Partimos de la base de que los objetos matemáticos tienen una naturaleza compleja que está distribuida en instituciones diferentes, en momentos históricos diferentes, en libros de textos diferentes etc. Nos interesa conocer cómo ciertos aspectos de esta complejidad del objeto matemático se ponen de manifiesto en la práctica del profesor de matemáticas cuando lo está enseñando. Partimos del siguiente supuesto: la manera cómo se tiene en cuenta la complejidad del objeto matemático a enseñar (en términos definiciones, proposiciones, propiedades, procesos matemáticos etc.) y cómo ésta se gestiona en el proceso de instrucción, es un aspecto clave para entender las dificultades de aprendizaje de los alumnos.

Son diversos los enfoques teóricos que se han interesado por analizar la práctica docente del profesor de matemáticas, entre otros: 1) los trabajos de Rowland, Huckstep, y Thwaites (2005), su propuesta de cuatro categorías de conocimiento (foundation, transformation, connection y contingency) que caracterizan el conocimiento del profesor activado durante la instrucción; 2) las aportaciones derivadas de la metodología Lesson Study (FERNÁNDEZ; YOSHIDA, 2004) que incluyen un modelo de análisis colaborativo por parte del profesorado para planificar, implementar, observar, y reflexionar sobre las clases de matemáticas; 3) Las aportaciones de Davis y Renert (2013) en el marco de su propuesta Concept Study, que combina elementos de dos enfoques relevantes en la investigación en educación matemática: concept analysisy lesson study; 4) las investigaciones sobre el desarrollo y evaluación de la competencia denominada mirar con sentido el pensamiento matemático de los estudiantes (MASON, 2002).

Dicha competencia permite al profesor de matemáticas ver las situaciones de enseñanza aprendizaje de las matemáticas de una manera profesional, que lo diferencia de la manera de mirar de alguien que no es profesor de matemáticas; 5) el modelo de análisis didáctico propuesto por el Enfoque Ontosemiótico de la Instrucción y la Cognición Matemática (EOS); este enfoque propone cinco niveles para el análisis didáctico de procesos de instrucción propios y ajenos, cada uno de ellos con sus respectivas herramientas (GODINO; CONTRERAS; FONT, 2006; FONT, PLANAS y GODINO, 2010; POCHULU; FONT; RODRÍGUEZ, 2015): (1) Análisis de los tipos de problemas y sistemas de prácticas; (2) Análisis de las configuraciones de objetos y procesos matemáticos; (3) Análisis de evoluciones cognitivas, trayectorias e interacciones didácticas, (4) Identificación del sistema de normas y metanormas y (5) Valoración de la idoneidad didáctica del proceso de instrucción para identificar y potenciar buenas prácticas.

El objetivo de este trabajo es realizar un análisis minucioso del proceso de instrucción realizado en una secuencia de clases, utilizando el modelo de análisis didáctico propuesto por el EOS. Se trata de determinar la estructura y el funcionamiento de una secuencia de clases de matemáticas, con estudiantes colombianos de segundo año de la licenciatura en matemáticas, donde se explica el método de integración por partes. Dicho análisis permite describir (¿qué ha ocurrido aquí?), explicar (¿por qué ha ocurrido?) y valorar (¿qué se podría mejorar?) el proceso de instrucción realizado. El principal resultado es una valoración fundamentada de la idoneidad didáctica del proceso de instrucción implementado y una explicación de las dificultades de aprendizaje de los alumnos.

Este artículo está organizado en nueve secciones, la primera de los cuales es esta introducción en la que se expone el objetivo de la investigación. En la segunda sección, se explica el contexto donde se realizó la secuencia de clases que se ha analizado. En la sección 3, explicamos las herramientas de los cinco niveles de análisis didáctico propuestos por el EOS y en las secciones 4 – 7, comentamos cómo se han usado para el análisis de la secuencia de clases, poniendo énfasis en la configuración didáctica n° 2 (CD2) (en el anexo 1 se muestra su trascripción aunque, por razones de espacio, se omiten algunas líneas). En la sección 7 realizamos la valoración de la idoneidad didáctica basándonos en el estudio de los aspectos descriptivos y explicativos plasmados en las secciones 4 - 6. A continuación, en la sección 8, explicamos las dificultades que tienen los alumnos en la resolución de problemas de integración por partes a partir del análisis realizado. El artículo finaliza con una presentación de consideraciones finales.

Las clases consideradas, que tienen una duración aproximada de una hora, fueron 12. Algunas de ellas se implementaron según el horario asignado en sesiones de hora y media de clase. Se impartieron en la asignatura de Cálculo Integral, durante el tercer semestre de la licenciatura en matemáticas de una universidad colombiana, con 20 alumnos de 21 a 23 años de edad. La universidad es de tipo pública estatal. El profesor tenía una antigüedad en la docencia de cinco años, una formación en matemática pura y una especialización en docencia de la matemática universitaria.

Para el análisis, hemos subdividido las 12 sesiones de clase en 820 unidades de análisis, que hemos agrupado en episodios de aula que denominamos configuraciones didácticas (GODINO; CONTRERAS; FONT, 2006), de acuerdo con el marco teórico y metodológico adoptado para el trabajo (EOS). Cada una de las configuraciones didácticas (CD) muestra las interacciones en torno a una tarea matemática y finaliza cuando se inicia otra. Tal como se señala en Font, Bolite y Acevedo (2010); Pochulu y Font (2011), aunque el criterio básico para determinar una CD es la realización de una tarea, la agrupación de las líneas de la transcripción en configuraciones didácticas es flexible y queda a criterio del investigador.

Para realizar el análisis de la transcripción de las clases, optamos por el modelo de análisis didáctico propuesto por el EOS (FONT; PLANAS; GODINO, 2010), que considera los siguientes cinco niveles o tipos de análisis:

El primer nivel de análisis explora las prácticas matemáticas de un proceso de instrucción matemático. Se puede entender como la narración que haría un profesor para explicar a otro lo que ha sucedido desde el punto de vista matemático. El análisis didáctico debe progresar desde la situación problema o tarea básica propuesta y las prácticas matemáticas necesarias para su resolución (nivel 1) a los objetos y procesos matemáticos que posibilitan dichas prácticas. El segundo nivel de análisis se centra en los objetos y procesos matemáticos que intervienen en la realización de las prácticas, así como los que emergen de ellas. Dado que el estudio de las matemáticas tiene lugar usualmente bajo la dirección de un profesor y en interacción con otros estudiantes, se debe progresar hacia el estudio de la interacción. El tercer nivel de análisis didáctico está orientado, sobre todo, a la descripción de los patrones de interacción, a las configuraciones didácticas y su articulación secuencial en trayectorias didácticas (nivel 3); las configuraciones y trayectorias están condicionadas y soportadas por una trama de normas y metanormas que no sólo regulan la dimensión epistémica de los procesos de instrucción (niveles 1 y 2), sino también otras dimensiones de estos procesos (cognitiva, afectiva etc.). El cuarto nivel de análisis estudia dicha trama.

Los cuatro primero niveles de análisis son herramientas para una didáctica descriptiva-explicativa, mientras que el quinto se centra en la valoración de la idoneidad didáctica (GODINO et al., 2006). Este último nivel se basa en los cuatro análisis previos y es una síntesis orientada a la identificación de mejoras potenciales del proceso de instrucción en nuevas implementaciones. El análisis de las prácticas, objetos y procesos matemáticos permite describir las matemáticas del proceso de instrucción analizado, mientras que el de las interacciones y de la dimensión normativa permite describir la interacción producida en el proceso de instrucción y las normas que la regulan.

Por último, los criterios de idoneidad implican la incorporación de una racionalidad axiológica en la educación matemática que permita el análisis, la crítica, la justificación de la elección de los medios y de los fines, la justificación del cambio etc. Las herramientas de los cuatro primeros niveles de análisis propuestos en el EOS permiten descomponer una transcripción de una sesión de clases en una trayectoria de configuraciones didácticas y, para cada configuración, estudiar diferentes aspectos. Por ejemplo, la configuración didáctica n° 2 (CD2), que es la que utilizaremos en este artículo, va de la línea 33 de la transcripción a la 122 (ver Anexo 1, donde por cuestiones de espacio se omiten algunas líneas). Dicha CD2 comienza con una tarea propuesta por el profesor (Calcular la integral ) y termina cuando el profesor propone otra tarea (calcular otra integral).

En esta configuración CD2, la práctica matemática realizada consiste en aprender el método de la integración por partes a partir de su aplicación en un caso particular. Los objetos de la configuración epistémica que se ponen en juego en dicha práctica son, entre otros, antiderivada, integral indefinida, derivada de un producto de funciones etc., mientras que uno de los procesos activados es el tratamiento de expresiones simbólicas. En esta configuración didáctica la intervención del profesor se ha concretado en presentar (institucionalizar) el método de integración por partes a partir de la resolución de una integral particular. El patrón de interacción sirve para tipificar la configuración didáctica como magistral interactiva. Se observan varios conflictos semióticos potenciales causados por las explicaciones ambiguas del profesor y por el uso de simbología imprecisa. Por otra parte, en esta CD2 y en otras, se infieren, por ejemplo, que las normas que regulan la interacción son los de una clase magistral. Los cursos están concebidos en forma expositiva ilustrativa, con tareas y actividades específicas propias de esa modalidad.

Durante esta secuencia de las 12 sesiones de clase, el profesor pretende enseñar el método de integración por partes. Los alumnos, sobre todo, realizan la práctica de resolver integrales por este método de integración. En particular, esta es la práctica que se realiza en CD2. Si consideramos los aspectos del conocimiento para la realización y evaluación de la práctica que permiten resolver una situación problema – por ejemplo, calcular una integral – vemos el uso de lenguajes verbales y simbólicos. Estos lenguajes son la parte ostensiva de una serie de conceptos, proposiciones y procedimientos que intervienen en la elaboración de argumentos para decidir si las acciones realizadas son satisfactorias. Así, cuando un agente lleva a cabo y evalúa una práctica matemática, activa un conglomerado formado por situaciones problema, lenguajes, conceptos, proposiciones, procedimientos y argumentos. Para la CD2, que es el episodio que analizamos con detalle, dichos elementos se articulan en la siguiente configuración epistémica¹ (Cuadro 1).

El análisis detallado de las prácticas hechas en la clase muestra que se ponen en juego muchos de los procesos matemáticos que considera el EOS (FONT; PLANAS; GODINO, 2010), además de otros. Dado que los procesos son densos en la actividad matemática, no pretendemos realizar un estudio exhaustivo de ellos; por ello, nos limitamos en esta sección a realizar una síntesis, tomando los más relevantes al mirar la CD2 de manera global. De modo general, el análisis indica que, esencialmente, se realiza un proceso de institucionalización del método de integración por partes y el proceso de algoritmización (mecanización) de dicho método. Por otra parte, hay que resaltar que se realizan procesos de tratamiento de expresiones simbólicas. Al discriminar los objetos (Cuadro 1) y procesos presentes en la práctica de la CD2 se pueden resaltar ciertos aspectos que con otro tipo de herramientas no se muestran tan claramente. Detallamos, a continuación, algunos de ellos:

Godino et al. (2006) describen, utilizando como criterio el tipo de interacción, cuatro tipos teóricos de configuraciones: magistral, a-didáctica, personal y dialógica. Las configuraciones reales que acontecen están más o menos próximas a ellas. Una CD se considera a-didáctica cuando el alumno y el maestro logran que el primero asuma el problema planteado como propio y entre en un proceso de búsqueda autónomo, sin ser guiado por lo que pudiera suponer que el maestro espera. La configuración teórica magistral se basa en la manera tradicional de enseñar matemáticas con exposición, seguida de ejercicios sobre los contenidos presentados. Una variante intermedia entre los tipos anteriores puede definirse cuando el profesor se encarga de la formulación y validación, mientras que los alumnos se responsabilizan de la exploración.

La institucionalización tiene lugar mediante un diálogo entre el docente y los alumnos, quienes han tenido ocasión de asumir la tarea, familiarizarse con ella y, posiblemente, de esbozar alguna técnica de solución. En este caso, se habla de configuración teórica dialógica. Otro tipo teórico de CD surge cuando el estudiante resuelve la situación problema sin intervención directa del docente; aquí, los alumnos resuelven ejercicios propuestos por el profesor o que incluye el libro de texto. Se trata de un tipo de CD en la que predomina el estudio personal y que se denomina configuración didáctica personal. En la CD2 que hemos considerado para nuestro estudio, podemos notar que básicamente se enseña matemáticas con exposición, seguida de ejercicios sobre los contenidos vistos. Este modelo se repite en toda la secuencia de clases observada. Este modelo de enseñanza deja a los alumnos la responsabilidad de dar sentido a los objetos matemáticos que se introducen a través de los ejemplos y ejercicios que se van mostrando. Como expresan Godino et al. (2006, p. 31), se estaría tratando de una decisión topogenética: “primero yo, el profesor, te doy las reglas generales, después tú las aplicas”. Aunque el registro de la sesión muestra un constante diálogo entre el profesor y los alumnos, que podría llevarnos a situar la clase en una configuración dialógica, un análisis más detallado revela que las interacciones se circunscriben a que los estudiantes asuman las tareas, se familiaricen con ellas y se esboce la técnica de resolución de integrales por el método de integración por partes. La institucionalización, formulación y validación quedan, exclusivamente, a cargo del profesor, sin intervención alguna de los alumnos, más allá de salir al tablero. Por dicho motivo, las configuraciones didácticas de toda la secuencia de clases se han considerado del tipo magistral-interactivo o bien de configuración didáctica personal.

Por otra parte, dada la gran diversidad de interacciones didácticas que pueden ocurrir en cualquier proceso de instrucción, nos hemos centrado en las que giran en torno a conflictos del tipo semiótico, de asequible individualización, ya que resulta fácilmente triangulable su identificación. Un conflicto semiótico en el EOS es cualquier disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o instituciones). Si la disparidad se produce entre significados institucionales se habla de conflictos semióticos de tipo epistémico, mientras que si se da entre prácticas que forman el significado personal de un mismo sujeto se llaman conflictos semióticos de tipo cognitivo (una noción muy relacionada con la de conflicto cognitivo propuesta por Piaget). Cuando la disparidad surge entre las prácticas – discursivas y operativas – de dos sujetos diferentes en interacción comunicativa (por ejemplo, alumno-alumno o alumno-profesor) se habla de conflictos semióticos interaccionales. Hay que notar que estos tres tipos de conflicto semiótico no son excluyentes, ya que, según la perspectiva desde donde se enfoque, un mismo conflicto puede ubicarse en un tipo u otro.

Es importante destacar que el análisis de cada uno de los conflictos puede comprenderse mejor si se tiene en cuenta la CD donde se enmarca, pues hay que relacionarlo con las prácticas matemáticas que se llevan a cabo en ella, los objetos y procesos involucrados en dichas prácticas y los patrones de interacción y las normas que intervienen en la CD.

A continuación, presentamos algunos de los conflictos semióticos más representativos que acontecen en la CD2.

El sistema de normas que regulan la interacción del aula, ha sido objeto de investigación en Didáctica de las Matemáticas, principalmente por Blumer (1969), introduciendo nociones como patrones de interacción, normas sociales y sociomatemáticas (COBB; BAUERSFELD, 1995; YACKEL; COBB, 1996); y mediante la noción de contrato didáctico (BROUSSEAU, 1988). En ambos casos, se trata de tener en cuenta las normas, hábitos y convenciones generalmente implícitas que regulan el funcionamiento de la clase de matemáticas, concebida como microsociedad, que condicionan, en mayor o menor medida, los conocimientos que construyen los estudiantes. El foco de atención, en estas aproximaciones, ha sido principalmente las interacciones entre profesor y estudiantes cuando abordan el estudio de temas matemáticos específicos.

Por una parte, se tiene que los elementos matemáticos asociados con la solución del problema corresponden a un curso del nivel de Licenciatura en Matemáticas y se encuentran descritos en el currículo y los libros de texto de las materias que cursan los estudiantes de la Facultad de Ciencia y Tecnología. Por otra parte, el diseño curricular no favorece la enseñanza con base en problemas. Los cursos están concebidos en forma expositivo-ilustrativa, con tareas y actividades específicas propias de esa modalidad. Algunas de las normas que se infieren de las regularidades que se observan en CD2 y en las otras configuraciones son las siguientes: 1) Los ejercicios de matemáticas se hacen de determinada manera (metanorma metaepistémica). Por ejemplo, en [35, 36, 65, 133,]. 2) Para aprender matemáticas hay que hacer muchos ejercicios (norma metacognitiva). Por ejemplo, en [120, 434…]. 3) Hay que dedicar mucho tiempo a hacer ejercicios (norma mediacional). Por ejemplo, en [120, 433…]. Otras normas que regulan las interacciones y que, implícitamente, aparecen en las clases, son, entre otras, las siguientes: el profesor interviene para resolver algunas dificultades de los alumnos; otras son resueltas por otros compañeros; el profesor tiene un papel determinante en el inicio, distribución y finalización de las intervenciones; algunos alumnos participan cuando no entienden algo.

La aplicación de los criterios de idoneidad a un proceso de enseñanza y aprendizaje permiten extraer conclusiones sobre qué aspectos mejorar en futuras implementaciones.

Se observan tres grandes dificultades a lo largo de las 12 sesiones de clase utilizadas para implementar el proceso de instrucción del método de integración por partes (algunas de ellas presentes desde la sesión 1 en la CD2, centro de este artículo y que se vuelven reiterativas a lo largo de las doce sesiones observadas), que no se superan. En su orden son:

En este trabajo hemos aplicado un modelo que permite realizar un análisis didáctico sistemático para la descripción, explicación y valoración de episodios de clases de matemáticas. La descripción de la sesión de clase es el resultado de una metodología de observación, que ha consistido en aplicar los constructos del marco teórico adoptado. Dicho marco nos ha servido de guía sobre lo que había que observar, cómo se debía observar y nos ha proporcionado las herramientas para realizar la observación.

Hemos mostrado, además, cómo un análisis minucioso, apoyado en las herramientas didácticas que provee el EOS, precisa e ilustra con detalles la estructura y funcionamiento de una clase de matemáticas que se puede considerar como una degeneración mecanicista de una clase formal⁵. Los diferentes niveles de análisis permiten diferenciar todo lo que está involucrado en el conglomerado que conforma una clase de matemáticas (situación problema, lenguaje, conceptos, proposiciones, procedimientos y argumentos, interacciones, conflictos, normas y metanormas), así como establecer relaciones entre dichas partes. En términos metafóricos, podemos decir que se obtiene una radiografía de la clase, donde se observan conflictos semióticos que están relacionados con dificultades de los alumnos evidenciadas en sus exámenes, que además han sido documentados en otras investigaciones.

La enseñanza de las integrales es un tópico ampliamente estudiado en la Matemática Educativa. Un grupo relevante de estos trabajos, que normalmente ocupan marcos teóricos de tipo psicológico, han investigado las dificultades que presentan los alumnos con la aplicación de cuestionarios y entrevistas, pero no analizan los procesos de instrucción que siguen los estudiantes. En cambio, el análisis que hemos llevado a cabo aquí, además de permitir hacer una descripción con detalle lo que ha sucedido, ofrece explicaciones sobre porqué se presentan determinadas dificultades en los alumnos. Por una parte, podemos afirmar, como muestra la investigación sobre la didáctica de las integrales, que los alumnos tienen problemas para entender la resolución de integrales por el método de integración por partes, y que se observan, entre otras evidencias, a través de los conflictos semióticos descritos en el análisis de la transcripción. Por otra parte, se pueden hacer predicciones sobre lo que probablemente sucederá en un proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas cuya radiografía sea parecida: se producirán conflictos semióticos parecidos que no serán resueltos y generarán dificultades. Dicho en forma breve, este tipo de clase que es una degeneración mecanicista de una clase formalista es una de las causas de la generación de determinadas dificultades; sin embargo, cabe resaltar que el mecanismo causal es su estructura y funcionamiento.

Aunque no se ha hecho en este trabajo, por cuestiones de espacio, se puede profundizar en la relación entre este tipo de clases y las dificultades de comprensión. Si se realiza un análisis Ontosemiótico a priori que ponga de manifiesto las diferentes configuraciones epistémicas que forman el significado de referencia del objeto integral, y la trama de funciones semióticas que se han de activar para relacionar entre sí los elementos de las configuraciones y las configuraciones entre ellas – como el realizado en Contreras, Ordóñez y Wilhelmi (2010); Crisóstomo (2012); Ordóñez (2011); Robles, Telechea y Font (2014), se puede observar, en la transcripción, que las configuraciones didácticas implementadas no han tenido en cuenta dicha complejidad. El análisis, a priori, nos permite decir que la estructura y funcionamiento de este tipo de clases no repara en la complejidad ontosemiótica asociada a las integrales, lo cual es una de las causas de que se produzcan determinadas dificultades.

La aplicación de los criterios de idoneidad a un proceso de enseñanza y aprendizaje concreto la hemos entendido como la metodología que permite la guía, valoración y posible mejora de un proceso de enseñanza y aprendizaje. En nuestro trabajo, estos criterios llegaron a ser reglas de corrección útiles en dos momentos: a priori, pues son principios que orientan cómo se deben hacer las cosas, y a posteriori, porque sirven para valorar el proceso de instrucción efectivamente implementado. Así, la aplicación de los criterios de idoneidad nos permitieron extraer conclusiones sobre qué aspectos mejorar en el futuro. Por ejemplo, la baja idoneidad epistémica de la clase se debería mejorar.

Finalmente, destacamos que este análisis didáctico minucioso, al igual que una radiografía, penetra en la estructura interna de la clase, resaltando aspectos y matices que, si bien pueden parecer obvios después de haber sido encontrados, se hallan ocultos ante una mirada general y prematuramente valorativa de esta práctica matemática. Nuestra conclusión es que el análisis hecho resulta útil en dos aspectos. Por una parte, como se afirma en Font, Planas y Godino (2010), el modelo de análisis didáctico aplicado en este trabajo puede ser útil para el colectivo de profesores interesados en reflexionar sobre su propia práctica. Por otra parte, la radiografía de la clase mecanicista puede orientar a los profesores en formación y a los que imparten este tipo de clase a valorar, reflexionar y sugerir acciones de mejora.