Charles Sanders Peirce (1839-1914) foi um filósofo e matemático americano. Peirce tinha em mente, segundo Santaella (2008), a estruturação de uma doutrina capaz de compreender as estruturas do conhecimento e caracterizou a semiótica como ciência dos signos que tem por objetivo o exame dos modos de produção de significado e de constituição de conhecimento. Para Peirce um signo

Assim, na teoria peirceana o signo tem natureza triádica, sendo constituído por três componentes: o representámen, ou fundamento do signo, o objeto e o interpretante. A adição do terceiro componente – o interpretante – na conceitualização do signo e a estruturação das relações entre estes componentes, constitui uma mudança revolucionária na evolução histórica da semiótica. De fato, segundo Saénz-Ludlow e Kadunz (2016), a introdução do interpretante como o efeito que o signo provoca na mente do intérprete, é o reconhecimento irrevogável de Peirce de que cada pessoa constitui seu próprio processo de atribuição de significado.

Como fundador do pragmatismo, Peirce formula suas definições sobre signo com um indiscutível zelo em relação a uma ação possível, à experiência, e, embora primem pela abstração, segundo Santaella (2008), suas formulações acabam por dar conta das mais diversas situações concretas.

Assim, em suas teorizações, Peirce indica que tudo que aparece à consciência pode ser traduzido em termos de três elementos formais associados a toda e qualquer experiência: Qualidade, Reação e Mediação. Santaella (2008) interpretando estes termos argumenta que “o signo é um primeiro (algo que se apresenta à mente), ligando um segundo (aquilo que o signo indica, se refere ou representa) a um terceiro (o efeito que o signo irá provocar em um possível intérprete)” (p. 7). Esta interpretação da autora também está alinhada com a terminologia já definida por Peirce, considerando estes três elementos caracterizados como categorias fenomenológicas: a primeiridade, a secundidade e a terceiridade.

A Primeiridade refere-se à qualidade dos objetos, ao que está relacionado ao acaso, sem referência a alguma outra coisa. A Secundidade refere-se à experiência, às ideias de dependência, determinação, dualidade, ação e reação. A Terceiridade refere-se à generalização, continuidade, capacidade de construção de conhecimento. Para Santaella (2008), essas três categorias constituem as três modalidades possíveis de apreensão de todo e qualquer fenômeno, esteja ele ocorrendo na Física, na Matemática, na Biologia, na Música ou em qualquer outra área do conhecimento.

No âmbito da Matemática, fenômenos educacionais têm sido interpretados à luz da teoria pragmática de Peirce. Neste contexto, Garnica (2001) aponta a influência de Peirce em questões educacionais e destaca a preocupação do semioticista no que se refere à abordagem das operações matemáticas no ensino de Matemática. Segundo Garnica, as concepções peirceanas sobre educação influenciaram as reformas curriculares ainda no início do século XX e trazem influências para a constituição da Educação Matemática. Levando em consideração que toda e qualquer apreensão se dá por meio da linguagem, que os signos são justamente os meios que viabilizam a linguagem, que a Matemática, seu ensino e sua aprendizagem estão também associados à produção e ao uso de signos, podemos conjecturar que os constructos da semiótica peirceana podem servir para a análise de fenômenos no âmbito do ensino e da aprendizagem da Matemática. Nos artigos que examinamos, cinco ocupam-se justamente desta análise.

Raymond Duval é filósofo e psicólogo francês. Desenvolveu grande parte de seus estudos em Psicologia Cognitiva no Instituto de Pesquisa em Educação Matemática de Estrasburgo, na França, no período de 1970 a 1999.

Um aspecto relevante de seus estudos, conforme indicado em Duval (2011), é que em Matemática “A análise do conhecimento não deve considerar apenas a natureza dos objetos estudados, mas igualmente a forma como os objetos nos são apresentados ou como podemos ter acesso a eles por nós mesmos” (p. 15). Neste sentido, o interesse de Duval está, principalmente, no funcionamento cognitivo do aluno. Para ele, o pensamento é ligado às operações semióticas e, consequentemente, não haverá compreensão possível sem o recurso a essas representações.

A construção da teoria de Duval – A teoria dos registros de representação semiótica – como é conhecida, se daria a partir de um enfoque interpretativo das teorizações de Peirce, de Saussure e de Frege². Não está no escopo do presente artigo toda a estruturação da teoria de Duval. Todavia nos parece pertinente tratar de suas fundamentações, especialmente para a formalização do termo representação. Retomamos assim, alguns aspectos da teoria peirceana visando elucidar sua relação com definições de Duval.

Para Peirce (2005) a representação é uma função do signo e representar é “estar em lugar de, isto é, estar numa relação com um outro que, para certos propósitos, é considerado por alguma mente como se fosse esse outro” (p. 61). Peirce faz também uma relação entre signo e representação: “Quando se deseja distinguir entre aquilo que representa e o ato da representação, pode-se denominar o primeiro de ‘signo’ e o último de ‘representação’” (p. 61). Em consonância com esta assertiva de Peirce, Duval (2011) defende que as representações podem mudar conforme os pontos de vista, os sistemas de representação. O objeto, entretanto, é invariante do conjunto de representações que lhe podemos associar.

Segundo Duval (2011), o projeto de Peirce visando descrever o papel dos signos e das representações compreendia, essencialmente, dois aspectos. Primeiro, a classificação da diversidade das representações. O segundo visava analisar não somente a produção dos signos ou das representações, mas a sua interpretação numa perspectiva que se pauta na ideia de que conhecer algo não implica somente na produção, mas também na interpretação das representações desse algo.

Duval, no decorrer de suas estruturações pondera que teria sido nessa perspectiva que Peirce retomou sua definição de signo, passando a escrevê-la como: “Um signo, ou representação é algo que está para alguém com alguma finalidade e em relação a algum aspecto ou capacidade” (DUVAL³, 2011, p. 32).

Para estabelecer a sua denominação de representação semiótica, Duval (2011) esclarece então o que denomina de clivagem cognitiva entre signos e representações. Segundo o autor, ambos, o signo e a representação, na atividade de conhecimento

Com alguns exemplos na Matemática, Duval pondera que os signos correspondem as coisas pelas quais é preciso começar para dar um sentido a algo. As representações, por sua vez, expressam esse sentido e revelam a interpretação que os intérpretes dão para esse signo. A partir dessa discussão, Duval (ano) passa a considerar uma outra linha divisória: a que distingue as representações semióticas e as representações não semióticas.

Para Duval (2011), as representações semióticas são, portanto, produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas dificuldades próprias de significado e de funcionamento.

Para ser considerada uma representação semiótica é necessário que atenda a três atividades cognitivas: a formação de uma representação identificável, o tratamento e a conversão de uma representação para outra.

Embora a questão da necessidade das representações semióticas em Matemática seja orientada por dois aspectos – a referência aos objetos e a transformação em outras representações – importa mais nessas representações a potencialidade intrínseca de serem facilmente transformadas em outras representações semióticas. O reconhecimento de um mesmo objeto nas diferentes representações é um problema cognitivo e a sua dificuldade pode advir do fato de que representações diferentes podem ter demandas conceituais e cognitivas diferentes.

Neste contexto, há de se conjecturar que a diversidade de tipos de representações semióticas e o modo de funcionamento de cada uma delas são questões relevantes para a realização da atividade matemática e da compreensão do objeto matemático. As operações e as interpretações das diferentes representações semióticas constituem, assim, demandas cognitivas associadas à compreensão em Matemática.

Na construção de sua teoria, Duval assinala esta mobilização simultânea de ao menos duas representações. O autor defende também que a coordenação de diferentes representações, sobretudo de coordenações progressivas entre diversas representações construídas em diferentes sistemas semióticos, é condição para a compreensão em Matemática. Quanto mais completa for esta coordenação, mais o aluno se torna capaz de conhecer o objeto e de falar sobre ele.

Levando em consideração esta relevância atribuída por Duval às representações é que seus pressupostos têm orientado pesquisas na área de Educação Matemática. Nos artigos do BOLEMA que estamos analisando, em sete deles os autores pautaram suas argumentações no quadro teórico estabelecido por Duval.

O enfoque ontosemiótico, reconhecido como Enfoque Ontosemiótico da Cognição e Instrução Matemática (EOS) vem sendo estruturado desde o início da década de 1990, tendo como mentor Juan D. Godino – professor da Universidade de Granada, na Espanha. Em termos gerais, Godino e seus colaboradores abordam a natureza dos objetos matemáticos, visando aproximações teóricas que consideram pressupostos do pragmatismo, da antropologia e da semiótica para compreender determinados aspectos dos objetos matemáticos, seu ensino e sua aprendizagem.

Segundo Godino, Batanero e Font (2014), suas elaborações decorrem da necessidade de elaborar modelos ontológicos e semióticos para tratar da questão do significado institucional e pessoal dos objetos matemáticos.

Conforme sugerem Gusmão et al. (2011), o ponto de partida do EOS foi a formulação de uma ontologia dos objetos matemáticos. Numa perspectiva educacional que considera a Matemática como atividade de resolução de problemas, os objetos matemáticos emergem das próprias atividades matemáticas. Neste sentido o enfoque é semiótico porque atribui papel essencial às representações enquanto recursos de expressão e de comunicação na atividade matemática. Os conflitos semióticos neste contexto referem-se:

O que o enfoque ontosemiótico estabelece então é uma caracterização dos significados, sejam pessoais sejam institucionais. Além disso, a identificação de diferentes tipos de objetos matemáticos que emergem da atividade matemática também é estabelecida, considerando atributos contextuais bem como características com relação à própria natureza dos objetos (se são elementos linguísticos, se são algoritmos, se são situações-problema, por exemplo).

Os objetos matemáticos têm natureza complexa e sua abordagem na sala de aula depende das diferentes instituições, dos livros utilizados, da prática matemática utilizada pelos professores para o processo de instrução nas diferentes circunstâncias educacionais.

O EOS considera cinco níveis para a análise didática do processo de instrução que permitem descrever e identificar a Matemática e descrever a interação produzida no processo de instrução e as normas que o regulam. Segundo Font, Planas e Godino (2010), o EOS propõe cinco níveis ou tipos de análise didática do processo de instrução: 1) Identificação de práticas matemáticas; 2) Elaboração das configurações de objetos e processos matemáticos; 3) Análise das trajetórias e interações didáticas; 4) Identificação do sistema de normas e metanormas; 5) Valoração da idoneidade didática do processo de ensino e aprendizagem.

Assis, Frade e Godino (2013, p. 736) argumentam que uma análise didática em termos dos diversos níveis de análise do EOS precisa descrever e explicar a aprendizagem e a forma como se dá sua produção, bem como a relevância da interação entre professor e aluno para essa produção.

Neste sentido, o EOS viabiliza a configuração e análise da instrução matemática, contemplando diferentes configurações didáticas, as práticas matemáticas associadas aos conhecimentos didático-matemáticos dos professores bem como as interações que consideram aspectos pessoais e institucionais do ensino e da aprendizagem.

Abordagens relacionadas ao enfoque ontosemiótico vinculadas ao ensino e à aprendizagem sob uma análise cognitiva e epistêmica têm motivado pesquisadores, constituindo o quadro teórico em onze artigos publicados no BOLEMA.

Dos vinte e três artigos examinados, cinco funadamentam-se nos pressupostos da semiótica enunciados por Peirce.

O artigo P₁, (Silveira, 1994), consiste em um ensaio teórico em que o autor, apresentando a classificação de Peirce para as ciências como ele a fez na década de 1900, expõe relações estabelecidas entre a Matemática e a Filosofia bem como esclarece caracterizações realizadas por Peirce para a Matemática. Segundo o autor, Peirce em sua classificação, situa a Matemática como Ciência da Descoberta, sendo essa aquela que somente procura conhecer novas verdades ou que diz respeito à descoberta do que lhes é próprio. Considerando a natureza dos seus objetos, a Matemática constitui a ciência mais abstrata, não havendo entretanto, diferença essencial entre Matemática pura e Matemática aplicada.

Considerando o histórico de interesses de Peirce por áreas distintas da Matemática como álgebra, geometria, topologia, associadas ao seu desafio da Lógica dedutiva, o autor indica que Peirce teria tido seu mais profundo mergulho na filosofia da Matemática quando desenvolveu a teoria dos grafos existenciais em que a própria Matemática se projeta na realidade metafísica.

No artigo P₂ (Manechine, Caldeira, 2010) as autoras fundamentam-se nas concepções de Peirce para embasar o processo investigativo com relação aos processos cognitivos e linguísticos de alunos das séries iniciais da Educação Básica. A pesquisa foi desenvolvida com alunos de idade entre 9 e 11 anos em situações experienciais, tendo como objetivo a apreensão dos conceitos de medida, escala, espaço e interpretação gráfica. Estes conceitos, entretanto, além de serem apreendidos como objetos matemáticos, foram também apreendidos como ferramentas para o entendimento do conceito de coexistência e competição de plantas no ensino de Ciências Naturais.

As ações didáticas, fenômenos e relações entre fenônemos foram observadas e analisadas considerando a tríade pedagógica Sentir-Perceber/Relacionar/Conceituar. Esta tríade foi construída em consonância com as categorias fenomenológicas primeiridade, secundidade e terceiridade, caracterizadas na semiótica peirceana. A pesquisa concluiu que as ações didáticas viabilizaram aos alunos explorar os aspectos sígnicos dos instrumentos usados para a realização das medidas. Além disso, a apreensão de signos matemáticos a partir das situações de experimentação e observação favoreceu as reflexões dos alunos. E por fim, as pesquisadoras concluíram que as relações caracterizadas pelos níveis (Sentir-Perceber/Relacionar/Conceituar) servem como indicadores aos professores no que se refere à compreensão dos alunos com respeito aos objetos matemáticos.

No artigo P₃ (Otte e Barros, 2015), os autores discutem a transição de uma interpretação ontológica para uma interpretação semiótica da Matemática a partir da questão O que é a Matemática, realmente? No entanto, na visão de Otte e Barros (2015), esta questão precisa vir ancorada numa discussão filosófica em torno de outra questão: Em que sentido os objetos matemáticos existem?

Com relação a essa segunda questão, os autores argumentam que, se por um lado a operação com conceitos abstratos foi considerada inadequada e incerta, por outro lado, há o domínio dos índices extra lógicos que cumprem a sua função semiótica, estando diretamente presentes em nossa experiência. Segundo os autores, se a axiomática formal, em seus primeiros estágios, negou que a Matemática precisa de objetos, sendo ela apenas o raciocínio hipotético-dedutivo dos postulados, Peirce viu, “como ninguém antes dele havia visto, que o uso de índices é um modo de significação tanto indispensável quanto irredutível” (OTTE; BARROS, 2015, p. 760).

Assim, os autores concluem que a concepção peirceana de Matemática como raciocínio diagramático, apregoa que, se a Matemática, por um lado, não faz reivindicações existenciais, apenas descrevendo as possibilidades, por outro lado ela requer a utilização de índices a fim de representar afirmações ou fatos. Uma concepção semiótica da Matemática, concebendo-a como raciocínio diagramático, pode se revelar útil tanto para a Filosofia da Matemática quanto para a Educação Matemática.

As considerações no artigo P₄ (Silva e Almeida, 2015) referem-se ao uso da semiótica peirceana para tratar de uma temática recorrente nas pesquisas da área de Educação Matemática: o significado. As autoras abordam, particularmente, a atribuição de significado em atividades de Modelagem Matemática desenvolvidas por alunos de um curso de Licenciatura em Química. Argumentam que, considerando as indicações de Peirce, a busca por evidências de significado pode se pautar na análise dos signos interpretantes usados e/ou produzidos pelos alunos durante o desenvolvimento da atividade de modelagem.

Usando elementos da teoria peirceana, as autoras de P₄ identificam nos signos interpretantes produzidos pelos alunos indícios de atribuição de significado para o problema e para a Matemática usada na sua resolução. A descrição das ações dos alunos para o desenvolvimento da atividade elucida o movimento do significado e permite às autoras a identificação do que elas denominam um caminho do significado no decorrer da atividade. Este caminho vai sendo traçado na medida em que os alunos constroem novos signos interpretantes que revelam o significado e que, na perspectiva de Peirce, constituem um ciclo ad infinitum.

No artigo P₅ (Panero, Arzarello e Sabena, 2016), os autores tratam do espaço de trabalho matemático relativo à introdução do conceito de derivada, especialmente, de função derivada. Os autores analisam, sob uma perspectiva da semiótica peirceana, como é conduzido o processo da definição da função derivada por dois professores italianos com seus alunos do último ano do Ensino Médio. As práticas observadas nesses professores referem-se ao que os autores caracterizam como generacidade, relativa ao ato de passar da derivada em um valor x₀ à derivada em um ponto x genérico.

Os autores descrevem a atividade semiótica envolvendo os signos produzidos por esses professores com a finalidade de proporcionar aos seus alunos a visualização da função derivada. Neste contexto Panero, Arzarello e Sabena (2016), caracterizam os recursos semióticos dos professores como: produção de signos com determinada intenção; transformação de signos; e relação entre signos e significados. O que os autores do artigo concluem é que o espaço do trabalho matemático é construído em torno dos signos produzidos e articulados na atividade da definição da função derivada.

Conforme indica o Quadro 1, sete dos artigos examinados fundamentam-se nesse enfoque semiótico.

No artigo D₁ (Flores, 2006) é realizada uma abordagem histórica e epistemológica com relação ao funcionamento e à constituição de um sistema de representação semiótica que rege a construção dos saberes. Considerando que “os objetos matemáticos, não sendo acessíveis pela percepção, só podem sê-lo por sua representação” (p. 3), a autora procura “compreender os fundamentos do estudo dos registros de representação semiótica para a aprendizagem em matemática, desenvolvido por Raymond Duval” (p. 20) e conclui que “os registros de representação semiótica são essenciais tanto para a criação de objetos matemáticos como para a sua apreensão” (p. 1).

Na pesquisa são abordados elementos que constituem a base da teoria de Duval aplicada à aprendizagem matemática: a representação na constituição do conhecimento instaurado na Idade Clássica; a definição de um sistema de representação com base na dicotomia entre sujeito e objeto; a relação do signo com um significante e um significado; os sistemas semióticos de representação. A autora indica também que os aspectos representativos tratados na teoria de Duval podem ser incorporados na formação de professores visando uma oposição ao modelo de racionalidade técnica ainda vigente em algumas instâncias de cursos de formação.

A pesquisa relatada em D₂ (Kaleff, 2007) é pautada na teoria de Duval e visa uma análise cognitiva da atividade de conversão para categorizar obstáculos cognitivos evidenciados na resolução de problemas envolvendo conceitos geométricos não-euclidianos em cursos de formação de professores de Matemática. A autora analisou o comportamento dos participantes de dois cursos de formação de professores durante a resolução de um problema de Matemática discreta visando “capturar os sistemas de registros semióticos utilizados no processo de resolução do problema e entender de que forma o sujeito percebia os objetos matemáticos envolvidos no procedimento de resolução” (p. 71).

Para categorizar os obstáculos cognitivos a autora analisa as conversões entre dois registros, discursivos ou não-discursivos, e o fenômeno de congruência semântica. A análise evidencia que os participantes usam predominantemente registros gráficos que, em geral, não são apropriados ao contexto em estudo e conclui que os obstáculos cognitivos se apresentam “tanto em situações envolvendo somente um registro semiótico, quanto naquelas que demandam conversões” (p. 92).

Os autores de D₃ (Coutinho, Silva e Almouloud, 2011), com base na teoria de Duval, investigaram “as relações entre o uso de diversos registros de representação semiótica […] para o desenvolvimento do pensamento estatístico, particularmente a transnumeração” (p. 504) de dois professores da Educação Básica. Esses professores trabalharam em conjunto para resolver um problema visando à determinação das dimensões adequadas para o mobiliário de um refeitório escolar.

Levando em consideração a noção de apreensão de uma figura geométrica proposta por Duval, os autores propõem quatro formas de apreensão de um gráfico ou tabela estatística – perceptiva, discursiva, sequencial e operatória. Os autores consideram que na resolução do problema os participantes, embora tenham realizado conversões e tenham cumprido as etapas do processo de transnumeração, não avançaram na articulação entre as quatro apreensões para uma análise mais consistente do problema. Assim, os autores inferem que “apenas o trabalho com tabelas e gráficos, mesmo que partindo da formulação da questão, coleta e organização dos dados, não é suficiente para provocar a evolução no desenvolvimento do pensamento estatístico” (p. 510).

Utilizando ferramentas digitais de mediação semiótica, as autoras de D₄ (Monzon, Gravina, 2013) desenvolveram e testaram com alunos do Ensino Médio um objeto digital de aprendizagem para o estudo de números complexos e de funções por meio de animações interativas nas quais é possível realizar tratamentos e conversões entre registros algébricos e geométricos.

Para a construção do objeto de aprendizagem as autoras levaram em consideração a importância de “recursos para conversões entre registros; recursos para o desenvolvimento de esquemas de uso sintonizados com os procedimentos que caracterizam o pensamento matemático” (p. 650), em sintonia com aspectos da teoria de Duval.

A intenção de realizar animações interativas juntamente com questões para serem respondidas com poucas intervenções do professor adicionou ao objeto digital a característica de favorecer aprendizagens com maior autonomia por parte do usuário. Com a aplicação do produto, as autoras inferiram que, com o apoio de ferramentas digitais de mediação semiótica, é possível introduzir conteúdos no programa da Matemática escolar, bem como desenvolver novas propostas de ensino.

Em D₅ (Henriques e Ponte, 2014) é feita uma análise dos modos como as representações escolhidas por três alunos do Ensino Superior em atividades de investigação na disciplina de Análise Numérica dão suporte aos processos de raciocínio – indutivo e dedutivo.

Para a investigação, foram propostas duas tarefas apresentadas aos alunos por meio de um enunciado escrito para que, em duplas ou em trios, fossem confrontados com problemas que exigiram a utilização de diversas representações. Levando em consideração a diversidade de representações matemáticas para o desenvolvimento e a compreensão dos processos de raciocínio dos alunos, os autores do artigo, com base na teoria de Duval, analisam os tipos de registros – monofuncionais e multifuncionais – e as transformações de representações semióticas – tratamento e conversão.

Os autores concluíram que, embora uma diversidade de representações tenha favorecido a compreensão, utilizando tanto raciocínio indutivo como dedutivo, “é necessário dar atenção a alguns processos de raciocínio em que se verificaram maiores dificuldades, como a generalização e a justificação, que estão menos presentes no seu trabalho” (p. 295).

Com o objetivo de identificar as representações e os significados de números racionais contemplados no Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM, o artigo D₆ (Silva, Santiago e Santos, 2014) apresenta um levantamento realizado nos itens do exame no período de 1998 a 2011. Os autores consideram como significados de números racionais: a medida (parte-todo), o quociente, a razão, o operador multiplicativo, a probabilidade, a localização do número na reta numérica e a porcentagem.

Considerando possíveis estratégias que poderiam ser realizadas para a resolução de cada item do exame, os autores evidenciaram que “as conversões entre os registros dos números racionais ocorreram apenas num sentido, com exceção de um item do ENEM 2010, em que a conversão pode ser mobilizada nos dois sentidos” (p. 1501). Mas entendem, fundamentados em Duval, que saber realizar a conversão de um registro para outro não implica em saber realizar a conversão inversa, visto que o sentido da conversão envolve estruturas cognitivas distintas. Com relação aos significados, os autores destacam que aqueles relacionados ao quociente e à localização do número na reta numérica não aparecem nas provas dos ENEM, o que denota a necessidade de reflexão sobre os critérios de escolha dos itens relativos aos números racionais inseridos no exame.

No artigo D₇ (Gagatsis et al., 2016), os autores investigam o espaço de trabalho matemático no plano epistemológico relativo às representações semióticas dos números racionais em dois domínios matemáticos: a fração e o número decimal. A investigação visa explorar a flexibilidade dos alunos para lidar com as diferentes representações do número racional e é realizada com cerca de 1700 alunos com idades entre 10 e 14 anos, frequentando diferentes séries do Ensino Funadamental e Médio. Com esta finalidade os autores consideram o espaço de trabalho matemático relativo às transformações de tratamento e de conversão caracterizados na teoria dos registros de representação semiótica de Duval.

Os autores ponderam que uma contribuição relevante de sua pesquisa é a identificação de níveis hierárquicos no trabalho de representação dos números racionais. Do ponto de vista semiótico, concluem que há um crescimento regular e sistemático de um nível para outro em termos de sofisticação e refinamento nos tratamento em cada sistema representacional dos racionais, bem como na conversão entre os registros dos dois sistemas de representação ou dos dois domínios da Matemática para os números racionais.

Dos vinte e três artigos examinados, onze referem-se a pesquisas fundamentadas no enfoque ontosemiótico.

A análise da validade de uma sequência didática denominada “Os passeios aleatórios da Mônica” desenvolvida pelas autoras para o ensino de probabilidade constitui o foco da pesquisa descrita no artigo O₁ (Cazorla; Gusmão, Kataoka, 2011). Trata-se de um conjunto de atividades disponíveis em objeto de aprendizagem digital para subsidiar o ensino dos conceitos básicos de probabilidade, tanto no ambiente papel e lápis, quanto no virtual.

Participaram da pesquisa alunos de um curso de especialização em Ensino de Ciências e Matemática, sendo a maior parte professores da Educação Básica e o encaminhamento metodológico da pesquisa está alinhado com uma pesquisa-ação.

Num Enfoque Ontosemiótico da Cognição e Instrução Matemática (EOS), as pesquisadoras se propuseram a realizar o que denominaram técnica de análise semiótica, olhando para os objetos matemáticos caracterizados como entidades primárias e presentes nos textos matemáticos. Neste caso, as análises contemplaram a linguagem, a representação, os conceitos, os procedimentos e os argumentos dos professores.

Com relação à relevância da análise semiótica, as autoras argumentam que “A utilização da técnica de análise semiótica do EOS vislumbra resultados consideráveis para a proposta de nosso trabalho, uma vez que nos permite um olhar mais atento e detalhado sobre os objetos implicados na atividade matemática, dando lugar a uma avaliação da sequência com vistas a um melhor planejamento, delineamento e eficácia no seu uso” (p. 558).

Aplicando a noção de configuração de objetos e processos introduzida no enfoque ontosemiótico do conhecimento e instrução matemática, a investigação O₂ (Blanco, Godino e Pegito, 2012) avaliou a capacidade de visualização e raciocínio espacial dos estudantes. Com esse objetivo, os autores investigaram os processos e as capacidades dos estudantes para realizar tarefas em que são requeridas representações matemáticas externas – ostensivas – e representações internas – não-ostensivas – dos objetos geométricos espaciais e realizar operações ou transformações geométricas com os mesmos. Os autores afirmam que é possível “proporcionar um ponto de vista complementar para identificar a diversidade de conhecimentos que se coloca em jogo na realização de tarefas de visualização e raciocínio espacial” (p. 42), permitindo inferir sobre dificuldades associadas a esses tipos de tarefas. Nesse sentido, é possível construir categorias de objetos que auxiliam na distinção entre entidades mentais e institucionais, levando em consideração as configurações epistêmicas e cognitivas presentes nos processos de visualização e raciocínio espacial.

Para a análise semiótica das resoluções da atividade matemática proposta, os autores identificaram objetos e as relações primárias – linguagens, conceito, proposições, procedimentos e argumentos – que os alunos utilizaram. Com base na elaboração de uma configuração epistêmica associada à resolução da tarefa, os autores constituíram uma referência para estudar as configurações cognitivas dos sujeitos e, detectando coincidências e discrepâncias nas resoluções, formularam possíveis conflitos entre significados pessoais e institucionais, indicando suas possíveis causas.

A pesquisa descrita em O₃ (Fuente, Armenteros e Moll, 2012) teve como objeto de estudo o ensino da noção intuitiva de limite de uma função, entendida como “o ensino do limite de uma função por aquela que não entra na formalização do limite mediante δ e ε” (p. 667). A análise é fundamentada no enfoque ontosemiótico da cognição e instrução matemática, em que é feita a descrição, a explicação e a avaliação da aula. A partir de situações-problema propostas, segundo uma trajetória didática sob uma configuração dialógica, alunos e professor dialogam. Nessa configuração, o professor tem o papel de formular e validar o diálogo e os alunos são responsáveis pela exploração das questões propostas pelo professor. A configuração didática “permite realizar uma análise detalhada dos processo de instrução matemática” (p. 674).

Com a investigação da prática matemática – em um sistema de práticas operativas e discursivas – desenvolvida na pesquisa, os autores detectaram conflitos semióticos nos alunos desencadeados pelos discursos do professor. Esses conflitos, de certa forma, interferem no significado institucional implementado. Nesse sentido, afirmam que “a representação gráfica, numérica e simbólica é imprescindível para a aprendizagem do conceito” (p. 687), de limite de uma função.

Baseando-se nos tipos de objetos e processos matemáticos introduzidos no enfoque ontosemiótico do conhecimento matemático que intervêm na prática matemática, a pesquisa desenvolvida em O₄ (Godino, Castro, Aké e Wilhelmi, 2012) aborda maneiras de conceber o raciocínio algébrico desde a escola primária. Para os autores, epistemicamente, se faz necessária “uma mudança de foco de atenção desde os apectos simbólicos e procedimentais até o aspectos estruturais do raciocínio algébrico” (p. 487).

Os autores argumentam que é preciso considerar, conjuntamente, processos de generalização e simbolização – ou representação – e outros objetos considerados algébricos, tais como relações binárias, operações, funções e estruturas. Os autores destacam que “a generalização é uma característica do raciocínio algébrico, assim como os meios para simbolizar, tanto as situações de generalização, como as de indeterminação” (p. 488).

Levando em consideração os objetos e processos vinculados às práticas operativas e discursivas realizadas por uma pessoa para abordar a solução de um problema ou tarefa de uma atividade algébrica, os autores propõem uma tipologia de configurações algébricas que permite definir graus de algebrização da atividade matemática. Estas configurações fundamentam-se na classificação para objetos matemáticos proposta pela ontosemiótica.

Considerando que o EOS propõe cinco níveis ou tipos de análise didática, a investigação realizada em O₅ (Assis, Frade e Godino, 2013) utilizou como modelo teórico-metodológico o nível 3 – trajetória didática e interações didáticas – e a identificação de padrões de interação, descritos por Godino e Llinares (2000) e Menezes (2005), para investigar como os diferentes padrões de interação, mobilizados por professoras e alunos, são articulados para otimizar a aprendizagem matemática.

A finalidade da investigação se pautou em inserir os alunos em uma “modalidade sociointeracionista de aprendizagem baseada na exploração, investigação e trabalho cooperativo“ (p. 741). Para isso, foram implementadas atividades exploratório-investigativas em aulas de Matemática do sétimo ano do Ensino Fundamental com as quais foram identificadas configurações didáticas que possibilitaram descrever e interpretar processos interativos na sala de aula.

Com o objetivo de avaliar o que denominam um processo de instrução sobre o Teorema de Bayes, os autores de O₆ (Figueroa, Anchorena e Distéfano, 2014) utilizaram o enfoque ontosemiótico nas configurações epistêmica e cognitiva da idoneidade didática, que corresponde à “pertinência ou adequação de um processo de instrução” (p. 174). Quando utilizada para a avaliação de um processo de instrução, a aplicação dos critérios da idoneidade didática permite guiar o processo de validação e uma possível melhoria no referido processo de instrução e na aprendizagem.

Inicialmente os erros dos alunos com relação à probabilidade condicional foram sondados mediante uma metodologia em que situações-problema foram propostas aos alunos. Posteriormente, ocorreu o processo de instrução do teorema de Bayes seguido de outras situações-problema em que foi investigado se os erros ainda permaneciam na resolução dos alunos. A partir das produções dos alunos realizadas antes e após o processo de instrução, as autoras construíram configurações epistêmicas (relacionadas às práticas institucionais) e cognitivas (que dizem respeito às práticas pessoais) em conjunto com funções semióticas (elementos que estão em conformidade com as configurações e são vinculadas ao objeto). As funções semióticas possibilitam “destacar o caráter essencialmente relacional da atividade matemática e servem para explicar algumas dificuldades e erros dos alunos” (p. 174). Com isso, os autores analisaram os principais fatores que contribuem para a resolução de problemas bayesianos e esquematizaram uma metodologia de resolução de problemas que possibilita diminuir os conflitos semióticos presentem em erros frequentes na compreensão da probabilidade condicional.

Com base nos usos e alcances das noções de práticas matemáticas e configurações de objetos e processos abordados no EOS, os autores de O₇ (Pino-Fan, Godino e Font, 2015) investigaram os conhecimentos didático-matemáticos de futuros professores bacharéis em Matemática com relação ao conceito de derivada.

Fundamentados em uma abordagem qualitativa, apoiada na análise ontosemiótica que permite descrever sistematicamente a atividade matemática bem como os objetos matemáticos primários (elementos linguísticos, conceitos, proposições, procedimentos e argumentos) bem como os processos que intervêm nas práticas para a resolução da referida atividade, os autores realizaram uma caracterização dos conhecimentos dos futuros professores quanto à configuração cognitiva identificada em cada resolução.

A análise levou em consideração duas atividades – uma sobre derivada de função constante e outra sobre taxa de variação – em que se evidenciou desconexão entre os diferentes significados parciais da derivada e a necessidade de potencializar o conhecimento desse conteúdo. Para isso, os autores sugerem a necessidade de propor atividades que favoreçam o uso e identificação de objetos matemáticos, seus significados e os diferentes processos que possibilitam a solução de tarefas matemáticas.

Para avaliar o conhecimento didático-matemático de professores do Ensino Fundamental sobre o ensino de probabilidade, os autores de O₈ (Vásquez e Alsina, 2015) elaboraram, construíram e validaram um questionário para avaliar aspectos relevantes do referido conhecimento. Para isso, se fundamentaram no Enfoque Ontosemiótico do Conhecimento e da Instrução Matemática e nas três categorias globais do conhecimento sobre o conteúdo matemático do professor propostas em Pino-Fan, Godino e Font (2013): conhecimento comum do conteúdo (CCC); conhecimento ampliado do conteúdo (CAC) e conhecimento especializado (CE).

Uma versão piloto do questionário foi construída, revisada e aplicada aos professores com o objetivo de coletar dados e apresentar evidências sobre aspectos das categorias de conhecimentos que os professores possuem. Com a análise das respostas, os autores concluíram que os professores apresentam nível médio em todas as categorias do conhecimento do conteúdo matemático, sendo que a maior dificuldade está relacionada com a compreensão da noção de sucesso seguro, cálculo e comparação de probabilidades de sucessos elementares e compreensão da independência de sucessos.

Tomando como base a noção de configuração epistêmica abordada no EOS, mais especificamente a relação objeto matemático e sistemas de prática, a pesquisa apresentada em O₉ (Gordillo e Pino-Fan, 2016) trata de um estudo histórico-epistemológico da antiderivada com o objetivo de determinar a origem deste objeto matemático com relação a outros dois – derivada e integral. Para isso, os autores fazem uma reconstrução do significado holístico da antiderivada a partir de significados parciais.

A noção de configuração epistêmica permitiu aos autores analisar e descrever sistematicamente os objetos matemáticos primários e seus significados que intervêm nas práticas matemáticas da antiderivada, seguindo sua evolução histórica. Com isso, os autores identificaram e caracterizaram quatro significados parciais para a antiderivada: o problema geométrico das tangentes de uma curva e a quadratura da mesma; o problema da relação fluxos-fluentes; o problema sobre a relação dos diferenciais e as somatórias; o problema da identificação das funções elementares.

Utilizando o EOS centrado em ferramentas teórico-metodológicas da função semiótica no trabalho, O₁₀ (Aznar et al., 2016) relata o estudo da construção de significados de objetos matemáticos. Para isso, os autores descrevem o uso de funções semióticas abordadas em quatro trabalhos presentes na literatura e que foram desenvolvidos por integrantes do grupo de pesquisa do qual os autores fazem parte. Os trabalhos descritos abordam as funções semióticas associadas à resolução de problemas relacionados à aprendizagem de estudantes universitários: um problema de otimização, distintas representações de números complexos, processo de significação de alguns símbolos algébricos, resolução de problemas bayesianos.

Com as descrições, os autores salientam que as funções semióticas possibilitam transparecer o nível de complexidade de uma determinada prática matemática, antecipar conflitos semióticos, avaliar detalhadamente as práticas matemáticas de estudantes, favorecer a reestruturação de sequências didáticas, contemplando as complexidades e conflitos detectados.

Para realizar uma análise do processo de instrução de uma sequência de aulas em que se explica o método de integração por partes para estudantes do segundo ano de Licenciatura em Matemática, o autor de O₁₁ (Nieves, 2016) faz uso do modelo de análise didática proposto pelo EOS que considera cinco níveis: identificação de práticas matemáticas, elaboração de configurações didáticas, análise das trajetóridas e interações didáticas, identificação do sistema de normas e metanormas, avaliação da idoneidade didática do processo de instrução. O autor se fundamenta em uma das configurações didáticas desenvolvidas em doze seções de aulas.

Com as análises, o autor evidenciou que os estudantes apresentavam dificuldades para: determinar a ordem hierárquica para eleger qual função se denotaria por u e qual denotaria por dv; realizar transformações de tratamentos, conversões, transferências e aplicar a regra de integração por partes; solucionar problemas pertencentes a outros contextos científicos como a Física e a Economia. A pesquisa conclui que a sequência de aulas pode ser considerada como uma degeneração mecanicista da aula formal, pois no desenvolvimento se utilizou parcialmente características próprias do paradigma formal-mecanicista. Além disso a estrutura e funcionamento não levou em consideração a complexidade ontosemiótica da integral.