La Competencia Profesional Docente (CPD) (BLÖMEKE et al., 2010; KUNTER et al., 2013; WEINERT, 2001) se define como lo que debe lograr el proceso de FID. Esta competencia se compone por capacidades cognitivas y de habilidad para resolver problemas en el aula, tales como conocimiento de la disciplina, conocimiento pedagógico, conocimiento didáctico del contenido, y habilidades de percepción, interpretación y diagnóstico (SHULMAN, 1986; BLÖMEKE et al., 2016; WEINERT, 2001).

En particular, entre las capacidades cognitivas Tatto et al. (2008) plantean en el proyecto Teacher Education and Development Study: Learning to Teach Mathematics (TEDSM) una serie de aristas de la CPD: Conocimiento del Contenido Matemático, que incluye el conocimiento profundo de la matemática escolar; Conocimiento Pedagógico del Contenido matemático, que aborda el conocimiento sobre planificaciones y diseños de clases, conocimiento interactivo aplicado a situaciones de enseñanza, como también el conocimiento del currículo escolar, tal como lo plantea Shulman (1986).

En cuanto al conocimiento sobre planificaciones y diseños de clases, Tatto et al. (2012) afirman que es necesario observar, en los programas de formación de profesores, que los estudiantes de pedagogía puedan: seleccionar apropiadamente actividades; predecir respuestas típicas de los niños y niñas, lo que incluye errores y dificultades; planificar métodos apropiados para representar ideas matemáticas; relacionar métodos didácticos con diseños instruccionales; identificar diferentes aproximaciones a la resolución de problemas; seleccionar métodos e ítems para evaluar.

En cuanto al conocimiento curricular, se establece que los estudiantes de pedagogía deben conocer el currículo escolar de matemática; establecer objetivos adecuados; identificar ideas claves en los programas de aprendizaje; seleccionar patrones posibles y visualizar conexiones en el currículum; conocer diferentes formatos de evaluación.

Por último, en cuanto al conocimiento para promover la matemática y su aprendizaje, los autores esperan que los estudiantes de pedagogía puedan representar o explicar conceptos o procedimientos matemáticos; generar preguntas productivas; diagnosticar respuestas de niños y niñas, incluyendo errores y dificultades; analizar o evaluar soluciones o argumentos; analizar el contenido de las preguntas; responder a ideas inesperadas; proveer de retroalimentaciones apropiadas.

Doyle (1983) definió actividades académicas como aquellas que esperan productos de los escolares relacionados a propósitos escolares y, por tanto, permiten explicar las conexiones entre enseñanza y aprendizaje que se producen en una clase (STEIN et al., 1996). Hiebert y Wearne (1993) afirman que una gran cantidad del aprendizaje que un niño o niña adquiere, está definido por los tipos de actividades que ellos hacen. Así, las actividades de clase, cumplen un rol mediador entre lo que se quiere que aprendan los escolares y cómo esto se puede lograr, desde el diseño de la actividad, hasta lo que el estudiante producirá y aprenderá. De esta forma, Stein et al. (1996) definieron una TM como una o varias actividades de clase que focalizan la atención de los escolares en una idea matemática.

El profesor, al diseñar TM e implementarlas, deja evidencia de su conocimiento matemático y percepción sobre el aprendizaje y la enseñanza de la matemática (HAGGARTY; PEPIN, 2002; SCHMIDT et al., 1997), permitiendo, entonces, observar sus dificultades o errores conceptuales. De esta forma, investigadores afirman que los procesos de desarrollo profesional deberían focalizarse en apoyar a los profesores en reconocer la complejidad de tomar decisiones al diseñar TM e implementarlas (CLARKE et al., 2009; ZASLAVSKY; SULLIVAN, 2011).

En la FID, al diseñar TM, el futuro profesor puede acceder al pensamiento matemático de los escolares, al pensar en la posible interacción de la TM con ellos, determinando posibles trayectorias de pensamiento al enfrentarlos a la TM (JAWORSKI, 2007; PEPIN, 2015; ZASLAVSKY; SULLIVAN, 2011); de esta forma, los futuros profesores se adentran al triángulo didáctico que se presenta en la sala de clases.

El diseño TM en la FID puede influir en la estructura de las posibles capacidades de diseño de los futuros profesores (THANHEISER, 2015). Pepin (2015) y Pepin et al. (2013) afirman que, cuando los docentes interactúan con las TM, se pueden observar que ellos: adaptan e integran materiales curriculares; modifican sus prácticas y su conocimiento matemático; cambian sus capacidades didácticas pedagógicas; se ven influenciados por los recursos curriculares en cuanto a posibles secuencias de TM. Por otra parte, los autores también observan que la calidad de las TM se ven afectadas por las capacidades y conocimientos de los docentes, por lo que el efecto es bidireccional, el profesor se ve afectado por la TM y la TM por el profesor.

Watson y Ohtani (2015) declaran que al diseñar TM se debe considerar: a) ¿qué se diseña? (tareas individuales; grupales; secuencia de tareas), b) ¿cuáles son las herramientas necesarias?, recursos manipulables, tecnológicos, recursos cognitivos, c) bajo qué condiciones se puede diseñar una TM. El diseño se hace de forma individual, de forma colectiva con otros colegas, quienes están involucrados en la TM, cuáles es el propósito de la tarea etc.

Por otra parte, Liljedahl et al. (2007) considera que el profesor debiera seguir las siguientes etapas para diseñar TM: anticipar; diseñar; implementar; reflexionar; modificar y rediseñar. En el análisis predictivo el profesor o futuro profesor debiera recurrir a su experiencia personal, como también a experiencias con tareas similares. Al diseñar, el profesor considera su análisis predictivo y lo bosqueja en un plan para ser implementado. Esto puede usar diferentes tipos de conocimiento matemático como didáctico.

En la implementación, la TM se ve enfrentada a un proceso de interacción entre la TM, el profesor y los escolares, lo cual puede generar modificaciones in situ o posteriores a la TM. En el análisis reflexivo, se evalúan las decisiones pedagógicas acordadas en función de los resultados de la implementación. Por último, se realizan ajustes donde, nuevamente, se reflexiona y evalúa todo el proceso.

De esta forma, el diseño TM no requiere solamente de habilidades o capacidades pedagógicas y conocimientos matemáticos, requiere del conocimiento de recursos curriculares y de la capacidad para percibir e interpretar la interacción entre la TM y los niños y niñas con el propósito de tomar decisiones que enriquecerán el diseño TM.

Para analizar cada una de las actividades de forma escrita, se procedió a realizar un análisis centrado en lo que el texto dice en función al papel desempeñado por el conocimiento teórico existente, con diferentes grados de rigidez. Así, por medio de un Análisis del Contenido Cualitativo (MAYRING, 2014), se realizó una primera codificación por dos correctores especializados como proceso de calibración y fortalecimiento de las categorías obtenidas de la revisión de literatura, específicamente de los apartados 2.1, 2.2 y 2.3 del marco conceptual, permitió incorporar elementos emergentes a ésta.

Las categorías y los descriptores que se establecieron para el análisis se observan en el Cuadro 2. Luego se procedió a realizar una doble corrección formativa y, por último, la doble corrección definitiva. Todas las dudas y discrepancias del proceso fueron revisadas por un investigador experto. El índice Kappa se calculó con el 100% de los datos. Una vez alcanzada la consistencia se procedió a corregir individualmente. Los índices Kappa variaban entre 0.91 y 1.0 con un promedio de 0.96.

Una vez codificados la totalidad de los casos, se procede a analizar la codificación, realizada de manera descriptiva, a nivel de categoría y de sus indicadores. Luego, se analizan los casos según características comunes usando el Análisis de Clases Latentes (ACL) para identificar asociaciones entre sujetos (casos) que comparten características o conductas similares (ROST, 2004; MAGIDSON; VERMUNT, 2004), como descripciones de TM.

Comparado con los análisis clásicos de análisis de clúster, el ACL realiza clasificaciones basado en probabilidades (los casos o sujetos son clasificados en un clúster basados en la probabilidad estimada de pertenecer a éste). Sujetos o casos agrupados de acuerdo a los resultados del ACL son denotadas como clases latentes. Conceptos educacionales que no pueden ser medidos directamente como conductas, creencias o estilos de prácticas de instrucción pueden ser modelados y caracterizados usando indicadores variables (KÖNIG; BLÖMEKE, 2012).

De esta forma, cada uno de los indicadores de conocimiento necesarios para diseñar una TM, que fueron obtenidos de la revisión literatura y de elementos emergentes del Análisis del Contenido Cualitativo, pueden ser agrupados en función de la distribución de presencia o ausencia en las descripciones de las TM de los estudiantes de pedagogía, generando relaciones entre ellos y, por ende, entre las clases latentes que los diferencian y los agrupan en función del diseño la TM. El análisis fue hecho con la función poLCA del paquete del mismo nombre de programa R-project (FINCH; FRENCH, 2015).

La decisión sobre el número de clases fue hecha en base al criterio de información Akaike y el criterio de información Bayesiana (AIC y BIC por sus siglas en inglés respectivamente), considerando que el menor valor en ambos criterios indica un modelo con mejor ajuste (ROST, 2004).

En la Figura 2 se observa que las categorías de conocimiento menos observadas en las actividades fueron: conocimiento del estudiante, principalmente aquellas relativas al conocimiento de errores y dificultades u obstáculos; conocimiento del currículo escolar relativo a la consideración de conocimientos de otras áreas disciplinares, como también de otros niveles escolares del eje de matemática; mención al uso de recursos tecnológicos; conocimiento de tipos de problemas abiertos y caracterizar la TM para que los escolares hagan matemática en términos de la complejidad cognitiva.

Por otra parte, las categorías de conocimiento más observadas fueron: TM con foco en lo procedimental; conocimientos de prácticas de interacción; conocimiento sobre la organización de clase; uso de materiales concretos como recursos; uso de actividades rutinarias y no rutinarias y TM del nivel de complejidad procedimental sin conexiones.

Al observar la frecuencia relativa entre la presencia de los indicadores de cada una de las dimensiones se puede observar que, en el 50% de las tareas diseñadas por los estudiantes de pedagogía, es posible identificar al menos un tipo de conocimiento matemático. Por otra parte, se observa que las dimensiones de conocimiento relativo a los estudiantes, al currículo escolar, la gestión de clases y recursos tienen menos de un 40% de presencia en las tareas diseñadas donde la frecuencia es de a lo más 2 indicadores. En cuanto al tipo de actividad y potencial de complejidad de las tareas, se observa que ambas tienen la misma distribución de observación en las tareas, con presencia de a lo más dos indicadores en cada una de las dimensiones.

Se estimaron tres modelos con dos, tres y cuatro clases latentes posibles, de los cuales el modelo con tres obtuvo el menor valor para ambos criterios de información, tal como se observa en la Tabla 1.

La Figura 4 muestra la distribución de probabilidad de cada una de las categorías de conocimiento de pertenecer a una u otra clase.

La probabilidad que un estudiante pertenezca a la Clase 1 es de un 51%; de pertenecer a la Clase 2 y Clase 3, del 25% respectivamente.

Clase 1 – Procedimentales. Esta clase latente se caracteriza por estudiantes de pedagogía que, al diseñar una TM para el objetivo de aprendizaje dado, se focalizan, principalmente, en abordar conocimientos matemáticos procedimentales (P(CMP/C1) =1 -probabilidad de presentar la categoría CMP, condicionado a estar en la clase 1-), por ejemplo, se pueden observar actividades del estilo:

En sus actividades se puede observar que son capaces de descomponer el objetivo de aprendizaje dado (P(CCEDOA/C1) =1) en indicadores de logro específicos los cuales se transforman en sus propósitos de actividad (P(CCEILOGRO/C1) = 1):

Tal como se observa, los estudiantes de pedagogía consideran la organización de los niños y niñas en el desarrollo de la actividad (P(CGCORGACLAS/C1) = 0.61) y el uso de material concreto (P(RMC/C1) = 0.63). Si bien consideran prácticas para la interacción entre el profesor y sus alumnos o entre alumnos (P(CGCPI/C1) = 0.61), o consideraciones afectivas para motivar a los alumnos (P(CEA/C1) = 0.73), sus actividades son rutinarias (P(TAR/C1) = 1) donde solo se les solicita a los niños y niñas evocar conocimiento, sin realizar conexiones o profundizar en las ideas o conceptos matemáticos (P(NCPM/C1) = 1):

Clase 3 – Conceptuales. Esta clase se caracteriza por estudiantes de pedagogía que, si bien comparten algunas características con la Clase 1, como que las actividades abordan aspectos procedimentales (P(CMP/C3) = 1), estos muestran actividades donde la intensión es la comprensión conceptual de los conocimientos matemáticos (P(CMC/C3) = 0.94) que se desprenden del objetivo de aprendizaje dado. Las actividades son no rutinarias (P(TANR/C3) = 0.81), con alta probabilidad de observar instrucciones para establecer conexiones (P(NCPPCC/C3) = 0.69) o ahondar en el conocimiento matemático para mantener a los alumnos razonando matemática (P(CGCPRM/C3) = 0.38):

Por otra parte, estos estudiantes de pedagogía también comparten con los de la Clase 1 el uso de material concreto (P(RMC/C3) = 0.75), la organización de los niños y niñas en el desarrollo de la actividad (P(CGCORGACLAS/C3) = 0.69), prácticas para provocar la interacción entre el profesor y sus alumnos y entre alumnos, como la retroalimentación y preguntas orientadoras en la actividad (P(NCPPCC/C3) = 0.88), y la determinación de sub-objetivos o propósitos que se pueden establecer desde el objetivo (P(CCEILOGRO/C3) =0.94) y se distribuyen y secuencias en la clase para lograr un gran objetivo, que puede ser el dado o bien parte de éste:

Sin embargo, estos estudiantes de pedagogía tienen probabilidades mayores o iguales a 0.4 de considerar en sus propuestas de actividades el capital cultural de los niños o niñas (P(CECC/C3) = 0.4), como el contexto o situaciones cotidianas de ellos, lo que relacionan con aspectos afectivos (P(CEA/C3) = 0.88) que tienen como propósito enganchar a los niños y niñas en las TM de las actividades:

Clase 2 – Genéricos. Los estudiantes de pedagogía que pertenecen a esta clase se caracterizan, principalmente, porque sus actividades no ahondan en el conocimiento matemático conceptual (P(CMC/C2) = 0.15) o procedimental (P(CMP/C2) = 0.25), sin embargo, en sus descripciones se puede observar claramente el uso de material concreto (P(RMC/C2) = 0.69) y de prácticas para provocar la interacción (P(CGCPI/C2) = 0.5):

Otra característica de este grupo, es que consideran los conocimientos previos (P(CECP/C2) = 0.31) de los alumnos en el desarrollo y descripción de sus clases lo que se transforma en el establecimiento de propósitos o sub-objetivos en sus actividades (P(CCEILOGRO/C2) = 0.31):

Independiente de la clase a la cual pueda o no pertenecer un estudiante de pedagogía, los conocimientos relativos a: incentivar, motivar y enganchar a los alumnos con las TM, gestionar clases para provocar la interacción entre alumnos y entre el profesor y sus alumnos; usar recursos como materiales concretos para el trabajo en la TM, permiten establecer que todos los estudiantes de pedagogía al diseñar una TM abordan, principalmente, la transición entre la Fase 2 y Fase 3 para el diseño de una TM que propusieron Stein et al. (1996).

En este sentido, el proceso anticipatorio (LILJEDAHL et al., 2007) se centra, principalmente, en la dimensión conocimiento del estudiante de pedagogía en cuanto a la atención de los niños y niñas para el desarrollo e implementación de la TM. Si bien esta característica es parte de las que tienen un alto potencial de complejidad cognitiva en el aula escolar de matemática (BOSTON et al., 2015), la ausencia de profundización en el conocimiento matemático del 76% de las actividades descritas por los estudiantes de pedagogía, da cuenta que los conocimientos desplegados en las actividades no permiten asegurar un potencial cognitivo alto cuando las TM se implementen.

Esto se ratifica por las bajas probabilidades de observar conocimientos relativos a: errores o dificultades posibles de los alumnos en relación al contenido o actividad planteada; las habilidades de los alumnos en relación al posible desempeño de ellos en las actividades; conexiones con otras áreas del conocimiento curricular escolar; prácticas para provocar discusiones matemáticas; el planteamiento de actividades de carácter abierto, conocimientos establecidos para que las TM tengan un nivel alto de complejidad cognitiva en el aula escolar de matemática (BOSTON et al., 2015).

Al observar, de manera diferenciada, los clústeres, se observan conocimientos que se relacionan entre sí, formando una red para diseñar una TM (KÖNIG; BLÖMEKE, 2012). Al observar el clúster 1, se tiene que los conocimientos que surgen en forma conjunta y con altas probabilidades son las relativas a: el uso de conocimientos matemáticos procedimentales; descomposición de objetivos de aprendizaje; establecimiento de indicadores de logro; uso de prácticas de instrucción para generar interacción; uso de actividades rutinarias que se centran en aspectos memorísticos. Ahora, si se considera el marco de análisis de la investigación, los conocimientos suplementarios a los anteriores, que tienen bajas probabilidades de ser observados en esta red son las relativas a: el estudiante en cuanto a errores y dificultades posibles, conocimientos previos, consideración de las habilidades de desempeño de los estudiantes, del capital cultural de éstos, de conexiones con otras áreas de conocimiento, uso de prácticas para provocar discusión y razonamiento matemático y el planteamiento de actividades rutinarias con bajo nivel de conexiones entre los conceptos. Esta red establece un dominio para diseñar cierto tipo de TM que se característica por abordar procedimientos de forma mecánica (WILLIAMS; CLARKE, 1997).

Por otra parte, el clúster 3 determina otra red de conocimientos que se relacionan y que determinan una TM con cierta característica. En particular, los conocimientos que surgen de manera conjunta son: el matemático conceptual y procedimental, del estudiante en cuanto a su capital cultural, del currículo escolar respecto de a la descomposición del objetivo de aprendizaje y determinación de secuencias de aprendizaje, de uso de prácticas para gestionar la clase con foco en la promoción del razonamiento matemático, de uso de recursos concretos, el planteamiento de actividades no rutinarias, que permiten hacer conexiones y establecer múltiples soluciones o modos de acercamiento a estos. Estos conocimientos establecen la red para obtener TM ricas, auténticas y complejas (WILLIAMS; CLARKE, 1997; BOSTON et al., 2015). Los conocimientos que tienen bajas probabilidades de salir en esta red los relativos a: el estudiante en cuanto a sus errores, dificultades, conocimientos previos y de habilidades de desempeño, de posibles conexiones con otros conocimientos disciplinares.

Por último, en el clúster 2 se presenta una red de conocimientos relativos al uso de recursos para motivar e incentivar a los alumnos con la TM. Los conocimientos que tienen bajas probabilidades de ser observados son prácticamente todos los definidos en el marco de referencia. Llama la atención la ausencia de conocimiento matemático, como polo opuesta a esta red. De esta forma, esta red es dominio de una nueva categoría de TM, la cual no se observa en la literatura, dado que todas consideran la presencia del conocimiento matemático en la TM (BOSTON et al., 2015; WILLIAMS; CLARKE, 1997).

Las TM que se puedan diseñar e implementar son clave, dado que son ellas las que direccionan el aprendizaje de los estudiantes, determinando lo que pueden o no aprender en el aula escolar en relación al conocimiento matemático (STEIN et al., 1996). De lo anterior, y dado que un 51% de los estudiantes de pedagogía de la muestra presentaron actividades de tipo procedimental, los niños y niñas que puedan abordar estas actividades no tendrán oportunidades para adquirir un conocimiento matemático eficaz y profundo (MA, 1999; NCTM, 2014).

Sin embargo, existe un 25% de los estudiantes de pedagogía que describen TM con potencial de complejidad alto, por lo que habrá niños y niñas que tengan la oportunidad de razonar matemáticamente, interactuar con sus pares en torno actividades abiertas para buscar múltiples estrategias o soluciones a problemas matemáticos. Esto confirma las percepciones de los estudiantes de pedagogía en un hecho concreto como el diseño TM en cuanto a la carencia de oportunidades de tipo práctico, tanto en la disciplina como en la enseñanza para esto (MINEDUC, 2005; GAETE et al., 2016).

Las TM descritas confirman una carencia de conocimiento metodológico del contenido matemático escolar (ÁVALOS; MATUS, 2010), tanto así que en un 25% de las actividades descritas no es posible observar ni conocimiento conceptual ni procedimental matemático desplegado en las propuestas de actividad. De esta forma, la habilidad para resolver problemas de aula de estos estudiantes de pedagogía es baja y, por ende, su CPD en el dominio cognitivo también (BLÖMEKE et al., 2016).

Ahora, dado que las prácticas de instrucción se definen en parte por el conocimiento del dominio cognitivo, y a las capacidades de tomar decisiones, interpretar y percibir de los profesores (BLÖMEKE et al., 2016), es probable que estos estudiantes de pedagogía no tomen decisiones acertadas lo que se refleje en prácticas de instrucción que no tengan como propósito lograr aprendizajes y, por ende, el proceso de enseñanza no sea exitoso (STEIN; LANE, 1996).

Esto tiene directa relación con la eficacia del proceso de formación inicial de las tres universidades a las que pertenecen los estudiantes de pedagogía de la muestra. Aun cuando estas universidades y sus programas de formación tienen el más alto nivel de acreditación en Chile, esto, por lo visto en la descripción de las actividades, no asegura un aprendizaje de los elementos del dominio cognitivo de la CPD, uno de los propósitos de la FID. (BAUMERT; KUNTER, 2006; FERRINI-MUNDY et al., 2006; SHULMAN, 1986; BLÖMEKE et al., 2016; TATTO et al., 2012; WEINERT, 2001). De lo anterior, se hace necesario analizar las oportunidades que la FID otorga a los estudiantes de pedagogía en futuras investigaciones, conectando estas oportunidades con los desempeños de los estudiantes de pedagogía.