El análisis de la relación entre los procesos de visualización y el conocimiento de geometría en la resolución de problemas de probar ha puesto de manifiesto las dificultades que tienen algunos resolutores para usar el conocimiento de geometría previamente aprendido (BATTISTA, 2007; CHINNAPPAN; LAWSON, 2005; GAL; LINCHEVSKI, 2010). En estas situaciones, Duval (1995, 2007) y Fischbein (1993) han subrayado el papel heurístico que desempeñan las figuras en la resolución de los problemas en los que se proporciona una configuración geométrica. En la resolución de estos problemas, los procesos de exploración e indagación ponen de relieve los vínculos entre el conocimiento de geometría y los procesos de visualización (HANNA; SIDOLI, 2007; HERSHKOWITZ, 1990; PRESMEG, 2006).

Fischbein (1993) mantiene que las figuras geométricas poseen, al mismo tiempo, aspectos figurales y conceptuales. En los problemas de probar es posible usar simultáneamente estos aspectos, ya que las propiedades de las figuras geométricas (representaciones) proceden de las definiciones y relaciones geométricas usadas en su construcción. Duval (1998, 1995) denomina aprehensión operativa a la modificación de una figura para considerar subconfiguraciones, añadiendo o quitando nuevos elementos geométricos, manipulando las diferentes partes de una configuración geométrica como un puzle para fijar la atención sobre subconfiguraciones particulares, o simplemente, fijando la atención sobre una parte específica de la configuración.

Por otra parte, con la aprehensión discursiva se asocian afirmaciones matemáticas a una configuración. Durante el proceso de resolución de un problema, los hechos geométricos identificados en la configuración se pueden relacionar con otros hechos geométricos y ser considerados premisas de alguna relación geométrica previamente conocida; es decir, generan una conjetura basada en lo visual que sugieren ideas que pueden ser usadas en la generación de relaciones deductivas. Este proceso que relaciona la visualización y el conocimiento de geometría ha sido denominado razonamiento configural (PRIOR; TORREGROSA, 2013; TORREGROSA; QUESADA, 2007; TORREGROSA; QUESADA; PENALVA, 2010).

El análisis del razonamiento configural muestra la importancia de la visualización en el desarrollo de los procesos deductivos en la resolución de los problemas de probar en geometría en los que se proporciona una configuración geométrica. La resolución de estos problemas implica un proceso de ver apoyado en la percepción (GAL; LINCHEVSKI, 2010). Estas investigaciones previas han puesto de manifiesto dos características de la relación entre la visualización y el conocimiento de geometría del resolutor: (i) el reconocimiento de una subconfiguración relevante en una configuración geométrica es una condición necesaria pero no suficiente para desencadenar el razonamiento configural, y (ii) la generación de un proceso deductivo se apoya en el conocimiento previo de algunos hechos geométricos y a las aprehensiones discursivas vinculadas a la configuración dada (CLEMENTE; LLINARES, 2013, 2014, 2015; LLINARES; CLEMENTE, 2014; CLEMENTE; TORREGROSA; LLINARES, 2015).

Estas características han permitido reconocer el papel relevante de la visualización en la generación de los procesos deductivos y, también, que un hecho geométrico puede desempeñar papeles diferentes en el proceso de resolución de este tipo de problemas (HERBST, 2004; HERBST et al., 2009). Este hecho permite diferenciar las interacciones de los estudiantes con las configuraciones que permiten construir conjeturas razonadas y usar razonamiento deductivo para averiguar lo que podría o debería ser verdad (HERBST, 2004).

Es decir, se subraya la importancia de los procesos previos al desarrollo de un proceso puramente deductivo en la resolución de los problemas. Estos procesos previos son los que se construyen sobre la relación entre la visualización y las aprehensiones operativas y discursivas que constituyen el razonamiento configural. En este trabajo, nosotros pretendemos analizar y explicar la relación que existe entre la identificación de figuras prototípicas y el conocimiento de geometría que es previa a la generación de un proceso puramente deductivo.

La imagen prototípica de las figuras geométricas que los estudiantes han generado a lo largo de su experiencia escolar influye en su capacidad de reconocerlas o de construir determinados objetos geométricos durante la resolución de los problemas (MESQUITA, 1998; VINNER; HERSHKOWITZ, 1980). La importancia de la tipicalidad de las representaciones geométricas viene dada porque influye en el papel de las representaciones externas en el aprendizaje de la geometría. En el caso particular de las configuraciones en los problemas de probar en geometría, la importancia de la identificación de una configuración prototípica, durante su resolución, radica en que ayuda a activar algunos conocimientos de geometría frente a otros. En este sentido, en la medida en la que el resolutor identifique una configuración prototípica que esté vinculada a ítems de conocimientos relacionados entre sí estará en mejor condición de iniciar el razonamiento configural (GAL; LINCHEVSKI, 2010)

Para Hollebrands, Laborde y Stráber (2008) las configuraciones en geometría, tanto en entornos de lápiz y papel como en software de geometría dinámica (DGS: Dynamical Geometry Software), permiten un camino adicional en el aprendizaje ya que pueden presentar multitud de relaciones geométricas. En este sentido, la fortaleza del resolutor experto radica en sus habilidades para pasar de la configuración al discurso y reconocer formas y configuraciones vinculadas al razonamiento deductivo basado en conocimientos teóricos. Sin embargo, esta práctica no es espontánea para los estudiantes inexpertos.

En relación a este último punto, Chen y Herbst (2013) indican que la naturaleza de las configuraciones (por ejemplo, ausencia de etiqueta para indicar el punto de intersección de dos segmentos) podría desempeñar un papel importante en el razonamiento geométrico de los estudiantes al condicionar la posibilidad de hacer conjeturas razonadas. La configuración inicialmente presentada en un problema geométrico puede contribuir a la manera en la que los resolutores lo estructuran para iniciar su resolución al apoyar la intuición geométrica, ya que les puede ayudar a relacionar los objetos geométricos.

Sin embargo, algunas veces este apoyo visual hace evidente a los resolutores relaciones no verdaderas, lo que puede llegar a abortar el desarrollo de un razonamiento configural adecuado. La idea de la tipicalidad de una representación (HERSHKOWITZ, 1990) intenta poner de relieve la influencia que tiene el uso de figuras prototípicas para mostrar más claramente algún atributo geométrico. Por ejemplo, las dificultades que tienen algunos estudiantes en la identificación de triángulos rectángulos cuando sus lados perpendiculares dejaban de ser paralelos a los márgenes del papel (HERSHKOWITZ, 1989).

En este contexto es en el que Mesquita (1998) denominó figura prototípica a aquella que tiende a respetar algunas propiedades, como privilegiando algunas líneas frente a otras (por ejemplo, en la representación del triángulo teniendo un lado paralelo al borde de la hoja), formas que tienden a ser regulares, simples y simétricas (MESQUITA, 1998). Para Gal y Linchevski (2010) el proceso de reconocimiento visual de figuras prototípicas puede ser explicado como el resultado del análisis de diversas características, en el que el objeto se segmenta en un conjunto de subobjetos (por ejemplo, la identificación de cuatro triángulos formados por las diagonales de un cuadrilátero). Cuando se reconocen las piezas que forman el objeto y su configuración, el objeto se reconoce como un patrón compuesto de estas piezas.

Por todo lo anterior, en el contexto particular de los problemas de probar en geometría, para los estudiantes no es fácil el paso de la argumentación basada en consideraciones intuitivas y visuales a consideraciones lógico-deductivas (PRUSAK; HERSHKOWITZ; SCHWARZ, 2012), por ello, es importante caracterizar las condiciones que favorezcan la transición entre lo visual y la generación de un proceso deductivo.

En los problemas de probar en los que se proporciona una configuración inicial, la importancia de la identificación de una subconfiguración relevante para la resolución del problema reside en que refuerza la activación de ciertos conocimientos de geometría. Consecuentemente, determinar cómo la identificación de una configuración permite movilizar determinados ítems de conocimiento, puede aportar información sobre la naturaleza de la relación entre la visualización y el conocimiento usado de manera productiva durante la resolución del problema (CHINNAPPAN, 1998) al iniciar el razonamiento configural.

Considerando estas referencias previas, esta investigación se ha centrado en caracterizar el desarrollo del razonamiento configural, en particular analizando las relaciones entre (i) la identificación de figuras prototípicas y (ii) el conocimiento de geometría que permite generar conjeturas razonadas.

En esta investigación hemos adoptado el significado de concepto figural de Fischbein (1993) y la perspectiva cognitiva de Duval (1995, 1998, 1999) sobre el aprendizaje de la geometría. El significado que atribuimos a la visualización se refiere a lo indicado por Hershkowitz, Parzysz y Van Dormolen (1996, p. 163): “entendemos por visualización la transferencia de objetos, conceptos, fenómenos, procesos y sus representaciones a algún tipo de representación visual y viceversa. Esto incluye también la transferencia de un tipo de representación visual a otra”. Siguiendo a Mesquita (1998), denominamos figura a la representación externa de una situación geométrica.

Fischbein (1993) define una nueva entidad mental que denomina concepto figural, que hace depender la consideración de relaciones en las figuras a las definiciones y teoremas previamente conocidos. Fischbein indica que inferir información adicional sobre la configuración no procede de considerar de manera separada la figura y las relaciones lógicas entre los hechos geométricos, sino de un único proceso en el que la figura se ve de otra manera permitiendo revelar relaciones lógicas. Fischbein caracteriza este proceso, indicando que la figura no es una imagen ordinaria, sino una estructura controlada lógicamente.

Para Duval (1995) las asociaciones de afirmaciones matemáticas a configuraciones o subconfiguraciones, que constituyen las aprehensiones discursivas que caracterizan este control lógico de las figuras, se pueden realizar de dos maneras según el sentido de la transferencia realizada: del anclaje visual al anclaje discursivo (a un dibujo se le asocian afirmaciones matemáticas) y del anclaje discursivo al anclaje visual (ante una afirmación matemática el estudiante tiene la capacidad para realizar un dibujo que cumpla alguna de las características de la afirmación enunciada).

En este ámbito, la idea de Razonamiento Configural es entendida como la coordinación de las aprehensiones operativas y discursivas, que nos ayuda a comprender mejor cómo los estudiantes resuelven problemas de probar y el rol que desempeña la relación entre lo visual y el conocimiento de geometría en el desarrollo de razonamientos deductivos (TORREGROSA; QUESADA, 2007; TORREGROSA; QUESADA; PENALVA, 2010).

La figura prototípica que el estudiante es capaz de identificar desempeña un papel relevante en la coordinación de estas aprehensiones y, por tanto, en el inicio del razonamiento configural que se desencadena mediante la identificación de una figura prototípica. Las figuras prototípicas son representaciones que corresponden a una organización regular del contorno, orientación y forma. Se perciben preferentemente contornos cerrados; direcciones horizontales y verticales; formas regulares, simples y simétricas; así como componentes de la figura (lados y ángulos) que tienen dimensiones similares (MESQUITA, 1998).

Todas estas características consiguen reforzar la percepción de unas determinadas configuraciones respecto a otras y pueden tener un efecto heurístico, ya que incrementan la visibilidad de una figura particular y sus posibilidades de reorganización, que puede desempeñar un papel esencial en la búsqueda de una solución en un problema de geometría. Esto quiere decir que, de entre las varias figuras que el estudiante puede observar en la configuración inicial, la que logra llamar su atención estará vinculada con alguna de las figuras prototípicas que guarda en su memoria. Por ejemplo (Figura 1), los estudiantes pueden tener dificultades en reconocer, en la Figura la, el triángulo ABC como un triángulo isósceles, ya que la figura prototípica de triángulo isósceles suele ser la que aparece en la Figura 1b.

En las situaciones en las que hay que generar una prueba, y en las que hay que establecer algún vínculo entre la percepción visual y la argumentación lógico-deductiva, se plantea la necesidad de estudiar el papel que desempeña la identificación de una subconfiguración particular a partir de la cual se inician las coordinaciones entre las aprehensiones discursivas y operativas, que constituyen el razonamiento configural.

Considerando lo anterior, planteamos la siguiente cuestión de investigación centrada en caracterizar la relación entre la identificación de una subconfiguración, los conocimientos de geometría activados y la trayectoria de resolución seguida. De manera específica: ¿Qué relaciones existen entre la identificación de figuras prototípicas y el conocimiento de geometría activado que permite iniciar el razonamiento configural durante la resolución de problemas de probar?

Los dos problemas tuvieron niveles de éxito diferentes (Cuadro 2).

En el problema 1, de los 182 participantes, 164 estudiantes siguieron trayectorias de resolución vinculadas a alguna de las tres subconfiguraciones relevantes y 75 consiguieron generar procesos deductivos correctos (45,7%, 75 de 164). Los 18 participantes restantes no iniciaron la resolución del problema. En las tres trayectorias de resolución identificadas (a, b y c) que generaron procesos deductivos correctos activaron respectivamente tres, cuatro y cinco ítems de conocimiento geométrico. Los porcentajes de éxito fueron 39,7% (trayectoria vinculada a la subconfiguración a), 66,7% (trayectoria vinculada a la subconfiguración b) y 33,3% (trayectoria vinculada a la subconfiguración c). En el problema 2, de los 182 participantes, 165 estudiantes siguieron la trayectoria de resolución definida por la subconfiguración relevante y 94 de estos generaron procesos deductivos correctos (57%, 94 de 165). Los otros 17 participantes no iniciaron la resolución del problema.

Esta investigación estudia la relación entre la identificación de figuras prototípicas y el conocimiento de geometría en la resolución de problemas de probar como una manifestación del razonamiento configural. Los resultados muestran que la identificación de una configuración relevante activa determinados ítems de conocimiento geométrico, definiendo una determinada trayectoria de resolución, poniendo de manifiesto la importancia de las actividades de visualización en el aprendizaje de la geometría.

Nuestros resultados indican que la identificación de alguna subconfiguración relevante es un factor determinante en el desarrollo de una trayectoria de resolución, mostrando la relación entre la visualización y el conocimiento de geometría del resolutor. En esta situación podemos reconocer dos cambios de anclaje (DUVAL, 1998). Por una parte, podemos interpretar que las respuestas de los resolutores indican que el reconocimiento de una figura prototípica en la configuración inicial activa determinados conocimientos de geometría, poniendo de manifiesto el cambio del anclaje visual al anclaje discursivo descrito por Duval (1998). En segundo lugar, el conocimiento de geometría del resolutor parece que le permite visualizar unas configuraciones frente a otras, lo que pondría de manifiesto a su vez, el cambio del anclaje discursivo al anclaje visual. Las representaciones prototípicas (lo primero que ve el alumno) desempeñan un papel relevante en esta doble relación entre la percepción visual y el conocimiento vinculado a los cambios de anclaje visual-discursivo y viceversa (Figura 8).

Los datos relativos al número de estudiantes que en el problema 1 iniciaron una trayectoria de resolución y los conocimientos de geometría requeridos en cada una de ellas (Cuadro 2), parecen indicar la existencia de una relación entre la identificación de una determinada subconfiguración relevante de entre varias posibles y el conocimiento de geometría requerido para seguir la trayectoria vinculada a ella.

En el apartado de resultados solo hemos contabilizado los casos en los que existe evidencia en el discurso textual generado por el estudiante de la identificación de alguna figura prototípica. Por ejemplo, en el problema 1 marcando erróneamente como triángulo rectángulo una figura que no lo es. Sin embargo, podemos considerar esta idea de un modo más amplio, ya que el estudiante podría reconocer alguna de estas representaciones prototípicas, aunque no lo manifieste explícitamente. Es decir, si la representación prototípica de triángulo rectángulo para un determinado alumno es triángulo rectángulo-derecha (ángulo recto hacia la derecha), de los diversos triángulos rectángulos que podría percibir en la figura inicial (por ejemplo, ΔABT y ΔTBC) reconocerá, en primer lugar, el triángulo ΔTBC ya que para él tiene mayor visibilidad, que le llevará a identificar preferentemente la subconfiguración a.

Los resultados de esta investigación indican la importancia de los procesos de visualización y de la relación entre las aprehensiones operativas y discursivas previos al desarrollo de los procesos deductivos formales. La identificación de una figura prototípica durante la resolución del problema permite centrar la atención del resolutor en sus propiedades figurales, es decir, como figuras percibidas por los sentidos, pero interpretadas a través del conocimiento de geometría previo. Así, la percepción visual se convierte en una herramienta anticipatoria en el proceso de resolución.

Estos resultados están en relación con los obtenidos por Gal y Linchevsky (2010) en el sentido de que la percepción visual vinculada a las aprehensiones operativas y discursivas pueden llegar a dificultar o favorecer el uso de determinados conceptos y propiedades geométricas necesarias para la resolución del problema. Desde estos resultados, se deriva la necesidad de enseñar a ver a los resolutores durante el aprendizaje de la geometría. Es decir, los maestros deberían enseñar a sus alumnos a ver las configuraciones geométricas que pueden ser relevantes para la resolución del problema.

Lo que nuestros resultados indican es que los estudiantes para maestro deben llegar a conocer la geometría en el ámbito curricular de la educación primaria, de forma que les permita ir más allá de simplemente reconocer propiedades y hechos geométricos en las figuras geométricas. De esta manera, el que el maestro sea consciente del papel que desempeña la visualización en el aprendizaje de la geometría le puede ayudar a gestionar las dificultades de sus estudiantes.

Lo anterior permite proponer una hipótesis de trabajo futuro. Si los maestros reconocen la importancia de la visualización en la resolución de problemas y conocen las relaciones entre diferentes hechos geométricos pueden llegar a gestionar, convenientemente, las dificultades de sus estudiantes cuando están aprendiendo conocimientos de geometría. Con este conocimiento especializado de geometría los maestros pueden proveer a sus alumnos de las destrezas necesarias para identificar subconfiguraciones en la figura inicial, que permitan activar los conocimientos de geometría oportunos para la resolución del problema (STYLIANIDES; BALL, 2008). Es decir, potenciar el papel de la visualización en la enseñanza – aprendizaje de la geometría se convierte en un aspecto clave. Sin embargo, es necesaria más investigación para apoyar esta línea de trabajo centrada en la relación entre la visualización, la generación del razonamiento configural y la resolución de problemas de probar en el sentido de aportar información específica para la toma de decisiones en la formación de maestros.