El rol de las desigualdades y de las inecuaciones es fundamental en la ciencia y tecnología. Estos objetos matemáticos están íntimamente ligados al concepto de aproximación. El gran matemático y filósofo inglés Russell (STEFFENS, 2006, p. 20) indicó lo siguiente: “Toda ciencia exacta es dominada por la idea de aproximación”. Cada vez que uno computa, uno aproxima y, cada vez que uno aproxima, uno compara y es ahí donde entran en juego las desigualdades o inecuaciones.

En la vida cotidiana también es de suma importancia saber comparar números para tomar decisiones, por ejemplo, para ver qué tasa de interés nos conviene al pedir un préstamo, o en el solo hecho de comprar un auto uno compara el rendimiento en carretera o en ciudad; cantidad de puertas; espacio en el maletero etc. Por ello, se puede concluir que la comparación de números, las desigualdades y las inecuaciones deben formar parte del conocimiento matemático que todo ciudadano debe saber.

En esta línea, Paulos (1990) presenta problemas para entender la matemática en el contexto de la vida cotidiana y, a partir de ejemplos y casos reales, explica cómo el común de los ciudadanos tiende a malinterpretar lo que ve y oye. Además, insiste en la importancia del conocimiento matemático (mínimo) que cada persona debe tener y hace varias propuestas para mejorar tal entendimiento. Él introdujo el término anumerismo (innumerancy, en inglés) que significa la incapacidad de comprender conceptos matemáticos aplicados en la vida cotidiana, dando algunos ejemplos de esta condición a partir de situaciones relacionadas con las desigualdades o inecuaciones cotidianas. En esta línea, Cerda et al. (2011) plantean que, para mejorar el nivel de competencia matemática, se requiere de un proceso de enseñanza y aprendizaje progresivo, donde se considere la complejidad del objeto matemático a enseñar.

Estos antecedentes despiertan un interés por conocer el tratamiento de la inecuación en el contexto escolar chileno, específicamente, nos ha llevado a analizar el currículum nacional y los textos de estudio que son distribuidos gratuitamente por el Ministerio de Educación de Chile (MINEDUC) para conocer cómo se ha planificado la enseñanza de dicho objeto matemático y, a partir de ello, determinar si ésta se ha planteado de manera progresiva o no. En definitiva, el trabajo que se presenta corresponde a un primer acercamiento a la temática, donde se pretende llevar a cabo un análisis general de la cuestión para, posteriormente, centrar el análisis en los tipos de tareas propuestos.

En el ámbito de la didáctica de la matemática, diversos estudios se han interesado en analizar el tratamiento que se le da a determinados objetos matemáticos, tanto en el curriculum como en los textos escolares (Por ejemplo: RICO, 1998; PINO; BLANCO, 2008; PINO-FAN et al., 2013; PARRA; PINO-FAN, 2017). Los trabajos desarrollados en esta linea, permiten distinguir la necesidad de contar con un referente que, a partir de la comparación, nos permita visualizar o evidenciar si se contemplan, o no, todos los componentes de un determinado objeto matemático.

En Breda, Font y Pino-Fan (en prensa) se plantea la discusión de que, con el objetivo de mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, en el marco del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemática (EOS) se han desarrollado distintas herramientas de análisis de la actividad matemática.

Una de esas herramientas son los criterios de idoneidad didáctica. Se entiende por idoneidad didáctica de un proceso de enseñanza-aprendizaje al grado en que éste (o una parte del mismo) reúne ciertas características que permiten calificarlo como óptimo o adecuado para conseguir la adaptación entre los significados personales logrados por los estudiantes (aprendizaje) y los significados institucionales pretendidos o implementados (enseñanza), teniendo en cuenta las circunstancias y recursos disponibles (entorno).

Es en Godino (2003) y en Godino, Wilhelmi y Bencomo (2005) donde se hace mención, por primera vez, a la noción de idoneidad didáctica. En Godino et al. (2006) es donde se comienza a desarrollar y precisar la noción de idoneidad didáctica, descomponiéndola en seis idoneidades específicas:

La operatividad de los criterios de idoneidad exige definir un conjunto de indicadores observables, que permitan valorar el grado de idoneidad de cada una de las facetas del proceso de estudio. Por ejemplo, todos concordamos que es necesario implementar unas buenas matemáticas, pero podemos entender cosas muy diferentes por buenas matemáticas. Godino et al. (2007) explican que, para algunos criterios, los indicadores son relativamente fáciles de consensuar (por ejemplo, para el criterio de idoneidad de medios), para otros, como es el caso de la idoneidad epistémica es más difícil.

Por ejemplo, se puede aumentar la idoneidad epistémica presentando a los alumnos una muestra representativa, variada y articulada de situaciones-problema (contextualizados, con diferentes niveles de dificultad etc.); buscando explorar el uso de los modos de comunicación (expresión verbal, gráfica, simbólica etc.), y las conversiones que pueden surgir entre ellos; adecuando el lenguaje matemático y la claridad y corrección de definiciones y procedimientos conforme al nivel educativo en que se está trabajando; presentando los resultados enunciados básicos del tema y adecuando explicaciones, comprobaciones y demostraciones dentro del nivel escolar al que se dirige y estableciendo relaciones entre definiciones, propiedades, problemas del tema estudiado. En este sentido, para que se logre la idoneidad epistémica es pertinente contemplar, en el proceso de instrucción, los componentes e indicadores presentes en el Cuadro 1.

En el marco del EOS, se plantea la idea de idoneidad epistémica como una herramienta útil para analizar el grado de representatividad de los significados institucionales implementados (o pretendidos), respecto de un significado de referencia (GODINO, 2013). En esta linea, el estudio que se presenta se ha focalizado en algunos de los indicadores del componente representatividad de la idoneidad epistémica del objeto matemático inecuación para lo cual se requiere la caracterización de los significados parciales que corresponden a una muestra representativa de lo que se quiere enseñar en el contexto de complejidad matemática de dicho objeto (FONT; BREDA; SECKEL, 2017).

Para lo anterior, es posible considerar la idea de complejidad matemática desarrollada por Rondero y Font (2015) en el estudio de la media aritmética y aplicada en Seckel (2016) para el estudio de la proporcionalidad. El concepto de complejidad de un determinado objeto matemático es entendido como la suma de todos los componentes de un determinado objeto y las conexiones que existen entre ellos. En base a esta idea, la complejidad del objeto matemático en estudio será vista desde la dualidad unitaria-sistémica, por ejemplo (en el contexto escolar chileno), en el estudio de la función raiz cuadrada, desde séptimo básico (12 a 13 años) hasta segundo medio (15 a 16 años) se ven las raices cuadradas, su cálculo y propiedades, en tercero medio (16 a 17 años) todos estos elementos se consideran algo conocido y, en consecuencia, como entidades unitarias (elementales).

Este mismo objeto matemático, en los cursos de séptimo básico y segundo medio, es considerado de manera sistémica para su aprendizaje. Una analogia parecida es la que presentan Rondero y Font (2015, p. 30), donde concluyen que “un elemento esencial para que sea posible esta mirada dual (unitaria-sistémica) hacia los objetos matemáticos es que los componentes que resultan de la mirada compleja se articulan (conectan) entre si, posibilitando la mirada unitaria del objeto matemático”.

Con la finalidad de construir un referente que nos permitiese visualizar la complejidad matemática de la inecuación (o desigualdad), se ha realizado una búsqueda bibliográfica que nos da cuenta del escaso desarrollo histórico-epistémico de este objeto de estudio. Esta misma dificultad fue manifestada por Borello y Lezama (2009, p. 1093) quienes declaran que, de las investigaciones consultadas:

Dichos hallazgos, que van en la misma linea de los encontrados en este estudio (VARGAS, 2013; GARROTE; HIDALGO; BLANCO, 2004; VRANCKEN; ENGLER; MÜLLER, 2010), se enfocan en la dificultad del aprendizaje de la inecuación y en cómo facilitar su estudio. Lo más cercano a antecedentes históricos se relaciona más bien con antecedentes generales del álgebra. Como ejemplo de ello, tenemos lo planteado por Baldor (1988) y Stewart (2008), quienes indican que los primeros documentos de álgebra tienen una antigüedad de unos 4000 años, los cuales se encontraron en Egipto y Babilonia, pues fueron estas dos civilizaciones las que le otorgaron una importancia selecta al tema, lo que permite concluir que se necesitaron cientos de año para llegar a alcanzar el simbolismo algebraico actual.

Otros antecedentes que menciona Stewart (2008, p. 66) es que “la palabra “álgebra” procede del árabeal-jabr, un término empleado por Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, que floreció alrededor del 820”. Asimismo, destaca que: “Los símbolos actuales > y < para “mayor que” y “menor que” se deben a Thomas Harriot. Los paréntesis redondos ( ) aparecen en 1544, y los paréntesis cuadrados [ ] y los corchetes { } eran utilizados por Vietà hacía 1593” (STEWART, 2008, p. 73).

Ahora bien, dado a los escasos antecedentes histórico-epistemológicos específicos de la inecuación, en este estudio se desarrolló la idea de complejidad matemática a partir de la revisión de diversos textos matemáticos que presentan el tema de la inecuación (APOSTOL, 1961; LEITHOLD, 1998; LARSON et al., 1999; MARTINEZ et al., 2014). En base a dicha revisión, se sugiere un esquema (Figura 1) con todos los componentes que están involucrados en el estudio de dicho objeto matemático.

En el centro de la Figura 1 (de color verde) se presentan los conceptos previos para estudio de la inecuación (comparar números, orden, recta numérica e intervalos), los que darán a conocer la desigualdad de números, en el marco de diversos conjuntos numéricos y acorde a lo que se estipula en el curriculum chileno para cada nivel; en cuarto, quinto y sexto año básico (10 a 12 años) se utiliza el conjunto de los números naturales, en séptimo año básico (13 años) los números enteros, en octavo año básico y primer año medio (14 y 15 años) números racionales, segundo año medio (16 años) números reales y en tercer y cuarto año medio (17 y 18 años) números complejos.

En el nivel superior de la Figura 1 (de color amarillo) se puede observar los tipos de inecuaciones (lineal, cuadrática, fraccionaria, valor absoluto y sistemas) con sus respectivos conceptos previos (de color naranjo), además de las especificaciones en las ecuaciones de primer grado y ecuaciones cuadráticas (de color rojo y gris). Finalmente, en el nivel inferior (de color celeste) se muestra dónde se utiliza la inecuación (estadistica, funciones optimización de recursos, condiciones de triángulos lugares geométricos, vectores y cálculo).

Es importante destacar que las desigualdades son conceptos previos de las inecuaciones por lo que, en primera instancia, se define la desigualdad y sus axiomas de orden para, posteriormente, trabajarlas en la resolución de inecuaciones. Por ello, en los conceptos previos de la Figura 1 aparecen comparar números, orden, recta numérica e intervalos.

Esta propuesta permitiria determinar qué componentes de la inecuación están presentes en el curriculum o textos escolares y, de esta manera, analizar la continuidad (o progresión) de dicho objeto matemático en el sistema escolar chileno lo que, según el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM, 2000), es un análisis relevante dado que el tratamiento progresivo de un determinado objeto matemático es clave a la hora de valorar la excelencia de un curriculum.

En esta linea, Pino-Fan et al. (2013), manifiestan la relevancia de verificar si los significados institucionales pretendidos son representativos del significado global de referencia de un determinado objeto matemático, puesto que la ausencia de alguno de sus componentes puede llevar a un tratamiento parcializado que puede afectar los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Para alcanzar el objetivo propuesto, analizar el curriculum y los textos escolares chilenos para conocer las características del tratamiento de la inecuación durante la formación escolar y su relación con la complejidad matemática de dicho objeto en estudio, se empleó la técnica cualitativa de análisis de contenido.

En la primera etapa se analizó los siguientes programas de estudio: cuarto año básico (MINEDUC, 2013a), quinto año básico (MINEDUC, 2013b), sexto año básico (MINEDUC, 2013c), séptimo año básico (MINEDUC, 2016a), octavo año básico (MINEDUC, 2016b), primer año medio (MINEDUC, 2016c), segundo año medio (MINEDUC, 2011), tercer año medio (MINEDUC, 2015a) y cuarto año medio (MINEDUC, 2015b).

De dichos programas, tanto los objetivos de aprendizaje (OA) como los indicadores de evaluación, se convirtieron en unidades de análisis que fueron clasificadas basándonos en los componentes presentes en la Figura 1, con la finalidad de determinar cuáles de dichos componentes están presentes en el curriculum escolar chileno. En una segunda etapa se procedió a analizar una colección de textos de estudio (de primaria y secundaria) que fueron distribuidos, gratuitamente, por el Ministerio de Educación de Chile, en el año 2016, en los establecimientos escolares que reciben subvención del estado.

Estos textos son: cuarto, quinto y sexto año básico (ESPINOZA; CANO, 2016a, 2016b, 2016c); séptimo año básico (MERINO et al., 2016); octavo año básico (CATALÁN et al., 2016); primer año medio (DEL VALLE; MUÑOZ; SANTIS, 2016); segundo año medio (MUÑOZ; RUPIN; JIMÉNEZ, 2016); tercer año medio (SAIZ; BLUMENTHAL, 2016) y cuarto año medio (MUÑOZ; GUTIÉRREZ; MUÑOZ, 2016).

Se trató de un análisis complementario al curriculum, dado que el texto escolar es uno de los recursos más utilizado por los profesores a la hora de planificar sus clases. Por esta razón, se decidió analizar los textos correspondientes a los mismos niveles contemplados en el análisis curricular (de cuarto año básico a cuarto año medio), analizando un total de nueve textos. En esta etapa, la técnica de análisis utilizada es la propuesta por Cobo (citado en VÁSQUEZ; ALSINA, 2015) quien propone un análisis cualitativo que considera los siguientes pasos:

A continuación se presentan los resultados obtenidos en el estudio. En primera instancia, se presentan los hallazgos del análisis curricular y, en segunda instancia, como un análisis complementario, se muestran los resultados obtenidos de los textos escolares analizados.

En base a la construcción de la Figura 1 (complejidad matemática de la inecuación) y a partir del análisis comparativo con el currículum nacional y los textos escolares otorgados por el Ministerio de Educación de Chile, se puede concluir que el tratamiento que se le otorga al objeto matemático en estudio (inecuaciones) no considera todos los componentes necesarios para la enseñanza de la inecuación a partir de su complejidad, pudiendo observar que tanto el currículum como los textos escolares dejan fuera las inecuaciones cuadráticas y las inecuaciones con valor absoluto, reconociendo, además, que se trabaja superficialmente las inecuaciones fraccionarias, lo que se observa en el análisis de los textos escolares.

A la vez, damos cuenta que en los niveles estudiados (cuarto año básico a cuarto año medio) no existe una continuidad o progresión en el tratamiento de la inecuación, pues en el currículum se observa que hay niveles donde la inecuación no es considerada de manera explícita (sexto año básico, primero, segundo y tercer año medio), reconociendo los mismos hallazgos en el análisis de los textos escolares, donde pudimos observar que en los cursos donde se trata la inecuación de manera implícita, se presentan actividades que requieren del manejo del objeto matemático en estudio para lograr comprender un objeto matemático nuevo, por ejemplo, para trabajar el concepto de dominio y recorrido de diferentes funciones.

Cabe destacar que los programas analizados, que componen el currículum chileno, se implementaron en el año 2016, y que en séptimo y octavo año básico hubo un cambio significativo al incorporar la enseñanza de la inecuación. Es por ello que la discontinuidad que se produce en los niveles de primero, segundo y tercero año medio es preocupante dado que, actualmente, los estudiantes que cursan primer año medio fueron formados con un programa que no contemplaba la enseñanza de dicho objeto matemático, por lo tanto, no están preparados para trabajar en unidades de estudio donde la inecuación es parte del conocimiento previo para iniciar el estudio de otras materias. Conociendo este escenario, resulta problemático que en los ajustes curriculares, propuestos para el año 2017 en los cursos de primero y segundo año medio, no se incorporé la enseñanza explicita de inecuaciones.

Por otra parte, la escasa información que se logra obtener para reconstruir el significado global de la inecuación (BORELLO; LEZAMA, 2009) implica una limitante en este estudio, pues la propuesta de la Figura 1 se presenta como una reconstrucción en desarrollo que puede ser ampliada a partir de los hallazgos de nuevos estudios en esta temática.

Asimismo, es importante destacar que, en relación a los textos escolares, este estudio se limitó al análisis de actividades y definiciones para hacer las relaciones permitentes con los componentes de la Figura 1. Sin embargo, próximos estudios podrian profundizar el análisis epistémico desde un punto de vista pragmatista (FONT; GODINO; GALLARDO, 2013), considerando otros aspectos como: propiedades y teoremas, argumentos y otras definiciones presentes.

Dado el panorama actual del tratamiento de las inecuaciones en el curriculum y textos escolares chilenos, surgen las siguientes cuestiones cómo posibles problemáticas a investigar: ¿Cómo afecta la discontinuidad en la enseñanza de la inecuación a los estudiantes chilenos? ¿Cómo se desarrolla este objeto matemático en el curriculum de otros paises?