Nossa pesquisa, cuja origem e trajetória foram explicitadas nas seções anteriores, analisou o protocolo de 163 alunos do 5° ano, o que resultou em 326¹ possíveis representações fracionárias. Desse total, apenas 57 (17,5%) foram representações corretas das frações. A inversão do numerador pelo denominador foi o erro mais frequente, principalmente na fração seis nonos, como podemos observar no protocolo do aluno 65 – Figura 1. Na mesma figura, as representações do aluno 123 estão entre os 17,5% das representações corretas. Todavia, apesar de saber representar as frações, ele não compreende o significado delas, pois não percebe a equivalência de frações e assinala a alternativa: “Cada menino come mais que cada menina”.

Inferimos que o aluno 65, da mesma forma que a maioria dos alunos, apesar de reconhecer a representação a b , não compreende a relação entre o numerador e o denominador, uma vez que os inverte, ao representar a fração. O aluno 123, por sua vez, mesmo representando adequadamente, não reconhece a equivalência, fundamentando sua escolha no número de meninos. Possivelmente, esse aluno considera apenas a quantidade de crianças, sem estabelecer qualquer relação de quociente.

Continuando a análise estatística, observamos que 24 dos 163 alunos, possivelmente, identificaram a equivalência, assinalando corretamente a afirmação, mas somente dois apresentaram justificativas coerentes.

Analisando o ocorrido, consideramos ser esse um baixo desempenho, uma vez que, segundo estudos como os desenvolvidos por Nunes et al. (2006) e Campos (2013), quando se proporciona às crianças contato com situações quociente, elas intuitivamente as compreendem melhor. Foi após essa análise que consideramos interessante discutir e refletir um pouco mais sobre o ensino dessa situação, mas, dessa vez, com professores participantes do processo formativo que lecionavam para alunos desse ano de escolaridade.

Participaram do processo formativo 18 professoras. Como no terceiro e no quarto momentos, aqui restringimos o foco da análise às reflexões sobre a prática da professora Marcela.

No primeiro encontro do processo formativo, solicitamos que ela elaborasse situações envolvendo tipos de problemas vistos como adequados para introduzir o ensino de frações, de modo a favorecer a compreensão dos alunos. Isso se fez, pois pretendíamos identificar, na perspectiva de Vergnaud (1990), quais eram os significados explorados nas situações, os tipos de representações abordadas e, por fim, constatar se nelas era explorado algum invariante da fração – ordem, equivalência e conservação da unidade de referência.

A Professora Marcela, assim como todas as participantes do processo formativo, elaborou situações envolvendo somente os significados parte-todo e operador: três situações envolvendo a ideia de parte-todo e duas de operador. Isso nos permitiu confirmar resultados como os das pesquisas de Cardoso e Mamede (2009) e Garcia Silva (2007), as quais indicaram haver uma forte tendência, por parte das professoras, em trabalhar o conceito de fração utilizando o significado parte-todo, seguido do significado operador. Isso nos parece preocupante, uma vez que documentos curriculares oficiais que subsidiam a prática dos professores da rede estadual paulista e pesquisas da área indicam que o quociente também deve ser trabalhado pelos educadores dos Anos Iniciais.

O Currículo do estado de São Paulo aponta que o professor deve utilizar, para introduzir frações para alunos do 5° ano: parte-todo, razão e quociente, porém o documento não indica o significado operador para esse segmento de ensino.

Com relação às pesquisas, notamos que, de um lado, investigadores como Canova (2013) e Nunes et al. (2007) consideram a situação quociente como facilitadora da construção e da compreensão do conceito de fração, quando o professor a utiliza para introduzir as frações; e, por outro lado, investigações como a de Campos et al. (2012, p. 371) nos chamam a atenção pela inexistência de “transferência clara do conhecimento de notação aprendido em situações parte-todo para situações quociente em séries próximas ao ensino desta notação”.

Resultados como os nossos, a respeito da prática docente calcada nos procedimentos que envolvem situações parte-todo e operador, foram também observados em outros estudos nacionais e internacionais, como os de Garcia Silva (2007) e Nunes e Bryant (2009). Esses últimos, por exemplo, afirmam também haver uma forte tendência de professores britânicos a trabalhar o conceito de fração, utilizando, principalmente, o significado parte-todo.

Outra característica observada nos enunciados das situações elaboradas foi quanto ao questionamento da representação: elas indagam a representação de uma situação dada ou de composição de frações². A esse respeito, em entrevista, a Professora Marcela afirma: “No primeiro dia, quando escrevi os problemas, pensei em diversificar o máximo e não só colocar tantas questões bobinhas como do chocolate dividido em partes iguais, mas não tinha a noção dos significados, representações e invariantes” (Entrevista com a Professora Marcela, 2014).

À luz da Teoria dos Campos Conceituais, Vergnaud (1990) defende que na construção de um conceito matemático é necessário considerar um conjunto de situações que dará significado a esse conceito; um conjunto de invariantes operatórios no qual objetos e propriedades estão inter-relacionados; e um conjunto de representações que podem ser utilizadas para representar as situações. Nesse sentido, os dados aqui apresentados serviram de objeto de discussão pelas professoras durante o processo formativo. Ao refletir sobre o ocorrido, o grupo considerou que, apesar de haver certa diversidade, a aprendizagem do conceito de fração poderia dar-se de forma comprometida, pois, assim como o ocorrido com a Professora Marcela, as professoras investigadas não tinham consciência da necessidade de propor situações que levassem os estudantes a vivenciar atividades utilizando diferentes situações, representações e invariantes.

Nessa mesma direção, descrevemos a seguir as discussões e a análise das informações sobre o observado nas respostas apresentadas pela Professora Marcela às situações por ela elaboradas. Com isso acreditamos ser possível verificar se os esquemas utilizados nos dão mais indícios acerca de seu domínio de representações e invariantes operatórios não identificados na elaboração.

As respostas registradas nos protocolos – Figura 2 – nos mostram que, de maneira geral, a professora fez uso da estratégia do cálculo de algoritmos e da ideia de partição, em que considera que em n partes iguais, cada parte pode ser representada como 1 n .

As respostas nos revelam inicialmente que, independente do tipo de situação proposta, ao resolver, a Professora Marcela utilizou-se principalmente da ideia de partição, mas também se valeu da ideia de operador, o que é mais um indício de que, possivelmente, ela promovia o ensino utilizando-se, sobretudo, dos significados parte-todo e operador – Situação 3. Na Situação 2, a professora partiu de uma situação do cotidiano e fez uso da partição e de procedimentos de cálculo – Figura 2.

Analisando a proposta e a resolução da Professora Marcela na Situação 3, observamos que o problema elaborado solicitava apenas a fração que correspondia à situação descrita por meio da ideia de parte-todo, uma vez que envolvia o volume de 1000 ml, que seria “dividido em partes iguais” (4) e questionou qual a fração que representaria cada uma dessas partes. Entretanto, ao resolvê-la, a professora valeu-se tanto da ideia de operador como de partição, visto que representou a partição, as quatro frações e a quantidade, em ml que cada jarra continha.

Além disso, ficou comprovado também, pelo questionário inicial, que a Professora Marcela encontrava dificuldades para resolver situações quociente, pois nesse tipo de situação, de maneira geral, ela fez uso de estratégias partitivas, dificultando a sua resolução e, às vezes, levando-a à representação equivocada da quantidade fracionária. Dentre outras questões, propusemos a essa professora a mesma situação proposta aos alunos e apresentada no primeiro momento deste estudo.

Ao analisarmos a resolução da professora – Figura 3 – percebemos que ela parece ter identificado a equivalência entre as quantidades de pedaços de pizzas que cada menino e cada menina receberiam, ao perceber a proporcionalidade entre as partes, sem, contudo, representar e identificar a equivalência entre as quantidades fracionárias.

Percebemos que a participante dividiu os 9 pedaços de cada pizza entre 3 meninos, resultando em 3 pedaços para cada um. Como disse que cada grupo de meninos receberia 2 pizzas, concluiu que cada um receberia 6 pedaços, o que a levou a representar incorretamente a fração, pois transformou uma grandeza contínua – pizza – em discreta – pedaços de pizza.

Inicialmente a professora considerou como unidade de referência o número total de partes em que todas as pizzas foram divididas: 54 fatias, as dos meninos e 18 fatias, as das meninas e não as partes em que uma pizza foi dividida. Com isso ela mudou o referencial. Esse tipo de equívoco não foi representado pelos alunos no primeiro momento e, por isso, serviu de mote para discussão no grupo durante a sessão de formação.

Dessa forma, podemos notar que, para utilizar do esquema de partição em situações quociente, a não compreensão da necessidade de observar a unidade de referência levou a professora a representar a fração de forma equivocada. Esses registros nos sugerem que não houve, para essa participante, nessa situação, a transferência imediata do conhecimento de parte-todo para quociente.

Durante a formação, quando discutimos as soluções apresentadas pelos alunos – primeiro momento –, as professoras tiveram, no geral, muita dificuldade de interpretar os equívocos, até mesmo porque elas também sentiram dificuldade em resolver essa questão.

Analisando o episódio a seguir, percebemos que o pesquisador, que exercia também o papel de formador, não percebeu que a Professora Marcela havia cometido tal equívoco.

As professoras, ao utilizarem a partição como esquema de ação, demonstraram mais dificuldades para explicar suas estratégias para resolver situações quociente. Depois de esclarecer as dúvidas, discutir sobre a ideia de equivalência e sobre o papel da unidade de referência e analisar a classe de equivalência, a formadora ampliou a discussão sobre o significado quociente.

Nesse momento já foi possível perceber que as professoras pareciam surpresas com as ideias contidas nesse significado. Esse foi um momento em que observamos haver desequilibração do que era conhecido, conforme entende Piaget (2012). As participantes pareciam não “acreditar” que a fração pudesse estar associada à divisão.

Diante do exposto, a Professora Renata fez o seguinte questionamento: “Então quociente é divisão mesmo?” (Gravação áudio-visual, 2014). Assim, passado esse primeiro momento de discussão sobre o significado quociente, a resposta à segunda situação proposta com esse significado foi imediata. A Professora Ana afirmou, com convicção: “É fácil: dois bolos divididos por cinco crianças… dois quintos”. E ainda exclamou: “Nossa! É fácil”.

Considerando todas as dificuldades evidenciadas durante as discussões das situações contidas no questionário inicial em relação aos significados da fração, optamos por aprofundar, durante o processo formativo, sobretudo, as situações que envolviam a ideia de quociente. Consequentemente, a formação foi conduzida de modo a oportunizar, às professoras participantes, reflexões sobre a introdução do conceito de fração por meio desse significado.

Finalizamos o encontro, dizendo que, desde o final da década de 80³, pesquisas nacionais e internacionais afirmam que o trabalho focado somente em situações que envolvam o modelo parte-todo prejudica a compreensão do aluno acerca da ideia de que o conjunto dos números racionais é uma extensão do conjunto dos números naturais. Além disso, o modelo parte-todo induz ao processo de dupla contagem, sem garantir a compreensão da relação entre as variáveis envolvidas. Por essa razão era importante que ampliássemos nossas discussões a respeito do significado quociente e seu ensino. Assim, ao final do encontro, a Professora Marcela pediu a palavra e retomou suas dúvidas iniciais:

Percebemos nesse depoimento evidências de que a professora Marcela reconhece a ampliação de seus conhecimentos, não só sobre o conteúdo estudado, mas também a respeito da natureza de suas dificuldades iniciais: há indícios que ela consegue distinguir os diferentes tipos de situações e percebe que parte dos equívocos cometidos ao resolver as situações tinha relação direta com a predominância da resolução por meio da ideia de parte-todo.

Analisando na perspectiva de Schön (1983) foi possível detectar o que o autor denomina como “teorias defendidas”, pois identificamos no depoimento da professora Marcela o que esse autor chama de reflexão sobre a ação (reflection-on-action), ou seja, a reconstrução mental da ação pedagógica para tentar analisá-la retrospectivamente. É possível notar neste depoimento que a professora reconhecia que sua prática se resumia a situações parte-todo.

Porém o processo formativo parece ter favorecido mudanças na prática, considerando que, ao ser questionada sobre a possibilidade de utilizar atividades realizadas durante a formação em sala de aula, tanto a Professora Marcela, como as demais professoras expressaram maior interesse por aquelas em que foram explorados o significado quociente da fração. Reiteramos que antes da formação o significado quociente não era trabalhado pelas professoras em aulas ministradas por elas.

Como Serrazina (1999, 2013), consideramos que aprender a respeito das frações nessa formação provocou na Professora Marcela uma atitude de investigação e de questionamento contribuindo para a sua autoconfiança e busca por querer aprender mais Matemática.

Passado um ano do processo formativo, retornamos a uma escola no intuito de verificar como as professoras desenvolveram a aula sobre o ensino de frações, pois acreditamos que “a formação como desenvolvimento profissional tem que estar baseada nas práticas de sala de aula” (SERRAZINA, 2013, p. 78). Iremos nos restringir aqui a apresentar a descrição e a análise do que observamos apenas na aula da Professora Marcela, uma vez que foi essa professora que reencontramos quatro anos depois.

A professora iniciou o ensino de fração por meio da exploração do livro infantil O pirulito do pato, de autoria de Machado (2003) e, de maneira geral, utilizou-se das mesmas estratégias trabalhadas na formação: apresentação da história em Power point, seguida da leitura interpretativa. Passado esse primeiro momento, ela convidou os alunos a interpretarem a história da divisão do pirulito e ofereceu papel – com desenhos representando as partes em que o pirulito havia sido dividido – e tesoura para que eles fizessem o recorte das partes, de acordo com a história.

Um aspecto nos chamou a atenção: a professora trabalhou reunindo as ideias contidas nos significados parte-todo e quociente. A Professora Marcela mostrou primeiro a fração por meio de recortes de papel e comparação de áreas e, em seguida, apresentou a fração como um quociente:

Durante o ensino, ela faz alguns questionamentos às crianças: “[…] como é que eu escrevo um inteiro dividido em dois? […] se for dividido em três? […] dividido em quatro? […] divido em cinco? Em seis? Se dividido em sete? E em dez?” (Gravação áudio-visual, 2014). Pelo ocorrido, consideramos, assim como Serrazina (2013), que as reflexões e as ações da professora durante o processo formativo nos revelaram o sentimento de pertença, de compreensão, de ajuda mútua, de confiança na capacidade de aprender e ensinar.

Portanto, podemos afirmar que o processo de discussão e reflexão ocorrido na formação parece ter proporcionado melhorias no que se refere tanto à compreensão do tema estudado quanto à possibilidade de aprimoramento da prática docente, pois essa professora experimentou introduzir o ensino de fração de uma forma diferente daquela que se propunha até então, ou seja, mobilizando e relacionando ideias contidas em dois significados.

Passados quatro anos e percebendo, por meio de análise de outros estudos, a dificuldade dos alunos para compreender a equivalência em situação quociente e também querendo saber se as experiências vivenciadas no processo formativo influenciaram de alguma forma na prática docente, anos depois dessa formação, decidimos procurar a Professora Marcela. Encontramos essa profissional lecionando para alunos do 5° ano na mesma escola. Pedimos a ela, que aceitou pronta e gentilmente, aplicar a questão das pizzas para seus alunos resolverem individualmente, e em seguida, concluir a atividade com eles.

Enquanto os alunos resolviam a questão, a professora caminhava entre as carteiras, fazendo questionamentos quanto às resoluções. É importante destacar que esses alunos haviam passado pelo trabalho com o conteúdo fração durante o ano. Analisando os vídeos e o relato da professora, percebemos que a representação da fração 2 3 de pizza foi mais simples para os alunos do que a 6 9 , mas ambas foram apresentadas por eles. Após os alunos enunciarem as frações, a professora foi à lousa e, junto com eles, fez a seguinte representação:

Essas soluções foram obtidas a partir das frações unitárias 1 3 e 1 9 , a primeira fração para cada menina e a segunda para cada menino. Da mesma forma, Canova (2013) e Garcia Silva (2007) haviam observado ser esse também o esquema mais utilizado por estudantes nas salas por elas investigadas.

Em seguida, a professora trabalhou oralmente com a ideia de quociente, quando dizia aos alunos que a fração dois terços representava duas pizzas divididas para três meninas. Quando questionados se as frações representavam a mesma quantidade ou uma mais que a outra, a maior parte dos alunos se apoiou na representação parte-todo para explicar que, no mesmo inteiro, a representação de 2 3 equivale a de 6 9 ; e concluiu que tanto as meninas como os meninos comeram a mesma quantidade. A Professora Marcela confirmou, dizendo que aquele ano tinha, sim, trabalhado “com a ideia de quanto cabe um no outro” (Gravação áudio-visual, 2017).

A professora continuou questionando os alunos e buscando diferentes maneiras de resolver a situação. Dessa forma, ela sugeriu que os alunos realizassem os cálculos (2 dividido por 3 e 6 dividido por 9) e observassem os resultados. Assistindo aos vídeos, foi possível perceber a surpresa, a alegria das crianças, ao perceberem que ambas as contas resultavam no mesmo valor.

Até mesmo os alunos que disseram que as quantidades eram iguais, pensando na ideia parte-todo ficaram surpresos ao observar o resultado com números decimais. Um dos alunos que achou que os meninos tinham comido mais que as meninas, ao utilizar a calculadora, ficou muito surpreso, conforme revela o diálogo a seguir.

Na entrevista, procuramos ouvir a descrição que a Professora Marcela faria sobre sua formação, especialmente sobre sua participação no processo formativo desenvolvido no âmbito do Projeto Observatório da Educação. Buscamos identificar no seu depoimento o que Schön (1983) trata como “teorias defendidas” sobre a reflexão sobre a ação. Segundo Marcela:

Analisando esse depoimento segundo a perspectiva de Schön (1983), notamos que a Professora Marcela, por meio da reconstrução mental, analisou sua formação. Ela mostrou-se uma profissional preocupada com seu desenvolvimento profissional; que refletiu sobre o papel da formação continuada oferecida no âmbito do Projeto Observatório da Educação se conscientizando de suas limitações em relação ao conhecimento do conteúdo e pedagógico do conteúdo.

Além disso, a professora refletiu sobre a sua prática:

Analisando esse depoimento, podemos confirmar a percepção de que ela considera que sua prática continuou centrada na atividade do aluno, todavia percebe que o tratamento que dá ao conteúdo é mais amplo.

Um ano após a formação, a profissional complementou a aula utilizando a literatura para inserir a ideia de quociente e, quatro anos depois, aprofundou com as crianças ideias ligadas a outras representações numéricas – números decimais e equivalência de frações. E, a confirmar o que revela Serrazina (1999, p. 163): “isto pressupõe um elevado grau de conscientização que os ajude a reconhecer as suas falhas e fraquezas e a assumir um forte desejo de as ultrapassar”, observamos ter havido por parte da professora uma relação positiva entre a autoconfiança e a ampliação dos conhecimentos específicos da área.