Los matemáticos griegos se destacaron en sus procedimientos geométricos intuitivos, en especial, se dedicaron a encontrar tangentes y cuadraturas de diferentes superficies. Sus trabajos son la base de la génesis de la antiderivada, por esto es importante señalar a uno de ellos en particular, quien trabaja con las dos nociones matemáticas que vinculan a dicho objeto. Fue Arquímedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.), quien en sus trabajos utiliza la noción de recta tangente y sus propiedades, para el trazado de polígonos circunscritos a circunferencias; dicha noción fue propuesta años antes por Euclides de Alejandría (325 a.C-265 a.C.). En un Palimpsesto¹ encontrado a principios del siglo XX y analizado con técnicas de imagen multiespectral, en 1998, se describen evidencias de propuestas hechas por Arquímedes para encontrar geométricamente la tangente a una curva dada, la cual lleva su nombre: la espiral de Arquímedes. La descripción, hecha por Boyer (1999), señala que los matemáticos griegos, entre ellos Arquímedes, no disponían de una definición muy satisfactoria de tangente a una curva C en un punto P, considerándola como una recta L que tiene el único punto P común con la curva, de forma que no puede trazarse ninguna otra recta que pase por P que este incluida entre la recta L y la curva C. De acuerdo con Pino-Fan (2011), es posible que Arquímedes tuviera que romper con esta concepción para trazar la tangente de la espiral, adoptando un punto de vista cinemático que le permitió determinar la dirección instantánea del movimiento del punto mediante el cual se genera la curva.

Con respecto a la cuadratura, fue Arquímedes quien a través de la descomposición de polígonos en triángulos, como se muestra en su obra Quadrature of the parabole (cuadratura de la parábola), demuestra geométricamente que un segmento de parábola puede agotarse² mediante una serie de triángulos de área A, tal como se muestra en la Figura 2. Este procedimiento lo llevó a demostrar que el área del segmento parabólico es

Si bien, este método de demostración es geométrico, permite determinar áreas y volúmenes sin hacer uso de límites.

En esta etapa histórica aparecen las tangentes – proto derivadas (PINO-FAN, 2011) – y las cuadraturas (integrales), como dos objetos matemáticos emergentes de prácticas geométricas. No hay evidencia que indique el estudio, en este período, de la relación de dichos objetos. Se tuvo que esperar hasta el medioevo para ver nuevos aportes en cuanto a esta relación.

Los antecedentes planteados por los griegos, y en especial por Arquímedes, influyeron en los matemáticos de la Época Medieval, entre ellos Isaac Barrow (1630-1677), quien en su obra Lectiones Opticae et Geometricae (Lecciones de Óptica y Geometría), destacó la relación geométrica entre las tangentes y las cuadraturas (Figura 3). En una de las proposiciones de la lección X de dicha obra, describe:

Sea ZGE una curva cuyo eje es VD y consideremos las ordenadas (VZ, PG y DE) perpendiculares a este eje y continuamente creciendo desde la ordenada inicial VZ; también sea VIF una curva tal que si una línea recta EDF es trazada perpendicular al eje VD, cortando a las curvas en los puntos E, F y VD en D, el rectángulo determinado por DF y una longitud dada R es igual al espacio VDEZ; también sea DE:DF=R:DT, y unimos [T y F]. Entonces TF cortará a la curva VIF. Tomemos un punto I en la curva VIF (primero del lado F hacia V) y, a través de él, tracemos IG paralelo a VZ y IL paralelo a VD, cortando a las líneas dadas como se muestra en la figura [Figura 3.2]; entonces, LF:LK=DF:DT, es decir R×LF=LK×DE. Pero de la naturaleza de las líneas DF y LK se tiene R×LF=área (PDEG), por tanto se tiene que LK×DE=área (PDEG)<D×DE, por lo tanto se tiene LK<DP<LI. De forma análoga, si el punto I se toma del otro lado de F, se haría la misma construcción de antes y se puede fácilmente demostrar que LK>DP>LI. A partir de lo anterior, es completamente claro que toda línea TKF permanece en o debajo de la curva VIF. Resultados análogos se obtienen si las ordenadas VZ, PG y DE decrecen en forma continua, la misma conclusión se obtiene mediante un argumento similar. Sólo una particularidad ocurre, a saber, en este caso, al contrario que en el otro, la curva VIF es cóncava respecto al eje VD (BARROW, 1735, p. 167).

La proposición anterior establece que para trazar una recta tangente a una curva, ésta última debe estar relacionada con la cuadratura de otra curva. Este resultado geométrico es asumido en la actualidad como la versión preliminar del TFC.

En esta etapa histórica, el objeto matemático antiderivada emerge con procedimientos geométricos que relacionan la tangente de una curva con su cuadratura. El argumento de dicha relación (las tangentes con sus cuadraturas) se basa en construcciones geométricas planteadas por los griegos.

Barrow, tal como se mostró anteriormente, avanza al poder establecer la relación geométrica entre la tangente de una curva y su cuadratura, relación que hasta esa época no había sido establecida. Este gran avance de Barrow, hizo detonar en los matemáticos de la época, y en algunos de sus discípulos, una serie de aportes no geométricos en relación con la derivada, la integral, y la relación entre ambas nociones.

Al final de la época barroca, en el siglo XVII, Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), tomaron las bases teóricas matemáticas heredadas de Kepler, Cavalieri, Torricelli, Fermat, Roberval, Barrow, entre otros, y cada uno de forma independiente, y de acuerdo con Pino-Fan (2014), fundaron lo que hoy denominamos cálculo infinitesimal. Según Collete (1985), los predecesores de Newton y Leibniz habían utilizado métodos de análisis para resolver problemas con curvas especificas, algunas de los cuales ya habían sido abordados por los matemáticos griegos. El primero de estos problemas fue: dada la fórmula para la distancia recorrida por un cuerpo como función del tiempo, encontrar la velocidad y aceleración instantánea. E inversamente: dada la fórmula para la aceleración como una función del tiempo, encontrar la velocidad y la distancia recorrida. El segundo problema trataba sobre la búsqueda de la tangente a una curva dada en un punto dado (problema de las tangentes). El tercer problema se trataba sobre la búsqueda analítica de valores máximos y mínimos de una función. Por último, el cuarto problema consistía en encontrar el área y el volumen acotados por curvas y superficies, respectivamente (problema de las cuadraturas). De acuerdo con Ponce (2013), los problemas antes mencionados fueron abordados generalmente, como casos aislados.

Posterior a los desarrollos de Newton y Leibniz, el estudio y desarrollos relativos al cálculo infinitesimal, continúa con los hermanos Bernoulli. El primero de ellos, Jacques Bernoulli (1654-1705) fue quien utilizó, por primera vez, la expresión integral, en su obra sobre la isócrona publicada en el Acta Eruditorum, de 1690. Anteriormente, él había sugerido esta expresión a Leibniz, quien a su vez utilizó la expresión calculus integralis (cálculo integral) en sustitución de calculus summatorius (cálculo sumatorio) para referirse al proceso inverso del calculus differentialis (cálculo diferencial).

En 1742, el segundo de los hermanos, Jean Bernoulli (1667-1748) publicó en su Opera Omnia, el primer texto expositivo de cálculo integral, considerado satisfactorio por la Royal Society of London³. En dicha obra, considera la integral como la operación inversa de la diferencial con la adición adecuada de una constante, concepción distinta a la de Leibniz, quien consideraba la integral como una suma de cantidades infinitamente pequeñas. Fue Leonhard Euler (1707-1783) quien llevó, finalmente, a la noción matemática antiderivada a su desarrollo actual.

Euler fue quien planteó, para algunos problemas cinemáticos y geométricos, la solución sin necesidad de encontrar una función primitiva (antiderivada), a cambio propuso que se puede determinar una función desconocida a partir de una relación que la vincule con la derivada. Este proceso se describe en su tratado Institutionum calculi integralis. Volumen primun (Fundamentos de cálculo integral. Volumen primero). Euler consideró la incapacidad de los métodos elementales propuestos por Leibniz y Newton para resolver problemas importantes, es decir, estos métodos se restringen a algunas funciones a las que denominó elementales⁴. Para dar solución a dichas funciones, introduce en su tratado un método numérico que permite solucionar cualquier situación, por ejemplo, si se considera a f (x) = e^x2, esta función es continua pero no puede ser expresada como una función elemental, por tal razón no tiene antiderivada, pero su integral sí existe y puede ser calculada. Al expresar la función por medio de una serie infinita de Maclaurin⁵, se tiene , por lo tanto, , si se integra término a término se tiene . Luego se determina si esta serie converge o diverge, a través de la regla de comparación⁶, para este caso se tiene que . Para cualquier valor que tome x, ésta se convierte en una constante, entonces se tiene que , por lo tanto, la serie es convergente. Este método era utilizado por Newton en series de potencia. Hoy en día, esta forma de proceder se conoce como método de integración numérica.

Euler describe la relación entre el cálculo diferencial y el cálculo integral en la siguiente definición:

Definición 1: El cálculo integral es el método por el cual se encuentra la relación entre las cantidades de los diferenciales, la operación que se presenta aquí, es llamada integración.

Corolario 1: Por lo tanto, desde el cálculo diferencial se enseña a investigar la relación de los diferenciales de determinadas magnitudes de las variables; el cálculo integral es el método inverso (EULER,1770, p. 3).

En este momento histórico, la noción matemática antiderivada alcanza su máximo desarrollo al demostrar que no todas las funciones tienen antiderivadas, tal como lo afirmó Euler, pero, sí, es posible calcular una integral definida sobre ellas, como se mostro anteriormente.

Este problema, descrito en el apartado 3.2 y mostrado geométricamente con la Figura 3, fue abordado por Barrow en la Época Medieval. En él, se puede observar la forma de construcción de una curva creciente, en la cual se traza una tangente en un punto dado, y por medio de construcciones geométricas se relaciona con la cuadratura de la curva dada. Este problema geométrico es prototípico tanto de las situaciones/problemas como de las prácticas matemáticas que hasta esa época se desarrollaban. Barrow logra unir dos conceptos separados hasta ese momento, la tangente a una curva y la cuadratura de la misma.

Las construcciones geométricas son un trabajo propio de los griegos y se utilizaron como único argumento, y lenguaje, hasta el siglo XVII. Todas las propiedades y procedimientos están apoyadas en construcciones geométricas heredadas de los griegos, los cuales no disponían de métodos generales para el trazado de rectas tangentes a cualquier curva, ni mucho menos relacionarla con la cuadratura de la curva. Tanto en el planteamiento como en las soluciones de las situaciones-problemas, se utilizó un lenguaje propio de la geometría euclidiana y sus argumentos eran puramente sintéticos (PINO-FAN, 2014). En las soluciones propuestas, intervenían conceptos tales como curva continua creciente, ordenada, perpendicularidad, puntos, rectángulo, longitud, paralelismo. Así mismo, en la lección X planteada por Barrow, aparecen propiedades utilizadas siglos atrás por los griegos, como la perpendicularidad entre curvas, rectas que unen intersecciones opuestas al trazo de tangentes en figuras cónicas, entre otras. Con respecto a los procedimientos son los característicos de los matemáticos de la época: geométricos.

El problema resuelto por Barrow, abordado desde los griegos, al igual que por otros matemáticos de la época, forma parte de un sistema de prácticas al cual hemos denominado Tangentes-Cuadraturas, la cual reúne las prácticas matemáticas geométricas que, en dicha etapa histórica, conferían un significado parcial a la antiderivada.

Este problema, descrito en el apartado 3.3.1, es parte de un sistema de prácticas, que se ha denominado Fluxiones-Fluentes. Para describir los elementos de esta segunda configuración, consideramos dos problemas prototípicos propuestos por Newton (1736, p.19):

Dada la longitud del espacio descrito continuamente (es decir, en todo momento); encontrar la velocidad del movimiento en cualquier momento propuesto.

Estos problemas, y su solución, están basados en la concepción cinemática del movimiento continuo, y se utilizan dos conceptos centrales. El primero es el de fluente, entendido como cantidad de movimiento que varía respecto del tiempo. El segundo es el de fluxión, que es la velocidad de cambio del movimiento respecto del tiempo.

El primer problema se aborda desde el ejemplo propuesto por Newton (1736, p. 21): “Dada la curva de ecuación x³ − ax² + axy − y³ = 0, calcular las fluxiones”.

Para resolver este problema, Newton sustituye en la ecuación dada x y y por x + O y y + O respectivamente, obteniendo la ecuación (PINO-FAN; GODINO; FONT, 2011):

Luego, elimina x³ − ax² + axy − y³, que es igual a cero (de acuerdo con la ecuación dada originalmente), divide después por un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, notado o y, por último, desprecia finalmente los términos en que, todavía, figura el factor o, quedando la ecuación: .

Se puede observar que Newton introduce nuevos conceptos/definiciones en sus desarrollos sobre el cálculo infinitesimal y, con ellos, nuevas expresiones de términos y notación (además de lenguaje algebraico, geométrico y descriptivo), entre los cuales coincidiendo con Pino-Fan (2011), podemos señalar los siguientes: a) o es un intervalo de tiempo infinitamente pequeño; b) momento de x que define como un incremento infinitesimal de x, que representa con ox (análogamente define el momento de y, oy); c) En palabras de Newton (1736, p. 20): “Llamaré cantidades fluentes, o simplemente fluentes, a estas cantidades que considero aumentadas gradualmente e indefinidamente; las representaré mediante las últimas letras del alfabeto v, x, y, z, para distinguirlas de las otras cantidades”; d) El concepto fluxión definido con sus palabras: “representaré con las mismas últimas letras coronadas con un punto , las velocidades con que las fluentes aumentan por el movimiento que las produce y que, por consiguiente, se pueden llamar fluxiones” (NEWTON, 1736, p. 20); e) Momento de la fluente es la cantidad infinitamente pequeña que varía una fluente como x en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño O, es decir, . El método de las fluxiones de Newton es, a su vez, el procedimiento de esta configuración.

Para abordar el segundo problema Newton sugiere: “Sea la ecuación propuesta por , calcular las fluentes” (NEWTON, 1736, p. 26).

Sus escritos muestran la solución a este problema, indicando que se debe proceder de manera contraria a la sustitución del primer problema planteado, en el cual hace la sustitución de x y y por respectivamente. Se procede, indica, separando la ecuación como se muestra a continuación: separar la expresión en dos partes donde se muestren tres términos en cada una, la primera , y la segunda , esto para efectuar operaciones sobre cada expresión por separado. La primera parte se divide por obteniendo 3x³ − 2ax² + axy. La segunda expresión se divide por , con lo que se obtiene −3y³ * +axy. Las nuevas expresiones se dividen por 3 · 2 · 1, simultáneamente y se obtiene x³ − ax² + axy − y³ * +axy. Por lo tanto la suma es, x³ − ax² + axy − y³ = 0, esta expresión es la relación necesaria de las cantidades x e y.

En este último ejemplo propuesto por Newton, al igual que en el problema propuesto al inicio, vemos como argumenta los procedimientos (y en general sus definiciones y proposiciones) con base en consideraciones dinámicas y de infinitesimales, apoyándose siempre en el álgebra y el análisis geométrico.

Dentro de las proposiciones/propiedades dadas por Newton, podemos mencionar las siguientes: a) Si , entonces el área será ; b) Supongamos una curva cuya área está dada por la expresión Z = ax^m, donde m es entero o fraccionario entonces la curva está dada por la expresión y = max ^m−1(derivación); c) Dada una y = max^m−1 entonces el área comprendida bajo la curva es Z = ax^m (integración).

En cuanto a los tipos de situaciones/problemas de esta configuración, Newton abordó problemas sobre el cálculo de la velocidad del movimiento en un tiempo dado cualquiera, dada la longitud del espacio descrito, y viceversa.

El hecho de que sus algoritmos hayan sido aplicado a muchos problemas, como por ejemplo, método para encontrar mínimos en funciones o el método para encontrar aproximaciones de raíces de una función lineal, entre otras, hace que esta configuración sea altamente general o intensiva (PINO-FAN, 2014). Así, vemos como en esta configuración las fluxiones o velocidades de los movimientos de las fluentes –que en la actualidad conocemos como la derivada – y las fluentes o cantidades que varían respecto al tiempo – que en la actualidad conocemos como antiderivación – son entendidos por Newton como procedimientos recíprocos.

Este problema, descrito en el apartado 3.3.2, planteado por Leibniz, forma parte de un sistema de prácticas que se ha denominado Sumatoria-Diferencial. Este sistema de prácticas lo analizamos a partir de dos problemas prototípicos. El primero está basado en la construcción del cálculo diferencial a partir de las diferencias infinitesimales, mientras que el segundo se basa en la construcción del cálculo sumatorio (cálculo integral) a partir de la suma de diferencias infinitamente pequeñas.

Leibniz abordó situaciones/problemas sobre máximos y mínimos, tangentes y puntos de inflexión; esto se evidencia claramente en el título de su obra Nova methodus pro maximis et minimis, intemque tangetibus, qua nec irrationales quantitates moratur (Nuevo método para los máximos y mínimos, así como para las tangentes, el cual puede también aplicarse a las cantidades fraccionarias e irracionales), en la cual introduce, por primera vez, la expresión cálculo diferencial y proporciona las fórmulas que hasta ahora conocemos para derivar productos, cocientes, potencias y raíces, todas éstas acompañadas de aplicaciones geométricas tales como la búsqueda de tangentes, máximos y mínimos, y de los puntos de inflexión.

Leibniz aborda tres ideas principales en el desarrollo del cálculo infinitesimal, así lo explica Bos (1984), la primera de ellas es la idea filosófica de characteristica generalis (una característica general), la segunda se refiere a las sucesiones de diferencias, y la tercera idea principal, fue el uso del triángulo diferencial en las transformaciones de cuadraturas.

De acuerdo con Pino-Fan (2014), Leibniz utiliza un lenguaje simbólico general mediante el cual se pueden escribir con símbolos y fórmulas todos los procesos de argumentación y de razonamiento. Con este fin, logró introducir un nuevo lenguaje accesible, que aún se mantiene en nuestros días, el cual facilita la manipulación de los conceptos, procedimientos y argumentos, en el cálculo diferencial. Por ejemplo, Leibniz introduce los símbolos ∫ y d, los cuales concibe como operadores que representan, respectivamente, la suma de rectángulos o suma de áreas y las diferencias entre dos valores sucesivos de x o y. Así mismo, denota con dx y dy a las diferenciales de las variables x e y respectivamente, es decir, diferencias infinitamente pequeñas de x e y.

Los lenguajes, nuevos términos y notaciones, introducidos por Leibniz, estaban asociados a una serie de nuevos conceptos/definiciones o procedimientos, primordiales en su cálculo de diferencias. Por ejemplo, dy la utiliza para denotar el concepto de diferencial de una variable y, la cual define como la diferencia infinitamente pequeña entre dos valores sucesivos de y (análogamente define la diferencial de la variable x, dx). Así mismo, como ya señalamos anteriormente, introduce el símbolo ∫ para representar el proceso de sumar rectángulos o áreas de rectángulos, y d para representar las diferencias entre dos valores sucesivos de x o y. Las fórmulas proporcionadas por Leibniz, que hasta ahora conocemos, para derivar productos, cocientes, potencias y raíces, así como la regla de integración por partes, son ejemplos de proposiciones y procedimientos al mismo tiempo.

Leibniz concibe una suma tal como ∫ ydy (que más tarde los Bernoulli llamarían integral) como la suma de los rectángulos infinitamente pequeños de base dx y altura y; por lo tanto, la cuadratura de una curva es igual a ∫ y dx.

Así mismo, afirmaba que el proceso de integración, referido como proceso de sumación es inverso al proceso de diferenciación. Pronto se interesaría en la relación que existe entre dx y dy, y del significado de expresiones tales como d (uv),d (u/v), etc. Así, en un manuscrito fechado el 26 de junio de 1676, y titulado Methodus Tangentium Inversa (Método inverso de tangentes), Leibniz afirmaba que la mejor manera de encontrar las tangentes es determinando el cociente , dándose cuenta de que la determinación de la tangente a una curva depende de la razón de las diferencias de ordenadas y abscisas cuando se hacen infinitamente pequeñas.

Uno de los resultados geométricos de Leibniz, equivalente a los hallazgos de Barrow, se obtiene cuando relaciona la tangente de una curva con la cuadratura de la misma (Figura 5). Él lo describe como sigue:

Sea AC una forma curva cuyo eje ordenado es AB, el área de esta curva es llamado l. Sea AD otra forma curva con el mismo eje de ordenado, este segmento de ordenada es BD, llamado “y”. Sea esta curva AD tal que el área ABC está dada por todas las eles (l's) o escrito de otra forma ∫ 1, que es igual al producto de BD y una línea fija igual a ay; luego, tomando B(B) igual a la unidad, tenemos que l=aw, donde w:B(B)=DB:BT o w=y/d, l=ay/d (LEIBNIZ, 1920, p. 180).

Este problema se aborda anteriormente en el apartado 3.4, y corresponde a uno de los sistemas de prácticas que identificamos y que lleva vinculada la configuración epistémica cuatro (CE4) que se ha denominado funciones elementales. Caracterizamos este sistema de prácticas mediante un problema prototípico propuesto por Euler y construido sobre los problemas y soluciones de Leibniz. Como estudiamos anteriormente, fue Euler quien determinó la adición de una constante de integración al encontrar las función primitiva (antiderivada) y que en la actualidad conocemos como la constante de integración en la solución de una integral indefinida, que representa una familia de funciones de una función que ha sido derivada. De esta forma, Euler diferencia la integral particular (integral definida) de la integral completa (integral indefinida), como lo describe a continuación en su texto:

Definición 6. La integral se dice completa, cuando se representa la función buscada con cada extensión y con una constante arbitraria. Pero cuando esa constante se ha determinado en cierta manera, debe ser llamada integral particular. Corolario. De ahí que para todo caso se exprese una sola integral completa; pero las integrales son capaces de proporcionar un número infinito de integrales particulares. Así, la integral completa de la diferencial xdx es , pero las integrales particulares , etc., son una multitud infinita (EULER, 1770, p. 11).

Euler utiliza un lenguaje nuevo en las matemáticas al adicionar una constante arbitraria para expresar la solución de la integral completa, que hoy se conoce como la adición de la constante de integración para significar una función que representa la familia de funciones de una función al ser derivada. Sus argumentos para diferenciar la integral completa de la integral particular, llevan a lo que, hoy, conocemos como la antiderivada.

Los aportes de Euler (1770), determinan con definiciones el hecho de que no todas las funciones tengan antiderivada o primitiva, pero sí puedan integrase a través de series trabajadas por Leibniz, como lo describe a continuación:

“Definición 5. Si las funciones, que se buscan en el cálculo integral de una relación de los diferenciales, no se pueden mostrar en forma algebraica, entonces estas son llamadas trascendentes, ya que varias de ellas trascienden las competencias de análisis común” (EULER, 1770, p. 5).

Euler, con la anterior definición advierte la forma en que debe ser abordada una antiderivada de una función, esta referencia da lugar a las funciones elementales. Prosigue su descripción de la forma de cómo abordar las funciones que no son elementales, como sigue:

Ahora, en el primer intento de resolver una integral, las funciones no deben buscarse inicialmente, primero debe tomarse como una función trascendental. A menudo sucede que una integral algebraica puede ser obtenida a través de operaciones hábiles. Si la función que se busca es trascendental, se debe considerar con cuidado si ésta puede ser reducida a funciones más simples, o expresada como una función logarítmica o de forma angular, en cuyo caso la solución algebraica puede ser comparada igualmente. Pero si esto no se logra, conviene investigar la forma más sencilla de las funciones trascendentales, hasta que se pueda reducir el integrando tratado, con el método más adecuado, con el fin que los valores más cercanos a las funciones a trascender se puedan producir.

Teorema. Todas las funciones que se encuentran a través del cálculo de una integral son indeterminadas, se requiere una determinación por la naturaleza de la cuestión, que suministren la solución (EULER, 1770, p. 10).

Con el teorema anterior, Euler indica la forma de abordar funciones a través del cálculo integral, indicando qué hacer cuando éstas no pueden ser expresadas en forma elemental. Esta indicación hace que encontremos la solución por métodos diferentes a los elementales (numéricos), haciendo que la función pueda ser integrable sin tener antiderivada, esto ocurre cuando hace referencia en el teorema a encontrar la solución de ellas (las integrales) por la naturaleza en cuestión que suministre la solución, haciendo alusión al uso de métodos numéricos para la solución.

Pero la importancia del aporte de Euler está en la diferencia que establece entre las nociones de integral completa –que conocemos hoy como integral indefinida o antiderivada – e integral – que hace alusión a integrales definidas – las cuales se calculan de diversas formas entre las cuales podemos destacar el TFC.