Os estudos para analisar a compreensão dos estudantes sobre o limite de uma função apoiam-se, frequentemente, na teoria de Tall e Vinner (1981) do Conceito-Imagem e Conceito-Definição. Segundo os autores, o Conceito-Imagem descreve a estrutura cognitiva total associada ao conceito matemático, incluindo todas as imagens mentais, propriedades e processos. Associada a esta estrutura, os autores denominam por Conceito-Imagem evocado a parte do Conceito-Imagem ativada num dado contexto, não sendo necessariamente tudo o que o estudante sabe sobre o conceito.

O conjunto de palavras usado pelo estudante para comunicar ideias, a partir do seu Conceito-Imagem, é definido pelos autores como Conceito-Definição, o qual pode ser ensinado ao estudante ou construído por ele, sendo aperfeiçoado ao longo do tempo, e que pode ser diferente do que é aceite pela comunidade matemática.

Os significados são usados para analisar a compreensão dos estudantes por resultarem de aspectos por eles mobilizados dos seus Conceito-Imagem evocado e Conceito-Definição (DOMINGOS, 2003). Estes significados podem ser caracterizados por conceitos-imagem corretos e apropriados à situação em questão, como por exemplo, a concepção do limite como resultado da implicação baseada na noção de vizinhanças x ∈ V_δ(x₀) ⇒ f(x) ∈ V_ε(L) e que é necessária à compreensão da definição formal de limite.

No entanto, os significados também podem inexistir ou serem conflitantes, quando as concepções dos estudantes são evocadas do Conceito-Imagem de forma desconexa com o Conceito-Definição (TALL; VINNER, 1981) revelando, por exemplo, incompreensão do uso dos quantificadores (ε e δ) ou de sua ordem na definição formal. Neste sentido, é amplamente reconhecido o valor de envolver ativamente os estudantes na construção das suas compreensões, relacionando as noções intuitiva e formal de limite de modo a darem sentido à notação algébrica presente na definição formal de limite, isto é, a formalizarem a sua compreensão informal de limite (SWINYARD; LARSEN, 2012).

Uma vez que a comunicação em Matemática se estabelece com base em representações, estas são referidas como fundamentais na construção de conceitos matemáticos pelos estudantes, existindo evidências de uma relação entre o seu desempenho e as representações por eles usadas (DUVAL, 2003; KARATAS; GUVEN; CEKMEZ, 2011).

Para Duval (2003), o uso de diversas representações ajuda os estudantes a obterem uma ideia mais completa de um conceito matemático e, por isso, aprendê-lo requer uma abordagem que contemple essa diversidade. A capacidade de reconhecer e representar o limite, nas suas diferentes representações, é considerada um requisito para a sua compreensão, sendo as representações verbais, numéricas, algébricas e geométricas as mais consideradas no seu ensino (DOMINGOS, 2003; TALL, 1992; KARATAS; GUVEN; CEKMEZ, 2011).

A representação verbal do limite consiste na sua descrição utilizando a linguagem coloquial ou natural, sendo muito comum o uso de termos como, “se aproxima”, “tende” e “tão pequeno quanto se queira” para expressar ideias sobre o limite. A representação numérica está presente quando se usam sequências de números para descrever as aproximações x → x₀ e f(x) → L. As representações algébricas contemplam as expressões matemáticas que recorrem às simbologias da álgebra, como, por exemplo, a expressão algébrica da definição formal de limite no ponto. As representações geométricas contemplam a representação gráfica de uma função, apoiada num sistema de coordenadas cartesianas, contendo registros indicativos das variáveis do limite (x → x₀ / f(x) → L) por meio de setas, intervalos abertos ou de vizinhanças.

O uso das diferentes representações do limite, assentes nas simbologias da sua definição formal, pode contribuir para a compreensão dessa definição, desenvolvendo nos estudantes a capacidade de pensar abstratamente e de construir significados adequados sobre o limite (DOMINGOS, 2003; TALL; SMITH; PIEZ, 2008). Segundo Domingos (2003), um estudante que é capaz de operar com diversas representações e estabelecer conexões entre os seus registros, explicando o significado das simbologias |x − x₀| < δ e |f(x) − L| < ε em termos das vizinhanças V_δ(x₀) e V_ε(L), reconhecendo o papel dos quantificadores δ e ε nesses registros e reconhecendo o limite como resultado da implicação (x ∈ V_δ(x₀) ⇒ f(x) ∈ V_ε(L)), evidencia ter uma concepção adequada da definição formal, necessária à compreensão de limite.

O uso de diversas representações de um mesmo objeto matemático aponta para a necessidade de as transformar. Para Duval (2003), as transformações podem ocorrer de duas formas distintas, nomeadamente, tratamento e conversão. Os tratamentos são transformações realizadas dentro do mesmo registro de representação enquanto que as conversões são realizadas entre diferentes registros de representação, conservando o mesmo objeto. O autor realça ainda a importância de os estudantes serem capazes de trabalhar dentro e entre os diferentes registros, com fluência, a fim de alcançarem compreensão na aprendizagem.

A resolução de problemas matemáticos envolve atividade criativa de formulação de conjecturas e sequências de testar, modificar e redefinir conjecturas até ser possível produzir uma demonstração formal de um teorema ou propriedade (TALL, 1991). No entanto, é comumente aceite que os estudantes não “sabem” as definições que precisam para realizar uma tarefa matemática que requeira o uso da definição do limite, como a demonstração de um teorema, para a qual a sua memorização não é suficiente (EDWARDS; WARD, 2008).

A compreensão do limite de funções está ligada com a capacidade de mobilizar conhecimentos para resolver problemas que o envolvam (KARATAS; GUVEN; CEKMEZ, 2011). Os problemas de análise de erros que requerem a identificação do erro em expressões ou resoluções matemáticas, que se propõem definir formalmente o limite e a sua correção justificada (JUTER, 2006), bem como os de validação matemática correspondentes à demonstração de conjecturas, propriedades ou teoremas matemáticos, a partir da aplicação da sua definição formal (TALL, 1991), têm importantes objetivos didáticos, sendo frequentemente usados para conduzir os estudantes à formalização do limite (SWINYARD; LARSEN, 2012). Entre eles, destacam-se a promoção de uma profunda compreensão conceitual e do papel das definições matemáticas, além de constituir uma oportunidade para os estudantes desenvolverem a capacidade de pensar abstratamente sobre o limite (EDWARDS; WARD, 2008; TALL, 1992).

Deste modo, a aprendizagem com compreensão da definição formal de limite evidenciase quando o estudante é capaz de: i) reconhecer o limite quando representado algebricamente pela sua definição formal ou geometricamente recorrendo a registros que envolvem a simbologia contida nesta definição, atribuindo-lhe significado correto e apropriado ao contexto em questão; ii) de apresentar explicações corretas das simbologias |x − x₀| < δ e |f(x) − L| < ε, dos quantificadores (ε e δ) e de sua ordem, na referida definição formal; iii) representar geometricamente o limite a partir da conversão da sua representação algébrica, expressa pela definição formal; iv) representar corretamente o limite por meio de sua definição formal; e v) de mobilizar conhecimentos sobre a definição formal de limite e aplicá-los corretamente na validação do limite e na análise de erros (DOMINGOS, 2003; SWINYARD; LARSEN, 2012).

Os significados que os estudantes atribuem ao limite foram evidenciados nas Q₁T₅ e Q₁T₁₅, nas quais foram solicitados a explicar o significado da expressão ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que se x ∈ D e |x – 2|< δ então |f(x) − 4| < ε que define formalmente o limite e na Q₅T₅, quando justificam a existência do lim x → 2 f ( x ) = 4 representado geometricamente com elementos baseados na simbologia desta definição.

Três grupos, na Q₁T₅, e quatro grupos, na Q₁T₁₅, apresentaram conceitos-imagem associados ao significado de limite como resultado de um processo de aproximação ao objeto. Nas suas respostas, termos como “tende a”, “se aproxima de” e “aproximando-se” são usados para traduzir as aproximações simultâneas de |x − 2| < δ e |f(x) − 4| < ε, conforme exemplificado nas respostas de Joelson e Jorge (Q₁T₅): “Para todo valor de x → x₀ = 2, f(x) se aproxima de 4”; e de Luiz e Rui (Q₁T₁₅): “Significa que quando x tende a 2, a função tende a 4. Logo lim x → 2 f ( x ) = 4 ” (Produção escrita, 2016).

O significado de limite como resultado de uma correspondência implicativa baseada na noção de vizinhança (x ∈ V_δ(x₀) ⇒ f(x) ∈ V_ε(L)) está associado aos conceitos-imagem de outros três grupos de estudantes, na Q₁T₅, e dos restantes quatro grupos que responderam à Q₁T₁₅. Os estudantes apresentaram explicações corretas das simbologias |x − 2| < δ e | f(x) − 4| < ε, baseadas na noção de vizinhança e reconhecem o limite nesta correspondência evidenciado pelo uso da simbologia lim x → 2 f ( x ) = 4 , tal como na resposta de Adilson e Soares na Q₁T₅: “Significa que lim x → 2 f ( x ) = 4 , onde a expressão |x − 2| < δ é a vizinhança em torno de x₀ e δ é o raio, e |f(x) − 4| < ε representa a vizinhança em torno de L e ε é o raio” e na de Fátima e Miriam na Q₁T₁₅: “Para uma vizinhança em torno x₀ = 2 de raio δ, a função f (x) varia em torno de uma vizinhança de L = 4 e raio ε. lim x → 2 f ( x ) = 4 ” (Produção escrita, 2016).

Os outros três grupos de estudantes que responderam à Q₁T₅, incluindo o único grupo que consideramos não ter reconhecido o limite nesta tarefa, parecem não ter atribuído significado ao limite traduzido na sua definição formal. Estes estudantes apresentaram explicações incompletas, por vezes até incoerentes, indicativas de memorização de algumas das simbologias da definição formal de limite, revelando dificuldades na sua compreensão, tal como se observa na resposta de Beatriz, André e Paulo (Figura 1):

Esta explicação confusa e incorreta das simbologias |x − x₀| < δ e |f(x) − L| < ε revela incompreensões no significado de vizinhança, pois os estudantes afirmam “x(…) tem que corresponder a um valor menor que δ” (Produção escrita, 2016), não se apercebendo que será a distância do x ao x₀ e não o x, que terá um valor inferior a δ. A simbologia incompleta que usaram para representar o limite mostra que reconheceram o limite na sua definição formal, mas que a memorizaram sem lhe atribuir significado.

Já na Q₅T₅, após os estudantes terem explorado o limite representado geometricamente - numa applet do GeoGebra - contendo registros assentes na simbologia da definição formal, todos os grupos atribuíram-lhe significado. Quatro destes grupos reconheceram a existência do limite nas condições exploradas, apresentando conceitos-imagem associados ao significado de limite como resultado de um processo de aproximação ao objeto, como verificado quando Beatriz, André e Paulo respondem ”Sim, lim x → 2 f ( x ) = 4 . Quando x tende a 2, f(x) tende a 4” (Produção escrita, 2016) à questão “O lim x → 2 f ( x ) = 4 existe? Caso exista, qual é o seu valor? Justifique sua resposta”.

Três grupos atribuíram significado ao limite como resultado da igualdade dos limites laterais, concluindo, como Miriam e Fátima, que o limite é 4 e justificaram com base na igualdade dos limites laterais: “Existe. L = 4, lim x → 2 − f ( x ) = lim x → 2 + f ( x ) = 4 ” (Produção escrita, 2016). Os dois pares restantes atribuíram ao limite o significado do resultado de uma correspondência implicativa baseada na noção de vizinhança. Por exemplo, Miguel e Talita reconhecem a existência de limite e indicam corretamente o seu valor, recorrendo à definição formal de limite para justificar a sua resposta (Figura 2):

A resposta destes estudantes pode parecer uma escrita memorizada da definição do enunciado da Q₁T₅. No entanto, o diálogo entre eles durante a resolução da tarefa indica que compreenderam a simbologia da definição formal, atribuindo-lhe significado ao estabelecer uma correspondência implicativa entre as vizinhanças (x ∈ V_δ(x₀) ⇒ f(x) ∈ V_ε(L))e o papel dessa definição na justificação da sua resposta: Talita:

Sim, quanto mais diminuir o valor de ε, à medida que x se aproxima de 2, os valores de f(x) aproximam-se do valor do limite. (…) Se eu diminuo um (ε) o outro (δ) também diminui. (…) Para mim sim, 4.

(Gravação áudio-visual, 2016).

Nas questões Q₁T₅, Q₂T₁₅ e Q₅T₅ os estudantes foram desafiados a reconhecer o limite quando representado simbolicamente pela sua definição formal (Q₁T₅ e Q₂T₁₅) e geometricamente com registros baseados na simbologia desta definição (Q₅T₅).

Oito dos nove grupos, na Q₁T₅, e todos os grupos, na Q₂T₁₅, reconheceram que a expressão apresentada no enunciado ∀ε > 0 ∃ δ > 0 tal que |x − 2| < δ então |f(x) − 4| < ε” traduzia o limite. Eles recorreram à linguagem natural (representação verbal), dando explicações adequadas e elucidativas das simbologias |x − 2| < δ e |f(x) − 4| < ε para traduzir o limite, complementando-a com a simbologia lim x → 2 f ( x ) = 4 para expressar o seu valor,conforme exemplificado nas respostas de Adilson e Soares (Q₁T₅): “Significa que lim x → 2 f ( x ) = 4 onde a expressão |x − 2| < δ é a vizinhança em torno de x₀ e δ é o raio, e| f(x) − 4| < ε representa a vizinhança em torno de L e ε é o raio” e de Talita e Clara (Q₂T₁₅): “A definição de limite é o significado da expressão anterior que relaciona a vizinhança em torno de x₀ e f(x). Simbolicamente: lim x → 2 f ( x ) = 4 ” (Produção escrita, 2016).

Apenas o par Gil e Maria, na Q₁T₅, demonstrou não ter reconhecido o limite, a partir de sua definição formal. Esse par não apresentou nenhuma referência de que a expressão apresentada se tratava do lim x → 2 f ( x ) (Figura 3).

A resposta à questão 1 evidencia que este par possui uma noção do significado das simbologias, |x − 2| < δ e |f(x) − 4| < ε e da correspondência x ∈ V_δ(x₀) ⇒ f(x) ∈ V_ε(L). No entanto, a falta de indicação dos valores de x₀ e L e da correspondência entre as vizinhanças V_δ(x₀) e V_ε(L), através da relação entre seus raios, δ e ε, (questão 1) e de registros incorretos das representações algébrica e geométrica do limite (questão 2), revelam dificuldades no reconhecimento do limite.

Na Q₅T₅, todos os nove grupos reconheceram o limite através da sua representação geométrica, cujos registros assentam nas simbologias presentes na definição formal. Seis grupos recorreram à representação verbal, apresentando argumentos adequados sobre o limite e complementam-na com a expressão lim x → 2 f ( x ) = 4 para justificar sua existência, conforme é exemplificado na resposta de Gil e Maria “Sim. lim x → 2 f ( x ) = 4 , pois para valores de x se aproximando de x₀ = 2 os valores de f(x) se aproximam de 4”(Produção escrita, 2016). Os outros três grupos recorreram a representações algébricas do limite para justificar a sua existência a partir da igualdade dos limites laterais, tal como na resposta de Fátima e Miriam “Existe L = 4, lim x → 2 − f ( x ) = lim x → 2 + f ( x ) = 4 ” (Produção escrita, 2016).

A capacidade dos estudantes representarem o limite de uma função, algébrica e geometricamente, foi analisada nas questões Q₁₂T₄, Q₂T₅ e Q₃T₁₅, nas quais foram requeridas também a realização de transformações entre as representações.

A Q₁₂T₄ pretendia verificar se os estudantes eram capazes de traduzir o limite por uma expressão algébrica envolvendo a noção de vizinhanças, representadas pelas simbologias V_δ(2) e V_ε(8) ou por intervalos (2 − δ, 2 + δ) e (8 − ε, 8 + ε), uma vez que já tinham explorado tais ideias em questões anteriores. Três pares recorrem à representação verbal do limite e, para defini-lo, complementam-na adequadamente com representações algébricas das variáveis do limite em questão, tendo por base a noção de vizinhança, como exemplificado no diálogo entre Miriam e Fátima durante a resolução e a sua resposta a esta questão (Quadro 2).

Este par recorreu à representação verbal e utilizou corretamente uma implicação algébrica (x ∈ V_δ(2) → y ∈ V_ε(8)) para indicar que o limite é resultado do processo em que as imagens f(x) pertencem à vizinhança de L = 8, sempre que os valores de x pertencem à vizinhança de x₀ = 2.

Os demais seis pares de estudantes não conseguiram traduzir o limite por uma expressão algébrica que envolvesse a noção de vizinhanças. Estes pares apresentaram respostas incompletas e até incoerentes do limite, revelando possuírem dificuldades em conceber o limite como resultado da implicação x ∈ V_δ(x₀) ⇒ f(x) ∈ V_ε(L), conforme se verifica na resposta de Vítor e Eliseu: “Os valores das vizinhanças de x₀(δ) será sempre metade dos limites de L(ε)” (Produção escrita, 2016). A resposta deste par não apresenta uma definição de limite, uma vez que não indica a implicação x → x₀ ⇒ f(x) → L. Além disso, os termos sublinhados nesta resposta correspondem a explicações incorretas, de resultados também incorretos obtidos na exploração da tarefa sobre o limite em questão.

Nas questões Q₂T₅ e Q₃T₁₅, em que os estudantes eram solicitados a traduzir geometricamente o limite expresso pela sua definição formal, oito grupos na Q₂T₅ e sete grupos na Q₃T₁₅ conseguiram representá-lo geometricamente. Destes, dois grupos na Q₂T₅ e três grupos na Q₃T₁₅ representaram apenas o caso em que L = f(x₀). Os outros seis grupos na Q₂T₅ e cinco grupos na Q₃T₁₅, uma vez que não havia informação sobre a existência de f(x₀), representaram os três possíveis casos de existência do limite (L) num ponto, nomeadamente, i) L = f (x₀), ii) L ≠ f(x₀) ou iii) o limite (L) existir e a função não estar definida em x₀.

Todos estes grupos foram capazes de converter a representação algébrica para geométrica e explicar as variáveis relacionadas aos registros convertidos, por exemplo, representar geometricamente a expressão |x − x₀| < δ em termos de vizinhança V_δ(x₀), apresentando um correto tratamento da representação geométrica do limite, conforme exemplificado nas respostas de Vítor e Eliseu (Q₂T₅) e de Pedro e Cláudio (Q₃T₁₅), apresentadas na Figura 4.

Estes estudantes apresentaram no plano cartesiano o esboço do gráfico de uma função, representações corretas das simbologias |x − 2| < δ e |f(x) − 4| < ε, formadas por intervalos abertos centrados em x₀ = 2 e f(x) = 4 e por esquemas elucidativos de pontos (x,f(x)) ou por setas, apresentando assim correta representação geométrica do limite.

Os pares Gil e Maria, na Q₂T_5, e Miguel e Paulo, na Q₃T₁₅, embora apresentem registros geométricos no plano cartesiano de expressões presentes na definição formal, revelam dificuldades na transformação (tratamento e conversão) da representação geométrica devido aos erros conceituais no registro dos extremos de V_ε(L), colocando por exemplo (f(x) − ε, f(x)+ ε) em vez de (L − ε, L + ε), e à falta do esboço do gráfico da função e de indicações de x ∈ V_δ(x₀) ⇒ f(x) ∈ V_ε(L), tal como observado na resposta de Miguel e Paulo (Figura 5):

Esta componente da compreensão foi analisada nas Q₈T₁₅ e Q₂T₈, que requeriam a aplicação de conhecimento sobre a definição formal de limite para resolverem problemas que a envolvessem, tais como a identificação de expressões algébricas que definem lim x → 1 f ( x ) = 2 ou de incorreções nessas expressões (Q₂T₈) e a realização de uma demonstração (Q₈T₁₅).

Na Q₂T₈,os estudantes deveriam analisar a expressão algébrica apresentada em cada um de seus 4 itens e associá-la a uma das afirmações: (1) Definição formal de lim x → 1 f ( x ) = 2 ; (2) Definição formal de lim x → 1 f ( x ) = − ∞ ; e (3) Não corresponde à definição formal de nenhum dos limites anteriores.

Verifica-se que nove grupos responderam corretamente a todos os itens, mobilizando conhecimento sobre a definição formal de limite, particularmente os significados dos quantificadores ε e δ e da sua ordem, para identificarem as expressões corretas e justificarem incorreções identificadas. No item a) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que se x ∈ D_f e |x − 1| < δ então |f(x) − 2| < ε, os estudantes reconheceram a definição formal do limite baseando-se na relação entre |x − x₀| < δ e |f(x) − L| < ε e os seus respectivos quantificadores ε e δ, tal como na resposta de Talita (Figura 6):

No item b) ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que se x ∈ D_f e |x − 1| < δ então |f(x) − 2| > ε, estes estudantes identificaram que a referida expressão não traduzia a definição formal do limite lim x → 1 f ( x ) = 2 . Fátima e Miriam, por exemplo, usaram o significado de vizinhança para justificar corretamente que |f(x) − 2| > ε representava as imagens f(x) fora da vizinhança de L = 2, concluindo que a expressão não representava uma definição de limite, como se evidencia no diálogo seguinte e na sua resposta à questão (Quadro 3).

No item c), todos os grupos conseguiram identificar e justificar o erro causado pela troca de posição dos quantificadores ε e δ na expressão ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que se x ∈D_f e |x − 1| < ε então |f(x) − 2| < δ Estes estudantes foram capazes de associar corretamente cada quantificador à respectiva expressão que o envolvia e identificar a sua ordem na definição formal de limite, tal como se verifica na reposta de Eliseu e Vítor e no diálogo mantido por eles durante a resolução deste item (Quadro 4).

Por fim, no item d), todos os grupos reconheceram a definição formal do limite na expressão ∀ M > 0 ∃ δ > 0 tal que se x ∈ D_f e |x − 1| < δ então |f(x) − 2| < M, mesmo contendo uma simbologia (M) diferente da convencional (ε) para representar do raio da vizinhança do limite. Tal como na resposta de Clara e Haziel, “Mesmo quando trocamos ε da definição formal por outra letra, contanto que as propriedades se mantenham, a representação encontra-se correta” (Produção escrita, 2016), estes estudantes basearam as suas conclusões na relação estabelecida entre as quantificações |f(x) − L| < ε e |x −x₀| < δ e seus quantificadores (ε e δ), evidenciando uma compreensão do papel destes quantificadores na definição formal de limite.

Nesta Q₂T₈, somente o par Elias e Robson não respondeu corretamente a todos os 4 itens. A sua resposta “3. Não sei explicar” (Produção escrita, 2016) ao item d) revela dificuldades em atribuir significado aos quantificadores e ao seu papel na definição formal. Estes estudantes concluíram que a expressão não traduzia a definição formal de lim x → 1 f ( x ) = 2 (indicado na resposta pela opção 3) e não souberam explicar qual a possível incorreção quando o quantificador que representa o raio da vizinhança em torno de L estava representado por M (e não por ε).

Na Q₈T₁₅, pedia-se aos estudantes para provar, usando a definição formal de limite, que a função f ( x ) = 2 x + 3 era contínua em x₀ = 2. Apenas quatro grupos aplicaram corretamente a definição formal para provar a continuidade. As respostas destes grupos contêm indicações da necessidade de encontrar δ em função de ε que tornam as desigualdades |x − x₀| < δ e |f(x) − L| < ε verdadeiras, conforme verifica-se na resposta de Eliseu e Vítor (Figura 7).

Este par de estudantes evidencia compreender a definição formal do limite, indicando a necessidade de determinar δ que valida a inequação |f(x) − 1| < ε. Resolve-a corretamente e encontra o valor de δ em função de ε, concluindo que “δ será sempre a metade de ε ”.

Os outros quatro grupos não aplicaram a definição formal de limite para provar a continuidade. Destes grupos, o par Miguel e Paulo recorreu ao cálculo do limite para provar a sua existência, mesmo tendo sido solicitados a usar a definição formal, evidenciando falta de compreensão do papel da definição formal numa demonstração da continuidade (Figura 8).

Os outros três grupos, apesar de terem escrito corretamente a definição formal de lim x → 2 f ( x ) = 1 , não a usaram para concluir sobre a existência de limite e provar a continuidade, como se pode observar na reposta de Gil e Maria que recorreram à noção intuitiva das aproximações x → 2 e f(x) → 1 e se apoiaram em tabelas para validar o limite (Figura 9).