Os campeonatos SUB12^® e SUB14^® são dinamizados pelo Departamento de Matemática da Universidade do Algarve, Portugal, e destinam-se a jovens que frequentam o 5.° ou o 6.° ano (10–12 anos, no caso do SUB12) e o 7.° ou o 8.° ano (12–14 anos, no caso do SUB14). Na Fase de Apuramento, os concorrentes acedem ao website do campeonato para consultar um problema quinzenal, dispondo de duas semanas para submeter a sua resolução por e-mail ou através da página. É permitida a utilização de quaisquer ferramentas tecnológicas para resolver os problemas, porém, para serem consideradas corretas, as respostas submetidas têm que incluir uma descrição detalhada e clara do processo de resolução. Estas são competições inclusivas, pois as regras de participação permitem e até encorajam a procura de ajuda durante esta fase (junto de familiares, professores, ou da própria organização), o que faz com que esta atividade se torne acessível a alunos de desempenhos variados e não somente aos alunos de excelência.

Pesquisas anteriores mostraram que estes jovens revelam uma elevada fluência tecnológica ao exprimir as suas soluções (JACINTO; CARREIRA, 2008); que o uso de tecnologias reconfigura esta atividade, pois diferentes jovens resolvem o mesmo problema com uma mesma ferramenta mas desenvolvem modos bastante distintos de pensar e agir (JACINTO; CARREIRA, 2013); que os diferentes níveis de sofisticação das soluções emergem dos modelos conceptuais desenvolvidos com uma dada tecnologia (CARREIRA; JONES; AMADO; JACINTO; NOBRE, 2016); e que estes jovens percebem a adequação entre uma certa tecnologia e certos conhecimentos matemáticos, e conjugam-nos de forma pertinente para obter a solução de um problema (JACINTO; CARREIRA, 2016).

Pretendemos agora aprofundar a compreensão deste fenômeno no que diz respeito à utilização simultânea de conhecimento matemático e tecnológico na resolução de problemas. Analisando um conjunto de resoluções de dois problemas, um do SUB12 e outro do SUB14, em que vários concorrentes recorreram ao GeoGebra, procuramos compreender o papel desta ferramenta no desenvolvimento de modelos conceptuais que conduzem às soluções. O nosso propósito passa ainda por identificar e compreender os aspetos subjacentes à existência de diferentes modos de resolver cada problema com a mesma tecnologia. Sugerimos que as diferenças podem ser explicadas em termos da fluência tecno-matemática de cada participante.

Os campeonatos SUB12 e SUB14 propõem problemas não-rotineiros na medida em que não se resolvem através da aplicação de regras ou procedimentos comuns ou prontos a utilizar pelos concorrentes. Estes problemas requerem abordagens em que exista liberdade para construir, testar e modificar as estratégias planejadas. Esta resolução de problemas é encarada como o desenvolvimento de formas produtivas de pensar sobre situações desafiadoras (LESH; ZAWOJEWSKI, 2007), em que se adota uma perspetiva matemática para encontrar a solução.

Os concorrentes desenvolvem abordagens muitas vezes desprovidas de técnicas matemáticas formais, mas muito marcadas pela sua experiência pessoal. Esta atividade é consistente com o desenvolvimento de um processo de matematização (FREUDENTHAL, 1973), ou seja, uma reflexão sobre a realidade que leva à sua compreensão e alteração através do recurso a ideias ou métodos matemáticos. Treffers (1987) introduziu a noção de matematização horizontal, i.e., a exploração e interpretação de situações ou problemas que levam ao estabelecimento de conceitos matemáticos; e de matematização vertical, que surge como uma formalização desses conceitos através da sua organização, classificação e generalização. Assim, é possível afirmar que estes jovens matematizam quando criam Matemática de acordo com as suas experiências e características pessoais e sob a influência dos ambientes em que se inserem, hoje tecnologicamente ricos e diversificados.

Para Gravemeijer (2005), os modelos de situações específicas surgem como forma de representar o problema e de lhe atribuir significado, e integram estratégias informais baseadas na experiência do aluno. No entanto, o papel destes modelos altera-se à medida que o aluno se apropria de problemas semelhantes e começa a focar-se nos objetos matemáticos, nas relações e nos procedimentos característicos da matematização vertical. O modelo deixa de representar apenas a situação e passa a ser a base do raciocínio matemático que foca as relações envolvidas de uma forma desvinculada do contexto: “um modelo de uma atividade matemática informal desenvolve-se num modelo para um raciocínio matemático mais formal” (GRAVEMEIJER, 2005, p. 95). O desenvolvimento de um modelo para envolve um afastamento do contexto, insistindo na simbolização, na procura de estratégias e relações mais formais que sustentem o raciocínio. O modelo conceptual assume, de forma gradual e progressiva, as características de um objeto matemático sofrendo alterações até que ganha “uma vida própria” (IBIDEM, p. 98).

Estes modelos conceptuais podem incluir diagramas, esquemas, tabelas, descrições textuais, ou expressões com símbolos: estas “explicações e construções não são meros processos que os estudantes usam no decurso de produzir a solução (…) elas SÃO os componentes mais importantes da resposta” (LESH; DOERR, 2003, p. 3). É neste sentido que a expressão do pensamento matemático tem que ser vista como parte integrante do processo de resolução de problemas, ou seja, a obtenção de uma resposta implica criar uma explicação para a solução, pelo que resolver um problema envolve a resposta obtida e a explicação do processo seguido. Sendo então a resolução de problemas uma atividade síncrona de matematização e expressão do pensamento matemático (CARREIRA et al., 2016), importa compreender as formas como as tecnologias são usadas para resolver-e-exprimir os problemas de Matemática, assumindo que estes jovens estão imersos, social e culturalmente, num ambiente tecnológico.

Várias propostas teóricas têm sido avançadas com o fim de contribuírem para uma compreensão mais profunda da atividade do ser humano no mundo tecnológico. A contribuição teórica de Borba e Villarreal (2005), apoiada nas ideias de Lévy (1990), defende que os processos mediados por tecnologias conduzem a uma reorganização do pensamento e que o próprio conhecimento resulta de uma simbiose entre os seres humanos e a tecnologia que utilizam. Essa estreita relação origina uma nova entidade – humanos-com-mídia – uma metáfora que explica de que forma o pensamento matemático é reorganizado na presença de tecnologias.

Assumindo que a cognição compreende uma natureza social e coletiva, Borba e Villarreal (2005) argumentam que ela abarca igualmente as ferramentas que fazem a mediação na produção de conhecimento. Assim, as mídia são parte constitutiva do sujeito que age, não se limitando a auxiliar ou complementar essa atividade pelo que as ferramentas tecnológicas, quando usadas para comunicar, produzir ou representar ideias matemáticas, influenciam o tipo de pensamento matemático e representações que daí resultam. Assim, a introdução de uma ferramenta no sistema humanos-com-mídia impele modificações ao nível da sua atividade, i.e., o coletivo altera-se consoante o tipo de mídia que nele se integra, razão pela qual diferentes coletivos podem originar diferentes modos de pensar: o conhecimento matemático produzido por humanos-com-papel-e-lápis é qualitativamente diferente daquele que é produzido por humanos-com-GeoGebra (VILLARREAL; BORBA, 2010). Na origem destas diferenças está o reconhecimento das affordances da tecnologia, quer dizer, das possibilidades de executar uma ação com essa ferramenta. A expressão affordances designa um conjunto de particularidades atribuídas a um objeto que convidam o indivíduo a realizar uma ação com ele (GIBSON, 1979). Porém, as affordances não são meras propriedades ou potencialidades do objeto, pelo que percecioná-las é “observar que a situação possibilita uma certa ação” (CHEMERO, 2003, p. 187). Como estas possibilidades de ação, as affordances, emergem das interações do indivíduo com a ferramenta, torna-se necessário designar aquilo que no indivíduo também contribui para essa interação: a sua “aptidão” (GREENO, 1994). Esta relação intrínseca traduz-se assim numa impossibilidade em separar as affordances da aptidão do indivíduo, isto é, não são especificáveis na ausência uma da outra, o que faz eco da noção de humanos-com-mídia.

Muito em concreto, o reconhecimento das affordances de um Ambiente de Geometria Dinâmica (AGD) para resolver problemas de geometria permite que as ideias e os conceitos geométricos “ganhem vida animada” ao serem manipulados, revelando o dinamismo implícito nas condições do problema. Além de alargar o espetro de abordagens, os AGD fomentam o desenvolvimento do pensamento matemático, em particular, a formulação de conjeturas, a generalização, a justificação, a demonstração (BACCAGLINI-FRANK; MARIOTTI, 2010). Estimulam a passagem de um pensamento informal e dependente do contexto (modelo de) para outro mais formal (modelo para), resultando no desenvolvimento de um modelo conceptual. Por seu lado, as construções revelam como os alunos interpretam o problema e percecionam as relações matemáticas dissimuladas (IRANZO; FORTUNY, 2011), mas também potenciam interações que influenciam o desenvolvimento de formas produtivas de pensar.

A utilização de tecnologias em ambientes extraescolares tem recebido a atenção de alguns investigadores nos últimos anos (BARBEAU; TAYLOR, 2009). Num estudo em que procuravam mapear as capacidades matemáticas necessárias em contextos laborais, Hoyles, Wolf, Molyneux-Hodgson e Kent (2002) identificaram uma interdependência entre as competências matemáticas dos trabalhadores e os seus conhecimentos sobre tecnologias. Surgiu assim a noção de Literacias Tecno-matemáticas como agregadora das aptidões matemáticas e tecnológicas indispensáveis às atividades específicas de cada profissão estudada. Mais tarde, essa noção veio designar o conhecimento matemático funcional ancorado num contexto laboral concreto, mediado por ferramentas tecnológicas (HOYLES; NOSS; KENT; BAKKER, 2010).

O termo “literacias” visava enfatizar as várias dimensões do conhecimento exigido no âmago dos locais de trabalho contemporâneos e a atividade que vai além da manipulação de símbolos (KENT; NOSS; GUILE; HOYLES; BAKKER, 2007). Porém, o termo fluência, desenvolvido a propósito de “fluência tecnológica” (PAPERT; RESNICK, 1995), parece ser mais apropriado às especificidades da atividade matemática e tecnológica que decorre nos campeonatos SUB12 e SUB14. Para Barron, Martin e Roberts (2007, p. 83), a expressão “fluência” permite descrever “a capacidade para reformular conhecimento, para expressar-se criativa e apropriadamente, e produzir e gerar informação”. A tecnologia pode ser encarada como uma extensão do indivíduo que é fluente tecnologicamente: aquele que é capaz de pensar e exprimir-se por meio de um dialeto digital. Este seria assim um processo transparente já que o foco é naquilo que se quer dizer e não na sua pronúncia (CROCKETT; JUKES; CHURCHES, 2012). Logo, a expressão fluência tecno-matemática capta tanto a relação mencionada por Hoyles et al. (2010) como a ideia de ser capaz de produzir pensamento matemático mediante a utilização de ferramentas para reformular ou criar conhecimento e expressar pensamento. A fluência tecno-matemática enfatiza a necessidade de ser fluente numa língua que engloba conhecimento matemático e tecnológico, bem como a utilização hábil de ferramentas digitais e a interpretação e comunicação eficiente da solução tecno-matemática de um dado problema.

Reconhecendo as especificidades do SUB12 e do SUB14, argumentamos que a resolução de problemas com tecnologias potencia o desenvolvimento de modelos conceptuais que emergem através da atividade de resolver-e-exprimir. Pretendemos agora ilustrar diferentes casos de jovens-com-GeoGebra a resolver-e-exprimir problemas para, partindo da análise destes dados, procurarmos evidências da fluência tecno-matemática enquanto combinação entre o pensamento matemático e o reconhecimento das possibilidades de ação com o GeoGebra.

O recurso ao GeoGebra para resolver cada um dos problemas, uma escolha livre, mas intencional, revela que estes jovens consideram que esta é a ferramenta mais adequada para experimentar, resolver ou exprimir ações que, de alguma forma, não encontram paralelo noutras ferramentas. Esta opção pode encontrar justificação no duplo papel que a ferramenta desempenha: primeiro, o GeoGebra suporta a “materialização” da situação problemática, favorecendo o aprofundamento da compreensão daquilo que o problema envolve; em seguida, com base nessa corporização, emerge uma matematização que sustenta a estratégia e a obtenção da solução, isto é, o desenvolvimento gradual de um modelo conceptual que sustenta a resposta.

A construção de um polígono regular de 12 lados pode ser uma tarefa exigente e morosa, consoante as ferramentas usadas, mas simplifica-se drasticamente com o GeoGebra, dado que basta indicar dois pontos e o número de lados. O mesmo sucede com a representação do jardim retangular e do canteiro de flores. As regras de geometria euclidiana incorporadas no programa garantem que cada construção seja robusta, ou seja, ainda que se faça variar as dimensões das figuras, o polígono mantém-se regular e com 12 lados, enquanto o quadrilátero e o triângulo vão manter as características com que foram construídos. De igual modo, a representação dos vários retângulos no primeiro caso reduz-se a uma tarefa simples com o GeoGebra: a ferramenta “Polígono” é de construção livre, mas é possível visualizar rapidamente se a escolha de vértices corresponde a um retângulo. Por outro lado, a quantidade de figuras sobrepostas pode impedir uma leitura clara e imediata da abordagem, pelo que o recurso às “Propriedades dos objetos” permite alterar a cor ou a espessura dos seus lados. O “polígono estrelado” que surge desse realce pode impelir a identificação de um padrão visual, favorecendo uma contagem organizada dos retângulos. A forma como organizam, identificam e separam as diferentes construções indicia que o resolver e o exprimir a solução são intencionalmente simultâneos.

No segundo problema, a robustez da construção – indispensável à perceção da invariância da área do canteiro – é conseguida mediante o recurso às propriedades dos quadriláteros (conhecimento matemático) e da perceção de como essas propriedades se efetivam no GeoGebra (conhecimento da tecnologia). À marcação de pontos livres, sucede-se a representação de retas paralelas e perpendiculares, circunferências que passam por um dado centro e com um certo raio, construção de polígonos e determinação de áreas. Estes jovens também recorrem às “propriedades dos objetos” para alterar as cores de elementos das suas construções e assim expressar que visualizam a divisão do canteiro em dois triângulos que partilham a mesma base, a vara. Utilizam ainda a ferramenta “Mostrar objetos” para limpar as construções, ou seja, para esconder os objetos geométricos que são indispensáveis à manutenção da robustez da construção mas deixam de ser necessários para exprimir a solução.

Estas produções põem a descoberto a atividade de matematização destes jovens-com-GeoGebra no sentido em que são capazes de percecionar a adequação e utilidade desta ferramenta, e conseguem tirar partido dela com eficácia não só para desenvolver uma solução como também para exprimi-la. Ilustram ainda como as construções empreendidas impelem e determinam uma estratégia de matematização. No problema Quantos são?, o fixar o tipo de retângulo e encontrar todas as figuras leva o primeiro jovem a explicar a solução através da adição 6+6+3, pelo que a visualização conduz à solução; o fixar dois vértices opostos e determinar todas as possibilidades leva as duas jovens a identificar um padrão e a solução surge da adição 5+4+3+2+1, isto é, visualizam para observar e descrever; enquanto o fixar um vértice, experimentar e generalizar conduz o último jovem a outra estrutura matemática: 12x5:4, isto é, visualiza um caso particular para fazer uma previsão, para imaginar a solução do problema.

Nas soluções do problema A marcação do canteiro, o GeoGebra é usado para construir uma representação do jardim e do canteiro de flores; para arrastar pontos móveis, analisar, verificar e concluir sobre a invariância da área. Contudo, num caso o AGD apenas suporta a construção e a medição, pelo que a constatação da invariância da área surge com o arrastar do ponto móvel e a observação da alteração no formato dos dois triângulos interiores. Noutro, o AGD é utilizado para reproduzir as figuras, mas é encetada uma nova construção para mostrar geometricamente a invariância da área estudada no caso particular. E a última jovem representa a situação sem que haja evidência de ter recorrido a medições pelo que o arrastamento do ponto móvel terá espoletado a decomposição do triângulo e, consequentemente, a manipulação algébrica da variável “altura” de cada triângulo menor. Esta estratégia encerra uma matematização vertical em que é desenvolvida uma prova textual que valida a conjetura.

Estes jovens percecionam as affordances do GeoGebra enquanto criam modelos das situações apresentadas. Em alguns casos, o modelo está tão próximo do contexto que põe a descoberto todos os casos possíveis ou apoia-se na medição e na manipulação da figura; são modelos de em que os jovens fazem uma matematização horizontal, bastante elementar e suportada na observação. Porém, os dados ainda mostram que o reconhecimento das affordances começa por potenciar o desenvolvimento de um modelo de, mas motiva a procura de uma justificação para a solução, com a tentativa de encontrar um padrão ou apresentar uma explicação geométrica. Noutros casos, a experiência inicial pode ser considerada como a procura de uma possibilidade de generalizar a solução, que ganha contornos de um modelo para, ou seja, de uma estrutura mais formal que permite obter a solução sem listar todas as possibilidades ou demonstrando a invariância da área.

As estruturas matemáticas desenvolvidas nesta atividade de resolver-e-exprimir diferem bastante, pelo que isto pode ser entendido também em diferentes graus de sofisticação no uso de conhecimento matemático e tecnológico. Embora partindo sempre de um uso como uma ferramenta-para-construir, em alguns casos o GeoGebra assume um papel de ferramenta-para-medir, enquanto noutros se transforma numa ferramenta-para-pensar. Adiante discutiremos os níveis de sofisticação emergentes da conjugação entre conhecimentos matemáticos e tecnológicos para resolver-e-exprimir estes problemas.

Apesar de o GeoGebra convidar todos os participantes a um conjunto idêntico de possibilidades de ação, as ações que desenvolvem têm características diferentes e favorecem modelos conceptuais distintos. Esta distinção está ancorada na capacidade em percecionar a adequação das affordances da ferramenta ao desenvolvimento de um modelo conceptual, isto é, em perceber formas úteis de combinar conhecimentos sobre o GeoGebra (usar ferramentas euclidianas, definir propriedades dos objetos, construir objetos dependentes, arrastar) com conhecimentos matemáticos (factos, fórmulas, procedimentos) para obter uma solução.

Um nível mais elementar de fluência tecno-matemática está patente nas soluções de David, Marta e Miguel, que empregam conhecimentos matemáticos e tecnológicos de forma concomitante para efetuar construções robustas e encontrar uma abordagem para obter a solução. A perceção das affordances do GeoGebra assume um papel crucial na identificação da abordagem (e.g., organizar sistematicamente todas as soluções; determinar áreas, arrastar um ponto, observar a invariância da área) e conduz ao desenvolvimento de modelos conceptuais rudimentares, bastante próximos do contexto e nos quais prevalece uma matematização horizontal (modelos de). A fluência tecno-matemática destes jovens manifesta-se na utilização do GeoGebra e dos conhecimentos matemáticos indispensáveis à obtenção da solução.

Um nível intermédio de fluência tecno-matemática, presente nas produções de Débora e Isabel, e Sara, caracteriza-se pela utilização de conhecimentos matemáticos e tecnológicos, percecionando formas de os combinar para obter a resposta aos problemas e ainda ensaiar uma justificação matemática. Nessa atividade são desenvolvidos modelos conceptuais ainda elementares, suportados na visualização de todas as soluções ou no uso de casos particulares, embora exista já uma intencionalidade em encontrar uma justificação matemática. Embora estes modelos conceptuais sejam bastante dependentes do contexto, a matematização assume um grau de sofisticação maior: Débora e Isabel põem a descoberto a existência de um padrão numérico; e Sara empreende uma nova construção como prova geométrica do caso particular. A sua fluência tecno-matemática manifesta-se na utilização do GeoGebra e de conhecimentos matemáticos para encontrar a solução e explicá-la de um ponto de vista matemático.

Um nível elevado de fluência tecno-matemática, que se revela nas resoluções de Greg e Jéssica, evidencia-se pela utilização simultânea de conhecimentos matemáticos e tecnológicos para efetuar construções robustas, percecionar como podem conduzir às soluções, para formular conjeturas sobre as soluções idealizadas e ensaiar uma prova matemática. Os modelos conceptuais desenvolvidos afastam-se da visualização de casos particulares e aproximam-se do mundo da abstração, revelando traços de uma matematização vertical. Numa solução, a exibição de um caso particular suscita uma generalização, pelo que o modelo de é transformado num modelo para obter e simultaneamente explicar a solução. Na outra solução, o modelo de desencadeia o tratamento algébrico e transforma-se num modelo para provar a invariância da área num qualquer caso. A fluência tecno-matemática manifesta-se na utilização do GeoGebra e de conhecimentos matemáticos para encontrar a solução e fazer prova da sua veracidade.