Jorge é um professor que, no momento do estudo, tinha 30 anos de serviço. É formador na especialidade de tecnologias na sala de aula. Apesar da sua vasta experiência, continua a apostar na sua formação através da participação em projetos curriculares e de investigação. Vê no PPDMEA uma oportunidade de desenvolver um tipo de trabalho diferente com os seus alunos e que tem descurado, atualmente, um pouco: “Neste momento fazemos muito menos em termos de sala de aula, (…) de projetos, de trabalhos de grupo, de umas atividades mais de investigação com os miúdos” (EI, setembro de 2013). Reconhece, também, que o envolvimento no PPDMEA lhe permite partilhar experiências com colegas e desenvolver um trabalho mais sólido e metódico que ocorre na presença da investigadora:

Salienta também a oportunidade de aprofundar um tema matemático tão importante como a Álgebra e que levanta dificuldades aos alunos, principalmente a simbolização e a generalização: “Eles percebem o conceito, mas depois a parte formal (…) quando têm que formalizar aquilo numa expressão, torna-se um bocadinho dificil” (EI, setembro de 2013). Com o trabalho no PPDMEA, o professor trabalha colaborativamente produzindo materiais para a sala de aula que favoreçam as discussões matemáticas.

Na aula, Jorge recorre às ações de elicitar para iniciar a discussão coletiva com o convite à apresentação das estratégias de resolução que envolvem a utilização de linguagem matemática menos formal. Dirige o convite a um grupo de alunos para apresentação de uma resolução diferente das demais e menos poderosa algebricamente, por se basear num texto, acompanhado de cálculos numéricos que satisfazem as condições da tarefa (Figura 3). Esse convite é acompanhado da indicação clara do que pretende que o grupo de alunos apresente à turma e do pedido de explicações para os raciocínios desenvolvidos.

Assim que a resolução é exposta no quadro, o professor recorre às ações de desafiar para levar os alunos a analisarem o segundo passo da resposta, dando indicação da existência de um raciocínio errado e incentivando a procura de uma justificação para o erro:

Embora a aluna apresente uma justificação válida (L.5), o professor continua a recorrer às ações de desafiar para reforçar a ideia da existência de um erro no segundo passo da resolução (L.6-7), de modo a levá-los a procurarem outra justificação. Complementa essas ações com as de informar dando indicação à aluna da validade da conclusão apresentada (L.6 e L.9), com vista a valorizar a sua estratégia e a transmitir confiança para continuar a avançar com outras hipóteses explicativas para o raciocínio em análise. A insistência do professor leva os alunos a encontrarem outras razões para a não validade do segundo passo, através da comparação e avaliação do raciocínio apresentado com os dados presentes no enunciado:

Através das ações de desafiar, concretizadas na análise de um raciocínio, o professor consegue que os alunos apresentem outras razões que melhorem a resolução exposta (L.10). O professor continua a reforçar a importância da estratégia partilhada, valorizando as conclusões estabelecidas e oferecendo uma interpretação para a justificação apresentada, de acordo com os dados do enunciado, através das ações de informar (L.12-13). O professor desafia os alunos a pensarem novamente no segundo passo, por ainda não terem oferecido todas as justificações válidas para a sua incorreção em termos do rigor da escrita – ações de desafiar. Contudo, perante a dificuldade dos alunos em apresentar a justificação, recorre às ações de apoiar para focar mais a sua atenção, levando-os a pensar sobre os votos específicos da Francisca e da Sandra, como exibe o segmento de discussão abaixo:

Essa opção conduz os alunos à conclusão pretendida e à apresentação de várias justificações para o raciocínio presente no segundo passo. Recorre às ações de apoiar para filtrar os contributos mais importantes da estratégia apresentada pelo grupo (L.21-24) e que decorrem do encaminhamento que deu à apresentação e justificação dessa estratégia pelos alunos.

Com as ações empreendidas, o professor pretende alertar os alunos para o rigor da escrita matemática, principalmente quando deseja ser autossuficiente na mensagem a passar, embora os alunos tenham como objetivo apresentar somente uma tentativa que desencadeia a sua estratégia de resolução. O professor mobiliza o seu conhecimento didático, especialmente nas vertentes do conhecimento da Matemática e da prática letiva para mostrar aos alunos os aspectos que precisam ser clarificados ou corrigidos numa resolução: “Permitem pelo menos junto dos alunos perceber por que é que erraram, ou por que é que este caminho é o melhor, ou por que é que este é o pior. E isso é possível ser feito com a discussão e se houver confronto de ideias e de resoluções” (EF, junho de 2014).

De fato, a turma, ao oferecer diversas justificações para as mesmas ideias, evidencia a sua incompletude e a necessidade de ser reescrita de forma a satisfazer todas as condições necessárias. Durante esse trajeto, o professor também tem o cuidado de destacar os aspectos mais relevantes da resolução em análise (L.12-13 e L.21-24), mostrando aos alunos que a sua estratégia é válida e importante (L.6 e L.11).

Jorge considera a síntese das principais ideias como um elemento importante para o envolvimento dos alunos na discussão coletiva – conhecimento da prática letiva – antes de avançar para a apresentação de outras estratégias de resolução. O professor promove a discussão a partir da escolha cuidada de um grupo para apresentar a sua estratégia de resolução e continua solicitando contributos, focados, neste caso, na análise de um certo passo da resolução. Essa prática evidencia as aprendizagens realizadas com a sua participação neste projeto, na medida em que, em situações anteriores, a discussão não era preparada previamente e decorria em função das ideias que iam sendo apresentadas pelos alunos: “Em função das respostas que me vão dando então assim crio essa discussão ou não” (EI, setembro de 2013).

Pelo conhecimento da prática letiva, o discurso instrutivo do professor mostra que, numa primeira fase, pretende ter muitas ideias para serem discutidas a partir da apresentação da estratégia de resolução de um grupo – solicitação e discussão de muitas ideias – não se preocupando, assim, com o conteúdo das mesmas – conteúdo matemático não filtrado. Contudo, logo a seguir foca a atenção dos alunos num passo da resolução (L.3-4) e, mais tarde, oferece um raciocínio para analisarem (L.16) –filtragem – que conduz à solicitação e discussão de mais ideias.

Nesse momento, o professor tem propósitos explícitos para debater certos raciocínios, com o objetivo de alertar para o rigor da escrita matemática – conteúdo matemático filtrado. O professor recorre às ações de informar para continuar a promover a apresentação das estratégias, alertando os alunos para a introdução de uma estratégia que envolve linguagem matemática formal com recurso explícito a conceitos e procedimentos matemáticos:

O professor, com o objetivo de levar os alunos a comparar as duas estratégias de resolução (já tinha sido apresentada outra envolvendo a escrita de uma equação), alerta-os para a existência de uma outra estratégia que, embora recorrendo à escrita de uma equação, é distinta da já apresentada (L.25-26) – ações de informar. Pretende, com isso, despertar o interesse dos alunos para analisar e compreender as diferenças presentes nas duas estratégias. Através das ações de desafiar, incentiva a aluna a explicar a sua estratégia de resolução, mas rapidamente pega na sua fala e conclui todas as explicações e comparações que deviam ter sido apresentadas pela aluna (L.30-34). Jorge reconhece que, por vezes, se deixa entusiasmar e envolver na partilha e negociação de ideias e acaba por ultrapassar os alunos, mesmo sem ser essa a sua intenção: “Quando dá conta já está a ultrapassar o aluno, eu isso reconheço que é um defeito que, às vezes, pelo menos eu tenho, não nego” (EF, junho 2014).

Neste caso, a sua intenção passa por desafiar os alunos a pensarem sobre uma outra estratégia que traz novidades às já apresentadas – escrita de uma equação não envolvendo o uso de denominadores como as anteriores (L.34-35) – ações de desafiar. Jorge associa esse fenômeno às expectativas que tem para cada aula e, em particular, para a discussão coletiva: “Porque uma pessoa tem uma expectativa quando vai para uma aula (…)” (EI, setembro de 2013). A provocação lançada por Jorge é acolhida pelos alunos e a estratégia que quer fazer emergir aparece, como mostra o segmento seguinte:

O professor recorre às ações de apoiar para acompanhar a exposição e negociação de ideias do aluno (L.41) e às de desafiar (L.38-39) para o incentivar a exprimir, antes de escrever a equação, uma relação matemática que traduza o número de votos de cada um dos intervenientes da tarefa. Essa opção favorece uma melhor compreensão dos monômios envolvidos na equação pelo restante dos alunos da turma e que não pensaram nessa estratégia. A discussão da tarefa termina com a conclusão das principais ideias expostas pelos alunos, em que o professor reforça a importância de conseguirem escrever equações diferentes para a mesma informação apresentada em linguagem natural e a vantagem de mobilizarem conceitos matemáticos ligeiramente diferentes com graus de dificuldades também distintos, apoiando-se nas ações de informar.

O discurso instrutivo do professor denota a sua preocupação inicial em solicitar e discutir muitas ideias com o convite à apresentação e explicação das estratégias de resolução usadas pelos alunos para, em seguida, focar a sua atenção na existência de um conceito matemático mais potente que não trabalha com casos particulares (equação) – filtragem das ideias partilhadas – que serve de alavanca à solicitação e discussão de mais ideias, através do convite à escrita de uma equação sem denominadores e termina com uma breve conclusão da sua parte.

O professor, ao querer fazer surgir a escrita de três equações diferentes para a tradução da mesma informação em linguagem verbal, mobiliza o seu conhecimento da prática letiva em articulação com o da aprendizagem e dos alunos, para alertar os alunos para as diversas interpretações que podem ser feitas da mesma informação e as respectivas consequências em termos de procedimentos matemáticos que envolvem: “É importante que as pessoas percebam que há maneiras diferentes de pensar e verem no confronto que chegam ao mesmo resultado pensando por maneiras diferentes (…) os alunos defendem a sua dama e gostam de confrontar as suas ideias” (EF, junho de 2014). Pretende, ainda, que os alunos argumentem sobre as suas ideias, defendendo o seu processo de resolução.

Afonso tinha, no momento do estudo, 25 anos de serviço e leciona aos 7.° e 8.° anos de escolaridade. Apesar de não costumar frequentar encontros de professores de Matemática nem participar em projetos, decidiu participar no PPDMEA, porque reconhece que ele pode contribuir para o seu enriquecimento: “Estou sempre predisposto a aprender alguma coisa, há sempre coisas que nós podemos ganhar” (EI, setembro de 2013). Em particular, identifica no tema discussões matemáticas potencialidades instrutivas, por permitirem aos alunos realizarem aprendizagens significativas: “Da discussão de ideias (…) surgem aprendizagens que de outra forma (…) levam muito mais tempo e (…) os miúdos chegarem às suas próprias conceções, (…) tem uma aprendizagem completamente diferente, muito mais consolidada” (EI, setembro de 2013).

A Álgebra é um tema que lhe desperta interesse, por reconhecer que levanta grandes dificuldades aos alunos, fundamentalmente na simbologia que mobiliza: “A Álgebra é um dos temas onde os alunos revelam muitas dificuldades (…) abstrato e, por vezes, difícil de entender (… ) É esta vontade em combater estes aspectos inibidores da aprendizagem que procuro experimentar novas situações, usando metodologias variadas” (RI, julho de 2014).

O professor salienta que as aprendizagens realizadas no PPDMEA, em especial as relacionadas com a preparação da discussão coletiva, permitir-lhe lidar com mais segurança com situações imprevistas em sala de aula: “Acho que temos a ganhar ainda o facto de planificarmos, tu estás em vantagem na forma como podemos conduzir a discussão, (…) claro que não vamos prevê-las todas, mas se calhar ajuda-nos de alguma forma a não nos apanhar tão desprevenidos” (2.ᵃ SC, outubro de 2013).

Embora reconhecendo que nem tudo pode ser antecipado, admite a notoriedade desse trabalho ao pensar em diversas abordagens que contribuem para uma avaliação mais eficaz da exequibilidade de certa estratégia e a importância de ser partilhada em coletivo. Vê na sua participação no projeto uma forma de desenvolver a sua prática letiva, através da produção de materiais para as suas aulas e da partilha de experiências resultantes da exploração desses materiais.

Afonso inicia a discussão coletiva com a apresentação das estratégias de resolução desenvolvidas pelos alunos, convidando à explicação do raciocínio seguido – ações de elicitar e desafiar. O primeiro grupo que o professor seleciona para iniciar a apresentação envolve linguagem matemática informal, processo por tentativa organizado numa tabela:

Afonso inicia a apresentação com o convite implícito à exibição da estratégia seguida, optando por acompanhar explicitamente esse convite do pedido de explicação do raciocínio desenvolvido (L.46). As ações de elicitar empreendidas pelo professor no início da discussão desta tarefa surgem combinadas com as de desafiar. Durante a apresentação da aluna, o professor presta-lhe um apoio muito proximo, levando-a a clarificar o raciocínio seguido na sua resolução (L.49-51; 54) – ações de apoiar. Contudo, dá-lhe pouca liberdade de expressão, oferecendo algumas justificações que deviam ser apresentadas pela aluna, nomeadamente a razão para ter abandonado a primeira tentativa (L.51). É também o professor que menciona o tipo de estratégia seguida pelo grupo (L.49-50). O professor reconhece que é difícil articular a sua intervenção com a dos alunos: “Há sempre uma tendência de falar, eu falo por mim (…) volta meia volta, aquilo acho que é um bocadinho mais forte que eu” (4.ᵃ SC, janeiro de 2014). A vontade que tem em levar os alunos a clarificar as suas ideias e a atingir o pretendido, condicionam, por vezes, a sua prática e originam situações em que a sua intervenção se sobrepõe à dos alunos: “O professor serve ali como um mediador e encaminha as coisas por onde quer, não é? Pronto. E ajuda-os no sentido de clarificar” (EI, setembro de 2013).

Durante o acompanhamento à apresentação da aluna, Afonso filtra as ideias mais importantes, de modo a ficarem acessíveis a todos. Com a sua última intervenção, reforça a razão para se ter abandonado a primeira tentativa e alerta para a verificação das condições presentes no enunciado da tarefa (L.54). O professor aproveita o fato de o grupo que está a apresentar ter resolvido a tarefa através de duas estratégias diferentes para promover a comparação e avaliação de estratégias, desafiando a aluna a relacionar as duas resoluções:

Com o convite que dirige à aluna, o professor pretende que os alunos comparem e avaliem duas estratégias de resolução distintas, a partir da mesma interpretação da informação dada no enunciado – ações de desafiar. Durante a apresentação da aluna, Afonso, suportado nas ações de apoiar, vai filtrando os contributos mais importantes para que sejam reconhecidos como ideias válidas pelos outros e oferecendo interpretações para os argumentos expostos (L.58; 63; 65) e vai questionando, com vista a avaliar os raciocínios apresentados (L.61) – ações de desafiar. Procura que, nessa avaliação, os alunos relacionem a linguagem matemática com as condições do problema. A primeira intervenção do professor tem como propósito solicitar muitas ideias para serem discutidas, mas com o evoluir da apresentação da aluna, Afonso direciona o discurso para determinadas ideias que pretende que sejam clarificadas ou justificadas – filtragem das ideiaspartilhadas.

Dando continuidade à exposição da estratégia desenvolvida por este grupo, o professor apoia-se nas ações de desafiar para incitar os alunos a relacionarem a solução da equação com a resposta ao problema:

O professor procura que a aluna justifique os raciocínios que apresenta à medida que vai relacionando a resposta ao problema com a solução encontrada para a equação. Em simultâneo, recorre às ações de apoiar para a ajudar a avançar nas suas explicações (L.68-70) e para oferecer outras interpretações para os argumentos apresentados, relacionando com as condições do problema (L.72).

O professor apoia-se no seu conhecimento da prática letiva quando leva este grupo de alunos a relacionar as duas resoluções e a interpretar a solução obtida com a resposta ao problema, quando poderia ter introduzido um grupo novo na discussão após a apresentação da primeira estratégia. Com vista à comparação e avaliação de mais estratégias de resolução, o professor introduz um novo grupo na discussão, levando à explicação do seu processo de resolução:

Para despertar o interesse dos alunos para a análise de um outro processo de resolução e comparação com o seu ou os já apresentados, o professor, apoiado nas ações de informar, começa por dar a indicação que vai ser apresentado um processo distinto, sem explicitar essa diferença (L.75). Para focar a atenção dos alunos no aspecto da resolução que a distingue das anteriores, Afonso, através das ações de apoiar, compara as designações das incognitas (L.77-78) e lança um novo convite que pretende voltar a chamar os alunos para a partilha de ideias, já que se podiam dispersar em virtude da conclusão que apresenta. Assim, apoiado nas ações de desafiar, incita os alunos a pensar sobre o resultado da equação (L.78-79).

Com essa ação, o professor pretende negociar com os alunos um procedimento particular: conjunto solução diferente em virtude da escrita de uma equação também diferente. Durante a comunicação da aluna, recorre às ações de apoiar para manifestar concordância com as justificações que vão sendo apresentadas, já que revelam um rigor e aprofundamento razoáveis – avaliação – transmitindo-lhe confiança para progredir na sua explicação. O professor usa a conclusão da discussão para reforçar a possibilidade de abordagens diversificadas para a resolução de um mesmo problema, como mostra o excerto seguinte:

Através das ações de informar, os alunos são alertados para a existência de diversas formas de se resolver um problema, destacando as circunstâncias em que isso acontece – designação da incógnita. Afonso considera esse aspeto fundamental nas discussões que envolvem o trabalho com equações: “Na discussão em grande grupo, chamar-lhes atenção para as diferenças que havia, em que apesar de muitas vezes o x ser diferente, dar um valor diferente, porque lhes atribuíram outra designação, vamos ver que depois no fim (…) a resposta era a mesma” (EF, junho de 2014).

O professor valoriza bastante a possibilidade de os alunos apresentarem e explicarem diferentes tipos de estratégias e relacionarem com a resposta ao problema. Com esse alerta, reforça a relação entre a solução de uma equação e a resposta ao problema, em função da definição da incógnita. A conclusão da discussão que o professor promove revela que a sua atuação é suportada pelo seu conhecimento da prática letiva em articulação com o da aprendizagem e dos alunos.

Os professores estudados, apoiados no seu conhecimento didático, empreendem diversas ações de ensino na condução da discussão coletiva, que organizam em três momentos principais: apresentação; comparação, avaliação e filtragem; e conclusão (Figura 4).

Dando início à discussão, para apresentação e explicação das estratégias desenvolvidas, os professores recorrem a ações de elicitar combinadas com ações de desafiar com o convite a alunos específicos, iniciando por resoluções que usam linguagem matemática informal. Enquanto Jorge usa ações de desafiar para levar os alunos a analisar um certo passo da resolução que inclui um raciocínio errado que precisa ser corrigido, Afonso apoia-se nessas ações para fomentar a justificação de raciocínios.

Para promover a comparação, avaliação e filtragem, os professores recorrem a ações de apoiar, informar e desafiar. Usam as ações de apoiar para focar aspectos determinantes das resoluções apresentadas e filtrar contributos importantes, tal como em Cengiz, Kline e Grant (2011), e acompanhar a exposição e negociação de ideias. Afonso apoia-se, ainda, nestas ações para oferecer interpretações para as ideias que estão a ser apresentadas. Ações de informar são usadas pelos professores para despertar o interesse para a análise de estratégias de resolução diferentes das apresentadas. Jorge usa, ainda, estas ações para oferecer interpretações para raciocínios expostos pelos alunos. Os professores apoiam-se em ações de desafiar para levarem os alunos a compararem estratégias distintas e negociarem procedimentos e justificar raciocínios. Jorge usa, também, estas ações para levar os alunos a apresentarem diversas razões para a não validade de um raciocínio exposto e para introduzir representações.

Na conclusão da discussão, Afonso usa sobretudo ações de informar para reforçar a possibilidade de diferentes abordagens para um dado problema e apresentar razões para essa diferença. Pelo seu lado, Jorge usa essas ações para fazer uma breve síntese das principais ideias discutidas com a tarefa, em contraste com o estudo relatado em Ponte, Mata-Pereira e Quaresma (2013), em que estas ações estavam, frequentemente associadas ao final da resolução de cada alínea. Durante a discussão das tarefas, os professores sentiram, por vezes, dificuldade em articular a sua fala com a dos alunos, acabando por apresentar justificações que poderiam ter sido dadas por estes. Justificam-no pela vontade de atingir o propósito da aula (no caso de Afonso) ou de levar os alunos a apresentar várias justificações para a incorreção de um certo raciocínio (no caso de Jorge).

O modo como os professores conduzem a discussão e os aspectos que mais valorizam nessa condução são influenciados pelo seu percurso profissional: Jorge costuma participar em projetos curriculares e de investigação e é formador na especialidade do uso de tecnologia na sala de aula; Afonso é a primeira vez que participa num projeto deste tipo e não costuma frequentar encontros relacionados com a Didática da Matemática. Assim, é natural que Jorge esteja mais sensível aos aspectos a valorizar na condução de uma discussão do que Afonso, que realiza no momento do estudo aprendizagens significativas relativas a esta questão.

Por isso, Jorge parece preocupar-se bastante com o conteúdo da discussão dando logo de início indicação ao aluno que está a apresentar o que pretende que seja exposto no quadro, com vista à discussão de um certo passo da resolução que verificou estar incorreto, analisando as razões da incorreção. Além disso, desafia os alunos a pensarem sobre uma estratégia que não emergiu nas suas resoluções e, na conclusão, procura fazer uma breve síntese das principais ideias discutidas. Afonso parece mostrar uma maior preocupação com a forma de conduzir a discussão, fazendo aparecer várias estratégias de resolução para analisar em coletivo, destacando na conclusão que um mesmo problema pode ser resolvido de diversas formas.

Jorge mobiliza o seu conhecimento da Matemática em articulação com o conhecimento da prática letiva para evidenciar o que precisa ser clarificado numa resolução e na síntese das principais ideias. Já Afonso fá-lo para relacionar resoluções e interpretar as soluções obtidas. O conhecimento da prática letiva em articulação com o conhecimento da aprendizagem e dos alunos é usado pelos professores para alertar os alunos para as diversas interpretações que se podem fazer a partir da tradução de uma dada informação de linguagem verbal para Matemática e respectivas implicações em termos de procedimentos. Jorge mobiliza o seu conhecimento da prática letiva, por exemplo, quando opta por continuar a incentivar os alunos a argumentarem sobre a incorreção de um certo raciocínio quando podia ter introduzido outro grupo na discussão e Afonso quando leva um grupo de alunos a relacionar duas resoluções distintas apresentadas na sua folha de resposta e a relacionar a solução da equação com a resposta ao problema.

Em síntese, este estudo mostra que é importante estudar as práticas de discussão matemática com o objetivo de as compreender melhor e proporcionar momentos produtivos de aprendizagem aos alunos, já que é fundamental que o professor consiga decidir quando deve continuar a discussão de uma ideia ou parar para pedir clarifìcações e usar ideias dos alunos para fazer observações matemáticas.