De acordo com essa teoria da psicologia educacional, na aquisição e retenção de novos conhecimentos, para que haja uma aprendizagem significativa, o material a ser aprendido deve ser logicamente significativo e, na estrutura cognitiva do aprendiz, devem existir conceitos capazes de “ancorar” esses novos conhecimentos, que os autores dessa teoria chamam de “subsunçores”. Segundo Ausubel, Novak e Hanesian (1978), uma aprendizagem pode ser significativa ou mecânica. É significativa quando o conhecimento a ser aprendido interage com um determinado conceito presente na estrutura cognitiva do aprendiz (conceito subsunçor) e essa interação ocorre com a assimilação do novo conhecimento, por esse conceito subsunçor. Quando isso não acontece, a aprendizagem é mecânica, ou seja, “decorada” e sem nenhum apoio lógico, como os números de um telefone. Na aprendizagem escolar, esses autores classificam essa assimilação como recepção, quando o aluno recebe pronto todo o conteúdo a ser aprendido, ou seja, na sua forma final, ficando para este aluno a tarefa de internalizar esse conteúdo; e com a descoberta, quando o conteúdo a ser aprendido não é dado pronto, mas deve ser descoberto pelo aluno.

A maior parte das informações adquiridas pelos alunos, tanto dentro como fora da escola, é apresentada verbalmente e, sob o ponto de vista psicológico, a aprendizagem receptiva verbal é mais complexa, visto que exige um amadurecimento intelectual. Moreira (2006) observa que quando os conceitos e proposições são apresentados verbalmente, mas o aluno ainda não dispõe dos subsunçores necessários à aprendizagem significativa, ele pode aprender mecanicamente (ou automaticamente), até que alguns elementos de conhecimento presentes na sua estrutura cognitiva, ligados às novas informações, possam servir de subsunçores, mesmo que pouco elaborados. Nessa situação, Ausubel, Novak e Hanesian (1978, p.140) recomendam o emprego de organizadores prévios, um material introdutório que deve ser apresentado antes do material a ser aprendido, com as ideias mais abrangentes dos conhecimentos precedentes, ou até mesmo que possuam conceitos similares àqueles a serem aprendidos. É importante destacar que os organizadores não são necessariamente textos escritos, podendo ser uma discussão, uma demonstração, ou até mesmo um filme, dependendo das circunstâncias envolvidas na aprendizagem. Nesta pesquisa, durante os encontros com os alunos, planejamos, como organizadores prévios, atividades com materiais concretos e com o software Cabri-Géomètre II, para que os alunos pudessem redescobrir a invariância das razões trigonométricas em triângulos retângulos que são semelhantes.

Ao lembrar que, no processo da aprendizagem significativa, a nova informação deve interagir com os conceitos subsunçores do aprendiz, Moreira (2006) ressalta que esta situação reflete a “subordinação” entre o novo material e os conceitos subsunçores. Durante o processo de aprendizagem por subordinação, quando o conceito subsunçor sofre alguma modificação, podemos dizer que, com esse conceito está ocorrendo uma diferenciação progressiva; mas, quando a nova informação é aprendida por uma superordenação dos conceitos subsunçores, ou uma recombinação de ideias presentes na estrutura cognitiva, mas que não apresentam nenhuma dependência entre si, dizemos que, com esses conceitos, ocorreu uma reconciliação integrativa.

No nosso entendimento, de acordo com essa teoria, a aprendizagem significativa da função seno exige, em grande parte, a aplicação do princípio da reconciliação integrativa, com a combinação dos seguintes conceitos que devem estar presentes na estrutura cognitiva do aprendiz no momento da aprendizagem (conceitos subsunçores): relações trigonométricas no triângulo retângulo; medidas em radianos; ciclo trigonométrico; pontos no sistema cartesiano ortogonal; o conjunto dos números reais; domínio, contradomínio e imagem de uma função; e o Teorema de Pitágoras. Com a reconciliação integrativa, todos esses conceitos se recombinam, para darem sentido à definição do seno pela função de EulerE:R→S¹.

As atividades, com propostas baseadas no uso de material concreto e de um software dinâmico, foram elaboradas para propiciar aos participantes um percurso por estes conceitos subsunçores, com o objetivo de tornar a aprendizagem da função seno significativa. Esta abordagem foi assim escolhida para permitir a passagem dos dados, inicialmente em forma de tabela, para a construção do gráfico da função seno. Em razão desta transição, adotamos como referencial teórico a Teoria dos Registros de Representação Semiótica.

Na virada do milênio, na França, diante da complexidade do ambiente tecnológico-computacional, surgiram as seguintes questões:

Para Duval (2011), as respostas a estas perguntas não estão restritas a um ramo da Matemática ou à sua História, mas podem ser encontradas numa abordagem cognitiva que, segundo ele, pode determinar a origem dessa incompreensão e ajudar o estudante a entender e controlar a diversidade dos processos matemáticos. Segundo Duval (2011, Capítulo II, p. 40), sob o ponto de vista cognitivo, a Matemática se caracteriza pela grande variedade de representações semióticas como língua materna¹, sistemas de numeração, figuras geométricas, escritas algébricas e formais, representações gráficas. A importância dessas representações baseia-se em dois aspectos: o acesso aos objetos matemáticos, que são abstratos; e a escolha de uma linguagem para a comunicação.

Sob o ponto de vista da aprendizagem e do ensino, na Matemática existem, segundo Duval (2011), dois tipos de transformações radicalmente diferentes: os tratamentos e as conversões. Os tratamentos são as transformações que acontecem dentro de um mesmo sistema de representação; por exemplo, durante um cálculo com números decimais ou na resolução algébrica de um sistema de equações, se permanecemos, respectivamente, nos números decimais ou na escrita algébrica do sistema de equações. As conversões são as transformações de um sistema de representação para outro; por exemplo, durante a passagem da escrita algébrica de uma função para o seu gráfico cartesiano.

De acordo com o tipo de representação e com o tipo de tratamento, as representações podem ser organizadas de acordo com o Quadro 1.

Duval (2011) também observa que os fracassos e os bloqueios, na compreensão dos alunos, ocorrem quando estes não conseguem reconhecer o mesmo objeto matemático em duas representações diferentes, pois defende que a compreensão em Matemática está intimamente ligada ao fato de um sujeito dispor de, ao menos, dois registros de representação diferentes, saber coordená-los e não confundir um objeto com a sua representação.

Para nós, são de especial importância os bloqueios de compreensão que eventualmente possam surgir, em razão dos tratamentos ou conversões entre registros semióticos utilizados com as funções trigonométricas, que são tabelas de valores e gráficos.

O objetivo de nossa pesquisa é verificar as contribuições de uma estratégia de ensino, formada pela combinação do contexto experimental com o contexto computacional para a aprendizagem significativa dos principais conceitos presentes na transição das razões para as funções trigonométricas. Promovemos um primeiro contato dos alunos com o software Cabri-Géomètre II, aplicamos um teste diagnóstico para identificar se os participantes estão familiarizados com os conceitos subsunçores necessários para a aprendizagem desses conceitos, realizamos quatro intervenções em oito encontros e, em cada intervenção, as atividades foram concluídas com uma ou duas questões avaliativas do conhecimento em jogo; e encerramos com um teste final. As intervenções foram conduzidas pelo terceiro autor, sob a orientação da primeira e a íntegra das atividades propostas encontra-se em Miashiro (2013). Em cada um dos encontros, foi apresentado um roteiro que orientou o trabalho dos alunos e a discussão do assunto escolhido. Os registros das atividades realizadas pelos alunos em papel e lápis e no computador foram utilizados para a análise. Com base na análise desses protocolos, obtidos ao longo das intervenções, foram realizadas as avaliações dos encontros, os ajustes necessários para o prosseguimento do trabalho e foram respondidas as questões de pesquisa.

Os participantes desta pesquisa foram nove alunos de um curso noturno de uma universidade particular da cidade de São Paulo que cursavam o terceiro semestre de Licenciatura em Matemática. Devido ao reduzido número de participantes, abrimos mão do grupo de referência.

Na preparação do design inicial das quatro intervenções, levamos em conta os conceitos subsunçores identificados na análise do teste diagnóstico, assim como a ordem em que esses conceitos surgiram ao longo da História da Matemática.

Com foco na Trigonometria, analisamos: as recomendações contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais; as sugestões em pesquisas correlatas de Brighenti (1994), Lindegger (2000), Goios (2010); e as abordagens dadas aos conteúdos nos livros: “Trigonometria e Números Complexos” (CARMO; MORGADO; WAGNER, 2005); “Matemática, Contexto e Aplicações” (DANTE, 2009); Trigonometria (IEZZI, 2004); “Functions Modeling Change” (CONALLY; GLEASON; HUGHES-HALLET, 1998); e “Atividades com o Cabri-Géomètre II” (BALDIN; VILLAGRA, 2010).

Para este ambiente, construímos, em EVA, um conjunto para cada participante com: três jogos com dois triângulos retângulos semelhantes; discos com raios distintos, cada um acompanhado de um arame com a medida do respectivo raio; um transferidor e uma fita métrica. Com os triângulos (ver Figura 1) foram propostas atividades envolvendo a semelhança entre os triângulos e as relações trigonométricas; com o disco e o arame, as medidas em radianos. Construímos também o dispositivo “ciclo trigonométrico” (ver Figura 2) que o pesquisador utilizou para explicar as características do objeto matemático que leva esse nome.

O Cabri-Géomètre (abreviação da palavra francesa “cahier de brouillon intéractif”) é um software interativo que possui ferramentas com as quais é possível construir figuras dinâmicas na tela do computador, substituindo o lápis, o papel, a régua e o compasso. Essas figuras podem ser deslocadas, ampliadas ou reduzidas, mas continuam preservando suas propriedades, se construídas adequadamente. Com as ferramentas do Cabri-Géomètre II, podemos dispor dos eixos cartesianos, medir o comprimento de segmentos e arcos, medir ângulos, transferir o comprimento de um segmento para outro e até mesmo transferir o comprimento de um arco para um segmento. As construções dinâmicas desse software podem facilitar o estudo dos teoremas da geometria euclidiana plana e da Trigonometria. Suas construções podem ser salvas em arquivos e revistas passo a passo. Todos esses recursos transformaram o programa computacional Cabri-Géomètre numa valiosa ferramenta educacional. Durante nossas intervenções com os alunos, em cada assunto, sempre que possível, procuramos alternar o material concreto e o software Cabri-Géomètre, numa tentativa de generalizar as conjecturas feitas com o material concreto.

O teste diagnóstico teve por objetivo identificar os conhecimentos dos participantes sobre a trigonometria do triângulo retângulo, o teorema de Pitágoras e suas aplicações, as medidas de ângulos (em graus e radianos) e a definição da função seno. Constatou-se que os alunos, em geral, não dominam estes conhecimentos em razão da pouca compreensão sobre a semelhança de triângulos. Esta constatação orientou o planejamento das intervenções nos ambientes experimental e computacional, de forma a iniciar as atividades a partir da discussão sobre as propriedades de semelhança e suas aplicações.

A primeira intervenção teve como objetivo explorar as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) no triângulo retângulo, com o material concreto e com o Cabri-Géomètre. A partir dessa exploração, os alunos construíram uma tabela para os senos dos ângulos de medidas 30º, 45º e 60º.

O objetivo da segunda intervenção foi promover situações com o Cabri-GéomètreII e os materiais concretos, para mostrar que as medidas dos ângulos, em radianos, independem da medida do raio da circunferência.

A terceira intervenção teve como objetivos criar um organizador prévio para a função seno, com a contextualização de uma situação para identificar e estudar um fenômeno periódico e apresentar a definição do ciclo trigonométrico.

O objetivo da quarta intervenção foi o estudo da definição da função seno e a construção de gráficos dessa função, no papel e com o Cabri-Géomètre II.

A cada encontro, os pesquisadores avaliaram o trabalho dos participantes e analisaram seus protocolos no sentido de ajustar as atividades de forma a promover um melhor aproveitamento e compreensão dos conteúdos em discussão.

O teste final retomou os vários aspectos dos conteúdos já apresentados para o teste inicial, quais sejam, das relações trigonométricas no triângulo retângulo até a construção da função seno. As atividades e testes podem ser encontrados, na íntegra, em Miashiro (2011).

Neste texto, ressaltamos apenas alguns trechos da terceira e da quarta intervenções, nas quais verificamos os melhores resultados da aplicação de nossa estratégia de ensino, formada pela combinação dos contextos materiais e computacionais.

Na terceira intervenção, apresentamos o dispositivo “ciclo trigonométrico” (ver Figura 2), como uma extensão da lousa e do giz. Falamos sobre as medidas em radianos, mostramos o cordão que representa um arco, os eixos cartesianos, materializados pelas réguas cruzadas, o círculo orientado e a primeira determinação de um arco. Nessa ocasião, ouvimos o comentário de um aluno, afirmando que, a partir daquele instante, passava a entender a medida 3,14 rd. Em seguida explicamos, com o Cabri e um projetor de imagens, os passos para a construção de um círculo trigonométrico. Com essa figura, reproduzida no Quadro 2, repetimos as explicações que havíamos feito anteriormente e ativamos a ferramenta “coordenadas”, para um ponto colocado nesse círculo. Com esse ponto na figura dinâmica, os alunos seguiram as instruções da atividade, para calcular a soma dos quadrados dessas coordenadas e puderam perceber a genialidade de Euler, ao criar o círculo trigonométrico para definir a sua funçãoE(x), de um número real x.

Na Figura 3, exibimos a participação do aluno 3 nessa atividade; verificações semelhantes foram feitas pelos demais participantes presentes, o que mostra que conseguiram observar corretamente a identidade trigonométrica em estudo.

Para iniciar a próxima atividade, pedimos que fizessem a leitura de um texto com a definição de uma função periódica e passamos à contextualização da “roda-gigante”. Para esta contextualização, apresentamos o arquivo que contém uma representação da dinâmica do movimento da roda gigante, explicamos como funciona essa dinâmica e pedimos aos participantes que utilizassem o arquivo pronto para determinar os registros do altímetro com o movimento de um ponto da roda (ver Figura 4).

Na Figura 4, do lado esquerdo, representamos um marcador da altura da gôndola representada na figura pelo ponto P. Com o “ponteiro”, é possível deslocar a “gôndola” nessa figura dinâmica. No texto dessa atividade, colocamos a orientação:

Você terá que embarcar como passageiro numa roda-gigante que dispõe de um elevador para deixá-lo na plataforma de embarque, no ponto A da figura. Esta roda, que está representada em escala na figura, gira em sentido anti-horário e o diâmetro de sua circunferência, na representação, é de 8 cm. A altura da plataforma A (a altura do centro da roda), na representação, é de 5 cm. (Fonte: própria.)

Informamos que essa roda demora uma hora para dar uma volta completa, e a tarefa dos alunos consiste em preencher uma tabela com a altura do passageiro a cada cinco minutos e, com os dados dessa tabela, construir um gráfico.

Na Figura 5, exibimos a tabela preenchida pelo aluno 7, seguida do gráfico de uma função ainda não identificada. Todos os quatro alunos realizaram com sucesso esta atividade.

Na quarta intervenção, que teve como objetivo o estudo da função seno, a sequência de atividades foi semelhante à anterior, ou seja, os alunos trabalharam com uma figura do Cabri (neste caso puderam construir) que, manipulada, forneceu as coordenadas (ferramenta do Cabri) relativas ao valor do seno, em intervalos de 30º e com esses valores construíram o gráfico da função seno. Dos seis alunos que participaram, todos preencheram corretamente a tabela trigonométrica, mas apenas uma dupla, a formada pelos alunos 4 e 7, conseguiu traçar o gráfico da função seno.

De acordo com a teoria cognitiva dos registros de representação semiótica de Duval, a conversão de registros, como temos nesta atividade, se constitui numa das dificuldades para a aprendizagem de Matemática e “a compreensão em matemática implica a capacidade de mudar de registro” (DUVAL, 2008, p. 21). É importante lembrar que o teste diagnóstico indicou que nenhum desses alunos sabia como traçar o gráfico da função seno e os resultados das intervenções que aplicamos nos fazem otimistas quanto ao potencial didático da estratégia de ensino utilizada, uma vez que, na terceira atividade, as representações e a conversão do ciclo trigonométrico para a tabela foi realizada por todos os seis participantes. O mesmo não ocorreu na quarta atividade, na qual a conversão entre os dados da tabela e o gráfico da função seno só foi feita adequadamente por uma das três duplas presentes; as outras duas fizeram o gráfico de uma função periódica que não corresponde aos dados da tabela.