Na literatura encontramos vários estudos que identificam dificuldades reveladas pelos alunos ao trabalhar com números racionais¹ na sua representação decimal, muitas vezes associadas à influência de conhecimentos prévios dos números inteiros² (e.g., DURKIN; RITTLE-JOHNSON, 2015; RESNICK et al., 1989; STEINLE; STACEY, 2003) e que podem persistir até à vida adulta (e.g., VAMVAKOUSSI; VAN DOOREN; VERSCHAFFEL, 2012), o que é revelador da importância da compreensão de numeral decimal³.

Ao invés de considerarmos estas dificuldades como um fim em si mesmas ou resultado entendido como praticamente inevitável da aprendizagem de números racionais na representação decimal, encaramo-las como evidências de um processo de mudança da conceitualização de número. É natural que os alunos comecem por estender os seus conhecimentos, associados aos números inteiros, para lidar com números pertencentes a um conjunto numérico até então desconhecido. O seu entendimento de número transforma-se e amplia-se à medida que se confrontam com novas questões, provocadas pelo novo conjunto numérico (SWAN, 2001). Assumimos neste estudo a perspectiva de que o desenvolvimento da compreensão de número racional ocorre na continuidade do desenvolvimento da compreensão de número inteiro, através do reconhecimento das características que se mantêm e das que se alteram entre os dois conjuntos numéricos (SIEGLER; THOMPSON; SCHNEIDER, 2011).

Assim, acreditamos que o recurso a situações que podem conduzir a conclusões incorretas, devido ao uso do que neste artigo se designa por extensões de conhecimentos incorretas, pode promover o desenvolvimento da compreensão de numeral decimal, uma vez que apela precisamente ao reconhecimento de diferenças e semelhanças entre números inteiros e números racionais. Ao focar-se a discussão em extensões de conhecimentos, habitualmente realizadas pelos alunos e amplamente identificadas na literatura, criam-se também oportunidades para que os alunos confrontem as suas próprias interpretações com as que estão em discussão (SWAN, 2001).

Evidências de estudos realizados com alunos a partir do 6° ano (ADAMS et al., 2014; DURKIN; RITTLE-JOHNSON, 2012; HUANG; LIU; SHIU, 2008; TSOVALTZI et al., 2010) reforçam o contributo que um trabalho em torno da análise de situações que envolvem extensões de conhecimentos incorretas pode ter. Não só apontam evidências de melhoria no desempenho dos alunos no que se refere ao trabalho com frações e com numerais decimais, mas também indicam menor incidência da realização de extensões incorretas pelos alunos (ADAMS et al., 2014). Contudo, para além destas investigações terem sido realizadas com alunos mais velhos, o fato de serem maioritariamente estudos longitudinais, não permite elaborar sobre quais ideias relativas aos números racionais foram, especificamente, desenvolvidas ou para as quais o contributo deste tipo de trabalho foi importante.

Assim, com este artigo procuramos compreender que potencialidades têm situações que sugerem extensões de conhecimentos incorretas como meio para promover a construção da compreensão de numeral decimal.

Na investigação, as extensões de conhecimentos que podem induzir a conclusões incorretas são habitualmente designadas por misconceptions ou, em português, concepções errôneas. Contudo, este termo não nos parece o que melhor define o nosso entendimento do que são estas extensões de conhecimentos. Confrey (1991) refere que ao usar este termo não estamos a considerar a perspectiva do aluno, cuja ideia é efetivamente válida nas situações que lhe são familiares. Para além disso, a palavra misconception ou a expressão concepção errônea parece delinear uma barreira entre o certo e o errado, subentendendo-se a noção de que se trata de algo a evitar (SWAN, 2001). Outra expressão também presente na literatura é a de concepções alternativas, mas esta parece surgir em oposição a concepções normais ou à concepção que é culturalmente aceite, parecendo de algum modo reduzir a importância do desenvolvimento de determinado conceito por parte do aluno, que não deixa de ser devidamente fundamentado e conectado com várias ideias (CONFREY, 1991; SWAN, 2001).

Neste estudo, entendemos extensões de conhecimentos como evidências de generalizações locais feitas pelos alunos, válidas em determinado domínio e que podem não o ser quando aplicadas a domínios mais amplos (SWAN, 2001), podendo, por isso, levar a conclusões incorretas. As extensões refletem assim a mudança gradual que caracteriza a ampliação da conceitualização de número. O conceito de número, anteriormente revestido das características dos números inteiros, é transformado através de um processo de distinção entre o que são as características comuns a qualquer número (pertencente ao conjunto dos números reais) e o que são as características que apenas se verificam em determinado conjunto numérico (SIEGLER; THOMPSON; SCHNEIDER, 2011).

A perspectiva assumida neste estudo tem subjacente a noção de que um conceito está em constante mudança e evolução (SWAN, 2001). Ao entrar no conjunto dos números racionais, alguns conceitos até então abordados no conjunto dos números inteiros, são agora ampliados e enriquecidos, noção basilar da teoria integrada do desenvolvimento numérico proposta por Siegler, Thompson e Schneider (2011). Estes autores defendem que, no cerne do desenvolvimento numérico, está a compreensão de grandeza numérica (SIEGLER; BRAITHWAITE, 2017), salientando assim a continuidade entre o desenvolvimento do conhecimento relativo a números inteiros e a números racionais. Siegler, Thompson e Schneider (2011) referem que faz parte do desenvolvimento da compreensão de número tanto o reconhecimento das características que se salientam no conjunto dos números inteiros, como a existência de um único sucessor, a possibilidade da contagem ou o efeito das operações, bem como o reconhecimento das características que são comuns entre diferentes conjuntos numéricos.

Na literatura, encontramos vários estudos que identificam extensões de conhecimentos dos alunos, principalmente as que estão associadas às características que são específicas do conjunto dos números inteiros, mas que são estendidas ao conjunto dos números racionais, induzindo, por isso, a respostas incorretas. Ao invés de se considerar estas extensões de conhecimentos como obstáculos a evitar, estas devem ser intencionalmente chamadas e tornadas explícitas de modo a serem discutidas pelos alunos, promovendo assim uma aprendizagem com compreensão (SWAN, 2001).

Estendendo determinadas formas de perceber a grandeza de um número, comum aos números reais (SIEGLER; THOMPSON; SCHNEIDER, 2011), através de conjuntos numéricos diferentes, nem sempre resulta em respostas corretas. Neste estudo iremos considerar três extensões de conhecimentos largamente utilizadas por alunos de diferentes faixas etárias (e.g., DESMET; GRÉGOIRE; MUSSOLIN, 2010; RESNICK et al., 1989; STEINLE; STACEY, 1998), designadas aqui por: (i) mais algarismos, maior grandeza; (ii) zero mais à esquerda; e (iii) mais algarismos, menor grandeza.

Ao usar a extensão mais algarismos, maior grandeza, os alunos estendem aos numerais decimais a característica específica dos números inteiros de que quanto maior o número de dígitos que compõe o numeral decimal, maior será a grandeza do número representado (DURKIN; RITTLE-JONHSON, 2015; RESNICK et al., 1989; STEINLE; STACEY, 1998; TIAN; SIEGLER, 2017), por exemplo, o número expresso por 0,15 é entendido como superior a 0,3 uma vez que 15 é superior a 3.

A extensão zero mais à esquerda diz respeito às situações em que os alunos não atribuem qualquer valor a zero quando ocupa a posição mais à esquerda da parte não inteira do numeral decimal, por exemplo, 0,03 é entendido como igual a 0,3. Esta extensão resulta da mobilização do conhecimento de que, no conjunto dos números inteiros, o zero quando colocado na ordem mais à esquerda não altera a grandeza do número representado, podendo por isso ser retirado sem alterar o valor do número (DURKIN; RITTLE-JOHNSON, 2015; RESNICK et al., 1989).

Por fim, usando a extensão mais algarismos, menor grandeza, os alunos consideram que quanto maior for o número de algarismos que constituem o numeral decimal, menor será a grandeza do número representado. Por exemplo, os alunos consideram que 0,586 representa um número menor que 0,4 porque um numeral com milésimas será menor do que um numeral com décimas, pois as milésimas correspondem a partes mais pequenas da unidade do que as décimas.

Esta extensão é por vezes associada aos conhecimentos relativos a frações, uma vez que frações com denominadores maiores representam partes menores do que frações com denominadores menores, e com igual numerador (DURKIN; RITTLE-JOHNSON, 2015; RESNICK et al., 1989). Contudo, neste artigo não a relacionamos exclusivamente a conhecimentos relativos a fração, uma vez que nos parece estar também associada à compreensão da estrutura decimal, subjacente aos números inteiros e agora estendida ao conjunto dos números racionais na sua representação decimal. A associação de menor grandeza a numerais com mais algarismos quando comparados a numerais com menor número de algarismos, parece revelar a compreensão de que cada algarismo representa uma parte menor do que o algarismo posicionado à sua esquerda, ou seja, revela evidências de compreensão do valor de posição.

Deste modo, consideramos que a extensão mais algarismos, menor grandeza é de natureza diferente das duas primeiras extensões referidas. Ao utilizarem esta extensão os alunos não estão apenas a aplicar aos numerais decimais o que reconhecem ser válido nos números inteiros, estão a evidenciar que o seu conceito de número está a alterar-se. Deste modo, interpretamo-la como evidência de desenvolvimento da compreensão de numeral decimal (DURKIN; RITTLE-JOHNSON, 2015).

Situações que sugerem extensões de conhecimentos traduzem oportunidades para compreender o olhar dos alunos sobre os números, podendo também ser facilitadoras da aprendizagem. O recurso a este tipo de situações pode promover o envolvimento dos alunos em processos de reflexão e descoberta matemática, levando-os a encarar de modo construtivo a dúvida e o conflito e, igualmente importante, provoca a necessidade de justificarem a sua atividade matemática (BORASI, 1994; CONFREY, 1991). Para além de justificarem as suas próprias ideias, os alunos procuram justificar respostas que não são as suas, identificando os motivos que as tornam corretas ou incorretas (SIEGLER, 2002).

Deste modo, o trabalho em torno de situações que sugerem extensões de conhecimentos reveste-se de grande importância também para o desenvolvimento do raciocínio matemático. O processo de análise e/ou refutação de determinada extensão de conhecimentos, procurando compreender por que motivo não é válida na situação em que se apresenta, pode constituir-se como uma introdução a processos de raciocínio mais complexos e levar ao recurso de contraexemplos (LANNIN; ELLIS; ELLIOTT, 2011; NCTM, 2000). O envolvimento dos alunos nestes processos pode ainda levar ao desenvolvimento de justificações cada vez mais consistentes, promovendo a sua compreensão de determinadas ideias matemáticas, podendo ter potencialidades a nível da construção de novas ideias (WHITENACK; YACKEL, 2008).

Neste artigo reportamos parte de um estudo mais amplo que segue a modalidade de Investigação Baseada em Design (IBD) (PONTE et al., 2016). Especificamente, segue-se um tipo de IBD que é designado por Cobb, Jackson e Dunlap (2016) como classroom design study, uma vez que é uma investigação centrada nos processos de aprendizagem de um conteúdo específico, no contexto de sala de aula.

Partindo da revisão de literatura, foram elaborados seis princípios de design, que orientaram a conjectura e os recursos da experiência de ensino: 1) usar tarefas cujo contexto apele ao uso de numerais decimais, nomeadamente nos seus significados de medida e parte-todo; 2) promover transformações entre numeral decimal e outras representações, enfatizando as suas relações; 3) promover o uso de representações que possam ser transformadas em modelos para pensar sobre numerais decimais; 4) apoiar o uso de conhecimentos prévios; 5) promover a discussão de extensões de conhecimentos (que norteia as tarefas que serão foco de análise neste texto); e 6) estabelecer um ambiente de sala de aula onde os alunos são encorajados e se sintam confiantes em partilhar e discutir as suas ideias matemáticas.

A experiência de ensino foi realizada no 3° ano⁴ (ano letivo de 2013/2014) e 4.° ano, no ano letivo seguinte. Os participantes foram os 25 alunos de uma turma de uma escola, em Lisboa, a professora e a investigadora (primeira autora). Em conjunto com a professora foram selecionados quatro alunos para uma recolha e análise de dados mais detalhadas. Esta seleção teve por base: (i) igual número de meninas e meninos; (ii) resultados medianos no estudo diagnóstico realizado anteriormente; (iii) comunicação oral mediana; e (iv) desempenho acadêmico em Matemática de nível “Médio”. Neste texto, a análise é centrada no trabalho realizado por estes quatro alunos que constituíram o grupo foco, aqui denominados por Bárbara, Rute, André e Dinis.

As tarefas foram resolvidas em aulas de 90 minutos, uma vez por semana, num total de 16 semanas nos dois anos letivos. As principais fontes de dados são as gravações em vídeo e áudio das aulas, os registros realizados pelos alunos e as notas de campo da investigadora.

A análise assume duas dimensões: o modo como os alunos discutiram as questões apresentadas considerando os indicadores do Quadro 1, particularmente centrados no raciocínio matemático (LANNIN; ELLIS; ELLIOTT, 2011; SIEGLER; THOMPSON; SCHNEIDER, 2011; WHITENACK; YACKEL, 2008); e a identificação das ideias-chave relativas à compreensão de numeral decimal que daí emergiram.

Quadro 1

Categoria	Indicadores
Extensões de conhecimentos	• Estende conhecimentos: mais algarismos, maior grandeza; mais algarismos, menor grandeza e/ou zero mais à esquerda.
	• Identifica extensões de conhecimentos válidas ou não válidas de acordo com a situação.
	• Justifica por que motivo a extensão de conhecimentos é válida ou não de acordo com a situação;
	• Usa exemplos, contraexemplos e/ou analogias para explicar que a extensão de conhecimentos é válida ou não, de acordo com a situação.

Fonte: Quadro referente à pesquisa, 2017.

Analisamos três episódios de sala de aula relevantes para a discussão das três extensões de conhecimentos identificadas anteriormente: os dois primeiros episódios ocorreram no 3° ano e o último, no 4° ano. Os alunos trabalharam em pares cuja constituição foi mudando.

Neste artigo procuramos compreender que potencialidades têm situações que sugerem extensões de conhecimentos incorretas como meio para promover a construção da compreensão de numeral decimal. Através da análise dos três episódios concluímos que, tal como fora antecipado, o uso de situações centradas em extensões de conhecimentos incorretas pode promover o desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos. O envolvimento dos alunos na verificação de cada situação de modo a poderem posicionar-se relativamente ao que era apresentado provocou o recurso a justificações, tal como mencionado por Borasi (1994). A procura do motivo pelo qual uma extensão não era válida, quer a que era evidenciada na tarefa proposta, quer a usada por um colega, influenciou também o recurso a contraexemplos (LANNIN; ELLIS; ELLIOTT, 2011), evidente no terceiro episódio.

Salientamos a importância da interação entre professor-aluno e aluno-aluno enquanto geradora de conflitos inter e intrapessoais (SWAN, 2001). A interação professor-aluno foi essencial para, por exemplo, criar o conflito resultante do uso da extensão mais algarismos, menor grandeza, mas também para auxiliar a reflexão dos alunos através da sugestão do recurso a modelos que possibilitassem pensar sobre os numerais.

Por se ter valorizado um trabalho em pares, as interações aluno-aluno desencadearam também situações de conflito, evidente nas situações em que os alunos discordaram dos colegas ou procuraram questioná-los sobre as suas ideias, como Dinis tentou fazer no terceiro episódio, ao procurar um contraexemplo da ideia de André. Deste modo, parece-nos importante sublinhar que um dos aspectos que confere grande potencial ao uso deste tipo de situações para a aprendizagem dos alunos é a interação entre os elementos da turma, que vai além da simples validação das respostas dos alunos (DURKIN; RITTLE-JOHNSON, 2012; TSOVALTZI et al., 2010).

Através da análise das justificações apresentadas pelos alunos, bem como dos contraexemplos usados, identificamos potencialidades do uso deste tipo de situações para o desenvolvimento de ideias relativas aos números racionais na representação decimal, em particular a nível da (i) mobilização de modelos para pensar sobre numerais decimais; (ii) conceitualização da unidade relativamente à unidade de referência considerada, à transformação de unidades (em especial partição de unidades, ou seja, divisão de uma unidade em unidades mais pequenas) e ainda à relação entre a unidade e as partes; e (iii) compreensão do valor de posição dos algarismos constituintes da parte não inteira de decimais, em particular do algarismo zero, situado em diferentes posições.

Considerando as três extensões aqui focadas, os resultados confirmam que o uso deste tipo de situações promove a ampliação do conceito de número, tal como entendida por Siegler, Thompson e Schneider (2011), uma vez que a discussão das diferentes situações pelos alunos promoveu o reconhecimento de características que são (i) salientes nos números inteiros, como a percepção da grandeza através do número de algarismos e papel do zero quando posicionado mais à esquerda; (ii) salientes nos numerais decimais, como a identificação da unidade de referência; e (iii) comuns a ambos os conjuntos, como a estrutura decimal e o papel que o zero assume no sistema de numeração decimal, ou ainda a possibilidade de ordenar e representar os números em modelos como a reta ou as grelhas 10×10 e 10×100.

Concluímos reforçando a perspectiva de que as extensões de conhecimentos incorretas são parte integrante da aprendizagem e reveladoras do processo de transformação do próprio conceito de número dos alunos e, por isso, a sua discussão tem um papel central na construção da compreensão de numeral decimal.