El plano cartesiano se presenta transversalmente en cada uno de los ejes temáticos de las actuales Bases Curriculares formuladas por el Ministerio de Educación Chileno, (MINEDUC, 2012) ya sea como sistema de referencia que favorece la ubicación y localización espacial, o como una herramienta que permite la comprensión de otros contenidos matemáticos, tales como funciones, isometrías, lectura de gráficos etc.

A pesar de su uso reiterado, en nuestra práctica pedagógica observamos, permanentemente, acciones que reflejan los problemas que tienen los estudiantes en la comprensión y uso de los ejes cartesianos, como por ejemplo, la ubicación de puntos y figuras geométricas en una determinada posición del plano. Compartimos con Saiz (2003) que hay comportamientos de los sujetos, en el cotidiano, que muestran las dificultades que experimentan para orientarse en un ambiente nuevo y para utilizar o elaborar planos y mapas.

Acuña (2001), evidencia los problemas que tienen estudiantes de secundaria para establecer el orden de las coordenadas de los puntos en el plano cartesiano pues, en lugar de utilizar ese plano para trabajar en un espacio orientado de dos dimensiones, limitan su uso solo a la descripción de parejas de números negativos o positivos.

De acuerdo a esta problemática, observamos en las Bases Curriculares Chilenas (MINEDUC, 2012) y en los textos de estudio (ASKEY, 2014) entregados por el MINEDUC, un indicio de lo que provocaría esta dificultad en los estudiantes: la presencia de una caracterización del plano cartesiano, en cuanto a su forma y descripción, más no en su uso y funcionalidad.

Para comprender y hacer propuestas que permitan construir aprendizajes escolares, la Socioepistemología propone marcos de referencia que favorecen una matemática funcional¹ en situaciones específicas, resignificando² el conocimiento matemático puesto en juego, es decir, usando y otorgándole significado a ese conocimiento. Aquí, se postula a que el problema está en el discurso matemático escolar (dME), entendiendo por tal, aquel “paradigma educativo que norma y regula a las matemáticas escolares. Es justamente lo que lleva a los docentes a repetir las mismas clases aun con escasos logros en el aprendizaje de los estudiantes” (CANTORAL, 2013, p. 64). Ante esto, socioepistemología se propone incentivar otro discurso, que rompa la manera en que, actualmente, se abordan los contenidos escolares; en otras palabras, plantea un rediseño del dME, que no esté centrado exclusivamente en conceptos, sino que ofrezca resignificar la matemática, con el propósito de que ésta sea funcional.

Considerando este marco teórico, frente a la situación descrita, postulamos que la introducción del plano cartesiano en estudiantes chilenos de 5° básico (10 a 11 años de edad) carece de significado y funcionalidad, es decir, se trata y se usa el plano como un saber prescrito, lo cual lleva a que las tareas escolares escasamente exijan su comprensión, hecho que provoca en el aprendiz dificultades para comprender los significados de aquellos tópicos que ahí se ponen en juego.

Las investigaciones de Gascón (2002) y Henríquez (2014) nos reportan la riqueza que posee el plano cartesiano como articulador entre la geometría sintética y la geometría analítica, pero, al mismo tiempo, destacan y evidencian que su enseñanza se limita solo a la algebratización de la geometría.

Atendiendo tales antecedentes, enfrentados a una situación específica, donde el plano cartesiano se pone en juego, nos preguntamos: Los estudiantes ¿tienen la necesidad de construir y usar un plano cartesiano, sin previa caracterización? ¿Qué argumentos señalan los estudiantes cuando recurren a un sistema de referencia? ¿Existen elementos histórico-epistemológicos que sean comunes a los utilizados por los estudiantes cuando usan el plano cartesiano?

El objetivo de esta investigación fue resignificar el plano cartesiano a través del diseño de una situación específica, que promueva en un grupo de estudiantes de quinto básico la necesidad de su construcción.

Durante la enseñanza escolar³ se realizan actividades cuyo propósito es que los estudiantes desarrollen la orientación en el plano, la ubicación espacial, la compresión de gráficas y el uso adecuado de los ejes cartesianos (MINEDUC, 2012). Sin embargo, aun cuando en la escuela se proceda con esta clase de tareas, los estudiantes continúan con dificultades, perdido la riqueza que aporta al manejo del espacio bidimensional orientado.

Con respecto a la introducción de los ejes cartesianos, Godino y Ruiz (2002, p. 578) señalan al movimiento de reflexión como facilitador tanto del proceso de localización y ubicación espacial como - al ser un movimiento rígido sobre el plano - de la introducción oportuna de los sistemas de coordenadas. En cuanto al plano cartesiano como sistema de referencia, ambos autores lo relacionan con la ubicación de puntos en el plano y también con las representaciones cartográficas, planimétricas y de red de coordenadas geográficas.

Por su parte, Bautista (2013) al resignificar la función par e impar, se propuso como objetivo específico resignificar el plano cartesiano a través de las simetrías axial y puntual de diferentes funciones en el plano. Para este propósito, presenta diversas gráficas en el plano para luego, utilizando el software Geogebra, preguntar por los ejes a través de la observación de funciones y simetrías. Los estudiantes juegan con los ejes cartesianos, los manipulan, y tales ejes y el plano se les hacen necesarios para ubicar las figuras (BAUTISTA, 2013).

En nuestra investigación, la reflexión juega un rol clave al introducir el plano cartesiano, pero no facilitaremos los ejes ortogonales, pues se espera que emerjan de la necesidad de su uso y, con ello, la manipulación y la caracterización del plano por parte de los estudiantes.

Miranda, Radford y Guzmán (2007), nos reportan la mirada novicia de los estudiantes sobre el Plano Cartesiano, donde interpretan sus signos de manera idiosincrática o singular. El profesor explica a los estudiantes la noción de distancia para apoyar el proceso de interpretación de la gráfica, aunque una de las estudiantes hace un intento por incorporar el Plano Cartesiano, como un gráfico que permite marcar la posición y dar una explicación del movimiento, la discusión de la relatividad del movimiento se aminora con la discusión de un movimiento descrito sin más detalles (MIRANDA; RADFORD; GUZMAN, 2007, p. 23).

Para efectos de esta investigación, la noción de distancia la hemos considerado como un elemento central para la resignificación del plano cartesiano, en contraste a la investigación de Miranda, Radford y Gusmán (2007), creemos que esta noción debe emerger desde los sujetos en estudio y no de la explicación de un tercero, pues si bien, la intervención del docente permite concienciar sobre los significados culturales, la resignificación permite construir significados propios permeados del contexto, la historia y la cultura.

Años antes, Nemirosky, Tierney y Wright (1998, p.168), indagan en la descripción que realizan estudiantes de quinto grado sobre el movimiento de objetos, observan que las representaciones en gráficos de distancia y velocidad no son inherentes pero, crear enfoques gráficos antes de introducir los convencionales, permite a los estudiantes tomar conciencia de los elementos que necesitan para comunicar sus representaciones.

En nuestro caso, nos interesa pesquisar en las tareas realizadas por los estudiantes aquellos elementos que muestren la construcción de un plano cartesiano, es decir, qué argumentos utilizan para comunicar sus representaciones que develen elementos claves para su resignificación.

En las Bases Curriculares chilenas y los textos de estudio, observamos que el plano cartesiano se trabaja como un recurso que provee al profesor la entrada de ciertos contenidos matemáticos y a los estudiantes aprender nociones, tanto de localización y ubicación de puntos, como de comprensión y lectura de gráficas en un sistema de referencia establecido y sin previa construcción. A modo de ejemplo, la primera introducción que se realiza del plano cartesiano, como tal, sugerida en el texto de estudio entregado a los estudiantes de quinto básico y bajo el objetivo de aprendizaje “Identificar y dibujar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano, dadas sus coordenadas en números naturales” (MINEDUC, 2012. p.120), presenta lo siguiente (Figura 1):

Respecto al dME, evidenciamos en el texto citado la validación de una enseñanza que introduce los ejes cartesianos como un saber prescrito, donde la capacidad de argumentar y construir conocimiento matemático se ve opacada por la necesidad de transmitir un contenido normado, pero desprovisto de significado. Cordero y Flores (2007, p. 14) indican que el dME “considera a la matemática como un conocimiento acabado y trata los conceptos matemáticos en las acciones de enseñanza como actos repetitivos o de memorización”.

El plano cartesiano no es construido, sino entregado a los estudiantes, con algunas de sus características para ubicar puntos. Se distingue un conocimiento establecido, falta de claridad sobre la construcción de este sistema de referencia donde los niños y niñas puedan comprender su uso, finalmente, los estudiantes deben aprender cómo ubicar puntos siguiendo reglas establecidas.

Por esta razón, postulamos a que una de las dificultades en la comprensión y uso del plano cartesiano se vislumbra en la introducción desprovista de sentido de los ejes ortogonales; el dME valida dicha difusión como un saber establecido, que no requiere de una construcción significativa por parte del estudiante.

Esta investigación propone atender, en parte, a esta dificultad, a través de un marco de referencia que provea al dME de otro tipo de situaciones, donde se pueda visualizar significados, procedimientos y argumentos con el propósito de resignificar el plano cartesiano, invitando al estudiante a ser parte de la construcción de su conocimiento. Para tal efecto, proponemos el diseño de una situación en la cual emerja dicho conocimiento.

De acuerdo a nuestro enfoque socioepistemológico, consideramos elementos histórico-epistemológicos que nos proveen de aspectos a incorporar en el diseño. A continuación, se explicita una breve descripción al respecto.

La teoría Socioepistemológica de la Matemática Educativa realiza una crítica al dME (CORDERO et al., 2015), pues este valida la enseñanza de los objetos matemáticos como conocimientos acabados y establecidos, desatendiendo por completo el significado de la construcción social de ese conocimiento. Compartimos con Buendía (2006) que no solo los objetos matemáticos, sino también las prácticas que los generan, son importantes en la adquisición del conocimiento matemático.

Desde la Socioepistemología

Así, la Socioepistemología se centra en la funcionalidad de ese conocimiento matemático, en el valor en uso que se pone en juego frente a una situación específica. Éste se logra ante un conocimiento que se construye y reconstruye en la organización del grupo humano, para ello se requieren de marcos de referencia que promueva una matemática funcional en que las situaciones específicas den cuenta de su resignificación y construcción.

Cuando nos referimos a una matemática funcional, hablamos de una en la cual el estudiante adquiera conocimientos, actitudes y habilidades que sean de utilidad para comprender el mundo que lo rodea; es decir, un conocimiento incorporado orgánicamente al ser humano, que transforma su realidad; en oposición al conocimiento utilitario, carente de significados para el estudiante (CORDERO, 2006).

La funcionalidad permite que el conocimiento matemático adquiera significados dentro y fuera del ámbito escolar, lo que conlleva que el conocimiento matemático sea valorado por los estudiantes y no quede al nivel de aplicación de fórmulas que simplemente olvida y que no es capaz de extrapolar a otras situaciones (MORALES; ROSAS, 2016, p. 250).

Al igual que Cantoral (2013, p. 27), consideramos que

Por medio de la resignificación, la Socioepistemología se propone indagar en aquellos elementos que permiten caracterizar las condiciones necesarias que se deben poner en juego durante la enseñanza escolar para favorecer la construcción de conocimientos matemáticos. La búsqueda de las condiciones necesarias están arraigadas en la naturaleza misma del conocimiento que se desea estudiar (CORDERO; SUAREZ, 2008). Debido a ello, consideramos el carácter histórico-epistemológico, pues ello implica indagar en el uso que ha tenido y la resignificación se produce a través de ese uso.

Por su parte, Martínez (2005, p. 200) agrega al respecto que la noción de resignificación es un elemento que devela que el conocimiento tiene “significados propios, contextos, historia e intención”; lo que permite enriquecer el significado de los conocimientos al interior de los grupos humanos. De aquello podemos señalar que la resignificación que realice el grupo de estudiantes de un conocimiento matemático no es única o acabada, puede modificarse, pues depende del uso de ese conocimiento frente a una situación específica; cada grupo humano puede establecer diferentes usos según la necesidad de ese conocimiento. Al igual que Morales y Cordero (2014, p. 5) comprenderemos como resignificación a

En síntesis, resignificar un conocimiento matemático como un conocimiento en uso implica que los participantes de un grupo logren construir ese conocimiento, prediciendo algo desconocido, consigan colocarlo en funcionamiento otorgándole significados propios. De tal manera, es necesario encontrar elementos para que la situación favorezca la resignificación en aquel grupo de participantes.

Las investigaciones reportadas por Cordero (2003) y Cordero, Cen y Suarez (2010) exhiben una Socioepistemología del Cálculo y el Análisis, la que nos provee de marcos de referencia para atender nuestro propósito. Estas investigaciones utilizan situaciones de variación, de transformación y de aproximación para atender temas matemáticos desde otra perspectiva, diferente a la entregada por el dME habitual.

Es por ello, que hemos considerado aspectos de una situación de variación y de transformación para poner en juego, teniendo presente, además, tanto los aspectos histórico-epistemológicos, como los antecedentes recopilados que den cuenta de la resignificación del plano cartesiano. De esta manera, nuestras situaciones tendrán significados, procedimientos y argumentos que emergen a partir del trabajo realizado por los mismos estudiantes.

La metodología empleada está bajo el paradigma cualitativo (HERNÁNDEZ; FERNÁNDEZ; BAPTISTA, 2010), pues indagamos en el proceso de construcción de un determinado conocimiento matemático, develando en los argumentos e interacciones de los participantes, aquellos elementos comunes que permiten resignificar el plano cartesiano.

Para la elaboración del diseño de situación, consideramos elementos histórico-epistemológicos pertinentes con el objeto matemático de estudio, como también elementos teóricos, dado que la propuesta tiene la intencionalidad de proveer un contexto en que los participantes generen significados, procedimientos, argumentos y nociones matemáticas que puedan develar la construcción del plano cartesiano.

Para el análisis de los resultados obtenidos consideramos la Ingeniería Didáctica (ARTIGUE, 1995), pues permite confrontar los análisis a priori y a posteriori de la situación. Las variables de control serán evidenciadas de acuerdo a la estructura que se presenta en el diseño, pues cada momento está intencionado de acuerdo a los elementos recogidos en los antecedentes, en los aspectos históricos-epistemológicos y en el marco teórico adoptado.

El siguiente apartado muestra parte del análisis a posteriori, se presenta un extracto de los resultados obtenidos e imágenes de las producciones de los participantes que evidencian el logro del objetivo propuesto en esta investigación. Se exponen ejemplos de cada momento, cada uno de ellos da cuenta del proceso de resignificación del plano cartesiano, en que podemos identificar que los estudiantes percibieron y construyeron los ejes, utilizaron la noción de distancia con respecto a los ejes para argumentar la posición de un punto o figura en el plano, lograron establecer coordenadas rectangulares, y argumentaron la posición del punto de intersección de los ejes ortogonales como el punto de origen o de partida del sistema de referencia. Todo esto fue capturado con sus significados, procedimientos y argumentos en cada tarea planteada.

Al confrontar el análisis a priori y a posteriori, observamos que el uso del software facilitó que los estudiantes percibieran la presencia de los ejes en las gráficas; solicitar tres argumentos cuando trabajaron con lápiz y papel favoreció que emergiera la noción de distancia con respecto a los ejes. El momento que unifica ambas situaciones contribuyó a la construcción de distintos ejes y develó aquellos elementos básicos a utilizar en la resignificación del plano cartesiano.

Con la situación propuesta, los estudiantes lograron construir un plano cartesiano sin previa caracterización; más bien las restricciones y el cómo se debía realizar emergió de los diferentes momentos basados en la discusión propia del trabajo llevado a cabo por el grupo. Para referirse a un sistema de referencia, los estudiantes recurren a la noción de distancia con respecto a un eje (el referente) y utilizan coordenadas rectangulares para dicho efecto, pues estas permiten posicionar, a través del largo y del ancho, un punto sobre el plano.

En cuanto a los elementos histórico-epistemológicos comunes a los utilizados por los estudiantes, apreciamos que son capaces de percibir la presencia de los ejes, establecen una relación entre la distancia y la ubicación de un punto o una figura en el plano con respecto a los ejes; al igual que Descartes, utilizan coordenadas donde visualizan dos dimensiones, observando un largo y un ancho para situar algo sobre el plano.

Si bien, emergen distintos tipos de ejes, los estudiantes mencionan que la construcción ortogonal es la mejor pues, de acuerdo a los argumentos de los participantes, la visualización de las distancias de una figura o de puntos con respecto al eje, es fácilmente observable si se trabaja con coordenadas rectangulares. Finalmente, emerge el concepto de punto de origen, como el punto más importante del plano, puesto que es el punto desde donde parte todo.

Con este diseño, evidenciamos que los estudiantes de quinto grado construyen ejes de referencia y utilizan coordenadas rectangulares para ubicar y posicionar puntos, figuras geométricas y curvas en el plano. La diferencia de esta situación con el actual dME fue que la construcción de conocimiento se produce al interior del grupo de estudiantes, donde recurren a la noción de distancia, eje de simetría y punto de origen para argumentar parte de sus acciones. Con esto, damos cuenta que existe la posibilidad de provocar en los estudiantes la construcción de un conocimiento, a través de otro tipo de situaciones, distintas a las establecidas por el actual dME.

Desde la postura teórica adoptada, y considerando elementos histórico-epistemológicos, este diseño podría ser un prólogo para la resignificación del plano cartesiano como sistema de referencia en diversos contextos. Una de las proyecciones a corto plazo que se visualizan de este trabajo es observar el significado que tiene para los estudiantes las coordenadas en el plano cartesiano y el por qué el uso de coordenadas rectangulares es considerada una mejor opción frente a otros tipos de coordenadas, ya sea oblicua o de otras características.