Analisar erros na solução de problemas matemáticos há muito tem interessado pesquisadores e estudiosos no campo da psicologia da educação e no da educação matemática. Essa análise tem focalizado erros na solução de problemas de matemática por parte de alunos de diferentes segmentos da escolaridade (ensino fundamental, médio e superior), bem como de futuros professores e professores de matemática.

Cury (2007), em estudo de revisão da literatura, analisou como os erros são tratados na pesquisa em educação matemática: em pesquisas (nacionais e estrangeiras) é constante a tentativa de elaborar uma tipologia de erros nos diferentes campos da matemática, havendo, ainda, a preocupação em comparar a distribuição dos tipos ou classes de erros em diferentes grupos de participantes.

Um exemplo desse tipo de investigação é o estudo de Botelho et al. (2006), no campo da psicologia cognitiva, em que foram identificados dois tipos de erro de crianças ao solucionarem problemas de estruturas aditivas: erros estruturais e funcionais. Conforme inspiração piagetiana, as definições de erro estrutural e de erro funcional propostas reportam-se a constructos relativos à dimensão cognitiva: a de erro estrutural remete às estruturas cognitivas necessárias à resposta correta; e a de erro funcional, ao emprego de um procedimento de solução já empregado em problema análogo, mas não adequado ao problema atual a solucionar.

Em educação matemática, podem-se identificar duas maneiras distintas de se conceber o erro. A primeira refere-se ao erro como indicador do conhecimento matemático apresentado pelo indivíduo em situação de avaliação; e a segunda, toma o erro como estratégia didática.

No que se refere à primeira abordagem, o foco recai sobre o nível de dificuldade dos indivíduos em alguns itens de um dado instrumento, para construir instrumentos de avaliação mais apropriados e capazes de indicar os níveis crescentes de dificuldade dos itens. No Brasil, há trabalhos de elaboração de instrumentos de avaliação do desempenho escolar em matemática em larga escala, com o objetivo de avaliação externa do que se passa nos sistemas (e.g., OLIVEIRA; FRANCO; SOARES, 2007). Porém, são menos numerosos os estudos específicos sobre a relação entre desempenho de alunos e natureza do item para elaborar instrumentos gerais de avaliação (e.g.,CÂMARA DOS SANTOS, 2013; ORTIGÃO; AGUIAR, 2013).

Quanto à segunda forma de conceber o erro, como estratégia didática, os estudos, em geral, procuram identificar, mapear e categorizar as dificuldades que os participantes experimentam na solução de cada problema e as possíveis causas dessas dificuldades. A ideia subjacente é que, a partir do conhecimento acerca das formas de raciocinar, situações de ensino sejam propostas para superar aquelas dificuldades. Neste sentido, os procedimentos de resolução de problemas tornam-se o foco de interesse dos pesquisadores e educadores (GITIRANA et al., 2014; GÓMEZ, 1995), sendo expressiva a literatura em educação matemática que investiga o erro como estratégia didática (e.g., ASTOLFI, 1999; BESSOT, 1983; BORASI, 1996; BURIASCO; FERREIRA; CIANI, 2009; DE LA TORRE, 2007; DEL PUERTO; MINAARD; SEMINARA, 2006; MOREN; DAVID; MACHADO, 1992; PINTO, 2000; SANTOS; BURIASCO, 2008).

Muitos desses estudos são apoiados em referencial piagetiano, como o de Bessot (1983), que analisou a construção da noção de número natural em crianças de 6 a 7 anos; o de Astolfi (1999), que investigou o status do erro na escola e, apoiando-se também em Bachelard, apresentou uma tipologia dos erros dos alunos, alertando para a potencialidade desses no processo de ensino.

Outros estudos de mesma marca, específicos da educação matemática, consideram o erro como forma de pensar, do mesmo modo que o é o acerto. Pinto (2000), por exemplo, discute a função do erro no processo de aprendizagem da matemática, analisando qualitativamente a produção de alunos de 4ª série (atual 5º ano) do ensino fundamental a partir de observações na sala de aula e de entrevistas. Borasi (1996), em uma síntese de seus estudos, segue defendendo o erro como trampolim para a aprendizagem e, também, como trampolins para a investigação no ensino de matemática, para que o potencial dos erros seja tomado como fonte de indagações.

Cury (2004) propõe a análise de erros como abordagem de pesquisa em educação matemática. Remete o leitor ao fecundo referencial sobre o tema em pesquisas com estudantes de ensino superior em disciplinas do curso de Matemática, fora apresentar analiticamente os resultados obtidos em pesquisa realizada com alunos de diversos cursos superiores matriculados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral.

Por sua vez, Buriasco (1999) verificou como professores e alunos lidavam com questões de uma prova de matemática aplicada em larga escala a estudantes de escolas paranaenses. E Buriasco, Ferreira e Ciani (2009) apresentaram evidências de que a análise da produção escrita pode ser usada também como estratégia para obter informações sobre como os alunos interpretam uma situação, como procedem ao solucionar um problema, que dificuldades apresentam, o que demonstram saber ou o que estão próximos de saber.

Também, trabalhos com abordagem psicológica tratam do erro como estratégia didática. Por exemplo, Orozco-Hormaza (2005), analisando os erros de alunos colombianos do ensino fundamental, documenta tipos de erros na escrita dos numerais: erros léxicos e erros sintáticos. Os erros léxicos referem-se a equívocos que cometem ao produzir os dígitos que compõem um número (troca do lugar dos dígitos, por exemplo); e os erros sintáticos se referem a equívocos na maneira de fragmentar os números em função de sua expressão verbal falada e não em função das partículas de quantidade e em partículas que marcam o valor posicional (escrever 2001 como 201- duzentos e um). A incidência desses tipos de erros varia no decorrer da escolaridade, podendo diminuir a partir de situações didáticas que explorem a composição aditiva e a composição multiplicativa de modo a levar as crianças a compreender que o numeral representa uma totalidade e que seus algarismos devem respeitar uma determinada ordem.

Há, também, investigações sobre como os professores lidam com os erros dos alunos na solução de problemas. São abordagens que consideram os erros como relevantes tanto do ponto de vista psicológico (por ser expressão do raciocínio), como do ponto de vista didático (por ser uma estratégia didática). Segundo Cury (1994), não são frequentes os estudos que investigam essas questões em conjunto. Em sua pesquisa, a autora analisou como professores identificam, classificam e descrevem os erros no exercício da docência em disciplinas ofertadas pelo departamento de matemática, aos vários cursos de uma universidade.

Entre vários resultados sobre o ensino da matemática na escola elementar, Moro e Soares (2006) descrevem a natureza e o nível de integração de duas professoras nas tarefas da investigação, mediante análise das transformações que elas expressaram ao avaliar as realizações de seus alunos em situações de adição-subtração. A referida integração sinalizou mudanças interessantes na forma de as professoras organizarem aspectos de seu ensino, do que ficaram sublinhadas: primeiro, a necessidade de análise interligada dos resultados do aprender dos alunos com as formas de ensinar os conteúdos, o que foi favorecido pela participação das professoras na pesquisa; segundo, no âmbito da formação continuada dos docentes, o significado da tomada de consciência dos resultados de seu fazer pedagógico para a progressão de seus conhecimentos profissionais.

Por seu lado, Koch e Soares (2005), em um estudo de casos, realizaram uma pesquisa com uma professora de ensino fundamental de uma escola pública. Essa professora interpretou os erros, analisando a notação de alunos de 6ª série (atual 7º ano) em problemas de estrutura aditiva. Dessa análise resultou a descrição das formas de interpretação da professora em relação aos seguintes aspectos da atividade cognitiva dos alunos: tipos de notação; forma de combinar os dados do problema e domínio dos conteúdos envolvidos. De acordo com as autoras, a maior dificuldade das professoras em interpretar as produções dos alunos deveu-se à falta de conhecimentos sobre os processos cognitivos e a forma de raciocinar subjacentes às notações dos alunos.

Como destacado, seja no contexto da avaliação do conhecimento matemático, seja no contexto do ensino e da aprendizagem, em geral os pesquisadores, ao interpretarem os erros, estão atentos tanto ao ponto de vista psicológico quanto ao didático. Estariam os professores também atentos a isso? Como interpretam os erros dos alunos? E os futuros professores? Seriam eles capazes de identificar erros de natureza distinta? Ou tenderiam a dar a todo e qualquer tipo de erro uma mesma interpretação? Seria o tipo de problema considerado na interpretação dos erros por parte de professores e futuros professores? Essas são questões tratadas na presente pesquisa, em continuidade e aprofundando os estudos de Cury (1994) e de Koch e Soares (2005), na tentativa de contribuir para o debate sobre o papel do erro no ensino e na aprendizagem da matemática, a partir de uma análise de como ele é interpretado por professores e por futuros professores de matemática.

Revisitando resultados da literatura (por exemplo, BOTELHO et al., 2006), assumimos, no presente estudo que, em síntese, os erros na solução de problemas matemáticos podem ser agrupados, ao menos, em duas grandes classes: erro conceitual e erro procedimental. Entendemos que o erro conceitual expressa limite de compreensão acerca dos aspectos cruciais relativos às demandas do problema, podendo ser entendido como indício de limite expressivo de elaboração do conceito matemático ali envolvido; por exemplo, seria o erro decorrente do uso de esquemas ou relações aditivas na solução de problemas de combinatória, quando relações ou esquemas multiplicativos seriam necessários. Já o erro procedimental são os ocorridos durante o processo ou procedimento de solução, como os erros de cálculo. Esses erros não estão diretamente relacionados a uma falta de compreensão dos aspectos cruciais relativos ao conceito matemático envolvido no problema, mas à aplicação das regras algorítmicas.

Também, escolhemos analisar a interpretação dos participantes sobre as soluções incorretas de alunos do ensino fundamental a determinados tipos de problemas de estrutura multiplicativa, a saber: problemas de produto de medidas, envolvendo raciocínio combinatório, e problemas de isomorfismo de medidas, envolvendo raciocínio proporcional. São estes problemas relacionados a conceitos importantes e complexos tanto do ponto de vista cognitivo como educacional (VERGNAUD, 1983, 2014).

As respostas de cada participante frente a cada cartela foram, primeiro, analisadas qualitativamente e em seu conjunto, de modo a tornar possível compreender a forma de pensar do entrevistado sobre os erros produzidos pelos alunos (vide problemas e suas soluções nos Apêndices A e B). Diversas categorias de respostas foram, então, obtidas. Em um segundo momento, com base em discussão e acordo entre dois juízes experientes em análises dessa natureza, aquelas categorias foram agrupadas em quatro tipos de interpretação. Importante esclarecer que havia ocasiões em que mais de um tipo de resposta estava presente na fala do entrevistado em relação a uma dada cartela e que a classificação da resposta em um tipo em particular era feita com base na interpretação que mais caracterizava a resposta do entrevistado. Assim, foram identificados quatro tipos de interpretação dos entrevistados acerca do erro ilustrado nas cartelas, tipos estes descritos e exemplificados a seguir.

Tipo 1 (não interpreta): o entrevistado se limita a mencionar apenas a operação efetuada ou a tecer comentários acerca de aspectos que, efetivamente, não se relacionam à interpretação do erro apresentado. Exemplos³:

Tipo 2 (operação inadequada): o entrevistado afirma que o erro decorre do uso de uma operação inadequada que foi empregada e que esta se trata de uma operação fácil que o aluno já domina. Exemplos:

Tipo 3 (incompreensão do enunciado): o entrevistado afirma que o erro decorre de dificuldades em compreender a linguagem do enunciado do problema. Menciona que o aluno se limita às palavras e aos números contidos no enunciado sem refletir sobre o que efetivamente significam. Exemplos:

Tipo 4 (incompreensão conceitual): o entrevistado afirma que o erro se deriva de uma incompreensão conceitual por parte do aluno no que concerne às relações multiplicativas necessárias para a resolução do problema, tais como o esquema de correspondência e a noção de agrupamentos. Exemplos:

Como mostra a Tabela 1, de modo geral, os grupos apresentam um mesmo padrão de resultados, como evidenciado pelo teste t de Student, uma vez que não foram detectadas diferenças significativas entre eles em relação a qualquer um dos tipos de respostas.⁴

O que se observa é que em ambos os grupos a maioria das respostas corresponde a interpretações do Tipo 4 (Futuros professores: 68% e Professores: 69,4%) que se referem a limites de compreensão conceitual. São raras as respostas Tipo 1 (Futuros professores: 5,5% e Professores: 8,4%) em que o entrevistado não interpreta o erro apresentado. Esse resultado indica que o tipo de interpretação acerca do erro dos alunos não varia em função de o participante ser entrevistado ser um futuro professor ou já ser um professor.

O padrão de resultados varia um pouco quando se considera cada grupo separadamente em relação aos tipos de problemas. A partir desta análise, observa-se que, em relação aos futuros professores (Tabela 2), as respostas Tipo 3 são significativamente mais frequentes aos problemas de isomorfismo de medidas (raciocínio proporcional) do que aos de produto de medidas (raciocínio combinatório) (t= −4,022, p= 0,002); Já as respostas Tipo 4 foram expressivamente mais frequentes nos problemas de produto de medidas (raciocínio combinatório) do que aos de isomorfismo de medidas (raciocínio proporcional) (t= 4,926, p= 0,000).

Importante ressaltar dois aspectos a respeito do modo como o futuro professor interpretou os erros nos problemas de produto de medidas, os quais envolvem raciocínio combinatório: primeiro, a quase totalidade das respostas foi do Tipo 4 (91,7%); segundo, os futuros professores nunca deixaram de interpretar os erros em problemas desse tipo (respostas Tipo 1: 0%). Aos olhos desses participantes, os erros nos problemas envolvendo raciocínio combinatório, deviam-se, particularmente, a limitações de natureza conceitual, mais do que ao emprego da operação pertinente ou a questões de natureza linguística (interpretação de palavras-chave do enunciado).

Em relação aos professores (Tabela 3), o teste t de Student revelou haver diferenças significativas entre os tipos de problemas em relação às respostas Tipo 3 (t= −2,345, p= 0,039) e Tipo 4 (t= 2,966; p= 0,013).

Como se nota, o percentual de respostas Tipo 3 foi maior aos problemas de isomorfismo de medidas, envolvendo raciocínio proporcional (27,8%), do que aos de produto de medidas, envolvendo raciocínio combinatório (5,5%); já quanto às respostas Tipo 4, seu percentual foi maior aos de produto de medidas (80,6%) do àqueles de isomorfismo de medidas (58,4%). Comparando-se estes resultados com aqueles relativos aos futuros professores, nota-se que o padrão obtido é o mesmo, não havendo diferenças quanto às interpretações sobre os erros dos alunos que possam ser atribuídas ao fato de o entrevistado ser professor ou futuro professor.

Contudo, se por um lado a formação do participante não se mostra fator determinante da natureza da interpretação dada ao erro, o tipo de problema, por outro lado, surge como relevante. De modo geral, como ilustrado na Tabela 4, aos problemas de produto de medidas, envolvendo raciocínio combinatório, a grande maioria das respostas foi do Tipo 4 (86,1%), enquanto que aos problemas de isomorfismo de medidas, envolvendo raciocínio proporcional, a concentração de respostas ocorreu tanto nas de Tipo 3 (29,2%) como nas de Tipo 4 (51,4%).

De acordo com o teste t de Student, diferenças significativas foram encontradas em relação às respostas Tipo 2 (t= −2,469, p= 0,022) e Tipo 3 (t= −4,338, p= 0,000), as quais foram significativamente mais frequentes aos problemas de isomorfismo de medidas, envolvendo raciocínio proporcional, do que aos de produto de medidas, envolvendo raciocínio combinatório; e respostas Tipo 4 (t= 5,346, p= 0,000) foram mais observadas aos problemas de produto de medidas do que aos de isomorfismo de medidas. Esse resultado indica que, segundo a interpretação dos entrevistados, os erros nos problemas de produto de medidas, os quais envolvem raciocínio combinatório, devem-se, basicamente, a uma incompreensão conceitual do aluno; já os erros nos problemas de isomorfismo de medidas, os quais envolvem raciocínio proporcional, seriam para eles tanto de natureza conceitual como linguística, esta última razão relativa ao enunciado do problema.

A maneira de conceber e de tratar o erro dos alunos é considerada um grande desafio para o ensino de matemática, assim como um conhecimento de grande relevância que deve compor o conjunto de conhecimentos que habilitam o indivíduo para a docência (CURY, 2012; PENG; LUO, 2009). Estudiosos tanto da psicologia da educação como da educação matemática, ressaltam que as diferentes concepções sobre o erro dos alunos têm implicações para a prática em sala de aula e que os erros precisam ser interpretados pelo professor, pois revelam aspectos da organização intelectual do aluno (CASÁVOLA, 1988; RADATZ, 1979; SPINILLO et al., 2014). Aprofundando essas discussões, o presente estudo buscou oferecer subsídios mais específicos sobre como professores e futuros professores interpretam os erros dos alunos em situações de solução de problemas, focalizando a solução de problemas de estrutura multiplicava, muitas vezes vistos como difíceis para estudantes do ensino fundamental. Saber como professores e futuros professores interpretam os erros dos alunos, ou seja, como compreendem as razões de os alunos errarem, parece ser um primeiro passo na tentativa de transformar o erro em uma ferramenta didática (CURY, 2007; PINTO, 2000).

Nesse cenário, em resposta às questões colocadas na Introdução, os resultados acima relatados indicam que professores e futuros professores mostram-se capazes de identificar a natureza distinta de erros dos alunos na resolução dos problemas de estrutura multiplicativa focalizados, uma vez que a presença de interpretação desses erros predominou fortemente sobre casos de ausência de qualquer interpretação. Assim sendo, foi-lhes possível identificar diferentes tipos de erros, os quais, aqui, foram classificados conforme três naturezas distintas: procedimental, linguística e conceitual.

Cumpre destacar que, neste estudo, houve a identificação de uma categoria de interpretação de erros não prevista: a de natureza linguística. Este é fato significativo, pois sinaliza ser possível a professores e a futuros professores apontar problemas de compreensão do enunciado do problema de parte dos alunos. É dimensão que sinaliza tanto a necessidade de leitura com compreensão dos alunos (aspectos ligados ao domínio do português), como também pode ser atribuível a limites docentes na formulação desses enunciados, logo, do âmbito da capacitação dos próprios educadores. Esse último ponto nos sugere que os entrevistados estariam atentos a aspectos didáticos, por exemplo, à qualidade da formulação de enunciados de problemas.

Identificados os tipos de interpretação, foi verificado se eles variavam em função da formação do entrevistado (futuro professor e professor em exercício) e do tipo de problema (de produto de medida, envolvendo raciocínio combinatório, e de isomorfismo de medida, envolvendo raciocínio proporcional). Os dados mostraram a tendência de professores e futuros professores de interpretar o erro, sobretudo, como decorrente de limites de compreensão conceitual: o aluno não compreende as relações multiplicativas necessárias à resolução dos tipos de problemas focalizados. Esse resultado sugere que professores e futuros professores estariam, de alguma forma, atentos à dimensão psicológica em jogo no erro dos alunos.

No entanto, o tipo de problema surgiu como fator importante quanto às interpretações tanto de professores como de futuros professores: os erros nos problemas de produto de medidas, envolvendo raciocínio combinatório, foram interpretados basicamente como conceituais; porém, nos problemas de isomorfismo de medidas, foram eles vistos, sobretudo, como conceituais, mas também como linguísticos.

Por que a predominância de erros conceituais aos problemas envolvendo raciocínio combinatório? Provavelmente, ela se deve ao seguinte: a) as soluções expressas predominantemente em desenhos ou diagramas, ajudaram a evidenciar o número limitado de combinações entre os elementos que puderam ser feitas, assim sugerindo fortemente aos entrevistados a ausência do domínio conceitual pertinente; b) também, os enunciados suficientemente claros desse tipo de problema permitiram a identificação do tipo e da quantidade de elementos a combinar, afastando assim a hipótese de ali haver limites linguísticos para a compreensão (vide problemas e suas soluções no Apêndice A).

Por sua vez, a atribuição a erros conceituais a par da presença forte de atribuição a erros linguísticos no caso das soluções dos problemas de isomorfismo de medidas, envolvendo raciocínio proporcional, permite supor que: a) as soluções expressas em cálculos escolares já automatizados, embora permitissem ver ali ausência de compreensão, mascararam alguma possibilidade de identificar qualquer relação, mesmo incompleta, que ali poderia ter sido captada pelo aluno, ao que se acrescenta b) a ausência clara, nos enunciados (clássicos) desse tipo de problema, de alguma informação intermediária que ajudasse a identificar a relação proporcional básica à solução (vide problemas e suas soluções no Apêndice B).

Como mencionam Koch e Soares (2005, p. 177), é necessário que as soluções dos alunos sejam conhecidas e interpretadas pelo professor de forma mais ampla e com um retorno para o ensino, e não apenas limitadas a situações com vistas a verificar se o aluno acerta ou erra a questão, ou ainda o ‘quanto’ ele sabe sobre determinado assunto e não ‘como’ ele sabe, menos ainda ‘por que’ ele sabe ou não sabe.

Para finalizar, complementando o que afirmam Ball, Thames e Phelps (2008) acerca dos conhecimentos que precisam ser dominados pelos professores que ensinam matemática, parece relevante incluir, no leque de competências desses docentes, conhecimentos acerca de como lidar com os erros dos alunos. Um primeiro passo parece ser o de compreender como os professores interpretam os erros, como refletem acerca da situação-problema e das competências (conceituais, linguísticas, procedimentais) dos alunos frente a uma dada situação. Um segundo passo seria compreender qual a proposta didática do professor frente àquele erro. Os resultados obtidos sugerem que tanto professores como futuros professores levam em conta vários aspectos ao interpretarem os erros dos alunos, sendo necessário, ainda, examinar como esse conhecimento poderia se traduzir em ações didáticas que viessem favorecer a superação das dificuldades identificadas (estudo em andamento).