O conceito de proporcionalidade realizado como razão, cuja rotina denotada por a/b ou a:b, em que a é o antecedente e b o consequente, se pautou na relação entre partes. De modo que identificamos três tipos de relação: a multiplicativa (tipo mais comum), a aditiva e a comparativa. Apresentaremos cada uma nesta mesma ordem.

Consideremos, então, a relação multiplicativa sendo comunicada por meio da comparação entre as partes (A e B) que pode ser obtida na comparação de tantas partes de A para tantas partes de B. Analisemos um exemplo adaptado de Spinillo (2003): em uma jarra há 3 copos de suco de laranja e 1 de água e a razão de suco para água é de 3 para 1 (3:1). Ao fazer uma nova jarra, a relação proporcional seria: a cada 3 copos de suco de laranja adicionar 1 de água. Ao fazer uma, duas ou mais jarras, há uma metarregra que descreve as ações dos participantes da comunicação, a razão 3:1, que será dobrada se forem feitas duas jarras, e assim por diante. Nesse exemplo, a metarregra foi para cada 3 copos de suco de laranja, acrescentar 1 de água, ou para cada 6 copos de suco de laranja, acrescentar 2 de água.

Outro exemplo, de relação entre partes foi identificado no estudo desenvolvido por Abrahamson, Lee, Negrete e Gutiérrez (2014), que utilizaram um programa de computação, chamado “The Mathematical Imagery Trainer for Proportion” (MIT-P), para que o estudante identificasse a constante de proporcionalidade ou invariância. Por meio do MIT-P, o antecedente (comprimento de uma barra) era relacionado com o consequente (comprimento da outra barra) e, como resultado, encontrava-se a constante de proporcionalidade ou invariância. A ação de estabelecer uma relação (que pode ser o dobro, a quarta parte) entre os comprimentos das barras (antecedente e consequente) descreveu a metarregra, que podia ser notada pelo controle do movimento das mãos frente à tela de um computador.

A proporcionalidade realizada como razão permitiu que a identificássemos como uma classe de razões equivalentes. Consideremos o exemplo: 5/2 = 15/6 = 20/8 = 30/12… Compreendemos essas razões como sendo razões equivalentes (NCTM, 2010), ou que existe equivalência entre as razões (SPINILLO, 2003). Ao dividirmos o antecedente pelo consequente, encontramos como resultado 2,5, isto é, a constante entre duas partes ou entre quantidades (a invariância), responsável pela origem das razões, formando uma classe de equivalência. Conforme Spinillo (2003, p. 39), “ao estabelecer a equivalência, é necessário entender que as quantidades que compõem uma razão covariam (isto é, alteram-se de forma conjunta) de tal forma que as relações entre elas permanecem invariantes […]”.

Outra forma de realizar proporcionalidade, fundamentada na razão, foi por meio da observação da relação multiplicativa entre duas quantidades de naturezas distintas, denominada taxa (LAMON, 2006; BEN-CHAIM; KERET; ILANY, 2007; 2012; OLIVEIRA; CYRINO, 2014). A densidade é um exemplo disso, pois representa o número de itens ou de pessoas dividido pela área ou volume (BEN-CHAIM; ILANY; KERET, 2008).

Orril e Brown (2012) desenvolveram uma estratégia chamada Dobro do Número de Linhas (Double Number Line – DNL), que contribui para a compreensão das relações proporcionais existentes entre quantidades de naturezas diferentes, a taxa. Para ilustrar tal estratégia, citaremos um dos exemplos utilizados pelos autores, conforme mostra a Figura 1.

Para encontrar o valor em dólares de uma certa quantidade de combustível, é preciso relacionar as duas linhas simultaneamente. Consideremos a divisão das duas linhas em cinco partes iguais; assim, é possível relacionar o preço com a quantidade de combustível e descobrir o valor a ser pago, por um litro, por exemplo. O DNL possibilita demarcar as partes correspondentes porque existe uma constante de proporcionalidade, que é invariante. As quantidades de preço e de combustível covariam de tal forma que as relações entre si (a invariância) permanecem. Dividir as linhas simultaneamente para encontrar os valores correspondentes foi o que possibilitou descrever a estrutura da ação, portanto, a metarregra.

Focando grandezas de mesma natureza, a proporcionalidade, fundamentada pela razão, pode ser realizada como escala. Se considerarmos E=D/R, onde D é a medida do tamanho do desenho do objeto e R é a medida do tamanho real do objeto, com D e R nas mesmas unidades, E representa a invariância entre as quantidades (GUERRA; HERNÁNDEZ, 2014) e quantas vezes o objeto foi aumentado ou diminuído em relação ao tamanho original. Conforme Ben-Chaim, Keret e Ilany (2012, p. 25), “escala (na medição) pode ser definida como a razão entre uma unidade de medida de um mapa e a real distância (usando a mesma unidade de medição)”. Em outras palavras, a expressão E=D/R pode ser entendida como uma metarregra, pois descreve a ação do participante na comunicação.

Na escala, a invariância também é conhecida por fator-escala (LAMON, 2006; BEN-CHAIM; KERET; ILANY, 2007) ou operador (GUERRA; HERNÁNDEZ, 2014). Consideremos um dos exemplos utilizados por Ben-Chaim, Ilany e Keret (2008), ao proporem redução ou ampliação de figuras a partir de uma figura modelo. Na atividade os estudantes são convidados a decidir qual é e a medir o fator-escala aplicado em cada uma, tanto para o comprimento e altura quanto para a área. Quando o fator-escala utilizado em um dos lados não é o mesmo para toda a figura, acontece uma deformidade. O fator-escala ou operador atua em todas as dimensões simultaneamente para manter uma proporção entre as figuras (LAMON, 2006). Ele reduz ou amplia a figura por meio da multiplicação ou divisão (GUERRA; HERNÁNDEZ, 2014); portanto, pode ser compreendido como uma metarregra, pois descreve a estrutura da ação, de ampliar ou de reduzir uma figura, por exemplo.

Ainda nos referindo à razão, Silva, Pietropaolo e Campos (2013), apresentaram uma situação cujas razões têm como antecedentes o comprimento da diagonal (d) de quadrados (uma parte) e como consequentes os respectivos comprimentos dos lados (l) (outra parte). Ao dividir o antecedente pelo consequente (d/l), o resultado em cada uma delas será o mesmo, 2 , independentemente do valor do comprimento, ou seja, 2 é a razão constante (ou invariância) entre essas duas partes. A metarregra que estruturou a ação descrita pela divisão do antecedente pelo consequente se constituiu, ao mesmo tempo, em uma realização, pois comunicou o conceito de proporcionalidade. Esse último exemplo sinaliza que nem toda razão pode ser expressa por números racionais (SILVA; PIETROPAOLO; CAMPOS, 2013), o que vincula, por meio da proporcionalidade, a apresentação dos números irracionais.

Onuchic e Allevato (2008) alertaram que não se transpusessem as propriedades dos números racionais, como a soma de frações, para a soma de razões, quando realizadas como vetores, por exemplo, e citam 3 5 + 2 , 4 5 , 6 = 5 , 4 10 , 6 . Nesse caso, foi efetuada “[…] a adição das razões, consideradas como os vetores (3;5) e (2,4; 5,6), cuja resultante, obtida pela regra do paralelogramo, é a razão (ou vetor) (5,4; 10,6)” (ONUCHIC; ALLEVATO, 2008, p. 95). O vetor (3;5) refere-se à quantidade de álcool e água misturados em um recipiente de 8 litros, na razão de 3 para 5. O vetor seguinte (2,4; 5,6) diz respeito à mistura de álcool para água, no segundo recipiente também de 8 litros, na razão de 3 para 7. A razão entre álcool e água, na mistura resultante, é dada, então, pela razão ou vetor (5,4;10,6), que pode ser obtida pela tangente do ângulo do vetor (5,4;10,6) com o eixo x e, visualizada no gráfico pela regra do paralelogramo, conforme a Figura 2. Razões podem ser realizadas como vetores binários quando existir uma relação entre as partes que compõem a razão ou o vetor (BOTTA, 1997). Essa afirmação está fundamentada na regra de realização chamada Lei de equivalência, que segundo Botta (1997, p. 82) significa: (x,y) ≡ (u,v) ⇔ (x:y) = (u:v), em que o registro (x,y) ou (u,v) são usados como vetores.

A forma de operacionalizar a junção de razões quando realizadas como vetores binários (metarregra) foi sustentada pela Lei de equivalência (regra de realização), que validou a estrutura das ações do participante ao comunicar o conceito de proporcionalidade como vetor binário.

Com base nas pesquisas supracitadas, os exemplos narram a razão, considerando-se os números racionais ou irracionais. Contudo, Abdounur (2012) exemplificou a proporcionalidade sendo realizada como razão, por meio da relação entre intervalos musicais ou entre sons (comprimento de cordas), e não entre números. Para efeito de ilustração, citaremos um dos exemplos apresentados pelo pesquisador, que utilizou um instrumento como o monocórdio para sua resolução, o que indica a natureza musical do procedimento, e não aritmética: “Seja L o comprimento correspondente a uma nota dada. Qual o comprimento necessário para elevar tal nota de uma oitava e uma quinta, decrescendo-a, em seguida, de 2 quartas?” (ABDOUNUR, 2012, p. 394).

De acordo com Abdounur (2012), “oitava”, “quinta” e “quarta” referem-se às razões 1:2; 2:3 e 3:4, respectivamente, e são notas musicais. Esse exemplo pode ser resolvido “encontrando o intervalo musical solicitado e verificando a composição de razões que o gera ou encontrando as razões que, quando compostas, fornecem o intervalo dado” (ABDOUNUR, 2012, p. 394).

Os resultados das pesquisas, apresentados neste cenário, configuraram a rotina como razão, expressa por a/b ou a:b. A rotina foi estruturada por um conjunto de metarregras que descreveram a relação entre partes de três formas: relação aditiva (soma de vetores), relação comparativa (intervalos musicais) e relação multiplicativa (quando realizada como equivalência de razões, taxa, escala, divisão).

Há diferentes modos de realizar proporcionalidade como igualdade entre razões. Uma delas foi narrada por Imenes e Lellis (2005, p. 14, destaque nosso):

A expressão a₁/a₂ = b₁/b₂ pode ser considerada a metarregra que os participantes da comunicação utilizaram, validada pela proporção que existe entre as razões. Outro exemplo para esse mesmo tipo de realização foi apresentado por Rivas, Godino e Castro (2012, p. 568, 578) ao analisar uma das resoluções feitas por uma futura professora, conforme Figura 3.

A resolução foi pautada (validada) pela proporção, que significa: “relação de igualdade entre as razões (botões/clips do senhor baixo, botões/clips do senhor alto) que se comparam” (RIVAS; GODINO; CASTRO, 2012, p. 578). Por isso, a estudante escreveu: “A proporção há de ser a mesma 4/6 = 6/x”. A aluna objetivava encontrar o 4° valor, levando-se em consideração a relação proporcional ou a invariância entre as razões. A expressão 4/6 = 6/x pode ser considerada a metarregra que a participante da comunicação utilizou.

Nos dois exemplos citados há um estabelecimento de relações entre as grandezas por meio da proporção. Contudo, pesquisadores têm criticado o emprego de operações mecânicas em vez do estabelecimento de relações (VILLARREAL; ESTELEY; ALAGIA, 2005; ONUCHIC; ALLEVATO, 2008; LIMA; MONTEIRO, 2009; COSTA; ALLEVATO, 2012). Identificamos, na comunicação do participante, ausência de relações entre grandezas quando a proporcionalidade foi realizada como regra de três - produto cruzado, sobre o qual se conhecem três informações e pretende-se descobrir a quarta (SCARTAZZINI; SILVA; CONSUL, 2005; COSTA; ALLEVATO, 2012; RIVAS; GODINO; CASTRO, 2012).

Costa e Allevato (2012) analisaram um problema (Figura 4), muito comum em livros didáticos, fundamentado na proporção como igualdade entre razões. No entanto, os futuros professores apenas aplicaram a regra de três em suas resoluções, sem comunicar por que motivo tal procedimento poderia ser utilizado, ou seja, sem estabelecer relações entre as grandezas envolvidas.

De acordo com as pesquisadoras (COSTA; ALLEVATO, 2012), nenhum dos participantes explicou o porquê poderiam recorrer à regra de três, tampouco justificou o uso do Teorema de Tales para a resolução do problema.

O nome Teorema de Tales surgiu no Brasil na metade do século XX, nos livros-textos referentes ao movimento da matemática moderna (PEREIRA, 2005). Uma das formas de enunciá-lo é: “Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais, então as medidas dos segmentos correspondentes que estão sobre a reta são diretamente proporcionais” (PEREIRA, 2005, p. 28). Aplicando o teorema⁴ à situação descrita na Figura 4, consideraremos as retas transversais como representação das ruas A e B, e as retas paralelas como representação das retas perpendiculares à Rua A, dividindo os lotes. Então, pelo teorema, os segmentos correspondentes que estão sobre a reta (por exemplo, 28 e x; 20 e 25) são diretamente proporcionais. Por isso, a resolução mostrada acima é verdadeira e a regra de três pode ser aplicada, pois foi o que descreveu a estrutura da ação do participante na comunicação, sustentada pelo teorema.

O teorema de Tales pode ser interpretado como uma regra de realização, pois valida o uso da metarregra a1/a2 = b1/b2 para comunicar o conceito de proporcionalidade, quando realizado como igualdade entre duas razões, desde que haja uma proporção entre as razões. Essa metarregra foi comunicada como regra de três e como porcentagem.

Para ilustrar a porcentagem como realização do conceito de proporcionalidade, vamos recorrer a um exemplo utilizado por Imenes e Lellis (2005, p. 14): “Para obter 20% de uma quantia Q seria necessário encontrar o valor de x na proporção: x Q = 20 % 100 % ”. Podemos igualar as razões para então encontrar o valor desconhecido porque grandezas variam na mesma razão, ou seja, para ambas as razões há uma invariância entre si.

Neste cenário, a rotina que caracterizou proporcionalidade como igualdade entre razões foi descrita pela metarregra a₁/a₂ = b₁/b₂, realizada como regra de três e porcentagem. Referir-se a proporcionalidade, como igualdade entre razões, foi criticada por autores como Ávila (1986) e Imenes e Lellis (2005), que atribuíram e reconheceram apenas um valor histórico ao modo de resolver o problema da incomensurabilidade. Com a formalização dos números reais, Imenes e Lellis (2005) sinalizaram uma abordagem alternativa para a proporcionalidade, não evidenciada pela igualdade de razões, o que nos mobilizou para o terceiro cenário.

Para Imenes e Lellis (2005), a essência da proporcionalidade está nas relações multiplicativas, caracterizada por:

Essa narrativa é compreendida como uma metarregra, pois descreve a estrutura das ações discursivas comunicada pelo participante quando o conceito de proporcionalidade é realizado como relações multiplicativas. Para exemplificá-la, consideremos o diagrama apresentado, conforme mostra a Figura 5.

Vinculemos proporcionalidade realizada como relações multiplicativas a uma função linear, do tipo f: ℝ⁺ → ℝ⁺ dada por f(x) = ax, com a ∈ ℝ⁺. Escrevamos como função linear as relações multiplicativas apresentadas no diagrama, conforme a Figura 5: y = 2,5 x, onde x ∈ A e y ∈ B, sendo A e B conjuntos dos números reais positivos. Considere o conjunto A como o tempo gasto (horas) à medida que se percorre uma distância (km), conforme o conjunto B. É possível afirmar que em uma hora é possível percorrer 2,5km e que, se dobrarmos esse tempo, dobraremos também a distância, e assim por diante. A relação chamada “covariação” ocorre entre os valores de forma conjunta, e a invariância pode ser narrada como coeficiente angular da função, pois esta consiste na “taxa de variação de uma quantidade relativa à variação da outra quantidade […]” (NCTM, 2010, p. 53). Neste exemplo, a taxa de variação do deslocamento em função do tempo pode ser realizada como sendo 2,5 = y/x.

A taxa de variação é outra forma de vincular proporcionalidade à função linear. Taşar (2010) investigou a aceleração de um objeto aplicada à segunda lei de Newton: F = m.a (força [F] é igual a massa [m] vezes aceleração [a]), considerando o movimento em uma linha horizontal. Se tomamos a massa do objeto como constante e a aceleração como variável, logo é possível notar uma relação de proporcionalidade direta entre a aceleração e a força que age sobre o objeto. No caso da função F = m.a, a declividade é a taxa de variação da força em relação à aceleração que, ao ser calculada em quaisquer dois pontos, terá como resultado m. Dito de outra forma, F = m.a é a descrição do modelo de função linear f(x) = a.x(onde a é um número e x, a variável).

O fator-escala associado à ampliação e redução de figuras, vinculou-se à função linear. Uma das atividades propostas por Ben-Chaim, Keret e Ilany (2007; 2012) consistiu em, a partir de uma figura, simular seu tamanho ampliado ou reduzido em espelhos. A metarregra que permitiu essa produção foi descrita pelo fator-escala expresso na função linear, do tipo f: ℝ⁺ → ℝ⁺, com f(x) = a.x, sendo a o fator de aumento/redução para o comprimento ou largura, x o comprimento original e f(x) a largura final. Esse exemplo ilustra o conceito de proporcionalidade realizado como escala, sustentado pelo modelo de uma função linear.

A porcentagem é outro exemplo que vincula a proporcionalidade à função linear. Segundo Imenes e Lellis (2005), se considerarmos a porcentagem como um operador, é possível modelar a situação como uma função linear. Para efeito de ilustração, vamos calcular 23 por cento de determinada quantia. Para isso, transforme a porcentagem em número decimal e então calcule 0,23 da quantia. Essa metarregra descreve a ação (como fazer) do participante da comunicação, ao mesmo tempo que pode ser narrada como uma regra de realização, já que é possível modelar a situação por meio de uma função linear do tipo f: ℚ⁺ → ℚ⁺ dada por f (x) = 0,23.x, sendo x a quantia e f(x), vinte e três centésimos da quantia.

Diante do exposto, o conceito de proporcionalidade direta foi realizado conforme metarregras que comunicaram relações multiplicativas, taxa de variação, fator-escala e porcentagem, quando fundamentadas no modelo de uma função linear. A constituição de vínculos se deu à medida que a invariância pode ser reconhecida como coeficiente angular, taxa de variação, declividade ou fator-escala. As metarregras e os vínculos identificados neste cenário, caracterizaram a rotina como função linear (VILLARREAL; ESTELEY; ALAGIA, 2005; IMENES; LELLIS, 2005).