Diversos autores (SCHOENFELD, 1994; HANNA, 1995) ponen de manifiesto la necesidad y el interés de trabajar la demostración en el aula, no sólo por su importancia desde el punto de vista del quehacer matemático, sino por su contribución a la comprensión de los conceptos matemáticos involucrados. Esta necesidad ha sido recogida, de forma desigual, en los distintos planes de estudios españoles desde 1934 (IBAÑES; ORTEGA, 2002). Estos mismos autores señalan que, pese a algunas deficiencias, ya la Ley Orgánica de Ordenación General del Sistema Educativo - LOGSE supuso una mejora muy importante respecto a planes de estudios anteriores. Algunas de las deficiencias indicadas se solventaron en la Ley Orgánica de Educación - LOE, finalmente, la Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa – LOMCE establece el aprendizaje de la demostración como obligatorio y transversal a todos los contenidos (CONEJO, 2015).

Sin embargo, los contenidos relativos a la demostración se presentan en forma de lista, sin un orden lógico que ayude al profesor a planificar su enseñanza. Sólo aparecen dos criterios de evaluación, relativo uno a la demostración de propiedades o teoremas, y el otro a la comunicación de con rigor de ideas matemáticas presentes en esas demostraciones. Por último, los estándares de aprendizaje asociados valoran el uso de diversos métodos, la reflexión sobre el proceso seguido, el lenguaje matemático, la argumentación y el empleo de herramientas tecnológicas. En todo caso, el currículo no incluye indicaciones metodológicas concretas que expliquen cómo llevar al aula los contenidos de este bloque o lo diferencien de los demás; que resultarían de ayuda en su implementación práctica.

A consecuencia de lo anterior, surge el interés de llevar a cabo actividades de formación de profesorado de secundaria relacionadas con la demostración, que involucren tanto aspectos relativos a la práctica de la demostración, como a su enseñanza y aprendizaje. Así pues, abordamos el diseño de una actividad de formación de profesorado de secundaria cuyos objetivos son:

Shulman (1986) presentaba la idea de conocimiento pedagógico del contenido (PCK) que ha resultado de utilidad a la hora de diseñar y analizar actividades de formación del profesorado. Hoy en día, el trabajo en el aula pasa por la necesaria inclusión de herramientas tecnológicas (incluso obligada en ocasiones por el propio currículo oficial). Así pues, los componentes fundamentales de una adecuada enseñanza no serían ya solo el contenido y la pedagogía, sino que debe incluirse la tecnología al mismo nivel que las anteriores (KOEHLER; MISHRA, 2009). Esta perspectiva (Technological Pedagogical Content Knowledge - TPACK) es consistente y extiende la anterior ocupándose además de las complejas relaciones entre los factores señalados.

En la Figura 1 se presenta un esquema de los dominios y subdominios considerados por el marco TPACK, que describimos a continuación.

Donde las siglas significan:

Cada situación de enseñanza de las matemáticas hace emerger una combinación nueva de los tres factores (contenido, pedagogía y tecnología). Para evitar la simplificación de las respuestas educativas o el fracaso en su aplicación, los profesores deben conocer además las interrelaciones entre estos tres dominios y cómo un cambio en uno de ellos afecta a los otros dos.

Mouza et al. (2014) señalan la necesidad de trabajar los distintos dominios del modelo a la hora de abordar la formación del profesorado. Otras investigaciones que siguen el planteamiento propuesto en el modelo TPACK concluyen también “la conveniencia de potenciar la capacitación y perfeccionamiento en TIC en la formación inicial de los maestros” (CÓZAR; ZAGALAZ; SÁEZ, 2015, p. 163).

Por otro lado, debemos tener en cuenta que la tecnología es únicamente un instrumento curricular, cuyo uso tendrá sentido en función de las relaciones que se establezcan entre el mismo y los restantes componentes del currículum (CABERO, 2010). A partir de la descripción realizada anteriormente, se observa que el marco TPACK pone su énfasis en las interrelaciones existentes entre los tres factores primarios (contenido, pedagogía y tecnología) y no tanto en cada uno de ellos individualmente. Por ello, se trata de un marco especialmente adecuado, en nuestra opinión, para el trabajo efectivo con profesorado en formación.

Hemos comentado, en la introducción, que ya desde la LOGSE la demostración aparece de manera clara en el currículum español. Ante esta presencia de la demostración en el aula, trabajos como (DOS SANTOS; ORTEGA, 2013) ponen de manifiesto la gran diversidad de posturas existentes dentro del profesorado en ejercicio respecto a diversos aspectos de la demostración. Por su parte, investigaciones como la de Crespo y Ponteville (2005) indican que la demostración en el aula suele ignorarse, o bien se presenta con una función de verificación y, en menor medida, de explicación.

Las funciones de sistematización, descubrimiento o comunicación (DE VILLIERS, 1993) apenan aparecen. Incluso encontramos trabajos (VICARIO; CARRILLO, 2005) que ponen de manifiesto posibles limitaciones de algunos profesores a la hora de comprender ciertas demostraciones, como las realizadas por reducción al absurdo. Por otro lado, Montoro (2007) muestra que la demostración se concibe por parte del profesorado en formación como un conocimiento principalmente procedimental, que se adquiere mediante la repetición y la práctica. En este mismo sentido, el trabajo de Samper, Ospina y Plazas (2010) muestra cómo, entre el profesorado universitario de Matemáticas, existe la idea de que la enseñanza de la demostración se debe hacer presentado ejemplos de demostraciones y que su aprendizaje se logra principalmente haciendo demostraciones y examinando ejemplos.

La demostración en Geometría, con ayuda de un programa de geometría dinámica, ha sido estudiada por diversos investigadores. Por ejemplo, Marrades y Gutiérrez (2000) distinguen entre justificaciones empíricas y deductivas. Las primeras, que pueden clasificarse en: justificación naïf (basada en el estudio particular de uno o varios casos, elegidos sin criterio alguno, en los que la propiedad a demostrar es cierta), justificación mediante experimento (basada en el estudio particular de un caso elegido cuidadosamente para ser considerado lo menos particular posible) y justificación mediante ejemplo genérico (basada en el estudio de un ejemplo específico representativo, pero incluyendo razones abstractas para justificar la validez de la conjetura mediante operaciones o transformaciones del ejemplo). Las segundas se caracterizan por la descontextualización de los argumentos y se clasifican según si para organizar la demostración se usa un ejemplo (experimento reflexionado) o no (formal).

La experimentación se llevó a cabo con 11 estudiantes (7 graduados en Matemáticas, 1 en Física y 3 en Ingeniería) del Máster en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria (especialidad de Matemáticas), durante el curso 2014–2015, y en el marco de la asignatura Diseño, organización y desarrollo de actividades para el aprendizaje de Matemáticas. En concreto, la actividad se desarrolló en una sesión de dos horas de duración en el aula de informática. Durante la sesión se alternó el trabajo individual o en parejas (codificadas como C1 a C7) de los alumnos con las puestas en común coordinadas por los investigadores.

Para el diseño del cuestionario (ver Anexo) se optó por un contexto de Geometría plana elemental. En particular, las tareas propuestas están relacionadas con las Proposiciones 18, 19 y 20 del Libro I de los Elementos y se presentaban, a modo de información, la definición de triángulo isósceles y las Proposiciones 5 y 16 de ese mismo Libro I. Los contenidos matemáticos implicados involucran relaciones entre la amplitud de los ángulos y la longitud de los lados en un triángulo.

Pensamos que los contenidos elegidos suponen un contexto adecuado para abordar una actividad relacionada con la demostración, tanto por su relativa sencillez desde el punto de vista matemático, como por la clara secuenciación lógica de los mismos y los pocos conocimientos previos necesarios (proporcionados a modo de información). De las múltiples ediciones de los Elementos, optamos por la muy curiosa de Oliver Byrne (1847) en la que el sistema de representación elegido para nombrar los objetos geométricos se basa en el uso de diversos colores (TUFTE, 1998) y tipos de trazos. El uso de esta heterodoxa edición de un más heterodoxo autor (BARNETT, 2010) resulta interesante, entre otros aspectos, para introducir un cierto relativismo en el aula, así como para enfatizar la dimensión humana de la actividad matemática; aspectos que Jahnke et al. (2000) señalan, entre otros, como motivos para introducir el uso de fuentes históricas.

Las cinco tareas planteadas a los alumnos se corresponden con los distintos dominios y subdominios considerados en el marco TPACK. En concreto:

El estudio realizado es exploratorio, con una finalidad esencialmente descriptiva (ELLIOT; TIMULAK, 2005). La recogida de información se ha abordado mediante la utilización de tres procedimientos. En primer lugar, la observación por parte de los investigadores. En segundo lugar, las producciones de los alumnos participantes, plasmadas en sus respuestas al cuestionario (tareas 1 a 5) y en los ficheros de GeoGebra generados en la tarea 4. Finalmente, en tercer lugar, las fases de puesta en común (tareas 1, 2 y 3) fueron grabadas en video y transcritas para su posterior análisis. Esta triangulación de los datos (DENZIN, 1978) contribuye a mejorar la calidad de la investigación (ONWUEGBUZIE; LEECH, 2007).

La tarea 1 exigía que los participantes pusieran en juego su conocimiento matemático, justificando los pasos de dos demostraciones. Hemos observado que no se justifican todos los pasos con la misma frecuencia. En particular, aquellos que involucran únicamente el uso de un razonamiento lógico elemental (en opinión de los participantes) no suelen ser justificados. Sin embargo, aquellos que suponen la aplicación de resultados matemáticos anteriores raramente quedan sin justificar. El carácter, elemental o no, de un razonamiento lógico debería ser percibido por parte de los futuros docentes como fuertemente dependiente de los receptores potenciales de la demostración. Este hecho iría en perjuicio de las funciones (DE VILLIERS, 1993) de explicación y comunicación de la demostración y debería ser tenido en cuenta a la hora de planificar las actividades con profesorado de secundaria en formación.

En la tarea 2, donde se solicitaba comparar las dos demostraciones anteriores, sí observamos una cierta preocupación por el alumno y por las dificultades que este puede encontrar según el tipo de demostración. Perciben la reducción al absurdo como más complicada para los alumnos, posiblemente como un reflejo de sus propias dificultades con este tipo de demostración (VICARIO; CARRILLO, 2005). Además, observamos que el conocimiento y el uso del lenguaje especializado, en este contexto, es cuando menos impreciso en el sentido de Dos Santos y Ortega (2013). Esto puede apuntar a que los profesores de secundaria en formación necesitarían ampliar sus conocimientos sobre las distintas funciones de la demostración para que perciban el posible interés de trabajar la reducción al absurdo con sus futuros alumnos, puesto que llegan a calificar la demostración directa como normal. No hay que olvidar que el nuevo currículum de Secundaria incluye, entre sus contenidos, diversos métodos de demostración (reducción al absurdo, inducción etc.)

Las dificultades mencionadas con la reducción al absurdo se vuelven a poner de manifiesto en la tarea 3 cuando los participantes deben reescribir una demostración utilizando dicha técnica. De hecho, más de la mitad de los participantes no realizaron de manera satisfactoria esta tarea, fundamentalmente aquellos con una menor formación matemática a nivel de Grado. Una de las manifestaciones más claras de esta dificultad es el recurso al lenguaje algebraico, cuando ni el contexto de la tarea ni el sistema de representación utilizado inducían a ello. De nuevo, esto puede ocasionar problemas en la comunicación con los alumnos y que las dificultades que los alumnos de secundaria muestran en los contenidos algebraicos se extiendan a otros bloques de contenido como la geometría (ARNAL- BAILERA, 2013). Este tipo de tareas de adaptación o reescritura pueden ser por tanto de interés para el profesorado de secundaria en formación.

Aun reconociendo la importancia de la tecnología en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, los profesores de secundaria en formación muestran dificultades en su aplicación cuando deben conectarla con el contenido y la pedagogía (MOUZA et al., 2014). Este hecho se pone de manifiesto tanto en la tarea 4 (por el uso dado a GeoGebra) como en la 5 (por la escasa presencia del software).

Pese a que, como señala Cabero (2010, p. 48), una de las principales características de los entornos tecnológicos de formación es la interactividad de los mismos, se observa el predominio de los usos centrados en el profesor jugando GeoGebra, un papel simplemente de apoyo a la explicación y obviando los otros usos propuestos por Lasa y Wilhelmi (2013). Hay que indicar que, en el momento de la experimentación, los participantes ya habían recibido instrucción sobre el manejo GeoGebra si bien desde el punto de vista matemático. Esto nos indicaría la necesidad de hacer énfasis en los usos pedagógicos de GeoGebra y no sólo de los meramente matemáticos. De hecho, como ya señalan Roblizo y Cózar (2015, p. 36) esto es especialmente necesario si tenemos en cuenta que, en la actualidad, gran parte del trabajo de un docente “pasa por la creación, evaluación y/o adaptación de recursos digitales a su práctica”.

Por último, como indican autores como Montoro (2007) o Samper, Ospina y Plazas (2010) observamos una fuerte concepción procedimental de la demostración en la tarea 5 en la que los participantes debían diseñar una actividad relacionada con la demostración centrada en un contenido de Bachillerato. Todas las propuestas consistían, esencialmente, en demostrar un resultado concreto. No hay mención a distintos métodos, funciones o técnicas de demostración. La elaboración de actividades para el aula es una de las labores más importantes de un docente y la falta de variedad en las propuestas es indicadora de una deficiencia en la formación en este aspecto. Esta debilidad implica que los futuros docentes recurren a “conocimientos, creencias, actitudes, hábitos y conductas previos […] a imitación de ciertas prácticas de enseñanza de sus antiguos profesores” tal y como indica Palarea (2011, p. 231).

El trabajo a nivel de Máster debería tener uno de sus focos principales en dotar a los futuros docentes de las herramientas necesarias para diseñar e implementar actividades ricas relacionadas, en este caso, con la demostración. El diseño de este tipo de tareas contribuirá, sin duda, a su profesionalización puesto que implica enfrentar a los futuros docentes a problemas y cuestiones que se plantearán en el futuro desempeño de su profesión (FLORES, 1998).

En este trabajo hemos abordado el diseño y análisis de una actividad de formación de profesorado de secundaria centrada en la demostración matemática. Se perseguían dos objetivos, fundamentalmente. El primero, analizar el conocimiento (según los diversos dominios del marco TPACK) de los futuros docentes y, el segundo, obtener algunas implicaciones útiles para el trabajo con estos futuros docentes a nivel de máster.

En cuanto al primer objetivo, observamos que los futuros docentes tienen un buen conocimiento del contenido (CK), así como un buen conocimiento tecnológico (TK). Sin embargo, aparecen más problemas cuando entra en juego la componente pedagógica y, en particular, las interrelaciones entre ellas. De hecho, los resultados obtenidos en la tarea 5 que potencialmente implicaba una puesta en juego de todos estos tipos de conocimientos, ilustran claramente estos problemas.

Por último, respecto al segundo objetivo, los resultados obtenidos sugieren diversas líneas de actuación en torno a las que organizar el trabajo sistemático de la demostración en el aula con futuros docentes a nivel de máster. Por ejemplo: