La Ley General de Educación (MINISTERIO DE EDUCACIÓN, 2009a, Artículo 2°, párrafo 1°), representa el actual marco institucional para la educación obligatoria en Chile y su principio orientador enmarca a la educación “en el respeto y valoración de los derechos humanos y de las libertades fundamentales, de la diversidad multicultural y de la paz y de nuestra identidad nacional”.

La EIB entra en vigencia, gradualmente, a partir del año 2010 y, a partir del año 2014, de manera obligatoria, en los establecimientos con una matrícula de estudiantes de ascendencia indígena igual o superior al 20% (MINISTERIO DE EDUCACIÓN, 2009b). Según la base de datos del Ministerio de Educación, en la actualidad, el 70% de los establecimientos educacionales del país poseen matrícula indígena (MINISTERIO DE EDUCACIÓN, 2005).

Los nuevos conflictos que surgen en la formación de los ciudadanos chilenos, a partir de la implementación de la EIB, han sido abordados por diversos investigadores (GAJARDO, 2012; QUINTRIQUEO; MAHEUX, 2004; QUILAQUEO; QUINTRIQUEO, 2010; TREVIÑO et al., 2013; ROTHER, 2005; QUINTRIQUEO; MCGINITY, 2009). Estos autores han puesto en discusión cuestiones como: la distancia epistémica entre el conocimiento mapuche y el conocimiento escolar, la elaboración de programas de estudios propios en las comunidades indígenas, tener un currículo intercultural a nivel país, sistematizar el conocimiento de las culturas originarias, como el conocimiento matemático, entre otros.

Los bajos rendimientos en matemáticas reflejan la discriminación social existente en relación a la distribución democrática del conocimiento matemático. Según Díaz y Druker (2007), la democratización del conocimiento en el aula escolar implica romper con la hegemonía del conocimiento escolar monocultural, para dar espacio y valor epistémico a las prácticas socioculturales fundadas, conocimiento propio de los niños de ascendencia indígena y no indígena. Proceso marcado, fuertemente, por la dimensión normativa institucional, que, en definitiva, condiciona el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática en el aula en el actual modelo educativo monocultural.

Para este estudio nos planteamos las siguientes cuestiones:

Para responder a estas cuestiones hemos definido los siguientes objetivos:

En la comunidad científica se reconocen los aportes de connotados investigadores de la psicología de la educación, como Vigotsky, quien, ya en los años 50, nos hablaba del aprendizaje sociocultural del individuo. Han transcurridos varias décadas desde entonces para ver cómo el mundo, consecuencia de la globalización, es un lugar multicultural donde cotidianamente aprendemos de la cultura del otro. Como consecuencia, una educación intercultural debiera considerar las prácticas y las percepciones (D'AMBROSIO, 1999) de los estudiantes como una base en la cual afianzar el nuevo conocimiento, es decir, considerar su historia individual y su cultura de origen.

Por esta razón hemos decidido iniciar un trabajo exploratorio para evidenciar la necesaria articulación entre el conocimiento de origen del estudiante mapuche y la matemática escolar que estudian al iniciar la educación obligatoria. Atendiendo a las necesidades actuales de inserción del individuo en una sociedad globalizada y tecnificada, planteamos que el conocimiento de origen de un estudiante debe ser considerado un conocimiento previo en el cual afianzar los nuevos constructos, estableciendo una relación epistémica que articule, adecuadamente, estos distintos conocimientos matemáticos.

La resistencia de la matemática formal hacia la interdisciplinariedad (SKOVSMOSE, 1999) y la ausencia del componente sociocultural dentro de la disciplina de las matemáticas, no favorecen el desarrollo del pensamiento crítico e identitario de los estudiantes. Concordamos con Skovsmose (1999, p. 67), quien plantea

La etnomatemática está en referencia a grupos sociales y culturales diferenciados, a las concepciones e ideas, conceptos (saberes) y a diversas formas de prácticas socioculturales. En este contexto, “cada vez que los matemáticos tratan de abordar la etnomatemática, manifiestan diferencias, obstáculos o simplezas para analizarlos y terminan aplicando sólo su óptica profesional y disciplinaria” (ARAUJO, 2008, p. 71). En esa perspectiva, la etnomatemática requiere de profesores que se despojen de su visión monocultural, de sus prejuicios y del racismo, producto de su formación fundada en conocimientos científicos institucionalizados en una sociedad hegemónica en su relación histórica con los pueblos originarios (QUILAQUEO; QUINTRIQUEO, 2008). La finalidad es considerar el contexto sociocultural de los estudiantes, porque la matemática constituye una forma de pensamiento que se preserva en la identidad y se expresa en tres niveles de significación: 1) como visión de mundo, cosmovisión sobre el mundo físico, sobre el entorno natural y social; 2) cosmogonía, donde se explica los orígenes y poderes espirituales que permiten interpretar las concepciones sobre los elementos objetivos y subjetivos; y 3) la cosmología, que expresa los conceptos de orden, número, ritmo, lógica y percepciones del tiempo y del espacio (ARAUJO, 2008).

En nuestro estudio, la etnomatemática nos ha permitido mirar las cuestiones sociales y culturales en el conocimiento matemático del pueblo mapuche, mientras que la matemática crítica nos permite fundamentar los aspectos sociales y políticos. Visiones que permiten desarrollar una alternativa de educación matemática que exprese la conciencia social y la responsabilidad política (VITHAL; SKOVSMOSE, 1997) de la educación matemática en los primeros niveles de la educación obligatoria. Esta visión socio-crítica de la educación matemática promueve no desraizar al aprendiz de su cultura para pertenecer a otra mediante la adquisición de un nuevo conocimiento matemático, como lo ha reportado Rother (2005) en su estudio. Asimismo, la visión socio-crítica permite reflexionar sobre la exclusión que genera la educación matemática y sobre el acceso democrático al conocimiento matemático de manera inclusiva, valorando el conocimiento de la diversidad social y cultural de una nación y terminar con la política de obstáculos de aprendizaje (SKOVSMOSE, 2012). En otras palabras, disminuir las relaciones de poder que se establecen entre individuos, sociedades y culturas a través del conocimiento y desconocimiento matemático.

Skovsmose (2012) plantea una visión interesante de obstáculo de aprendizaje, desde la matemática crítica, que se entrecruza con la visión de la etnomatemática, en cuanto a la exclusión que provoca un modelo de currículo monocultural y universal. Plantea que la noción clásica de obstáculo podría ser un disfraz de exclusión. El no considerar la cultura de origen de los estudiantes al ingresar a la educación formal, puede ser asumido como una política de obstáculo de aprendizaje. Este planteamiento de Skovsmose ha dejado en evidencia que esta noción de obstáculo puede sepultar el porvenir² del estudiante y arruinar el porvenir de un grupo de niños es un acto sociopolítico (SKOVSMOSE, 2012).

Vithal y Skovsmose (1997) describen cuatro facetas o campos de estudio de la etnomatemática: Historia de la matemática, Antropología cultural matemática, Matemáticas en la vida cotidiana y Relaciones entre etnomatemática y educación matemática. En Salas, Godino y Oliveras (2015) hemos reportado dos de estas facetas: la antropología cultural matemática, explorando la existencia y características de la aritmética mapuche y cómo es utilizada en la EIB; y las relaciones entre la etnomatemática mapuche y la matemática escolar, describiendo y analizando las regularidades e irregularidades morfosintácticas y morfo-matemáticas de la numeración oral en español y mapunzugun (lengua mapuche). A partir de los cuatro puntos propuestos por Vithal y Skovsmose, y con el transcurso de nuestra investigación, nos dimos cuenta que es necesario incorporar un quinto campo de estudio: Articulación de la etnomatemática y la matemática escolar. Esto es, analizar las relaciones entre la etnomatemática y la matemática escolar, para articular estos conocimientos matemáticos de manera adecuada en un diseño didáctico que respete la lógica epistémica de cada conocimiento. Con ello se potencia la integración de los grupos socioculturalmente excluidos en una sociedad informacional en condiciones de igualdad.

En nuestro caso, este quinto campo de estudio nos conduce a la observación de las prácticas matemáticas de estudiantes mapuches. Centramos la atención sobre los componentes semióticos y epistemológicos puestos en juego en dichas prácticas matemáticas, esto es, sobre la naturaleza y tipo de los objetos cuyos significados se ponen en juego. Para Godino y Batanero (1994), las prácticas matemáticas pueden ser idiosincrásicas de una persona (prácticas personales) o compartidas en el seno de una institución (prácticas institucionales).

Estos autores consideran “práctica matemática a toda actuación o expresión (verbal, gráfica, simbólica, etc.) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución obtenida, validarla o generalizarla a otros contextos y problemas” (GODINO; BATANERO, 1994, p. 334). En este sentido, los autores conciben a las instituciones como comunidades de prácticas, e incluyen en ellas a las culturas, grupos étnicos y contextos socioculturales.

Nuestro estudio se ajusta a la visión de Godino y Batanero (1994), ya que aborda el estudio de los sistemas de prácticas en el seno de la cultura del pueblo mapuche y, por tanto, asumimos, al igual que el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (EOS), el postulado antropológico de la relatividad socio-epistémica de los sistemas de prácticas, de los objetos emergentes de las mismas y los significados.

Para el análisis de las prácticas matemáticas de los estudiantes mapuches, utilizamos las herramientas teóricas del EOS en sus facetas epistémica-cognitiva, por cuanto abordamos los significados institucionales y personales frente a tareas matemáticas. En la faceta epistémica abordamos los sistemas de prácticas institucionales, así como los objetos matemáticos (elementos lingüísticos, conceptos, procedimientos, propiedades y argumentos) y procesos puestos en juego al resolver una tarea matemática. En la faceta cognitiva analizamos los sistemas de prácticas personales puestos en juego en las respuestas de los estudiantes. Esto nos permite identificar conflictos semióticos que pueden explicar las dificultades a que se enfrentan los estudiantes mapuches al resolver un problema matemático en la cultura escolar y que pueden dificultar el acoplamiento de significados.

Este estudio es cualitativo, exploratorio, descriptivo e interpretativo. El problema matemático presentado a los estudiantes lo hemos elaborado siguiendo la lógica didáctica propuesta por el currículo de matemática nacional en Chile, teniendo en cuenta las orientaciones curriculares para la EIB, los libros de texto del primer ciclo de primaria que se utilizan actualmente y la actividad sobre aprendizaje de la decena analizada en Godino et al. (2011).

La muestra, la componen dos casos-tipo (HERNÁNDEZ; FERNÁNDEZ; BAPTISTA, 2010), de estudiantes mapuches de 2° año básico. Es una muestra guiada de fácil acceso. Uno de ellos es de una escuela con Educación Intercultural Bilingüe (EIB) de la región de La Araucanía, zona Sur de Chile, en la que se concentra la mayor cantidad de población Mapuche, 33,6% de total de la población mapuche del país (INE, 2002). El segundo estudiante de una escuela sin EIB, de la región de Valparaíso, zona Centro de Chile, con una población mapuche de un 2,41% de la población total Mapuche del país.

La tarea exploratoria propuesta a los estudiantes consistió en una ficha de trabajo en la que se solicita contar el número de huevos representados en una figura y en otra el número de manzanas (Figura 1). En un primer momento se solicita responder en mapunzugun (lengua mapuche) a las preguntas de recuento. En un segundo momento se solicita representar cuántas unidades y decenas de huevos hay en la figura; además, se pide completar en palabras y números la representación de la estructura aditiva de la cantidad total de huevos y de manzanas. Finalmente se presenta al estudiante la expresión con palabras (español y mapunzugun) de cuatro números y se solicita la expresión de la estructura aditiva en lenguaje simbólico matemático de éstos.

Nuestro análisis epistémico-cognitivo de las prácticas matemáticas de estos estudiantes mapuches trata de aportar evidencias sobre las siguientes expectativas:

Esperamos, que en ambos casos, los estudiantes sean capaces de identificar las unidades y decenas, representar las cantidades dadas en palabras de manera numérica de acuerdo al valor posicional y la yuxtaposición implícita en ellas (SALAS; GODINO; OLIVERAS, 2015).

El Ministerio de Educación pone a disposición de las escuelas y liceos las Bases Curriculares para cada nivel de la educación obligatoria. Además, provee los Programas de Estudio de cada uno de los sectores de aprendizaje, a fin de facilitar y orientar la planeación de la enseñanza y el logro de los estándares fijados para cada nivel. Éstos sirven de guía didáctica para aquellos establecimientos educacionales que no posean sus propios programas de estudio. Los estándares de aprendizaje son indicadores de evaluación y permiten guiar la planeación de la enseñanza para el logro de los objetivos planteados en el currículo de matemática para cada nivel y que, al terminar cada ciclo de enseñanza, serán evaluados con la prueba nacional SIMCE (Sistema de Medición de la Calidad de la Enseñanza). En nuestro caso, hemos examinado el Programa de Estudio de matemáticas para 2° año de la Educación Básica, centrando la atención en los objetivos de aprendizaje (OA), contenidos y competencias a desarrollar en este nivel sobre el conteo y valor posicional (MINISTERIO DE EDUCACIÓN, 2012).

Para la actual Educación Intercultural Bilingüe (EIB), el Ministerio de Educación (MINEDUC) y la Corporación Nacional de Desarrollo Indígena (CONADI) han elaborado en conjunto documentos curriculares para la contextualización de los contenidos fijados en los programas oficiales en los primeros niveles de Educación Básica de las siguientes asignaturas: Lenguaje y Comunicación, Matemática, Historia, Geografía y Ciencias Sociales, Educación Física y Salud, Artes Visuales y (MINISTERIO DE EDUCACIÓN, 2005).

El Cuadro 1 muestra los OA y los indicadores de logros establecidos por la institucionalidad para 2° año básico que se relacionan con nuestro estudio. El primer OA implica el aprendizaje de leer los números cero, uno, dos,… en español y representarlos con objetos, en palabras y en lenguaje simbólico matemático. Implícitamente, el significado institucional (GODINO; BATANERO, 1994) pretende un aprendizaje asociado a la idea de cantidad, es decir, de manera transitiva (CID; GODINO; BATANERO, 2003). El segundo OA aborda el aprendizaje del valor posicional y se espera que los estudiantes sean capaces de representar y describir, de diferentes maneras, la formación de una cifra de dos dígitos. De manera implícita, el significado institucional pretendido es que los estudiantes sean capaces de representar la formación de una cifra demostrando la comprensión del valor posicional de un dígito asociado a la ubicación de éste y la comprensión de la estructura morfo-matemática de las palabras numéricas en español.

En las orientaciones didácticas en matemáticas para la EIB se plantean los OA e indicadores para el primer subciclo (NB1) que implica los niveles de 1° y 2° básico, desglosados en 4 semestres (2 años). En el Cuadro 2 incluimos los indicadores y objetivos de aprendizaje del primer semestre que tienen relación con nuestro tema de investigación.

Como podemos apreciar en el Cuadro 2, existen muchas más cuestiones implícitas que poseen un significado institucional que el profesor debe inferir para democratizar el conocimiento matemático escolar. Este significado promueve, desde el primer contacto con la escuela, el aprendizaje de la lectura y escritura de los números en dos lenguas (español y mapunzugun), asociados a la idea de cantidad. Se incluye también el aprendizaje del valor posicional en el lenguaje simbólico matemático y la representación descompuesta de una cifra en la suma del valor de sus dígitos. Sin embargo, no se aprecia la utilización del potencial educativo de la estructura morfo-matemática de la numeración oral en mapunzugun (SALAS; GODINO; OLIVERAS, 2015). Implícitamente, se espera que los estudiantes sean capaces de,

En este apartado podemos evidenciar la compleja tarea del profesor de matemáticas en el contexto mapuche en los primeros niveles de la educación obligatoria. El profesor debe comprender e inferir el significado institucional de referencia de la cultura escolar (CE) y de la cultura mapuche (CM), para diseñar su planeación de enseñanza. Al diseñar la enseñanza debe responder a la demanda del currículo nacional de matemáticas, los estándares nacionales y las orientaciones curriculares para la EIB que insta al profesor a incorporar el lenguaje y contexto cultural mapuche. Una cuestión de interés para futuras investigaciones será explorar cómo puede el profesor articular estos aspectos en un diseño didáctico.

El conocimiento matemático del pueblo mapuche posee un sistema de conteo que lo podemos describir como un sistema naturalmente ordenado, oral, decimal no posicional. Éste posee algunas características análogas al sistema decimal posicional de la cultura occidental, como se aprecia en la tabla 1.

GODINO et al., (2011, p. 13) plantean que “los números, la aritmética, es la respuesta social al problema de comunicar el tamaño o numerosidad de los conjuntos, ordenar una colección y de analizar procesos iterativos-recurrentes”. Así, el pueblo mapuche comenzó su propia forma de dar respuesta a este problema en su vida cotidiana, es decir, en un contexto informal con sus propias prácticas informales. En estas prácticas de conteo mapuches existe un sistema de objetos organizados con un primer elemento, un siguiente…, que les ha permitido dar respuesta a la pregunta ¿cuántos hay?, determinando el tamaño de una colección de objetos (cardinal). La habilidad de contar, en español o mapunzugun, está precedida de una coordinación, al mismo tiempo, entre los elementos a contar con alguna técnica de recuento, y la emisión de la palabra cuantificadora en el orden establecido por ellos como cultura. Por tanto, y como plantea Cid, Godino y Batanero (2003), las técnicas de contar para obtener los cardinales, en el caso de la cultura mapuche, ponen de manifiesto los principios necesarios para contar correctamente:

Al observar y conocer estos elementos de la matemática mapuche, podemos identificar en el proceso de contar la puesta en correspondencia biyectiva de cada elemento de un conjunto con una, y sólo una, palabra numérica verbalizada de acuerdo al orden establecido en cultura correspondiente, y respetando sus principios de conteo, que, análogamente, son similares a los de la cultura matemática occidental.

Estas características de los números mapuches y su estructura nos han motivado a indagar, primero, si la aculturación temprana del estudiante mapuche ha borrado ese conocimiento matemático de origen o aún se mantiene en el estudiante de segundo básico. En este sentido toma relevancia la exploración y comparación de contextos distintos en que aprenden matemáticas los estudiantes mapuches; esto nos permite observar las diferencias en las prácticas matemáticas y los significados personales de los estudiantes.

Los significados institucionales de referencia, en este estudio, son aquellas prácticas esperadas y definidas por los indicadores del currículo de matemáticas y las orientaciones didácticas para contexto indígena (ver cuadros 1 y 2) para este nivel educativo, y se compone de las siguientes acciones:

La práctica esperada del alumno será la lectura y comprensión de la tarea y su resolución. El análisis a priori realizado permite formular algunas hipótesis relativas a los comportamientos de los estudiantes al resolver las tareas (aciertos, errores y diferentes maneras de abordarlas). La figura 2 muestra las respuestas de los estudiantes a dos de las tareas planteadas.

En ambos casos se pide contar la cantidad de huevos representados, solicitando escribir en mapunzugun. A continuación, se solicita encontrar el cardinal, expresado en decenas y unidades, y finalmente asociar las prácticas en lenguaje natural a la formación numérica de una cifra, como se aprecia en la figura 2. No se consideró entregar un ejemplo de resolución, dado que, según la revisión realizada del currículo y los libros de textos, se viene trabajando de esta forma desde el primer año. En nuestra aplicación, modificamos las colecciones a contar, huevos y manzanas, e introdujimos el mapunzugun, lengua originaria del estudiante mapuche.

En este acercamiento a las prácticas matemáticas de estos estudiantes mapuches, no hemos podido observar la forma en que los niños cuentan, ya que no se aprecia ninguna técnica auxiliar de recuento en la hoja de resolución. El estudiante con EIB (E-CEIB), aparentemente cuenta correctamente, identifica las decenas y las unidades, y las representa numéricamente de manera correcta. Sin embargo, el conocimiento de origen (escritura en mapunzugun) no se aprecia claramente, debido a que escribe algunas palabras correctamente, otras lo hace con errores y en otras no las escribe. Se aprecia que no comprende la formación de la cifra en mapunzugun (epu mari es 2 veces 10), ya que el estudiante lo escribe como 2020. Si bien muestra la representación como suma de dos subconjuntos de elementos, en otras instancias en que debía aplicar la misma representación, no lo hace. Cabe destacar que la mayor dificultad del E-CEIB se presenta cuando se involucran prácticas en lenguaje natural, lo que muestra un débil acoplamiento de los significados de las palabras numéricas en ambos lenguajes y su representación simbólica matemática de acuerdo a su estructura aditiva. El estudiante sin EIB (E-SEIB) no logra el recuento y sólo identifica el cardinal de las unidades. El significado personal de este estudiante no distingue entre el valor relativo y absoluto de las cifras (2 decena son 20 unidades). No ha construido el significado esperado para las unidades de primer orden ni las de segundo orden (decenas). No muestra conocimiento de la representación como suma de dos subconjuntos de elementos. En cuanto a su conocimiento de origen, no muestra evidencia alguna que recuerde los números en mapunzugun u otro conocimiento en relación al tema abordado.

Esta inconsistencia no se puede valorar únicamente en términos dicotómicos, el alumno sabe-no-sabe. Por ello, con este trabajo mostramos la complejidad semiótica que supone asociar las prácticas discursivas y los significados institucionales de la cultura escolar, la numeración oral en castellano y mapunzugun, y su asociación a la escritura simbólica matemática occidental.

El caso que hemos descrito reafirma la complejidad del aprendizaje de la decena en los primeros años de escolaridad, resaltada por Godino et al. (2011) mediante el análisis de las prácticas, objetos y procesos involucrados en la resolución de una tarea similar a la que en este trabajo hemos utilizado. En nuestro caso, hemos revelado que esa complejidad ontosemiótica (reconocimiento de objetos intervinientes en las prácticas matemáticas requeridas y la puesta en funcionamiento de los procesos de semiosis implicados) es mayor en el caso del estudiante que aporta un conocimiento base sobre numeración proveniente de su cultura de origen. Se requiere establecer nuevas funciones semióticas entre los términos numéricos de la lengua mapunzugun, el español, los símbolos indo-arábigos y las reglas de los respectivos sistemas de numeración. Queda abierta, no obstante, la cuestión de si es posible sacar alguna ventaja desde el punto de vista del aprendizaje de la numeración decimal indo-arábiga por parte del niño que conoce la lengua mapuche y los procesos de conteo en dicha cultura. En todo caso, será necesario tener en cuenta dicho conocimiento en la enseñanza de la aritmética en la escuela para lograr una educación inclusiva que respete la identidad cultural del niño mapuche.