En la comunidad internacional, el enfoque por competencia es considerado por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico OCDE como una propuesta educativa que no solo abarca aprendizaje de contenidos, sino que apunta a la formación de ciudadanos constructivos y con capacidad de reflexión, permitiéndoles identificar y entender el rol que juegan las matemáticas en el mundo (OCDE, 2003). A partir del Proyecto DeSeCo de la OCDE, que se concentró en la elaboración de un listado de competencias-clave, diversos países de la Unión Europea han utilizado el enfoque por competencias, como sustento para sus reformas curriculares de la educación obligatoria (RYCHEN; SALGANIK, 2006; OCDE,2005). El Proyecto Tuning dio paso a que las universidades modificasen su diseño curricular hacia un enfoque por competencias (GONZÁLEZ; WAGENAAR, 2003). Las distintas reformas que ha tenido América Latina también se han visto influenciadas por estas experiencias.

En lo que respecta al ámbito escolar, destacan algunos proyectos en torno a la implementación del enfoque por competencia en matemática tales como la reforma curricular de Portugal (ABRANTES, 2001); la incorporación de competencias matemáticas al currículum danés (NISS, 2002); el proyecto del Programme for International Student Assessment PISA (OCDE, 2003), sustentado en la propuesta de Niss y los estándares de matemáticas en Colombia (MEN, 2006). La competencia, en general y desde la perspectiva de Perrenoud (1998), está relacionada con el proceso de activar conocimientos, habilidades y estrategias en un amplio abanico de contextos, y principalmente en situaciones problemáticas (PERRENOUD, 2004).

En el ámbito de la matemática, para Rico y Lupiáñez (2008), la competencia matemática consiste en un saber hacer en la práctica mediante herramientas matemáticas, utilizando la actividad matemática en contextos tan variados como sea posible. Godino (2002) describe la diferencia entre competencia y comprensión: la competencia atiende a un componente práctico - saber hacer -, mientras que la comprensión, a un componente teórico -saber qué hacer y por qué -. Por otra parte, Font (2001) plantea una dicotomía distinta al argumentar que la comprensión se puede entender como una competencia o como un proceso mental. Para el equipo OCDE/PISA, el término competencia matemática se ha elegido con el fin de hacer hincapié en el carácter funcional del conocimiento matemático y en la posibilidad de aplicarlo de forma variada a una multiplicidad de situaciones de los más diversos tipos. Para que dicho uso sea posible y viable, se requiere un considerable volumen de conocimientos y habilidades matemáticas fundamentales (SOLAR et al., 2011).

Las competencias profesionales que sirvieron de base en esta investigación, forman parte de un Modelo de Competencias Profesionales de Matemática MCPM (POBLETE; DÍAZ, 2004) que fue previamente validado y evaluado a través de la ejecución de un proyecto (Fondecyt N° 1010980) financiado por la Comisión Nacional de Investigación Científica CONICYT de Chile.

En este modelo se define la competencia del profesor de matemáticas, como la habilidad adquirida efectiva y eficientemente al ejecutar el acto de enseñar matemáticas, relacionada con la calidad, en el sentido de hacer la tarea educativa de formación y hacerla bien.

De acuerdo al modelo, se plantean competencias generales y especializadas, marcos de contextos de competencias, y dimensiones cualitativas en relación a la concepción de calidad. La competencia está asociada a marcos de contextos de competencias del profesor de matemáticas, constituidos por objetos tanto de contenido matemático como didáctico, transversal y evolutivo, que el profesor coloca en juego en su accionar en aula. Estos marcos están conformados por: saber el contenido de matemática; saber–hacer lo didáctico, lo pedagógico, la enseñanza-aprendizaje y la evaluación; el ser transversal de lo valórico y el saber-ser evolutivo de lo adaptativo, relacionado con lo proyectivo, cultural y contextual.

Los marcos, a su vez, están caracterizados por dimensiones en torno a la calidad del desempeño profesional, los cuales se asocian con dimensiones de relevancia, eficiencia, efectividad, eficacia, procesos y recursos. La conexión entre los marcos de contextos, las competencias tanto generales como especializadas en torno a la calidad y sus dimensiones, y las formas en que ellos se conectan y se representan, permiten realizar acciones educativas al profesor de matemáticas donde éste demuestra su competencia (DÍAZ; POBLETE, 2007a, 2009a, 2009b).

Son ejemplos de competencias generales y especializadas las siguientes:

En Estados Unidos, durante casi toda su historia, cada uno de los estados ha tenido su propio sistema educativo y es el responsable de establecer los estándares estatales. Es así como en 1989, el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) produjo el Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics (NCTM, 2000). El volumen destinado a los profesores, tuvo un énfasis significativo en la resolución de problemas, el razonamiento, la comunicación con las matemáticas, y las conexiones dentro y fuera de las matemáticas.

En la actualidad, se han construido un conjunto de Estándares Comunes para las Matemáticas, conocidos como Common Core State Standards (CCSSI, 2010; CCSSM, 2014) y se han constituido en documentos de referencia que han tenido gran influencia tanto en el currículo de Estados Unidos como en el de muchos otros países, como Chile y España. De acuerdo a estos estándares, el énfasis significativo de las prácticas matemáticas implica que las personas que son matemáticamente competentes tienen sentido de los problemas y perseveran en su solución, razonan abstracta y cuantitativamente y modelan con las matemáticas, entre otros.

De la revisión de la literatura, Halmos (1980) llamó a la resolución de problemas, el corazón de las matemáticas. En términos más generales, existe una visión de las matemáticas como la ciencia de patrones (STEEN, 1988). Este amplio encuadre incluye tanto el planteamiento de problemas como la resolución de ellos, y una cierta forma de empirismo, que se hizo explícita con el trabajo de Polya (1954) en su obra In Doing Mathematics que explora el razonamiento plausible y los patrones de su inferencia (SCHOENFELD, 2013).

Existe una afirmación generalizada respecto a que las matemáticas escolares sirven a los estudiantes para pasar pruebas y exámenes específicos en lugar de alimentar una comprensión conceptual de las matemáticas (OFSTED, 2012). Como consecuencia, muchos países están priorizando el desarrollo de la resolución de problemas en los programas de matemáticas y pedagogía (NGA; CCSSO, 2010; OCDE, 2009; QCA, 2008; ROCARD, 2007; SOH, 2008), lo que según Gusmão et al. (2014) se verifica en las recientes propuestas de reformas curriculares que asumen que la resolución de problemas es la actividad fundamental en la construcción del conocimiento matemático de los alumnos.

En Chile, resolver problemas es considerado tanto un medio como un fin para lograr una buena educación matemática (MINEDUC, 2013). Castro (2008) y Santos (2007) reconocen que los intentos de enseñar a los estudiantes estrategias de resolución de problemas generales no han tenido éxito y es importante destacar la falta de atención en los libros de texto para el aprendizaje heurístico de estrategias para resolver problemas (SCHOENFELD, 2008; PINO; BLANCO, 2008).

Se explicita en el Trends in International Mathematics and Science Study, TIMSS (2003) la exigencia de resolver problemas enmarcados en contextos matemáticos o de la vida real de los que es muy poco probable que los alumnos hayan encontrado ítems similares (DÍAZ; POBLETE, 2013).

Por otra parte, los resultados en PISA (OCDE, 2003, 2007, 2009) han puesto de relieve la importancia de la resolución de problemas matemáticos en la educación obligatoria. Los problemas se utilizan con frecuencia en matemáticas para presentar y transmitir nueva nociones y habilidades. Por lo tanto, los maestros transforman y adaptan los problemas a nivel de sus alumnos (KUZNIAK; PARZYSZ; VIVIER, 2013). Para Blanco, Guerrero y Caballero (2013), los maestros de primaria consideran la resolución de problemas en matemáticas como un proceso memorístico y mecánico, con pocos recursos para representar y analizar problemas, sin buscar estrategias o métodos alternativos para su solución, y sin hacer uso de las diferentes pautas y consejos que pueden ser administrados para ayudarle a llegar a una solución (BLANCO, 2004; CÓRCOLES; VALLS, 2006) lo que genera una visión de sí mismos como incompetentes resolutores de problemas (NCTM, 2003).

Las creencias que más influyen en la motivación y el rendimiento en matemáticas son la percepción de los estudiantes acerca de sí mismos en relación con las matemáticas (KLOOSTERMAN, 2002; SKAALVIK; SKAALVIK, 2011; HERNÁNDEZ; PALAREA; SOCAS, 2001; BLANCO et al., 2010) teniendo en cuenta que, generalmente, no se consideran capaces y calificados como resolutores de problemas, la mayoría de ellos se consideran a sí mismos incompetentes en la resolución de problemas.

Sajadi, Amiripour y Rostamy-Malkhalifeh (2013) postulan que el lenguaje y la visión son necesarios para la solución exitosa de los ejercicios de matemáticas. Parvanehnezhad y Clarkson (2008) describen las estrategias como el conocimiento del contenido matemático que los alumnos deben traer con ellos a una tarea matemática, junto con la capacidad de interpretar y comprender la jerga y la semántica con el fin de comprender y resolver con éxito un problema de matemática. Montague (2006) y Mayer (2003) reconocen la representación y ejecución del problema para tener éxito, unido a ciertas estrategias de autorregulación.

Schoenfeld (2013) reconoce que su trabajo, presentado en Mathematics Problem Solving MPS, tenía limitaciones teóricas significativas. Según el autor, su análisis de la solución de todos los problemas se desarrollaron en el laboratorio donde una o dos personas se sentaron a trabajar en los problemas que él había elegido, lo cual representó limitaciones muy importantes en su resolución, y, por lo tanto, en los análisis. Un cuarto de siglo más tarde de la propuesta de Schoenfeld, el principal desafío con respecto a la resolución de problemas es proporcionar una explicación teórica que caracterice, línea por línea, cada decisión tomada por el resolutor (tratando de alcanzar uno o más objetivos complejos) en actividades intensivas en conocimiento, altamente sociales, orientadas a objetivos para ayudar a los estudiantes a aprender matemáticas. El logro de estos objetivos exige una gran cantidad de conocimientos y estrategia (SCHOENFELD, 2010).

Para efectos de esta investigación, se implementó el tratamiento didáctico de los contenidos matemáticos y la evaluación de los aprendizajes en base a la clasificación de tipos de competencias en matemáticas (DÍAZ; POBLETE, 2004, 2009a, 2009b) las que se definen a continuación.

Competencia Tipo 1 de Conocimiento y Desarrollo de Procedimientos Matemáticos, que incluye comprender y manejar la extensión de los conceptos matemáticos y la argumentación matemática. Básicamente, consiste en problemas con cálculos y definiciones del tipo más común que aparecen en las evaluaciones convencionales de las matemáticas.

Competencia Tipo 2 de Resolución de Problemas Rutinarios, incluye plantear, formular y resolver tipos de problemas rutinarios de contexto real, realista, fantasista y puramente matemáticos, que requieren el establecimiento de conexiones para su resolución.

Competencia Tipo 3 de Planteamiento y Resolución de Problemas No Rutinarios, incluye la decodificación de las distintas formas de presentar las situaciones matemáticas, traduciendo el lenguaje natural al simbólico/formal, es decir, consiste en el pensamiento matemático que incluye la capacidad de generalización.

La problemática que se plantea en esta investigación está formulada en los siguientes términos: las condiciones identificadas en Chile que hacen repensar los modos de formar a los nuevos profesores, dicen relación con una visión crítica de la calidad de los programas de formación docente. En la actualidad ha mejorado su formación, sin embargo los resultados distan de ser los esperados y las investigaciones actuales convergen en señalar que las escuelas, en Chile, no son efectivas en el logro de sus objetivos en general y en matemática en particular (AGUIRRE; CASTRO; CARREÑO, 2009; RACZYNSKI; MUÑOZ, 2004; CASASSUS, 2003; ESPINOZA; BARBÉ; GALVEZ, 2011), entonces cabe preguntarse ¿cómo mejorar las competencias profesionales de los profesores que enseñan matemáticas en la enseñanza primaria?.

Y los objetivos específicos:

Respecto a la prueba de competencia matemática, la confiabilidad basada en la homogeneidad, se estimó con el coeficiente Alfa de Cronbach y resultaron significativas para los profesores: pre y post test fueron 0,83 y 0,88 respectivamente; los análisis estadísticos de estudio de normalidad de Kolmogorov-Smirnov mostraron al nivel de significación del 5%, que el supuesto de normalidad de los puntajes del pre-test y post-test se verifica para los profesores. A un nivel del 5 %, los resultados de la prueba de T-Student permiten concluir que existen diferencias estadísticamente significativas (p < 0,05) entre los puntajes promedios del pre-test y pos-test.

A continuación, la Figura 3 da cuenta del nivel de logro de competencias matemáticas, alcanzado por los profesores en ambas mediciones correspondientes al inicio y término de la capacitación.

De acuerdo a la Figura 3, el nivel de logro alcanzado por los profesores en la prueba de competencias matemáticas, fluctuó entre 43,5% en la aplicación inicial y 82% en la final. Resultados que, dada la naturaleza del instrumento evaluativo y su extensión, se consideran adecuados. Las mayores dificultades de los profesores en el pre test, se centraron en la resolución de problemas, en general, y en el eje de geometría, en particular. Entrevistados, manifestaron estar habituados a enseñar la geometría a partir del conocimiento de las fórmulas y con resolución de ejercicios y desvinculado con la realidad. A continuación, en la figura 4 se presenta un ejemplo de respuesta en el post test.

Concluida la capacitación, se contrastaron los resultados encontrados entre el pre test y post test de competencias profesionales, cuyas respuestas de los profesores, sirvieron de indicadores de las organizaciones matemáticas que se estudian en la enseñanza primaria, además de poner de manifiesto la existencia y la naturaleza de determinados obstáculos epistemológicos y didácticos que dificultan el desarrollo del proceso de enseñanza de la matemática. Por otra parte, analizadas las observaciones de clases y de acuerdo a los tipos de competencias pretendidas, se verificó un mejoramiento cuantitativo y cualitativo de las competencias de los profesores. Las diferencias encontradas dan cuenta, mayoritariamente, del mejoramiento de tres competencias especializadas: capacidad para utilizar diversas estrategias de enseñanza, habilidad para favorecer el aprendizaje por resolución de problemas en matemática y capacidad para utilizar formas actualizadas en evaluación.

Con respecto a la resolución de problemas, los profesores evidenciaron la habilidad, llevando al aula situaciones cotidianas que suponían desafíos matemáticos atractivos y utilizando variados recursos y materiales didácticos que fueron manipulados por los estudiantes en los centros escolares y que les permitió construir su razonamiento matemático a medida que iban abordando los contenidos matemáticos. Por otra parte, se evidenció la capacidad para utilizar formas actualizadas en evaluación a través de las distintas y constantes evaluaciones que construyeron y aplicaron en su centro escolar, y que se constituyeron en una vía de retroalimentación del proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática, pues mediante ella compararon los resultados del trabajo como educadores con los objetivos propuestos, lo cual les permitió determinar la eficiencia del proceso y, consecuentemente, reorientar su trabajo sobre los objetivos o sobre parte de ellos, con todos o con algunos alumnos, al mismo tiempo que pudieron comprobar si los métodos empleados fueron efectivos o no.

En lo relativo a las competencias generales, se constató un incremento importante en la habilidad para aplicar conocimientos disciplinarios, relativas al saber hacer didáctico de lo pedagógico y del saber hacer de la enseñanza-aprendizaje. Esto ayudó a darle sentido de pertinencia al aprendizaje de la disciplina a través del contenido escolar, facilitando el proceso de desmontaje de concepciones previas o concepciones alternativas que se evidenciaron en el pre test. Se evidenció la capacidad de trabajo colaborativo y en equipo en el quehacer profesional, que les permitió la reflexión conjunta, la discusión, la identificación de problemas, la experimentación de alternativas de solución, y la evaluación de las mismas.

A continuación, se presenta un ejemplo de respuesta en el pre test de competencias profesionales.

A través de las exposiciones de los profesores y los registros de observaciones de clases, se pudo constatar que la mayoría de ellos logró comprender que el fundamento de las Matemáticas en Educación Primaria es eminentemente experiencial y los contenidos de aprendizaje los abordaron a partir de la manipulación de materiales para la generación de ideas matemáticas, tales como propiedades, relaciones, conceptos, procedimientos. Utilizaron, como elementos motivadores para la adquisición del conocimiento matemático y el desarrollo del pensamiento lógico, los desafíos matemáticos y la pregunta – entendida como ejemplo y contraejemplo – logrando con ello favorecer en los estudiantes la investigación y la expresión oral de sus razonamientos con un lenguaje matemático correcto, que, por su precisión y terminología, tiene que ser diferente a su lenguaje habitual.