La noción de Espacio de Trabajo Matemático [ETM] (KUZNIAK, 2011) constituye un modelo explicativo del trabajo matemático del alumno en un marco escolar, y emerge como ampliación de los estudios sobre los Espacios de Trabajo Geométricos. Como señalan Kuzniak y Richard (2014), la investigación didáctica, en el marco de una enseñanza que favorezca el desarrollo del trabajo matemático del alumno, debe interrogarse sobre este trabajo desde el punto de vista de la organización de la enseñanza por parte del profesor; por ello, en la configuración de los elementos que configuran los ETM, aparece la figura del profesor como agente responsable de su generación. En el cuarto simposio Espacio de Trabajo Matemático, celebrado en San Lorenzo del Escorial (Madrid), se abordó la potencialidad de este modelo como herramienta de análisis del quehacer del estudiante en el aula de matemáticas, el papel de las herramientas tecnológicas en la transformación de espacios de trabajo de los estudiantes, y en el propio trabajo matemático, así como en aspectos sociales e institucionales en la constitución de los ETM. Dentro esta última temática, la formación del profesor se señalaba como pilar institucional fundamental y, por ello, se consideró necesario profundizar en la figura del profesor en el marco del ETM. Por ello, una de las temáticas de reflexión del cuarto simposio Espacio de Trabajo Matemático fue la génesis y desarrollo del trabajo matemático: el papel del profesor y las interacciones (GÓMEZ-CHACÓN; ROMERO; CARRILLO, 2015).

Nuestra aportación a esta tarea ha sido intentar comprender el trabajo matemático desde la perspectiva del profesor. En concreto, interesa el papel del profesor, y en particular de su conocimiento, en la configuración del ETM idóneo, en la evolución de éste ajustándose a las restricciones locales y en cómo el profesor interpreta el ETM de referencia.

La especificidad del conocimiento del profesor en relación con la enseñanza de la matemática, frente a otras disciplinas, ha sido objeto de estudio por la comunidad científica (PONTE; CHAPMAN, 2006). Algunos modelos, como el denominado Mathematical Knowledge for Teaching, han señalado la existencia de un tipo de conocimiento puramente matemático que es diferente para el profesor respecto a otros profesionales (BALL; THAMES; PHELPS, 2008). Desde la perspectiva de que esta especialización abarca a todo el conocimiento del profesor de matemáticas, Carrillo, Climent, Contreras y Muñoz-Catalán (2013) plantean un modelo en el que, con fines analíticos, se caracterizan conocimientos de diferente naturaleza. En este trabajo elegimos este último modelo, denominado Mathematics Teachers’ Specialised Knowledge por su consideración del contenido matemático en sus diferentes subdominios. Describiremos con detalle cada uno de los elementos de este modelo y estableceremos cuál es la relación del modelo en su conjunto con las nociones de Espacio de Trabajo Matemático personal, idóneo y de referencia.

El modelo de Espacio de Trabajo Matemático (ETM) es una generalización de los Espacios de Trabajo Geométrico descritos por Montoya-Delgadillo, Mena-Lorca y Mena-Lorca (2014). Su objetivo en la investigación es mejorar la comprensión de los fenómenos didácticos en torno al trabajo de los individuos con actividades matemáticas en el contexto escolar (KUZNIAK; RICHARD, 2014).

Bajo la noción de ETM se esconde una pluralidad. Si enfocamos la mirada en el punto más lejano (metafóricamente) de la actividad concreta del aula, nos encontramos con el ETM de referencia, en el cual se hace presente la idea de paradigma. Un paradigma se instituye cuando una comunidad de individuos acuerda formular problemas y organizar sus soluciones conforme a una determinada forma de entender las cosas (KUZNIAK; RICHARD, 2014). El espacio de trabajo paradigmático que define esa comunidad se denomina ETM de referencia, del cual emergerá el ETM de referencia de cada profesor como proyección o interpretación del anterior (nos referimos a la interpretación del ETM de referencia que cada profesor realiza).

Cuando pensamos en la actividad matemática en una escuela, representada genuinamente por la resolución de un problema, se necesita elaborar un ETM idóneo que permita la implicación del alumno en dicha resolución. Para ello, este ETM idóneo debe permitir trabajar en el paradigma correspondiente a la problemática concreta y estar construido de modo que sus diferentes componentes estén organizadas de forma válida (KUZNIAK; RICHARD, 2014). En clase, la concepción del ETM idóneo depende del ETM personal del profesor; y, puesto que el problema se le plantea a un estudiante, su tratamiento matemático por parte del mismo va a estar condicionado por el ETM personal del alumno; así, el ETM idóneo se ve alterado por condicionantes locales (KUZNIAK; RICHARD, 2014, p. 10):

Los Espacios de Trabajo Matemático se componen de dos planos, el epistemológico y el cognitivo. El modelo integra estos dos planos mediante la consideración de relaciones entre elementos del trabajo matemático en cada uno de estos. A dichos elementos se les llama polos y las relaciones son nombradas génesis (RAUSCHER; ADJIAGE, 2014). En la Figura 1 se muestra el esquema de los Espacios de Trabajo Matemático. En este se incluyen tres planos verticales, los cuales explican, de una manera más general, las relaciones que existen entre los polos y génesis del ETM.

Figura 1

El plano de descubrimiento se apoya en la génesis semiótica e instrumental para identificar y explorar objetos en la solución de los problemas matemáticos (KUZNIAK; RICHARD, 2014). La génesis instrumental se refiere a los mecanismos por medio de los cuales un artefacto se convierte en un instrumento y así puede integrarse en una persona con la finalidad de construir conocimiento matemático (MONTOYA-DELGADILLO; MENA-LORCA; MENA-LORCA, 2014).

El plano de comunicación se refiere al tratamiento, interacción y comunicación del contenido matemático que está siendo trabajado por una persona. Interrelaciona el referencial (conjunto de conocimientos teóricos) con la prueba a través de la génesis discursiva de la misma prueba, en la que el individuo “utiliza las propiedades en el referencial teórico para ponerlas al servicio del razonamiento matemático y de una validación” (KUZNIAK; RICHARD, 2014, p. 11). Asimismo, para que el proceso de comunicación tenga consistencia, se considera que la persona establece una génesis semiótica, que "asegura el establecimiento de la relación entre sintaxis, semántica, función y estructura de los signos vehiculados” (KUZNIAK; RICHARD, 2014, p.11).

Con respecto al plano del razonamiento, Kuzniak y Richard (2014, p. 12) señalan que “está fundado en la justificación de los descubrimientos, que articula las génesis instrumental y discursiva”.

Coincidimos con otros autores, cuyo pionero es Shulman (1986, 1987), en que para la enseñanza de una materia (en este caso matemáticas) el profesor necesita un conocimiento específico, y asociamos esa especificidad a la enseñanza de la misma.

En las investigaciones que hemos desarrollado colectivamente en el grupo SIDM^[1] sobre el conocimiento profesional del profesor de matemáticas, el trabajo con los modelos existentes nos ha permitido conocer sus limitaciones y potencialidades y, como consecuencia, nos ha llevado a proponer un modelo centrado en lo que es específico del profesor de matemáticas, dejando de lado aspectos del conocimiento que son compartidos con profesores de otras disciplinas. Proponemos, así el modelo Mathematics Teacher’s Specialised Knowledge (MTSK), en el cual consideramos, siguiendo la línea de Shulman (1986), dos grandes dominios de conocimiento: el conocimiento de las matemáticas y el conocimiento de aspectos relacionados con el contenido matemático como objeto de enseñanza-aprendizaje (conocimiento didáctico del contenido). Entendemos que la especificidad del conocimiento del profesor no se inscribe únicamente en el dominio matemático, sino que permea también el conocimiento didáctico del contenido. Incluimos asimismo las creencias, en las que no nos extenderemos en este artículo. El modelo queda reflejado en la figura 2, en la que las siglas se corresponden con los nombres de dominios y subdominios en inglés (MK: Mathematical Knowledge; KoT: Knowledge of Topics; KSM: Knowledge of the Mathematical Structure; KPM: Knowledge of Practices in Mathematics; PCK: Pedagogical Content Knowledge; KMT: Knowledge of Mathematics Teaching; KFLM: Knowledge of Features of Learning Mathematics; KMLS: Knowledge of Mathematics Learning Standards; ver CARRILLO et al., 2013).

Figura 2

Consideramos tres subdominios con los que reconocemos el conocimiento que tiene el profesor acerca del contenido como objeto de aprendizaje (conocimiento de las características de aprendizaje de las matemáticas), como objeto de enseñanza (conocimiento de la enseñanza de las matemáticas) y desde el punto de vista de lo que se debe/puede alcanzar en un determinado momento escolar (conocimiento de los estándares de aprendizaje de las matemáticas).

Somos conscientes de que la práctica del profesor tiene detrás una filosofía de las matemáticas que la respalda (THOM, 1973). Entendemos que esta filosofía contiene un conjunto de concepciones y creencias del profesor (THOMSON, 1992) acerca de las matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje. Dichas concepciones permean a su conocimiento en cada uno de los subdominios.

Buscamos construir imágenes cada vez más precisas que permitan interpretar la práctica del profesor a la luz de aspectos que influyen en ella basándonos en los conocimientos que sustentan dicha práctica. En ese sentido, interpretamos las concepciones del profesor en el sentido de que éstas pueden conformar un sistema que sea explicado en sí mismo (Sensible System Framework, LEATHAM, 2006). Somos conscientes de que las concepciones representan una predisposición a través de las acciones y que no pueden ser directamente observadas o medidas, solamente inferidas. Al igual que el resto de elementos en el modelo, las concepciones son consideradas con fines analíticos.

Iniciaremos este apartado con un ejemplo, cuya discusión evidenciará cómo el conocimiento del profesor se usa para gestionar los diferentes ETM. Una profesora de tercer curso de Educación Primaria genera, por primera vez en su curso, un espacio de trabajo matemático sobre los conceptos de recta, semirrecta o segmento (LIÑÁN; MONTES; CONTRERAS, 2015). Dicha generación parte del ETM de referencia de la profesora, teniendo en cuenta diversos elementos, entre otros el currículo y el libro de texto. Estos no contemplan la idea de infinito (actual o potencial); es decir, en los referentes que contempla el profesor, no se tiene en cuenta este contenido y éste, por tanto, no considera esa idea de infinito en el ETM idóneo para la sesión, lo que supone una decisión mediada por la organización y profundidad de su conocimiento especializado como profesor de matemáticas. En la configuración del ETM idóneo ha intervenido el conocimiento (MTSK) de la maestra. De modo particular, el KMT y el KFLM han actuado como adaptadores del ETM de referencia al ETM idóneo. En el KFLM, por ejemplo, podemos ubicar el conocimiento del profesor sobre cómo producen los alumnos las génesis semiótica, instrumental y discursiva. Y en relación con este conocimiento situamos el conocimiento de estrategias y recursos que favorecen dichas génesis (KMT). Asimismo, si nos fijamos en la génesis discursiva, apreciamos la influencia del conocimiento del profesor sobre el modo de proceder en matemáticas (KPM). En la transcripción siguiente, notamos M por Maestra y A por Alumno/a, acompañado de un número que indica el orden de los diferentes alumnos que intervienen:

Respecto a su conocimiento, observamos que el profesor posee diferentes grados de conciencia de la naturaleza del infinito como sustento epistemológico de algunas características de la recta (KoT, KSM), de la práctica de generalización que se induce al representar de forma finita conjuntos no acotados (KPM), o de las dificultades de los alumnos al lidiar con conceptos en los que el infinito está presente (KFLM).

La manera en la que se desarrolla el trabajo matemático in situ, unida a su conocimiento especializado, lleva a la maestra a reconsiderar sus decisiones acerca de la elección del ETM idóneo, cuando la representación que usa para la recta entra en conflicto con las limitaciones de la pizarra, o cuando, a la hora de definir semirrecta, comprueba las dificultades que implican marcar en la mitad (en vez de otro punto de la misma) de la recta representada, las dos semirrectas que de ella devienen, con el debate que supone la comparación entre las mismas. Los distintos significados de infinito que emergen o que el profesor detecta que pueden emerger de manera natural, así como los efectos que la tarea matemática produce en el trabajo matemático de los alumnos, implicará una potencial reorganización de algunos aspectos de los futuros ETM que el profesor gestionará, especialmente aquellos en los que detecte una posible emergencia de diferentes reflexiones sobre el infinito, tanto suyas propias, como de sus estudiantes. De este modo, el ETM idóneo se va modificando con la ayuda del MTSK de la maestra y a partir de los ETM de los estudiantes. La influencia de los ETM de los estudiantes no es homogénea ni lineal. La maestra, a veces, adapta su ETM idóneo a raíz del ETM de un solo estudiante, mientras que en otras ocasiones es una especie de media de los ETM de los estudiantes de la clase o de un grupo de ella lo que toma en cuenta para realizar su adaptación. Asimismo, el MTSK del profesor se verá modificado, se ampliarán y profundizarán algunos aspectos de su conocimiento, lo que se puede ver reflejado en los referentes que considere y en su propia forma de trabajar determinadas actividades matemáticas.

Para reflejar esta perspectiva de forma esquemática, proponemos un esquema (Figura 3) donde se reflejan las relaciones entre MTSK y los diferentes ETM. Con cada uno de los prismas triangulares que aparecen en la Figura 3 hemos representado de manera simplificada el modelo de ETM (Fig. 1) para centrar la atención en los planos epistemológico y cognitivo como parte de un modelo analítico de los procesos integrados de trabajo matemático. Dichos planos están representados como bases de los prismas y las caras laterales conforman los planos de razonamiento, comunicación y descubrimiento.

Figura 3

La parte derecha de este esquema pone de relieve las dos fuentes del ETM de referencia; por un lado el referente puramente matemático, como saber sabio, y, por otro, su concreción en el profesor, como el conocimiento matemático que éste tiene y que supone, de hecho, una interpretación del primero, y en el que influye el ETM de referencia institucional. Las flechas que parten de la representación del MTSK en el esquema indican la relación del conocimiento especializado del profesor de matemáticas, en su conjunto, con los diferentes ETM. Debido a que los referentes que el profesor puede considerar para conformar, gestionar y trabajar con actividades matemáticas tienen una influencia totalmente ligada al conocimiento matemático, es posible establecer relaciones entre dichos referentes y los elementos de los subdominios que forman parte del conocimiento matemático considerado en el MTSK. El conocimiento de los temas, de la estructura matemática y de la práctica matemática (subdominios KoT, KSM y KPM) están estrechamente relacionados con el ETM de referencia y con las concreciones o adaptaciones de este en el ETM personal y en el ETM idóneo. Entiéndase que, al mencionar la estructura o la práctica matemática, no estamos adoptando una estructura o una práctica particulares, es decir, no estamos proponiendo un referente epistemológico único o una concepción determinada de la matemática. Pensamos que este modelo, el MTSK, puede utilizarse desde distintas perspectivas epistemológicas, aunque nosotros compartimos una concepción dinámica de la matemática (ERNEST, 1991).

El ETM de referencia, de naturaleza dinámica, se representa en el esquema con varios prismas, que reconocen las distintas fuentes que sirven de referente para el profesor, así como su capacidad de verse modificados en el tiempo por diferentes factores.

En un profesor determinado, y en un momento específico de su actividad docente, su conocimiento profesional, y en particular su conocimiento especializado como profesor de matemáticas, media para transformar este ETM de referencia (del profesor) en el ETM idóneo de ese momento. Esta transformación puede analizarse en función de las decisiones que el profesor adopta sobre el contenido matemático que se gestionará en el espacio de trabajo correspondiente, y que vienen mediadas por diversos subdominios de su conocimiento especializado (nivel de profundidad con el que se pretende tratar el contenido, relaciones que se pondrán en juego, elementos sintácticos que decide tratar, recursos que son adecuados para el momento,…), subdominios que podrán potencialmente, a su vez, retroalimentarse de los resultados de la reflexión sobre el trabajo matemático que se desarrolle en el aula.

El ETM idóneo, determinado por el profesor y tomado en consideración en cada momento, también es dinámico (lo que representamos con los respectivos subíndices), y depende en gran medida (aunque no solo) del conocimiento especializado que ponga en juego el profesor, del trabajo matemático que caracteriza la actividad del aula, de los ETM de los estudiantes, de la detección y aprovechamiento de las oportunidades de aprendizaje (representadas en el esquema como oportunidades de aprendizaje-OTL), así como del ETM de referencia y personal del profesor. De esta manera queremos destacar los factores que pueden modificar el ETM idóneo, que puede relacionarse con la forma de trabajo prevista para implementarse en el aula, según se va desarrollando el propio trabajo matemático.

Parece evidente el papel del profesor en el diseño y gestión del ETM idóneo que propicie el trabajo matemático de los alumnos. El conocimiento del profesor juega a su vez un papel central en dichas tareas, de modo que modelos analíticos que pongan el foco en la especificidad de la matemática nos ayudarán a comprender cómo se configura dicho ETM idóneo. En ese sentido, el MTSK, al servir de herramienta para comprender el conocimiento del profesor que sustenta sus acciones, nos parece adecuado para explicar parcialmente el ETM idóneo del profesor. Del mismo modo, el ETM personal del profesor (esto es, el espacio de trabajo matemático en el que el profesor es hacedor de matemáticas) se ve directamente afectado por su conocimiento especializado, en especial en lo referente al dominio matemático.

Finalmente, una posible aportación a la interpretación de relaciones entre ETM y conocimiento del profesor, viene dada por la consideración de un espacio de referencia intermedio entre el determinado por el saber sabio y el ETM idóneo, el ETM de referencia del profesor. El MTSK del profesor (en sus dos subdominios –conocimiento matemático y conocimiento didáctico del contenido) incide en su ETM de referencia y la transformación de éste en el idóneo.

En todos los casos, estamos considerando los ETM (de referencia, idóneo y personal) del profesor. Además, coherentemente con nuestra visión dinámica del conocimiento del profesor, estos ETM del profesor se muestran cambiantes en el tiempo, lo que hemos hecho explícito en la figura 2.

Aventuramos que el MTSK, al permitir estudiar el conocimiento del profesor relativo a su acción y a la especificidad del contenido matemático, puede contribuir a que comprendamos mejor los ETM (de referencia, idóneo y personal) de dicho profesor, así como las relaciones que se establecen entre ellos. Además, desde una perspectiva de desarrollo profesional, puede aportar explicaciones a cómo evolucionan dichos ETM.

En sentido inverso, el marco del ETM posibilita profundizar en las relaciones entre el conocimiento especializado del profesor de matemáticas y las acciones de enseñanza que éste sustenta, en un esquema más amplio donde se incorpora el saber sabio y los espacios personales de los alumnos, así como la diferenciación entre planos y génesis.

Finalmente, consideramos que, ambos modelos, ETM y MTSK, comparten elementos que los hacen complementarios para analizar la actividad educativa en el aula. Cada uno de ellos centra su atención en uno de los agentes protagonistas del proceso de enseñanza y aprendizaje (alumno y profesor, respectivamente) y conciben la actividad matemática del aula como una actividad genuina de construcción y generación de conocimiento, por lo que son, además, epistemológicamente compatibles. Sería interesante profundizar en el papel que los subdominios del MTSK idóneo del profesor (a los que se puede acceder) poseen en la articulación entre los planos cognitivos y epistemológicos de los alumnos e indagar en el potencial comprensivo que la articulación de ambos modelos posee para la comprensión del proceso de enseñanza y aprendizaje.