entre números negativos y dirección, e introdujo la idea de la recta numérica como representación del sistema de los números. Esto no es exacto: La figura 3, tomada del libro L’arithmétique de Stevin (1585), pone de manifiesto una visión clara cuanto menos de la semirrecta numérica como representación de los números positivos. Stevin formula dos principios: a) La unidad es un número por ser divisible en partes, lo que es contrario a la idea expresada por Diofanto de Alejandría de que 1 es indivisible; b) El 0 no se divide en partes (Figura 3 arriba).

Figura 3

Más adelante en el mismo libro de Stevin (ibid. p. 166) aparecen los números positivos y negativos de manera explícita. La figura 4 reproduce una parte de la página 166 en la que la regla de los signos se presenta como teorema: Más multiplicado por más da producto más, menos multiplicado por menos da producto más, más multiplicado por menos o menos multiplicado por más da producto menos. Stevin no usa las variables, introducidas siete años después por François Viète (1591), sino propone un ejemplo numérico, considerándolo como genérico, el producto (8 – 5)×(9 – 7).

Figura 4

La presentación de la operación como un producto usual de dos enteros (a la izquierda del párrafo “Explication du requis”) se apoya sobre la distributividad: El primer renglón –56 + 35 en la operación es el producto de (8 – 5) por el factor –7. Esto pone de manifiesto que Stevin acepta la consideración de negativos aislados, aunque está en la lista de los obstáculos establecida por Glaeser (1981). En el cálculo meramente numérico de Stevin no se presentan magnitudes. Sin embargo, la representación geométrica de productos por rectángulos, presente en varias páginas del libro de Stevin, conduce a la consideración cuanto menos implícita, de magnitudes.

El problema de dimensiones se presenta de manera explícita en el libro de Viète, In Artem Analyticem Isagoge (VIÈTE, 1591) considerado como la obra en la que se introdujo el Algebra. En particular, Viète presenta de manera explícita operaciones que transforman una ecuación en otra equivalente (véase VIÈTE, 1591, proposiciones I a III, p. 7-8). En la proposición II en página 7 del libro (véase figura 5), se ve una simplificación por un factor A; hoy escribiríamos

Figura 5

Viète considera las letras como representantes de magnitudes por naturaleza esencialmente positivas (no es seguidor de Stevin sobre aritmética). Por esta razón atribuye a Z en su texto la dimensión de una superficie (escribe: “Z plano”) y no hace caso de la posibilidad A = 0. Además el lector observará la diferencia entre el texto de Viète y la escritura algebraica actual.

Un diagnóstico que resulta de las consideraciones anteriores se puede precisar a la luz de los Espacios de Trabajo Matemático (ETM, KUZNIAK; RICHARD, 2014). En el esquema de génesis entre un plano cognitivo y un plano epistemológico propuesto por Kuzniak y Richard (ibid. Figura 2, p. 9) aparecen: una génesis semiótica entre visualización y representamen, una génesis instrumental entre construcción y artefactos, una génesis discursiva entre prueba y referencial. En nuestro caso se puede considerar que la génesis instrumental está favorecida por el fuerte énfasis que hay sobre las operaciones y los algoritmos operatorios (ejemplo de la regla de los signos), mientras cierta carencia existe respecto de la génesis discursiva (ejemplo del estatuto de la distributividad del producto sobre la suma que no se explicita) y sobre todo que casi no se considera la génesis semiótica, en ausencia de representación sensible del producto de enteros y más generalmente de productos en los que se pueden presentar números negativos.

En los planes y programas de estudio, ¿dónde encontrar un recurso posible para la representación del producto de enteros? En el volumen 2 del libro de la SEP citado, un bloque geométrico (Secuencia 16, p. 36) presenta una situación, el teorema de Tales, en la que aparecen razones y proporciones a propósito de rectas paralelas. ¿Se puede entonces encontrar en esta situación una representación adecuada del producto?

Precisamente, una construcción de Descartes (1637) parece cumplir todos los requisitos para dar una buena interpretación geométrica del producto de dos números a y b sin o con signos (en este caso, sólo hace falta prolongar las rectas del lado negativo). La ilustramos en la Figura 8. En particular, el producto ab tiene la misma naturaleza de longitud que cada uno de sus factores tiene. Por consecuencia, el resultado no plantea los problemas de magnitudes que ocurren con un producto de longitudes visto como un área.

Figura 8

Para una enseñanza que tomaría en cuenta los elementos precedentemente descritos, nos dirigimos en primer lugar al público de estudiantes para profesor de matemáticas. Se aplicó un cuestionario en el que se presentó la construcción de Descartes dentro del marco de un estudio comparado de la formación inicial entre Francia (un grupo de estudiantes de la universidad de Paris-Diderot) y México (un grupo de estudiantes de la Escuela Normal Superior del Estado de Morelos). Los resultados observados se publicaron en un artículo de Juárez, Arredondo & Pluvinage (2014). En este estudio la construcción de Descartes dio lugar a una pregunta que resultó fácil para el grupo francés y difícil para el grupo mexicano. Por esta razón nos interesó confirmar la observación con base en un cuestionario aplicado en 2015 a una pequeña muestra de futuros profesores en la Ciudad de México.²

El cuestionario se aplicó a 9 estudiantes entre 19 y 23 años al término del cuarto semestre de la licenciatura para profesor de Matemáticas de educación secundaria en la Normal Superior de México, ubicada en la Ciudad de México.

En el cuarto semestre los estudiantes ya han cursado las siguientes asignaturas:

En la asignatura plano cartesiano y funciones los estudiantes relacionan expresiones algebraicas con sus respectivas representaciones gráficas. Los contenidos estudiados en esta asignatura, así como los de semestres anteriores, podrían ser herramientas útiles para que los estudiantes respondieran el cuestionario.

Sin embargo los estudiantes declararon no haber estudiado aun lo referido a Descartes y con este argumento no contestaron la parte referida a la obtención geométrica del producto (véase la pregunta M2 en el Anexo).

Por otro lado, cabe la posibilidad de que hayan considerado el tema muy complejo al ligarlo con la filosofía, con la que asocian a Descartes, y sentir la necesidad de leer con antelación lo desarrollado por Descartes ya que argumentaron ‘Apenas lo vamos a estudiar’; y repitieron el mismo argumento cuando se les propuso utilizar el teorema de Tales.

También se observa que al estudiar los contenidos se deja pasar por alto la visualización gráfica como una parte didáctica importante con la que toman sentido algunos conceptos y que puede constituir la base de una enseñanza que no pondere el álgebra sobre la geometría.

Con respecto a la solución de la ecuación con una raíz, los estudiantes mostraron respuestas diversas. Sin embargo, dentro de la diversidad denotan una ponderación de la aritmética sobre el álgebra y también la falta de cuidado y precisión en sus respuestas. En particular, en relación con los problemas de signos, no señalaron que A²= B² no implica A = B. En efecto, en la respuesta dada por un estudiante de la Preparatoria, la igualdad √7 – x = x – 5 es transformada en 7 – x = (x – 5)² por elevación al cuadrado, sin ninguna explicación. Pero una solución de la segunda ecuación puede dar lugar a la igualdad √7 – x = -x + 5 .

De los nueve estudiantes sólo uno hace referencia a que una de las soluciones a la ecuación se considera extraña porque no es la solución a la ecuación, pero no se propone buscar otras respuestas posibles y además ninguno de los estudiantes expresa esta posibilidad, sólo se concretan a las respuestas escritas.

En general los estudiantes no consideran la regla de los signos como una dificultad en la respuesta analizada, lo cual es relevante en tanto no hay una reflexión sobre el proceso de solución sino sólo una mecanización de la misma, lo cual implica un obstáculo en los procedimientos didácticos.

Cabe destacar que los estudiantes no señalaron dificultades en el tratamiento didáctico del tema tratado.

Regresamos a la obtención de un producto por la construcción de Descartes: Hace falta aclarar por qué el análisis de la figura trazada se puede considerar como obvio por ciertos individuos e inalcanzable por otros.

Hipótesis: La geometría en la educación matemática mexicana se sitúa principalmente al nivel de Geometría I definido en la taxonomía de Houdement y Kuzniak (2006). Sin embargo, la aprensión de la construcción de Descartes ya necesita una deconstrucción (Duval, 2005) que sobrepasa este nivel.

En el artículo de Duval (2005) se enseña la figura siguiente (Figura 9), muy sencilla, y que a pesar de esta sencillez genera dificultades a estudiantes de la secundaria, para que ellos entiendan que esta situación constituye un contra-ejemplo del enunciado tentativo “dos rectángulos de misma área tienen el mismo perímetro”.

Figura 9

También podríamos ver esta figura como una ilustración de la ley asociativa a×(2×b) = (a×2)×b.

La figura de la construcción de Descartes se debe percibir no como un triángulo grande en el que se traza un segmento entre dos lados, sino como un caso de situación de Tales, con dos rectas secantes cortadas por dos paralelas. Dicho de otra manera, el aprendizaje debe de producir un efecto de cambio de percepción: En vez de la percepción espontanea, en la que las formas que se imponen son les contornos exteriores y les superficies elementales, se reconoce de inmediato “la situación de Tales”. Y luego otra parte de la comprensión es la justificación de que el resultado obtenido es ab, porque es al número a como el número b es a 1. Este argumento supone un acceso al estrato proporcional descrito por Adjiage y Pluvinage (2012).