Tomando el aporte de Goizueta y Planas (2013), quienes afirman que un argumento es una razón, o razones, ofrecidas en favor o en contra de una aserción, mientras que la argumentación es el acto de producir razones. Se constata que argumentación y argumentos no se refieren a lo mismo; argumentación es toda la actividad que se realiza en el acto de convencer a una audiencia, y argumento es una razón o series de razones ofrecidas por el argumentador. Sin embargo, esta investigación está ubicada en el campo de la Educación Matemática, por esta razón es importante saber qué se entiende por un argumento matemático. Whitenack y Knipping (2002) lo definen como el resultado de una argumentación llevada a cabo en una clase de matemáticas.

Por consecuente, se entiende el término argumentación para referirse a toda la actividad de hacer aserciones, refutándolas, soportándolas mediante la producción de razones y criticando esas razones. De igual forma, un argumento es una cadena de razonamiento, en términos de una secuencia conectada de aserciones y razones, que entre ellas establecen el contenido y la fuerza de la posición por la cual una persona argumenta (TOULMIN, 2003).

En el campo de la Educación Matemática se ha estudiado argumentación a través del modelo de Toulmin (2003) para investigar sobre: la estructura de los argumentos construidos por los profesores (e. g., GIANNAKOULIAS et al., 2010), estudiantes trabajando de forma colectiva (e. g., YACKEL, 2002; WHITENACK; KNIPPING, 2002; KRUMMHEUER, 1995, 2007) y por matemáticos (e. g., HAREL, 2007; INGLIS; MEJÍA-RAMOS; SIMPSON, 2007).

Tal como se presentó anteriormente, el modelo de Toulmin juega un papel importante en estudios relacionados con la argumentación colectiva (WHITENACK; KNIPPING, 2002; KRUMMHEUER, 2015; REID; KNIPPING; CROSBY, 2011). Estos autores implementaron el modelo de Toulmin como una herramienta metodológica que facilitó el análisis de la naturaleza de la actividad y dialogo en clase de matemáticas. Sin embargo, la argumentación colectiva establecida en Krummheuer (1995) y Conner et al., (2014), en términos generales, como varias personas que trabajan en conjunto para establecer una aserción, en el mismo sentido, la argumentación colectiva puede ser también enmarcada como una acción donde participan grupos de personas en los debates de una manera matemática (CONNER et al., 2014).

Para introducir el concepto de refutación se expone, de forma breve, la definición en el sentido de Toulmin (2003), una refutación es local a un paso de un argumento y especifica excepciones a la aserción/conclusión. Esto significa que la refutación muestra los casos donde la aserción o conclusión no es soportada por su garantía. Además, Walton (2009) estableció que una refutación tiene como objetivo mostrar que el argumento que se dirige en contra es cuestionable, en otras palabras es una especie de réplica que muestra que el argumento es insostenible.

De la misma manera Reid, Knipping y Crosby (2011), y Reid (2002) reconocen las formas en que un argumento puede implicar una refutación: los datos del argumento pueden ser refutados, dejando la conclusión en duda. Continuando con la garantía del argumento, la cual puede ser refutada dejando de nuevo la conclusión en duda o la conclusión en sí misma puede ser refutada, lo que implica que, o bien los datos o la garantía, no son válidas, pero no aclaró cuál.

En esta sección se expone uno de los sustentos teóricos sobre el cual se fundamenta la presente investigación, el modelo argumentativo de Toulmin (2003). Este modelo propuesto por Toulmin es útil para esquematizar los argumentos expuestos por los estudiantes en estructuras semánticas, además de usarlo para analizar y comparar la organización de los argumentos entre las fases de crear y explorar las cadenas de razonamientos (e .g., deductivos, inductivo, por analogías y abducción). Este modelo tiene una estructura constituida por seis elementos: aserción, garantía, respaldo, evidencia, calificador modal y refutación (Ver figura 1).

La aserción es la tesis que sustenta el argumentador, la evidencia (E) es la información sobre la cual se fundamenta la aserción; la garantía (W) tiene el papel de justificar la conexión entre la evidencia y la aserción. La garantía cuenta con un respaldo (Re) que presenta una justificación general; el calificador modal (C) especifica la fuerza de la aserción; tales como certeramente, presumiblemente, probablemente, siempre y otros, expresando el grado de confianza en la tesis. La refutación (R) es caracterizada por presentar las excepciones de la aserción, aquellas condiciones bajo las cuales no se puede sostener la tesis del argumento (TOULMIN; RIKIE; JANIK, 1984).

Visto anteriormente en el modelo argumentativo de Toulmin, la garantía brinda la conexión entre la evidencia y la aserción, presentando soporte a la aserción o conclusión del argumentador. De este modo, la garantía cumple un rol importante en la estructura argumentativa, este elemento da origen a la clasificación de argumentos; ya sean formales o informales. Así, según Viholainen (2008) un argumento es formal si su garantía es puramente basada en los elementos del sistema axiomático formal de las matemáticas. En otras palabras, un argumento es formal si explícitamente muestra cómo la aserción sigue lógicamente las definiciones, axiomas y, posteriormente, teoremas probados desde la información dada.

Por otra parte, un argumento es informal si sus garantías son basadas en el uso de aserciones informales de conceptos o situaciones en las cuales un argumento está relacionado. En el mismo orden de ideas, por interpretaciones informales, en este estudio se entienden como interpretaciones físicas o visuales realizadas por los estudiantes frente actividades matemáticas propuestas, tales como fundamentarse en la representaciones graficas sin presentar ninguna garantía sustentada en propiedades, teoremas, fórmulas matemáticas (VIHOLAINEN, 2008).

Participaron en esta investigación veinte estudiantes (entre 11-12 años de edad) pertenecientes a un colegio del norte de Barranquilla, Atlántico (Colombia) inscritos en sexto año del nivel básico-secundaria. El papel del investigador fue participar de forma activa durante la aplicación de la actividad dentro del salón de clases y orientar a los estudiantes en la resolución de la tarea y propiciar la refutación de aserciones.

El desarrollo de la actividad consistió en dos momentos. Primero, los estudiantes resolvieron de forma individual y, posteriormente, el profesor¹ dio lugar para que los estudiantes comentaran sus respuestas en forma colectiva, con el propósito de generar argumentación y se diera oportunidades a refutaciones de las aserciones dadas por los estudiantes. Durante la aplicación de la actividad, la interacción entre estudiantes y profesor fue videograbada, la clase tuvo una duración de una hora reloj y los estudiantes implementaron material escolar como: marcadores y las actividades impresas.

La actividad que se implementó en la investigación fue validada con dos estudiantes de diferentes colegios pertenecientes al mismo nivel escolar (Figura 2).

Para llevar a cabo el análisis de la escena presentada, se realizó la transcripción del video en una tabla (ver anexo) que contiene: el número de la escena, nombre del hablante y dialogo. El análisis se fundamentó en los argumentos de los estudiantes reconstruidos con el modelo de Toulmin (2003), así mismo, se identificaron los elementos del núcleo de un argumento (evidencia, aserción, garantía) sustentado en investigaciones (e. g. WAGNER et al., 2014; KRUMMHEUER, 1995, 2007; WHITENACK; KNIPPING, 2002). Aparte de identificar el núcleo de los argumentos, se identificó la refutación de los estudiantes durante la clase y se agregó en la estructura argumentativa.

Seguidamente, los conceptos de la teoría argumentativa se contrastaron con los resultados obtenidos para identificar aspectos sobresalientes en la evidencia recolectada. Así mismo, la clasificación de los argumentos según sus garantías como lo expone (VIHOLAINEN, 2008) en argumentos formales o informales.

En esta investigación el análisis de la argumentación se llevó a cabo mediante la implementación del modelo argumentativo propuesto por Toulmin (2003). Sobre éste se realizó una serie de convenciones que facilita el análisis de la argumentación. En los argumentos se identificaron: evidencias, garantías, aserciones, y refutación (e. g., KRUMMHEUER, 1995, 2007, 2015; WHITENACK; KNIPPING, 2002; BIKNER-AHSBAHS; KNIPPING; 2015, REID; KNIPPING; CROSBY, 2011).

De igual manera, las convenciones realizadas en el modelo argumentativo de Toulmin (ver Figura 3) tienen que ver con representar: la Evidencia con un rectángulo, la Garantía con un ovalo, la Aserción con un rectángulo con esquinas curvas y, por último, la Refutación con un rombo. Dentro de cada figura geométrica se encuentra señalado el nombre del participante con negritas, y el texto transcrito del video.

Con base en la actividad propuesta, los estudiantes dieron a conocer sus respuestas: la primera respuesta fue por parte del estudiante Nicolás, quien realizó la aserción el área del triángulo verde es el que tiene mayor área (Figura 1.)

En el argumento presentado por Nicolás, la garantía se fundamentó en características del triángulo (i.e., medidas de la altura, base y número de cuadros) desde lo visual. Además, el estudiante realizó una comparación entre las medidas de la base y altura de los demás triángulos con el propósito de estimar una medida del área para cada uno, sin mencionar la relación existente entre éstas. Cabe resaltar que la garantía de este argumento se apoya desde rasgos visuales y no implementó un sustento matemático alguno, por consiguiente el argumento de Nicolás es un argumento de tipo informal.

Posteriormente de la presentación del argumento por parte de Nicolás, el estudiante Ángel respondió: Yo creo que el que tiene más área es el azul [triángulo azul]. Esta respuesta es la aserción en relación con la actividad propuesta. Así mismo, expuso su garantía basada en la cantidad de cuadros que contiene el triángulo, éste tiene mayor área que los demás triángulos, y soporta el hecho de que el triángulo azul tenga mayor área. Cabe resaltar que el argumento expuesto por este estudiante es de tipo informal, ya que no implementa formulas o teoremas matemáticos que sustenten el porqué de su aserción es verdadera (Figura 5).

Consecutivamente, el estudiante Guido estableció su aserción, el triángulo azúl debido a que tiene más cuadros y presenta su garantía Como cada cuadro da 2 cm, medio cuadro es 1 cm. La garantía es de tipo informal y fundamenta su argumento en el área de cada cuadro que contienen los triángulos, además implementó una unidad de área errada, ya que en la actividad se estableció como unidad cuadros de un centímetro cuadrado (ver Figura 6).

Luego de que los estudiantes comentaran sus respuestas, el estudiante Miguel emitió su aserción: el triángulo rojo tiene más área, y la garantía de su argumento se centra en contar los cuadros dentro del triángulo rojo, valido, pero no formal para el nivel escolar. El hecho de comparar la cantidad de cuadros que contiene el triángulo rojo con la cantidad de los demás triangulos dislumbra la manera de calcular el área de éstos. Ante esta aserción, se identifica la primera refutación en la clase, donde el estudiante Eduardo refutó la aserción de Miguel, y presentó su garantía con el mismo sentido del argumento de Miguel pero con datos adecuados que hacen alusión al conteo (Figura 7).

La garantía expuesta por el estudiante Eduardo especifica un dato que no tuvo en cuenta Miguel, éste propuso garantía adecuada, pero no la válida, para conectar los datos y la aserción del argumento, debido que, en la representación gráfica de la actividad matemática no todos los cuadros que rodean los lados del triángulo están divididos justamente por la mitad, garantía sustentada en lo visual, por ende, este argumento es catalogado como informal.

El estudiante Andrés manifestó su aserción; Yo digo que sería el triángulo verde y presentó en su garantía características visuales de los triángulos, además utiliza términos como; Yo digo que…, entonces para mí sería… los cuales manifiestan la ausencia de sustento matemático en la garantía y permite identificar que el argumento de este estudiante es de tipo informal.

De forma seguida, intervino un estudiante que refutó la aserción de Andrés y los demás compañeros Pues… voy a decir que: ¡está mal!, presentó la aserción en total que todos los triángulos nos dan la misma cantidad… Esta aserción se fundamenta en una garantía formal, debido a que identificó la medida de las bases y sus respectivas alturas, para luego recurrir la fórmula del área del triángulo. Se puede concluir que este argumento es válido (ver Figura 8).

A partir de la refutación realizada por el estudiante Daniel, se evidenció cómo los demás estudiantes, que habían dado respuestas distintas a esta última, cambiaron sus argumentos de acuerdo al argumento presentado por Daniel. Ángel, quien había establecido su argumento en (Figura 5), ahora presenta un argumento basado en las garantías expuestas por Daniel, este cambio de argumentos fue originado por la refutación realizada por el estudiante Daniel (Figura 9).

De igual forma, intervino Guido; presentó su nuevo argumento también basado en las garantías expuestas por Daniel, y concluyó que todos tienen la misma área (Figura 10).

Por último, Miguel manifestó que está de acuerdo con el argumento presentado por Daniel, cambiando su respuesta; en este caso, no hace explícito cual es su argumento, pero al parecer es totalmente lo mismo que expuso Daniel (Figura 11).

En este apartado, la refutación hace evidente la suficiencia de las garantías expuestas en los argumentos de los estudiantes (REID; KNIPPING; CROSBY, 2011). Particularmente, en el caso del argumento de Miguel y Eduardo (Figura 12), dado que el estudiante Eduardo refutó la aserción de Miguel permitió evidenciar la insuficiencia de la garantía expuesta por éste; debido a que no se corresponde la cantidad de cuadros establecidos por Miguel con la cantidad de cuadros de la figura, ésta una insuficiencia de la garantía evidenciada luego de que Eduardo refutara.