O artigo apresenta, um a um, os cinco manuscritos que compõem o que se pode chamar da
This paper aims to present the five manuscripts of the so-called Peirce’s
Não foram poucos os textos publicados, em vida, por Charles Sanders Peirce (1839-1914), mas, certamente, são em número bem maior os manuscritos inéditos deixados por ele, como anotações, registros, diários, cartas, listas, textos completos e textos inacabados. Edward C. Moore
Apenas em meados da década de 1930, Charles Hartshorne, juntamente com Paul Weiss, conseguiu editar seis volumes com parte desses manuscritos, então publicados pela
Já havia passado mais de uma década da publicação inicial dos
Além de ter publicado livros sobre o assunto, havia traduzido originais de Descartes e de Felix Klein para o público americano. Até onde se sabe, esse parece ter sido o primeiro contato de Carolyn Eisele com os estudos em História da Matemática, tema que a acompanharia durante toda sua carreira. Eisele especializou-se em Matemática e Educação, com ênfase em História da Matemática. Sem a possibilidade de doutorar-se pela
Após a Segunda Guerra Mundial, quando já contava com uma experiência de 25 anos como professora universitária, Eisele foi convidada a lecionar a disciplina de História da Matemática. Visando preparar-se para essa função, valeu-se de uma licença sabática de um semestre para buscar fontes específicas na
Os comentários desse autor, aparentemente, a impressionaram de uma tal maneira que ela decidiu escrever sobre essa sua descoberta, julgando que Peirce, autor das anotações, mereceria pesquisa mais detalhada. Seu artigo foi bastante bem recebido, do que resultou um convite, feito a ela pelo editor científico da
Em 1973, Max Fisch – que, com a ajuda de estudiosos como Carolyn Eisele, finalmente conseguiu impor uma ordem aos Manuscritos, de modo que eles pudessem ser efetivamente usados e citados pelos pesquisadores – apresenta a proposta de uma edição cronológica dos manuscritos peirceanos no que chamou de
O Projeto intencionava criar uma edição crítica definitiva, organizando cronologicamente os escritos de Peirce. Coleções como os
Em 1976, pela primeira vez, os manuscritos matemáticos de Peirce, do final do século XIX, foram tornados públicos por Carolyn Eisele, numa compilação de quatro volumes que, ainda hoje, é fonte obrigatória sobre a produção matemática de Peirce. O
Para a classificação dos manuscritos (MS), Eisele segue a numeração dos textos originais da Coleção Peirceana da
Dessa sistematização de Eisele provêm os textos que usamos como base para a tradução dos Manuscritos da Aritmética Elementar de Peirce que este artigo, em linhas gerais, tem a intenção de discutir. Uma hermenêutica completa dos manuscritos é um exercício impossível de realizar em um único artigo, e disso decorreu nossa opção por, além da publicação da tradução integral (
Neste segundo artigo, tratamos mais especificamente da tradução dos manuscritos para a língua portuguesa, e apresentamos, com maior detalhamento, cada um dos textos da Aritmética Elementar, ainda que não seja possível dar conta, aqui, de uma hermenêutica mais detalhada deles. Ambos os artigos, obviamente, interagem a todo momento, tanto entre si quanto com a íntegra da tradução, mas nem mesmo o conjunto dessas três produções resulta no que chamaríamos de uma hermenêutica, ainda que, segundo cremos, em seu conjunto eles sejam um esboço bem alinhavado para isso.
No prefácio do
Em duas das introduções à sua obra – a Introdução Geral e a Introdução ao Primeiro Volume –, Eisele diz ter tentado, apenas, apresentar de modo claro, sem avaliar criticamente, a produção matemática de Peirce. Ela afirma que, quando preparando os materiais para a publicação, tentou restringir ao máximo tanto o número de notas de rodapé – julgando que a leitura do texto traria as respostas do próprio Peirce para muitas questões – quanto as interferências acerca da pontuação e da ortografia nos Manuscritos, pois ele atentava a alguns
Deve-se considerar, entretanto, que Eisele tinha disponíveis originais em sua própria lingua, alguns datilografados, outros escritos à mão, e a eles deu uma forma organizada, impressa e tão homogênea em sua apresentação quanto foi a ela possivel. Assim, sendo nossa intenção estudar esses manuscritos, pensamos em começar esse estudo por uma tradução para a lingua portuguesa
Concordando com
Como recomendado pela própria Eisele, não atualizamos informações que pudessem ter valor histórico (como informações relativas a moedas e à geografia, por exemplo) e incorporamos Notas do Revisor, alertando os leitores quando alterações mais distantes das traduções diretas do original foram necessárias. Dadas algumas particularidades da lingua inglesa e alguns jogos que Peirce faz entre contagem e rimas infantis, as adaptações mais livres foram muito frequentes.
Além disso, por tratar-se de um texto de Matemática, julgamos necessário discutir certos conceitos especificos, visando à divulgação da versão em lingua portuguesa para um público mais amplo que aquele familiarizado com a Matemática formal, já que essa Aritmética, embora supostamente elementar, vem permeada de conceitos mais avançados. Algumas explicações, que anexamos em forma de notas de rodapé, estão relacionadas à explicação dos motivos que nos levaram a escolher, em alguns casos, entre uma determinada palavra ou outra, a explicações de fatos ou termos utilizados no texto por Peirce – como no caso das unidades de medidas metro e grama, usadas nos Manuscritos 168 e 167 – e às explanações históricas que elucidam termos e nomes próprios usados no texto pelo autor. Em momento algum, porém, alteramos propositalmente o sentido das frases, tentando significar ou explicar mais do que o autor pareceu, segundo nossa compreensão, ter pretendido.
Para
[…] traduzir quer dizer entender o sistema interno de uma língua, a estrutura de um texto dado nessa língua e construir um duplo do sistema textual que,
Podemos, então, perceber que
Para
[…] que uma tradução não diz respeito apenas a uma passagem entre duas linguas, mas entre duas culturas, ou duas enciclopédias. Um tradutor não deve levar em conta somente as regras estritamente linguisticas, mas também os elementos culturais, no sentido mais amplo do termo.
Com isso, temos que a tradução não depende unicamente do contexto linguistico, mas, também, de algo que está fora do texto, o que
Para
Não raras vezes é preciso que o tradutor se posicione como negociador num debate em que nem sempre está previsto o assentimento explicito das partes, uma vez que o tradutor às vezes negocia com um autor já falecido ou com um editor não especializado. A questão central é em que medida e de quais coisas se pode abrir mão nesse processo em que se renuncia a alguma coisa para obter outra, de modo que, ao final, as partes experimentem uma sensação razoável de satisfação, já que não se pode ter tudo. O tradutor deve estar atento às várias nuanças presentes em um texto. Uma delas exige estar próximo ao significado explícito em termos de conteúdo, uma outra está relacionada às coisas que os autores disseram implicitamente, ou seja, nas entrelinhas, e, finalmente, deve-se cuidar da forma do texto, o que faz com que a tradução de poesia seja um desafio ainda maior que a tradução de prosa.
No caso da Aritmética Elementar, há exemplos que ilustram bem algumas dessas dificuldades. No Manuscrito 189, Peirce vale-se de uma rima com a intenção de ancorar o ensino de contagem até treze. Ele mobiliza brincadeiras conhecidas das crianças americanas – algumas delas ainda familiares às crianças do presente, outras já ultrapassadas – para fazer as contagens que ele tinha em mente. As rimas não são conhecidas por nós, brasileiros, e a tradução palavra por palavra, ver-se-á, era impossível, mas a intenção de utilizar as rimas como recurso para a contagem ou uma primeira aproximação com os números, obviamente deveria ser mantida.
Tínhamos, então, duas opções: ou reescrevíamos as rimas, substituindo-as por outras, ou as mantínhamos como estavam, sem traduzi-las. Optamos por fazer uma reelaboração, que visou preservar a forma e o ritmo das frases, contribuindo para manter as intenções de Peirce, ainda que fugindo da literalidade, uma vez que nos afastamos do que o texto dizia em língua inglesa. Ao invés das rimas utilizadas por Peirce, escolhemos rimas conhecidas das crianças brasileiras
A rima original
Foi, então, substituída por
Não se trata, apenas, de usar algo do universo infantil como estratégia para o ensino de Matemática, mas de fundamentar todo o processo de ensino de contagem num processo de associação um a um, entre coisas e sons, coisas e números, números e sons. Há, também – e uma nota incluida por Eisele é essencial para compreendermos isso – um certo apelo a elementos culturais nesse modo de usar as rimas. Segundo Peirce, em carta de 1904 a W. Newell, as rimas americanas tinham, indefectivelmente, treze silabas em seu total; doze sempre foi a quantidade de pessoas na composição dos júris populares; desde sempre a ideia de azar esteve atribuida ao número treze; e a depender das palavras usadas nas rimas, elas poderiam ser sóbrias, alegres, solenes ou trágicas. Desses ingredientes resulta que as rimas poderiam ter sido usadas para selecionar juris populares, e, ainda que essa fosse uma teoria sem comprovação alguma – segundo o próprio Peirce reconhece – é isso que ele ensina às crianças quando inicialmente apresenta, na Lição II do MS 189, números como palavras de contagem, vinculando essa apresentação às tradições (“Essa era a tradição. Você sabe o que é tradição? É qualquer coisa que as pessoas mais velhas seguem ensinando para as pessoas mais jovens por tanto tempo que até perdem a conta” (
Uma outra reelaboração que fizemos no texto de Peirce foi de natureza, digamos, mais estética, quando o autor lista uma sequência de objetos de contagem, ou objetos que podem ser contados e que, no original, eram palavras iniciadas pela letra B. Pareceu-nos mais adequado, em português, usar palavras iniciadas pela letra C, em substituição. Assim, a sentença em inglês,
One of the things that we have to do very often is to find out how many things of the same kind there are in some box or bag, or basket or barrel or bank or basin or bucket, or bureau, or bottle, or bowl, or bunker, or bird’s nest, or buffet, or boiler, or barrow, or barn-bay, or book, or be it what it may, or to find out how many times anything happens, or any other kind of how many.
tornou-se:
Algo que precisamos fazer com frequência é descobrir quantas coisas do mesmo tipo há em uma caixa, capela ou caixote, numa carroça, caldeira ou caldeirão, numa colmeia ou coleção, numa colcha, casa ou casebre, ou castelo, colchão ou candelabro, numa cesta ou cidade, num celeiro ou num circo, ou seja lá o que for, ou descobrir quantas vezes alguma coisa acontece, ou qualquer outro tipo de quantos.
Em termos de fidelidade,
Segundo Eisele, o próprio Peirce afirma em uma de suas cartas que esses Manuscritos não tratam propriamente da Aritmética, mas do que poderiamos chamar
Para Peirce, o interessante seria encontrar um titulo que estivesse de acordo com o velho e bom estilo elisabetano (
Algumas das referências de Peirce para a elaboração dos Manuscritos são apontadas por ele próprio ou por seus biógrafos. A influência do pai, Benjamin Peirce
Meu pai, Professor Benjamin Peirce, um célebre matemático, de modo muito peculiar, ensinou-me aritmética segundo o mesmo método pelo qual ele, com muito sucesso, aprendeu essa arte, valendo-se dos melhoramentos que sua experiência lhe sugeriu. Os estudos de psicologia moderna permitiram que eu aperfeiçoasse ainda mais esse sistema, e após ter certeza das vantagens desse processo, eu, aqui, ofereço-o de uma forma prática aos professores de nossa comunidade.
Também Thomas Fiske
Segundo Eisele, com a vinculação à Sociedade veio a influência de Felix Klein quanto às diretrizes para os cursos de Matemática e ao ensino de Matemática nos Estados Unidos. Eisele conta que Peirce era um bom conhecedor da filosofia de Klein, e que existem evidências de Klein por todos os Manuscritos de Peirce (
Tanto quanto ocorreu no Brasil, onde a influência francesa nos livros didáticos escolares foi determinante para o padrão desses materiais e para a própria concepção de ensino e escola, o modelo francês era quase hegemônico na Educação americana nos tempos de Peirce, tendo Legendre
Os livros didáticos sobre Matemática Elementar, nos Estados Unidos, até os tempos em que Charles Sanders Peirce se envolveu com o assunto, refletiam pouco o que ocorria nesse momento do século XIX, quando o pensamento matemático e os modelos de ensino de Matemática passavam por alterações radicais, sendo objetos de inúmeras discussões e experiências.
No entanto, às portas do século XX, a necessidade de uma revisão curricular da Matemática escolar em todo o mundo tornou-se aparente, e medidas como a criação de uma comissão dirigida por Felix Klein foram, então, tomadas no Congresso Internacional de Matemática, em Roma, no ano de 1908, intensificando a implementação de novas ideias. Peirce, segundo Eisele, antecipou essa revisão na elaboração dos seus próprios livros didáticos. O desenvolvimento lógico do assunto, seu simbolismo, sua inventividade, as nomenclaturas cuidadosas – refletindo seu trabalho como linguista e dicionarista –, sua profunda apreciação da estrutura topológica nos níveis mais básicos de ensino
Resta-nos, aqui, portanto, apresentar, mais detalhadamente, cada um dos manuscritos de Aritmética Elementar, para que o leitor tenha outros elementos para concordar – ou não – com essas afirmações sobre a criatividade desses livros nunca publicados.
O MS 189, que tem como título
Um aviso inicial do autor indica que não é preciso que as crianças estejam alfabetizadas para usar o material, ainda que, alfabetizadas ou não, todas devam ter uma cópia em mãos. A primeira lição se inicia nos moldes das historietas infantis (Era uma vez, há muitos e muitos anos…) cujas personagens são Bárbara, Lydia e Benjamin (indicado por seus diminutivos Benjy, Benjie ou Ben), com uma rapidíssima aparição de um Tio Charles. Lydia, Benjamin e Charles são nomes próprios da família de Peirce, enquanto Barbara talvez seja uma referência ao conhecido silogismo. Cartas ou cartões numerados, que devem ser mostrados em sincronia com objetos apresentados pelo professor, são os materiais básicos para toda a lição e, mais, são recursos presentes em todos os manuscritos que compõem a Aritmética Elementar.
A primeira lição é curta, trazendo apenas uma apresentação das personagens que será melhor desenvolvida na segunda versão do manuscrito. Já de início percebe-se, também, o recurso às rimas infantis que foi mobilizado em vários outros momentos, ao longo dos manuscritos. Números, cartões numerados, sílabas, rimas, frases ritmadas são recursos de contagem ou, segundo Peirce, são (ou operam como)
A segunda versão do manuscrito é quatro vezes maior que a primeira. Mais detalhada, traz exemplos e subtópicos. A primeira lição, nessa segunda versão, inicia-se com historieta de mesma natureza da já apresentada na primeira versão, mas há, nela, elementos inusitados para uma casa que se situa na floresta: há, por exemplo, um poço de gás natural e um sistema de tubos que abastece a casa com aquecimento e eletricidade. Há destaque para uma roda d’água e suas funções. Esses elementos são tributários do interesse e do envolvimento de Peirce com estudos relacionados às modernas tecnologias existentes à época, em boa parte relativos aos trabalhos que, além de apreciar, ele sistematicamente ou desenvolvia ou conhecia o desenvolvimento dado o contato próximo com pesquisadores e instituições voltadas a pesquisas dessa natureza como, por exemplo, a
Jogos de codificação e sistemas de localização fazem parte das aulas que Lydia dá às crianças (Barbara e Benjie). Tais jogos estão, no inicio dessa versão do manuscrito, ligados à relação biunivoca entre as coisas e as silabas ritmadas das rimas infantis, assim como ocorria – ainda que com menor ênfase – na primeira versão do manuscrito. Tanto quanto na primeira versão, porém, a Lição I é brevissima e a historieta que abre a Lição II muito rapidamente cede lugar ao tópico Multiplicação, cujo desenvolvimento, ainda que se apresente na forma de diálogos entre Lydia e as crianças, despreza flagrantemente as historietas e rimas e impõe um movimento, digamos, mais clássico, mais sisudo, mais técnico, próprio das aulas de matemática usuais e tradicionais. Recitada a tabuada (0 vez 1 é zero; 1 vez 2 é 2; duas vezes 3 é 6 etc), a multiplicação é feita usando o processo dos quartos de quadrado que, sabemos, é atribuido aos babilônicos. Ainda que nada seja comentado sobre isso, a técnica consiste em multiplicar x por y usando os quartos de quadrado de x + y e x – y, aplicando a igualdade
É importante reiterar, nessa análise do manuscrito, que nada acerca disso (o que é um quarto de quadrado, quais suas origens, porque a multiplicação pode ser feita a partir dos quartos de quadrado, como se dá a multiplicação por esse método etc.) é discutido no manuscrito, do que talvez se possa afirmar ou que a técnica era bem conhecida e bastante usada ou que em revisões posteriores do manuscrito (que, aparentemente, não chegaram a ser feitas pelo autor) essa lacuna seria notada e preenchida. No texto indica-se, apenas: “Lembrem agora do quarto do quadrado: o quarto do quadrado de 0 é 0 vez 0, ou 0 / O quarto do quadrado de 1 é 0 vez 1, ou 0 / … O quarto do quadrado de 17 é 8 vezes 9, ou 72 / O quarto do quadrado de 18 é 9 vezes 9, ou 81” (
A única discussão ocorre pela exemplificação, ainda que, segundo nosso ponto de vista, essa exemplificação seja inadequada, já que é extremamente cifrada e implica conhecimentos matemáticos, ou pré-requisitos, consideráveis. Só depois de apresentar, em dezoito linhas consecutivas os quartos de quadrado de 1 a 18, como referenciado acima, o autor afirma: “Se você procura o produto de 6 e 7, você deve adicionar os fatores, que dá 13, e subtrair o menor do maior, que dá 1. Então você subtrai o quarto do quadrado de 1, ou zero, do quarto do quadrado de 13, ou 42, e este será o produto”, (
Pode-se aventar, portanto, que Peirce tinha em mente públicos distintos ao escrever sua Aritmética Elementar: ora ele dialogava com crianças, ora se esquecia totalmente delas e se embrenhava em cálculos e apresentações estéreis e impróprias a elas, pressupondo um leitor mais especializado que aqueles em fase de alfabetização matemática aos quais, em princípio, a obra se dirigiria. Pode-se aventar, também, que essas estratégias mobilizadas por Peirce estavam plasmadas num completo desconhecimento da perspectiva da criança – ainda que ele afirme que seu texto foi elaborado a partir do estudo das teorias mais atualizadas em Psicologia e Pedagogia – e de seus modos de aprender, já que a familiaridade do autor com escolas
A descrição de algoritmos sem justificativa alguma é uma constante em todos os manuscritos. Tratando-se, entretanto, de manuscritos, não se pode afirmar se essas justificativas seriam ou não incluídas posteriormente, quando da redação final do texto. Os problemas financeiros que acompanharam Peirce por toda sua vida adulta, aliados à sua arrogância acadêmica e à sua noção bastante flexível quanto aos modos de equilibrar suas contas, entretanto, nos permitem considerar que a elaboração desses manuscritos pode ter sido apressada, irresponsável e apoucada, meramente para dar conta de que um trabalho estava sendo realizado, de modo que os editores pudessem pagá-lo apenas pela perspectiva de ver, um dia, a obra publicada. Nem a obra foi publicada nem, como se sabe, essa estratégia de protelar a entrega das versões finais deu os resultados esperados, já que a uma certa altura o contrato com a editora foi rompido e os pagamentos cessados.
Ainda no tópico relativo à multiplicação, o autor trata, também, do chamado
Tendo sido vitimados por inúmeras idas e vindas, guardados com pouco cuidado e esfacelados de várias maneiras, o que certamente implicou o desaparecimento de várias de suas partes, os manuscritos são de análise muito difícil, do que se pode, apenas, aventar possibilidades como as que temos registrado até agora. Cabe, ainda, em relação a essa discussão, questionar o que poderia ter levado Eisele a apresentar os manuscritos segundo essa ordenação por ela proposta, que aqui reproduzimos
À multiplicação segue o tópico relativo à divisão. O recurso aos cartões é o mote desse tópico. As atividades propostas usualmente sugerem que os cartões sejam distribuídos entre as crianças que, com eles, devem formar grupos de cartões. Tanto quanto nas demais partes desse manuscrito 189, a linguagem não é rebuscada: é usual, cotidiana. Além dos cartões, segue uma série de problemas que consistem em dividir as horas do dia, do que surge a apresentação de terminologia específica (terço, quinto, inteiro, quarto, divisão, quociente) e suas respectivas notações em linguagem matemática, bem como o algoritmo usado, à época, para o que Peirce chama de
Em alguns poucos excertos do manuscrito, Peirce tenta estabelecer metáforas ou explicações mais plausíveis para crianças: “Adição e multiplicação, ambas, fazem os números maiores /…/ se estivermos falando de números inteiros positivos /…/ a adição aumenta um número somando alguma coisa a ele, a multiplicação aumenta um número aumentando cada parte dele igualmente”. Essa, por exemplo, é a síntese que abre a discussão sobre a Regra de Três, que, entretanto, será breve, tratada a partir de uma atividade com um elástico que retomará, também muito resumidamente, elementos dos tópicos Divisão e Multiplicação tratados anteriormente.
O próximo e último tópico do manuscrito, nessa segunda versão, é chamado de Problemas com cartões, um titulo dado por Eisele. Aqui aparecem, além de outros personagens que dialogam com Lydia, pela primeira vez, de modo sistemático, os cartões numerados de 1 a 101 que Peirce usará enfaticamente como recurso didático ao longo dos seus manuscritos.
Trata-se de uma série de cartões numerados sequencialmente, que caberia ao professor e aos alunos manipularem à exaustão já que, segundo Peirce, o aprendizado que decorrerá do uso desses cartões exige tanto a exatidão quanto a agilidade de manipulação. Assim, não se trata, apenas, de formar grupos, mas de formá-los rapidamente e, também rapidamente, responder a questões sobre os grupos formados. Os cartões devem ser dispostos, recolhidos, lidos, novamente amontoados e distribuidos segundo o mais rigido controle de quem os manipula. É preciso dominar a formação de padrões quando os 102 cartões são distribuidos em três grupos, quatro grupos, cinco, seis, sete… até dez grupos. Por exemplo, quando distribuidos sequencialmente em três grupos, no primeiro grupo estarão os cartões
| 1 | 4 | 7 | 10 | ||||||
| 13 | 16 | 19 | 22 | 25 | 28 | 31 | 34 | 37 | 40 |
| 43 | 46 | 49 | 52 | 55 | 58 | 61 | 64 | 67 | 70 |
| 73 | 76 | 79 | 81 | 85 | 88 | 91 | 94 | 97 | 100 |
No terceiro grupo estarão os cartões
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| 33 | 36 | 39 | 42 | 45 | 48 | 51 | 54 | 57 | 60 |
| 63 | 66 | 69 | 72 | 75 | 78 | 81 | 84 | 87 | 90 |
| 93 | 96 | 99 |
E as perguntas que seguem, ancoradas na divisão desses cartões em grupos, são, por exemplo: como terminam os números dos cartões do terceiro grupo quando os cartões estão divididos em cinco grupos? Quando estamos com cartões distribuidos em dois grupos, quais os valores dos cartões cujas posições terminam em um ou seis? Quais cartões ocupam a segunda, a sétima, a décima segunda e a décima sétima posições quando os cartões estão distribuidos em cinco grupos? Etc.
Distribuindo exaustivamente cartões em agrupamentos distintos, e elaborando uma série de perguntas sobre a composição desses agrupamentos, termina o MS 189.
Dois pequenos textos compõem esse bloco, na edição organizada por Eisele. Eles vêm nomeados como
Não se pode compreender a razão que leva Peirce a interromper uma lição e iniciar outra e bem provavelmente essas interrupções tenham ocorrido devido a circunstâncias variadas, até mesmo comezinhas. Posto que são manuscritos, bem provavelmente na revisão final seriam incorporados outros exercicios, feitas complementações e exclusões, pois não há lógica subjacente que justifique o vinculo entre as lições. Devemos lembrar que os manuscritos, no processo de elaboração, contaram com um único revisor (informal), Edward Holden
A voz que canta os números e os associa às figuras, ao ponto, ao cartão, e dita o ritmo, é um elemento que complementa a associação entre algarismo e coisa. Trata-se, portanto, de uma tríade: algarismo-objeto-ritmo. A contagem é feita em ordem crescente e decrescente, de um em um, e são inúmeras as questões às quais as crianças devem responder usando os números que elas recitam de frente para trás e de trás para frente, várias vezes, muitas vezes. A repetição exaustiva é uma marca constante desse – e também de outros – manuscrito.
A Lição II explora a contagem até 3, a Lição IV explora a contagem até 6, a Lição V, a contagem até 7, a Lição VI até 8. Nas Lições tudo é feito da mesma forma, tudo é repetitivo. Termos como contar, crescente, decrescente, repetir são intensamente usados. Trata-se de praticar a contagem usando a relação entre algarismos e objetos, acrescentando ou reduzindo os objetos a serem contados. Na Lição VI esse compasso se altera um pouco, com a proposta de uma atividade que mobiliza bolinhas de gude, sacos brancos (nos quais devem caber dez bolinhas de gude) e sacos verdes (nos quais serão guardadas cem bolinhas de gude). As indicações são precisas: indica-se a construção de um ábaco que deve ter sete fios com contas em cores distintas (cobre, branca ou prateada, verde –
Entende-se que Peirce propõe um exercício de contagem de dez em dez. O processo é tão simples quanto, hoje, usual no início da escolaridade. A tradução, ao contrário, traz uma dificuldade sensível. Como se verá no texto,
A contagem com as bolinhas de gude deve ser explorada exaustivamente, segundo indicação precisa do próprio autor. Ela deve induzir a uma familiaridade com os números. Praticada a contagem assim, Peirce retoma a mesma atividade, agora usando grãos de café e não mais bolinhas de gude. Contar exige atenção. O objetivo é contar corretamente, mas é também preciso contar rápido. Dos alunos que não cometerem erros, o mais rápido deve ser premiado. Por vários dias essas atividades devem ser repetidas.
A libra e a onça, unidades de massa, são mobilizadas por Peirce (uma libra, ele nos alerta, tem aproximadamente 2500 grãos verdes de café, enquanto uma onça tem de 155 a 160 grãos. A contagem deve seguir até serem usados 2500 grãos de café). Mais uma vez, fica patente o aproveitamento que Peirce faz dos temas que explora em suas atividades profissionais, em especial na
Seguem-se a essas atividades exercicios complementares que implicam a contagem de 2 em 2, de 3 em 3, de 4 em 4, de 5 em 5, de 6 em 6 e de 7 em 7, mesclados a problemas de aritmética simples (por exemplo: “Uma garotinha encontrou dois alfinetes no domingo, mais dois na segunda-feira: quantos alfinetes ela encontrou? Ela encontrou mais dois na terça-feira: quantos ela tem agora? Mais dois na quarta-feira. Quantos? Mais dois na quinta-feira. Quantos? Quatorze em uma semana. Ela teve a mesma sorte na semana seguinte. Quantos no domingo? Segunda? Terça? Quarta? Quinta? Sexta? Sábado?” (
O MS 179 –
As personagens são a senhorita Sessions e as crianças que frequentam sua escola (ou seus pequenos jardins, como ela as chama). Quando graduando em
O detalhamento de Peirce para ensinar a somar é nada menos que espantoso. Vale a pena citar a explicação dada para que sejam somados os números relativos aos centavos que cada criança dará para comprar o sapato para a menina carente:
Aponte, com um lápis, para cada número, justamente quando você estiver quase para somá-lo. O lápis não pode esconder o que vem depois. Comece de baixo. Diga 7 e, apontando para o 4, diga 11. Mas não diga isso em voz alta, mantenha-se calado. Então movimente o lápis para cima, de modo a apontar para o 4 acima. Não diga “Mais 4”, nem para você mesmo. Mas
A soma de dezenas será melhor abordada com o exercício de contar as sílabas da estrofe de um hino religioso. Da adição de dezenas segue a subtração. Efetuar 26 + 25 + 24 + 25 + 27 + 22 leva a efetuar a subtração 365 – 31, do que segue a subtração 62622250 – 32067880. Ou seja, é totalmente caótica a gradação das dificuldades impostas às crianças. Mais uma vez, como já se pôde notar nos manuscritos anteriores, explica-se minuciosamente como fazer, sem que nada seja dito sobre por que se faz o que se faz.
A multiplicação, ao contrário das operações anteriores – que ocorrem a partir de situações-problema que vão se colocando no texto, sem haver tópicos especificos – vem em um subtitulo próprio, que encerra o manuscrito. Nesse tópico, Peirce reforça a necessidade de se enfatizar a agilidade, a contagem de cor. Não é suficiente saber a tabuada e contar de 6 em 6, ou de 7 em 7 para saber quanto é o produto de 6 e 7: é preciso, de estalo, saber que 6 vezes 7 é 42. O dispositivo que Peirce oferece para ensinar/aprender a multiplicar de cor é uma cruz, inspirada nos calendários circulares de manuscritos medievais, feita em papel e presa à página, pelo centro, por um fio. O uso dessa cruz faz surgir os conceitos de múltiplo, de diagonal, de direita, de paridade, e resultados como
Uma nota de rodapé, especificamente, incorporada ao manuscrito por Eisele, é importante para uma análise do texto. Trata-se de observações que Peirce faz a si mesmo, como lembretes:
Uma criança já praticou adição em grupos, e sabe desenvolvê-la com perfeição. Nada falta além de habituá-la a adicionar primeiramente um número e depois o outro, juntamente com a palavra. Exemplo introdutório. Pobre familia sem comida. Cada membro contribuiu com alguma coisa. Enumere-as e as adicione. Encontre a soma total. Descreva o processo cuidadosamente. Uma familia caminhando encontra uma garotinha sem sapatos (
Nota-se que o teor dramático não se reduziria apenas ao exemplo da menina descalça. Outra nota diz respeito às obras que Peirce anuncia ter consultado para elaborar seu manuscrito, que deveria ultrapassar em qualidade os textos disponiveis, à época, sobre o tema Aritmética Elementar:
A
Há, ainda, lembretes quanto à terminologia e conceitos a serem abordados nos textos: “Terminologia da adição: Adição, Adicione, junte, some; Valor total; ‘Vai um’. Subtração: Subtraia, deduza, devolva; Minuendo; Subtraendo; Restante; Resto; emprestar” (
Embora o bloco incluído por Eisele no
Mais uma vez, os cartões numerados desempenham papel fundamental. Eles são distribuídos em ordem decrescente e usados para jogos em que adições são propostas. À subtração, tida como
Essas leis de formação podem ser acompanhadas num quadro a ser construído em sala de aula ou num dispositivo, um material didático, cujo modelo Peirce disponibiliza para ser reproduzido em cartão pelos alunos ou pelo professor. Ainda que o texto não traga nenhuma fundamentação para as estratégias utilizadas (o que, aliás, caracteriza todos os manuscritos), aqui o autor indica que uma objeção quanto a usar dispositivos/materiais didáticos poderia ser a de que “os professores não entenderiam o princípio matemático no qual a estratégia se fundamenta, e [eles] poderiam, dessa forma, ficar expostos a questionamentos embaraçosos” (
Quando, mais uma vez, como já feito no MS 189, Peirce vale-se dos quartos de quadrados para operar multiplicativamente, uma explicação é dada: ele afirma que uma pequena brochura estará encartada à obra de Aritmética Superior, servindo tanto como livro de exercicios quanto como livro-texto, do que se depreende que, no livro
De resto, o manuscrito detém-se a explicar (melhor seria dizer apresentar), passo a passo, o algoritmo da multiplicação pelo processo longo, usando como exemplo o produto 87183 x 366917. A
A divisão é o inicio
[…] para o aluno mais avançado será apropriado inserir aqui algumas lições complementares sobre este assunto. Mas na organização do livro será melhor alocar toda a parte teórica num mesmo momento, e seguir adiante com a Aritmética Elementar usando proposições da aritmética superior que poderão ser mobilizadas sem provas ou explicações (
Com isso, ele parece eximir-se de justificar, na Aritmética Elementar, qualquer asserção, algoritmo ou técnica para além da descrição de sua efetivação, de sua aplicação prática. Um exemplo de por que essa abordagem é, no minimo, estranha, está na sentença: “Deve-se afirmar que a quantidade de algarismos numa dizima periódica, representada por uma fração, é igual ao totiente
A julgar pela deficitária rede de formação de professores nos Estados Unidos à época, é de se supor que, com ou sem o apoio de uma Aritmética Avançada na qual esses conceitos seriam apresentados e discutidos, essa sentença é, no mínimo, demasiadamente sofisticada do ponto de vista matemático. Mas dessa afirmação segue uma discussão sobre o estudo dos restos em que são simplesmente enunciadas as regras relativas ao resto das divisões por 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17,19 e 23, em parágrafos que soam como requintes de perversão, a julgar pela formação dos professores primários do final do século XIX, nos Estados Unidos (
O resto da divisão por 6 é o mesmo resto da divisão do último algarismo diminuído do dobro da soma do resto dos algarismos.
O resto da divisão por 7 é o mesmo resto deixado pela divisão, por 7, da soma das unidades, milhões, bilhões, trilhões etc. menos os milhares, milhares de milhões, milhares de bilhões etc.
Assim, o resto da divisão de 365 por 7 é o mesmo que teremos após dividir 5+2.3+3.6 = 29 por 7, e isto é o mesmo que o resto da divisão de 9+3.2 = 15 por 7, e isto é o mesmo que o resto da divisão de 5+3.1 = 8 por 7. Assim, existe um dia a mais além do número inteiro de semanas em um ano (
Enunciadas as regras relativas aos restos, há indicativos para, dada uma fração ordinária, obter a dízima periódica. No mais, há apenas uma breve indicação, a ser desenvolvida posteriormente, sobre o conceito de involução
A nota de rodapé inicial desse bloco de textos, incluída por Eisele, dá conta de que o MS 168 é a versão datilografada do MS 167, que é composto por anotações à mão. Ainda que nada seja dito sobre isso, a julgar pelo titulo, o MS 167 tem exemplos (e exercicios) que não constavam do MS 168 e que, nessa edição do
No primeiro capitulo, bastante reduzido, define-se Aritmética
Essa introdução, que toma todo o primeiro capitulo, reforça o que, em termos efetivos, na prática das lições propostas, Peirce já havia pontuado, com ênfase, em outros manuscritos: “Duas qualidades devem estar entre nossos objetivos – primeiro a exatidão, depois a eficiência” (
Não se desgaste, ou melhor, exercite-se de modo calmo e sereno,
Pense sobre o que você está fazendo e mantenha afastada de sua mente toda sorte de distração,
Nunca confie que um resultado esteja correto no primeiro cálculo. Realize o cálculo uma segunda vez e, se possivel, de um modo diferente. Refaça seu trabalho do último passo até o primeiro, ou assegure-se de não ter cometido erros, pois até os melhores aritméticos – ainda que raramente – algumas vezes cometem erros;
Tente ver todo problema segundo uma perspectiva prática: imagine qual poderia ser o resultado, pelo menos um resultado aproximado,
Faça suas anotações de modo que, imediatamente, todos possam observar o que você fez, possam ver que a operação correta foi usada e que você a realizou corretamente (
Numeração –
Esses manuscritos são os mais eruditos de todo o conjunto de textos. Ainda que o conhecimento de Peirce acerca de outras culturas e da Ciência, de modo geral, apareça aqui e ali nos outros manuscritos, aqui ele é onipresente. Um exercicio proposto, relativo à contagem de feijões, encerra esse capítulo, mas problemas e exemplos dos capítulos subsequentes
Mais uma vez, ao fim do manuscrito, Peirce recomenda o uso de um recurso didático a ser construído em tamanho grande (para toda classe) e reproduzido no caderno de cada uma das crianças. Trata-se do Quadro Aritmético, similar a um contador:
O seguinte dispositivo é necessário para este capítulo: trata-se de um quadro aritmético, um quadro com uma alça, de forma que ele possa ser pendurado no alto, com 12 fios, em cada um deles correndo nove bolas, as nove bolas de um mesmo fio têm a mesma cor, mas a quinta bola é achatada nos polos, de modo a ter uma protuberância para fora para facilitar a contagem. As cores das bolas nos diferentes fios, começando pelo mais baixo, são: preta, azul, vermelha, verde, amarela, branca, preta, azul, vermelha, verde, amarela, branca.
Uma quantidade de folhas, cortadas em retângulos, do tamanho e formato adequados para colocar um número em cada e com colunas em cujas primeiras linhas, sucessivamente, estão indicados:
O quadro aritmético, usado com o caderno, é construído segundo o mesmo princípio dos contadores, cada bola representando um contador. Quando elas não forem necessárias serão empurradas para um lado do quadro, e quando elas tiverem um significado serão trazidas para o outro lado. As bolas não possuem registro algum sobre elas, todavia, cada uma corre num um fio distinto, e esses fios são colocados em uma ordem regular: unidades, dezenas, centenas etc. Esses lugares fixos dos fios tornam o quadro um modo mais claro para indicar um número. (O professor explicará o uso do quadro com exemplos) (
Com a tradução dos manuscritos e os estudos dessa tradução (feitos sempre em cotejamento com os originais em língua inglesa) aliados a revisões sobre o ambiente sóciocultural-político e educacional do final dos oitocentos, além de um levantamento exaustivo sobre a biografia de Peirce
É importante ressaltar que a hermenêutica de manuscritos inacabados, e bem provavelmente incompletos, dada a dispersão dos originais e o descuido com que foram tratados ao longo da história, é uma tarefa extremamente árdua. Não há, por exemplo, informações mais precisas sobre o que levou Eisele a apresentar os manuscritos na sequência em que ela os apresentou, juntando alguns deles e separando outros
Ainda assim, a apreciação de Eisele quanto a esse conjunto de manuscritos nos parece efusiva demais, já que ela pouco realça as limitações (naturais) de uma interpretação que tem como fonte apenas manuscritos inacabados. Ela destaca, por exemplo, a familiaridade de Peirce quanto às propostas de Klein e com relação às iniciativas de reformulação curricular para o ensino de Matemática que começavam a se tornar mais explicitas no final de século XIX.
Sua obra, segundo Eisele, era moderna, e suas explicações claras e rigorosas, estando nelas embutidas diretrizes avançadas em relação à metodologia de ensino. Talvez isso, com essa ênfase, possa caracterizar a obra matemática de Peirce que, como sabemos, é bastante extensa e foi intensamente estudada e compilada por Eisele nos quatro grandes volumes do
No que diz respeito à Aritmética Elementar, entretanto, ainda que sejam bastante nitidas algumas propostas diferenciadas para o ensino de Matemática, a ênfase na repetição, a ausência de justificativas mais detalhadas e expostas de um modo mais adequado para professores com formação deficitária, a variação do tom na exposição do conteúdo e a indecisão, mostrada ao longo dos manuscritos, sobre a qual público, efetivamente, os manuscritos se dirigiriam, também marcam distintivamente esse conjunto de textos.
Essas características, talvez, possam ser explicadas tanto pela falta de experiência de Peirce em relação à realidade do sistema escolar americano – que ele sequer frequentou como aluno, posto ter sido, na infância, educado pelo pai – quanto pela personalidade difícil do autor, que enfrentou durante sua vida – mas principalmente quando vivendo às próprias custas, já sem o apoio da figura paterna que havia possibilitado sua entrada em diversos círculos sociais e acadêmicos bastante privilegiados à época – vários problemas financeiros, agravados pela sua saúde frágil, por sua arrogância e pela dificuldade de relacionar-se socialmente e em ambientes profissionais
Os acertos para a publicação dos manuscritos levariam Peirce a reverter, ao menos em parte, sua difícil situação frente a inúmeros credores, mas sua desorganização não permitiu que ele os concluísse. O que se nota, no que restou desses textos, é um conjunto de anotações gerais, desconectadas, que em boa medida podem ter servido para aplacar por algum tempo as cobranças dos editores que acabaram rescindindo o contrato com o autor.
Os textos, em que ora o autor conversa diretamente com as crianças, ora trata dos conteúdos e propostas de ensino, voltando-se aos professores, parecem sugerir que haveria pelo menos dois enfoques a serem privilegiados: aquele do material didático a ser usado em salas de aula, propriamente dizendo, e o de um material que serviria como um livro do professor, um manual de apoio pedagógico, em linguagem mais coloquial.
Deve ser considerada, também, a possibilidade – aventada pelo próprio Peirce, segundo Eisele – de haver pelo menos dois outros enfoques para a Aritmética Elementar: um relacionado à Aritmética Elementar (tomando
Por outro lado, são nítidas algumas inovações na mobilização de estratégias criativas para o ensino. Mais particularmente, é notável, em alguns pontos dos manuscritos, a intenção de Peirce de se aproximar da linguagem infantil, de um modo próprio de dizer, lançando mão das rimas, do ritmo, e das histórias infantis. Essas histórias apoiam-se em elementos clássicos como a família, a avó pacienciosa, justa e sábia, a professora e seus alunos, uma casa na floresta, e algumas situações curiosas, como a que propõe o resgate de tesouros escondidos ou buscas na mata.
Há um esforço para, nos exemplos e exercicios, trazer elementos da história americana, apresentar informações relativas a uma cultura geral letrada, aproximar as crianças de discussões sobre as novidades tecnológicas e aspectos da geografia, das tradições americanas e de outros paises, e da História Geral. Desses tantos elementos, destaca-se o uso de materiais didáticos como ábacos, jogos, quadros, fichas e cartões. É certo que esses recursos precisariam ser retomados, enfatizados e melhor organizados pelo autor e distribuidos em diferentes volumes, mas o que se tem nos manuscritos é mais do que suficiente para assegurar as intenções de Peirce quanto a elaborar pelo menos um texto – aquele de um manual didático a ser usado em sala de aula pelas crianças –, digamos, adequado à infância, e tomá-lo como uma inovação educacional em potencial.
Edward C. Moore (1917-1993) foi diretor fundador do
A
O
Em sentido amplo, o pragmatismo é a teoria do significado, ou melhor, sobre como fazer uma afirmação acerca do significado de algo. Como o fundador do Pragmatismo, Peirce, mais tarde, altera o nome de sua teoria para Pragmaticismo, em uma tentativa de diferenciá-la da de William James (
O
Os originais dos manuscritos e sua sistematização por Carolyn Eisele nos foram apresentados, inicialmente (e informalmente), por Nathan Houser, em 1999, durante estágio de pós-doutoramento do primeiro autor, realizado junto à
Sabendo, obviamente, que a tradução não seria utilizada em escolas de primeiras letras.
As citações textuais da
O termo está relacionado às pedras usadas para contagem ou, ainda, à expressão
O período Elizabetano (ou Isabelino), na Inglaterra, usualmente é caracterizado como de extrema bemaventurança graças ao governo de Elizabeth, filha de Henrique VIII, no auge do Renascimento inglês, quando a Itália, berço do Renascimento, padecia sob o dominio estrangeiro. Ainda que, atualmente, os historiadores tenham leituras alternativas dessa chamada Época de Ouro, questionando-se, por exemplo, sobre o bem-estar econômico e o poder militar ingleses, a cultura é um dos marcadores mais nitidos desse período e, nela, certamente, o desenvolvimento do teatro e das letras. Não se trata, porém – e aqui falam os criticos da atualidade –, de um teatro inédito, mas de uma realização altamente inspirada e muitissimo bem desenvolvida que teve como referência os teatros grego e romano da Antiguidade. Na moda, a inspiração dos volumes horizontais e das altas golas vinha da Espanha e da França; na religião, ocorria o assentamento do Anglicanismo.
Peirce obteve de seu editor um adiantamento para escrever uma série de manuais didáticos. Perdulário e desorganizado, Peirce atrasou e protelou tanto quanto pode a entrega dos materiais, até envolver-se judicialmente com a editora. Em cartas a amigos, familiares e empregadores, frequentemente mentia sobre o andamento do trabalho como que para justificar os atrasos, não perder a possibilidade de outros adiantamentos e/ou não precisar devolver os adiantamentos já recebidos.
Nenhuma referência nos permite dizer que houve, efetivamente, alguma experiência prévia de Peirce com professores nesse sentido. Pelo contrário, sabe-se que a biografia de Peirce é tanto recheada de exemplos que atestam sua personalidade difícil e seus problemas de relacionamento pessoais e profissionais, quanto marcada por um distanciamento sensível em relação à realidade dos ensinos primário e secundário e mesmo do ensino superior. Tendo interesse em beneficiar-se da publicação desses manuscritos, não seria de todo estranho se essa afirmação sobre a aprovação prévia dos professores quanto aos seus métodos fosse mais um recurso enganoso de promoção das qualidades que ele, mais que ninguém, à época, parecia perceber em si mesmo.
Benjamin Peirce graduou-se no Harvard College, em 1829, foi professor de Astronomia e Matemática na Harvard University, sendo considerado um dos mais conceituados matemáticos estadunidenses de sua geração. Foi presidente da
Thomas Scott Fiske (1865-1944) foi professor da
Adrien-Marie Legendre, matemático francês, viveu entre 1752 e 1833.
É importante notar que esse ramo da Matemática apenas começou a ser desenvolvido com Brouwer (1881-1966), que concluiu a parte mais importante de seu trabalho em Topologia entre os anos de 1909 e 1913. Também o Movimento Matemática Moderna, posteriormente, apostará nas estruturas topológicas para alterar o panorama do ensino de Matemática (
A criação da
Segundo
É importante notar que manuscritos posteriores, nessa série de manuscritos, tratarão de temas que, por sua vez, são anteriores aos temas tratados nesse manuscrito 189 (a adição, por exemplo). A própria numeração dos manuscritos é contrária à sequência de apresentação que Eisele usou para compor o The New Elements of Mathematics by Charles S. Peirce. Não há, entretanto, nenhuma consideração sua quanto à ordenação por ela imposta a esses textos.
365,2424 é o número médio de dias no ano, em um calendário Gregoriano.
Sabe-se que, recém iniciado o século XX, Peirce troca correspondências com Edward S. Holden. Segundo os biógrafos de Peirce, Holden passa a ser um apoio para a elaboração da Aritmética. Em carta de janeiro de 1901, Holden informa a Peirce ter lido os Manuscritos sobre a Aritmética, e complementa informando ter sido um grande prazer intelectual encontrar neles boas ideias. Após esse elogio, seguem alguns apontamentos de Holden: (a) os Manuscritos da Aritmética Elementar têm, então, 31 páginas e estão bem completos até a parte em que se inicia a teoria acerca da contagem de oito-em-oito; (b) páginas variadas da Aritmética Elementar, talvez 100 delas – até os tópicos Multiplicação e Divisão – devem sofrer alterações; (c) o texto relativo à Aritmética Prática possui aproximadamente 15 páginas datilografadas e (d) as páginas com variadas anotações parecem úteis, segundo o ponto de vista de Holden. Segundo Holden, quase toda a Aritmética Prática estava ainda por ser escrita, e a Aritmética Elementar, àquela altura, estava pronta até quase a metade (
Em alguns momentos, Peirce fala de cartões numerados de 1 a 100.
August Leopold Crelle (1780-1855) foi um matemático e engenheiro alemão, muito conhecido na História da Matemática por haver fundado, em 1826, o
A referência de Peirce, aqui, trata da chamada função totiente de Euler. O totiente de um número natural k é a quantidade de números menores ou iguais a k, coprimos em relação a ele. Em linguagem matemática, o totiente é definido como a função
Involução é antônimo de evolução. Em Matemática é termo utilizado para significar um processo relativo à inversão. No caso, trata-se de, dada uma dízima periódica, obter a fração que a gera, posto que o tratamento desenvolvido por Peirce até aqui consistiu em encontrar a dízima periódica tendo sido dada sua forma fracionária
Os capítulos III e IV têm como tema, ambos, a notação arábica e o uso de decimais.
Parte desses assuntos é tratada aqui, parte tratada em
Tanto a tradução quanto as considerações sobre cada um dos manuscritos, neste artigo, respeitam a ordenação proposta por Eisele.
Eisele reitera o fato de Peirce e sua extensa produção não terem tido reconhecimento em vida, mas não considera esses dados biográficos como desempenhando algum papel para essa resistência do meio acadêmico.