Gran parte de las investigaciones de Educación Matemática abordan el problema de dificultades frecuentes que enfrentan los estudiantes ante determinadas prácticas matemáticas. Desde diferentes marcos teóricos se proponen variadas herramientas que permiten el análisis de dichas prácticas con la intención de explicar esas dificultades y proponer posibles estrategias tendientes a su superación.

El interés de realizar un análisis de errores en el aprendizaje ha sido señalado por diversos autores, quienes piensan que son una parte inseparable de este proceso (RADATZ, 1980; BORASSI, 1987; RICO, 1995; POCHULU, 2004). A su vez, el interés radica en la posibilidad de caracterizar las regularidades con que se presentan los errores y de construir modelos explicativos, pues es una estrategia valiosa para clarificar dificultades en el aprendizaje matemático y permitiría plantear propuestas superadoras.

En este trabajo utilizamos el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática (EOS) (GODINO; BATANERO, 1994; GODINO; CONTRERAS; FONT, 2006; GODINO; BATANERO; FONT, 2009; POCHULU, 2012). En particular, nos centraremos en una de las herramientas teórico-metodológicas propuestas por este enfoque, la función semiótica, entendida como una entidad que asigna una relación específica entre objetos matemáticos. Con dicha herramienta se procura “…modelizar la actividad matemática, tanto en los procesos de resolución de problemas, como en los procesos comunicativos en la enseñanza y aprendizaje, como secuencias de funciones semióticas e identificar conflictos semióticos potenciales o efectivos en la interacción didáctica” (GODINO, 2003, p.145).

Se presenta parte de la experiencia del grupo GIEMI¹, en las que se analizan procesos de resolución de problemas matemáticos, estableciendo la secuencia de funciones semióticas implicadas en ese proceso. Dichas funciones son relevantes tanto en su contenido como en su orden, ya que, en caso de no establecerse correctamente, no se logra resolver satisfactoriamente el problema en cuestión.

En este artículo se presentan funciones semióticas asociadas a la resolución de problemas de tipos específicos, utilizadas en cuatro trabajos del grupo, con su correspondiente fundamentación, a fin de compartir la experiencia y la metodología con otros investigadores. En dichos trabajos se describen algunas de las dificultades que se generan en los procesos de enseñanza y de aprendizaje de distintos objetos matemáticos vinculados a: problemas de optimización, representaciones de números complejos, representaciones simbólicas en el registro algebraico y problemas asociados a la probabilidad condicional. Mediante el análisis de las funciones semióticas implicadas, se determinan los significados personales asignados a los objetos matemáticos involucrados, y se las contrasta con las funciones semióticas que representan los significados pretendidos. Dicho análisis ha permitido:

En los procesos de definición de las funciones semióticas de los cuatro trabajos se hallaron algunas regularidades. Las mismas se enuncian, esperando que sirvan como criterios para ser considerados en estudios similares.

Con miras al estudio de los factores que intervienen en la generación de obstáculos o dificultades en el aprendizaje de la matemática se han realizado distintas clasificaciones de los errores.

Así, Radatz (1980, citado en ABRATE; POCHULU; VARGAS, 2006) señala una categorización según la causa:

(a) Dificultades del lenguaje; (b) Dificultades para obtener información espacial; (c) Aprendizaje deficiente de hechos, destrezas y conceptos previos; (d) Asociaciones incorrectas o rigidez del pensamiento (por perseveración, de asociación, de interferencia o de asimilación); (e) Aplicación de reglas o estrategias irrelevantes.

Asimismo, Mavshovitz–Hadar, Zaslavksy e Invar (citados en Rico, 1995) plantean categorías empíricas y descriptivas de los errores, sobre la base de un análisis constructivo de las soluciones de los alumnos realizadas por expertos: (a) Datos mal utilizados; (b) Interpretación incorrecta del lenguaje; (c) Inferencias no válidas lógicamente; (d) Teoremas o definiciones deformados; (e) Falta de verificación en la solución; (f) Errores técnicos.

El enfoque pragmático que tiene el EOS asocia los significados de los objetos matemáticos a las prácticas y dichas prácticas se representan mediante funciones semióticas de distinto tipo. En este contexto, los errores se identifican con la falta de establecimiento de las funciones semióticas o con el establecimiento de funciones semióticas incorrectas.

Existen antecedentes de trabajos en los que se utilizan funciones semióticas como herramientas metodológicas, focalizados sobre los procesos de enseñanza y de aprendizaje de distintos contenidos matemáticos. A continuación, se describen sintéticamente dichos trabajos.

Contreras et al. (2005) realizan un análisis semiótico de un texto en el que se define la función derivada. Realizan dicho análisis considerando como expresión o contenido de las funciones semióticas que definen, las facetas duales extensiva – intensiva de los objetos matemáticos presentes en las unidades de análisis consideradas en el texto. A través del análisis detectan conflictos semióticos potenciales y focalizan la atención, a través de las facetas duales mencionadas, sobre el uso de elementos genéricos, cruciales en la actividad matemática. Una tarea similar realizan Contreras y Ordoñez (2006) al analizar la introducción a integral definida presentada en un fragmento de un texto de bachillerato. A través de la definición de funciones semióticas que contemplan las dualidades de los objetos matemáticos relacionados, describen la complejidad de la comprensión del mismo y anticipan posibles conflictos semióticos.

Chacón (2006) utiliza funciones semióticas para hacer un análisis de una trayectoria epistémica de un proceso de enseñanza de la definición algebraica de estructura de grupo a desarrollarse en un contexto virtual. Identifica unidades de análisis en dicha trayectoria para luego asociarlas a funciones semióticas. Éstas últimas son clasificadas según la tabla propuesta por Font (2002). Análogamente, define unidades de análisis y sus funciones semióticas asociadas en una tarea dada a un estudiante. Dichas funciones también son clasificadas según la tabla mencionada.

Tamayo et al. (2008) analizan un proceso de enseñanza y aprendizaje de la definición de Límite funcional según Weierstrass, implementado en una institución escolar en un ambiente de tecnología digital; descomponen dicho proceso en unidades para identificar entidades y las funciones semióticas que se establecen. Identifican nueve tipos de funciones semióticas cuyas expresiones o contenidos son notacionales o facetas de la dualidad intensivo-extensivo.

Godino, Batanero y Roa (2005) estudian el proceso de resolución de algunos problemas combinatorios por alumnos con alta preparación matemática, aportando una explicación semiótica del razonamiento combinatorio y describiendo las implicaciones del modelo teórico. Afirman que los objetos matemáticos no son entidades aisladas, sino que se ponen en relación en el lenguaje y la actividad matemática por medio de funciones semióticas. Es decir, las conexiones entre un antecedente (expresión, significante) y un consecuente (contenido o significado), establecidas por un sujeto (persona o institución) de acuerdo con un cierto criterio de correspondencia. Consideran, en los ejemplos que desarrollan, que cualquiera de los objetos matemáticos puede desempeñar el rol de expresión y contenido. En los ejemplos analizados se determinan los conflictos semióticos, pero no se definen explícitamente las funciones semióticas intervinientes en esa disparidad de significados. Sugieren, finalmente, sobre la utilidad en considerar un razonamiento matemático como secuencia de funciones semióticas (o cadena de conocimientos puestos en relación) en el proceso de resolución de un problema por parte de un sujeto.

Resulta interesante el uso teórico-metodológico de las funciones semióticas realizado por Rojas Garzón (2012). En su tesis estudia las dificultades que encuentran algunos estudiantes para articular los sentidos asignados a representaciones semióticas de un mismo objeto matemático, obtenidas mediante tratamiento. Utiliza las funciones semióticas para definir el sentido de un objeto matemático primario como el contenido de la función semiótica que tiene a dicho objeto primario como expresión de la función semiótica. A partir de esta noción de sentido, define la articulación de sentidos como el establecimiento de una función semiótica resultante de la concatenación de dos funciones semióticas: uno de los sentidos (contenido) del objeto primario se convierte en expresión de una nueva función semiótica que tiene como contenido a otro sentido de dicho objeto. Asimismo, usa el constructo función semiótica para definir la actividad cognitiva de tratamiento, afirmando que “el tratamiento se puede caracterizar como una función semiótica que toma como equivalentes dos objetos primarios, considerados ambos como representaciones de un mismo objeto matemático” (ROJAS GARZÓN, 2012, p.53).

En su trabajo presenta la configuración cognitiva de objetos matemáticos primarios de producciones de estudiantes en el desarrollo de tareas de probabilidad, triple de un número y sobre cónicas, resaltando las funciones semióticas establecidas por éstos en su proceso de significación. Presenta evidencias que confirman los obstáculos que encuentran los estudiantes para articular sentidos.

El marco teórico en el que se fundamentan los análisis es el Enfoque Ontosemiótico de la Cognición y la Instrucción Matemática (EOS), como línea de investigación en Didáctica de la Matemática, que viene desarrollándose en España desde el año 1994 por Juan Díaz Godino, Carmen Batanero y Vicenç Font Moll (GODINO; BATANERO, 1994; GODINO; CONTRERAS; FONT, 2006; GODINO; BATANERO; FONT, 2009; POCHULU, 2012).

Este enfoque define a una práctica matemática como cualquier acción, expresión o manifestación (lingüística o de otro tipo) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar la solución obtenida a otras personas, validar y generalizar esa solución a otros contextos, A partir de este constructo, surge la noción de significado, definido como el sistema de prácticas operativas y discursivas para resolver un cierto tipo de problemas (GODINO; BATANERO; FONT, 2009).

En el contexto de una clase, los conocimientos de cada alumno en un momento dado son muy variados. Ante un determinado objeto matemático se considera el significado personal que cada alumno le asigna a dicho objeto para diferenciarlo del significado fijado por el profesor, por el libro de texto o en un currículo (significado institucional).

A partir de esta distinción se puede describir, metafóricamente, el aprendizaje como acoplamiento progresivo entre significados personales e institucionales en una clase. Esta diferenciación entre las facetas personal e institucional de los significados matemáticos es fundamental para poder describir y explicar las interacciones entre el profesor y los estudiantes en los procesos de enseñanza y aprendizaje (GODINO; BATANERO; FONT, 2009).

En los sistemas de prácticas matemáticas intervienen y aparecen conjuntos de objetos conformando redes llamadas configuraciones. Las mismas pueden ser cognitivas o epistémicas de acuerdo la condición de personal o institucional de los objetos involucrados. Estas configuraciones, junto con los sistemas de prácticas, son las herramientas teóricas que propone este enfoque para describir los conocimientos matemáticos expresados en términos de significados (GODINO; BATANERO; FONT, 2009).

Para describir la actividad matemática y los procesos cognitivos implicados, el EOS considera la teoría del lenguaje de Hjemslev (1943, citado en GODINO, 2003), quien denomina función a la dependencia entre el texto y sus componentes y entre estos componentes entre sí. Entre los tipos de dependencias que es posible identificar entre las partes de un texto, resaltan aquellas en que una parte (plano de expresión) se pone en representación de otra (plano del contenido). Esta función es la que Hjemslev designa función de signo y que Eco presenta como función semiótica(GODINO, 2003).

Las funciones semióticas ponen de manifiesto la naturaleza esencialmente relacional de la actividad matemática. Godino (2003) considera que esa dependencia no es sólo representacional, sino que existen otras dependencias de naturaleza operatoria o actuativa.

En este contexto, el significado está conformado por una trama de funciones semióticas, cada una de las cuales asigna a una expresión un contenido, mediante un cierto criterio o regla de correspondencia establecida por un sujeto. Este contenido puede ser un término, expresión, gráfico u otro elemento lingüístico, una situación problema, un concepto o definición, una acción u operación, algoritmo o procedimiento, una argumentación, etc. (GODINO; BATANERO; FONT, 2009). Es decir que el contenido puede ser cualquiera de los objetos primarios² que el EOS contempla en su ontología. Esto permite clasificar las funciones semióticas según los tipos que se presentan en Cuadro 1. Esta es la clasificación utilizada en los ejemplos de aplicación que se presentan en la próxima sección.

Las funciones semióticas poseen un gran potencial como herramientas metodológicas al momento de estudiar significados, particularmente los significados personales construidos por los estudiantes. Font (2002, p.156) expresa que:

La falta de establecimiento de los distintos tipos de funciones semióticas, o el establecimiento de funciones incorrectas, da lugar a errores que pueden ubicarse en alguna de las clasificaciones mencionadas en el apartado anterior.

Así por ejemplo, las dificultades provocadas por la falta de establecimiento de funciones semióticas lingüísticas pueden asociarse a la categoría errores causado por Dificultades del lenguaje, de Radatz (1980, citado en ABRATE; POCHULU; VARGAS, 2006) o a la categoría Interpretación incorrecta del lenguaje, de Mavshovitz–Hadar, Zaslavksy e Invar (citados en RICO, 1995). Los errores asociados a las categorías de Mavshovitz–Hadar, Zaslavksy e Invar denominadas Datos mal utilizados y Falta de verificación en la solución se corresponden con la ausencia o establecimiento deficiente de funciones semióticas situacionales y argumentativas respectivamente.

Más allá de tipificar los errores, las funciones semióticas permiten un refinamiento del análisis de los mismos que conduce a una visión más detallada del significado personal manifestado por los alumnos sobre un objeto matemático. A continuación, se realiza una descripción del proceso de refinamiento mencionado.

En cada uno de los trabajos que se presentarán como ejemplos hubo un proceso de definición de funciones semióticas involucradas. Al hacer un análisis retrospectivo sobre esos procesos, se hallaron regularidades que se describirán a continuación.

En todos los casos se comienza por identificar una situación problema que, recurrentemente, presenta dificultades para los estudiantes. Esto impone la necesidad de determinar o explicar dichas dificultades. Para ello es necesario realizar una radiografía de la situación problema mediante una descripción detallada de las prácticas matemáticas que requiere su resolución. Una configuración epistémica hace posible dicha descripción. En ella se detallan los objetos matemáticos primarios presentes. Para cada uno de esos objetos primarios se requiere, por parte del estudiante, una práctica matemática (operativa, discursiva etc.). Esta asociación entre objetos primarios es la que se modeliza a través de funciones semióticas.

El conjunto de funciones semióticas así definidas conforma una trama inicial, o provisoria, que permite hacer ostensibles las prácticas matemáticas necesarias para resolver el problema. Dicha trama puede ir refinándose en su nivel de detalle si esto fuera necesario.

Este entramado es una herramienta que permite el análisis de las configuraciones cognitivas de las producciones de los estudiantes. En dicho análisis se indaga si se evidencia el establecimiento de las funciones semióticas en juego. Para aquellas funciones que no se muestran establecidas se debe proceder a analizar si el estudiante no estableció ninguna función semiótica o estableció una errónea, respecto del objeto primario que está estudiando. En este punto, es necesario preguntarse si la discrepancia entre la función semiótica definida como correcta, y la efectivamente utilizada por el estudiante es suficiente para explicar su error en la resolución del problema. En los casos en los que no resulta suficiente, se desagrega la función en cuestión en funciones semióticas que tributan en la construcción de la función semiótica estudiada. Esto dará lugar a un análisis posterior de las configuraciones cognitivas, comparando con estas nuevas funciones semióticas.

A continuación, en la Figura 1, se presenta un esquema que sintetiza lo anteriormente detallado respecto del proceso de refinamiento del entramado de las funciones semióticas.

A continuación se presentan los cuatro ejemplos, mencionados en la introducción, del uso de Funciones Semióticas como herramienta metodológica para analizar problemas de aprendizaje. En todos los casos, se trabajó con las producciones de alumnos que se encontraban cursando materias básicas de las carreras de ingeniería de la Universidad Nacional de Mar del Plata, Argentina.

En las secciones anteriores se ha ejemplificado y descripto la utilización de funciones semióticas, como herramientas teóricas y metodológicas del EOS. Dentro de este marco teórico se entiende el aprendizaje como el proceso por el cual un estudiante hace suyo un conjunto de significados, lo que hace relevante el estudio de los mismos. En este contexto, los significados comprenden prácticas operativas y discursivas en la resolución de determinado tipo de problemas. Para una mirada profunda sobre dichas prácticas se las puede estructurar o desglosar definiendo funciones semióticas que el estudiante tiene que establecer para poder realizarlas. El establecimiento deficiente de funciones semióticas se manifiesta en prácticas calificadas como erróneas. Errores asociados al incorrecto establecimiento de algunos tipos de funciones semióticas pueden ubicarse en categorías de algunos de los estudios de errores como los realizados por Radatz o Mavshovitz–Hadar, Zaslavksy e Invar.

En los antecedentes y ejemplos presentados puede observarse que las funciones semióticas permitieron:

En este trabajo se expuso una forma sistemática de uso de las funciones semióticas para optimizar el aprovechamiento de su potencial como instrumento metodológico. Esta sistematización da cuenta de los pasos a seguir en el análisis de errores recurrentes en relación a un determinado objeto matemático, refinando el entramado de funciones semióticas de acuerdo a los requerimientos de la resolución del problema.

El potencial de este tipo de análisis radica en su aplicación para el diagnóstico y abordaje de distintos tipos de errores asociados a prácticas matemáticas que definen el significado de un objeto matemático. Sin embargo, debe señalarse que dicho análisis está localizado en objetos matemáticos particulares. El empleo de esta herramienta en el estudio de la enseñanza y aprendizaje de variados objetos matemáticos podría dar lugar a investigaciones más generales en el futuro.