Las emociones aplicadas al ámbito matemático han sido analizadas, primeramente, por Debellis y Goldin (1991, 1993), por Goldin (1988), por Mandler (1989) y por McLeod y Adams (1989). McLeod en Blanco, Caballero y Guerrero (2009), indica que los procesos cognitivos implicados en la resolución de problemas de Matemáticas son susceptibles a la influencia del dominio afectivo en tres áreas: creencias, actitudes y emociones. En este mismo sentido, encontramos las investigaciones de Gil, Blanco y Guerrero (2006) y Gómez-Chacón (2010).

Por sus características propias los problemas matemáticos son situaciones cuya solución no es alcanzable inmediatamente y en las que no existe un algoritmo conocido para que el estudiante aplique de inmediato; por lo cual se produce una especie de bloqueo y una interrupción a lo que sería una secuencia para llegar a la solución. Los psicólogos dicen que estas interrupciones y el despertar posterior de los resolutores conducen a la emoción, y estas emociones pueden ser positivas o negativas (MCLEOD; ADAMS, 1989).

Blanco et al. (2010) citan a McLeod (1992), que entiende las emociones como las respuestas afectivas caracterizadas por una alta intensidad y activación fisiológica que experimentan los alumnos, y que surgen en respuesta a una tarea matemática que tiene una carga de significado positiva o negativa para ellos.

Cuando a los estudiantes se les da problemas no rutinarios de Matemáticas para resolver, sus reacciones a menudo incluyen mucho de emoción. Si ellos trabajan el problema durante un período extenso de tiempo, las respuestas emocionales, frecuentemente, pueden llegar a ser muy intensas.

Muchos estudiantes empiezan a trabajar en un problema con cierto entusiasmo, tratándolo como un rompecabezas o un juego. Después de algún tiempo, aparecen reacciones más negativas. La influencia de la afectividad sobre la resolución de problemas varía en su intensidad y en su dirección (positiva o negativa). Una de las más comunes reacciones expresadas por los estudiantes es la frustración de quedarse pegado, reacción que es frecuentemente negativa e intensa.

Entre las reacciones positivas que mencionan los estudiantes se encuentra la experiencia de satisfacción, la que también es percibida intensamente (MCLEOD; ADAMS, 1989). Obviamente que la importancia de las emociones positivas en estudiantes y profesores es muy importante para el éxito en la resolución de problemas de Matemáticas. Sin embargo, los que resuelven problemas son frecuentemente inconscientes de las emociones que los están influenciando en el proceso de resolver un problema.

Schoenfeld (1992), ha escrito acerca de la gestión y los sistemas de control que los resolutores de problemas utilizan cuando abordan problemas matemáticos. En su investigación él enfatiza el rol que los sistemas de creencias juegan para determinar las decisiones ejecutivas que toman los resolutores. Además de las estrategias, Schoenfeld (1992) centra su atención en la incorporación de nuevos componentes de la resolución de problemas que puedan explicar las actuaciones de los resolutores: conocimiento base, aspectos metacognitivos, aspectos afectivos y el sistema de creencias y prácticas.

En este último sentido, Callejo y Carrillo (2001), postulan que el estudio de la heurística fue evolucionando y complementándose con otros aspectos relacionados con el dominio afectivo, como los que menciona Schoenfeld (1992) tratando de integrar la cognición y el afecto, explorando sobre la formación y la evolución de las creencias de los alumnos y de los profesores, analizando el papel y los tipos de interacciones en el trabajo en grupo etc.

Para Céspedes (2013) las actividades de enseñanza y de aprendizaje, en todos los ámbitos, están guiadas por las emociones y manifiestan el actuar de las emociones en el hacer, por lo que como una componente no explorada en el proceso, lleva a que el estudiante se vea afectado por sus emociones, y por los efectos de las emociones propias y de los demás, en particular de la emocionalidad del profesor. En una relación de emociones, música y aprendizaje significativo, la experiencia de Albornoz (2009), examina la influencia del factor emocional en el aprendizaje y cómo este factor, generalmente ignorado en la práctica educativa, puede dar significado al proceso de aprendizaje.

Para Gamboa (2014) las emociones se corresponden con un fenómeno de tipo afectivo que un sujeto emite en respuesta a un suceso, interno o externo, que tiene para él una carga de significado. Para Maturana (2001), las emociones son disposiciones corporales dinámicas que definen los distintos dominios de acción en los que nos movemos, así cuando uno cambia de emoción, cambia de dominio de acción.

También existen estudios mediante los cuales se ha descubierto que las personas que tienen fobia a las Matemáticas son incapaces de inhibir todo lo que pueda distraer su atención, generando, con ello, una consumación de los recursos de la memoria de trabajo para toda clase de estímulo, sin relación con la tarea que se va a cumplir (HOPKO et al., 1998).

Siguiendo en esta línea, Novelo et al. (2015) investigaron algunas de las causas por las que se desarrolla lo que los autores han llamado la matefobia en los estudiantes de diferentes niveles educativos y sus efectos, así como las consecuencias que esta conlleva a lo largo de su vida académica. Si un estudiante asume el aprendizaje de la disciplina con la creencia de que es difícil, y se enfrenta con una enseñanza que no le permite comprender los contenidos, presentará frustración y hastío hacia la materia, se indispondrá con todo lo relacionado a ella y propiciará en él pensamientos negativos respecto a sí mismo en la materia, lo que podría convertirse en una creencia negativa de sí mismo como aprendiz (GAMBOA, 2014).

Para Chabot (2009) el motivo por el cual es difícil razonar con alguien que está en crisis emocional, viene del hecho de que la emocionalidad no conoce el lenguaje, por lo que no lo escucha ni lo comprende. No entiende las palabras, ya que el lenguaje es propio de lo racional.

La definición del constructo de emoción es ardua, dada la dificultad de acotación del concepto, su multidimensionalidad y el problema de formalizar una teoría integrada que considere todas las perspectivas de estudio y dé cuenta de todos los elementos y relaciones de manera descriptiva, explicativa y predictiva.

El marco teórico que sirve de base a esta investigación, a partir de la ciencia cognitiva, se centra en el Dominio Afectivo de la Matemática según McLeod (1994), refiriéndose al mismo como un extenso rango de sentimientos y humores o estados de ánimo que son, generalmente, considerados como algo diferente de la pura cognición e incluye como componentes específicos de este dominio las actitudes, creencias y emociones. Las investigaciones de McLeod tienen como base la teoría de Mandler, quién aplicó sus propuestas a la enseñanza y al aprendizaje de la resolución de problemas en Matemáticas (MANDLER, 1984, 1989).

A continuación se presenta, en la Figura 1, los descriptores básicos; actitudes, creencias y emociones en el dominio afectivo en Matemáticas propuestos por McLeod (1994).

Para la presente investigación, se entenderán las emociones como las respuestas afectivas caracterizadas por una alta intensidad y activación fisiológica que experimentan los alumnos, y que surgen en respuesta a una tarea matemática que tiene una carga de significado positiva o negativa para ellos (MCLEOD, 1992).

Entre las competencias Matemáticas básicas se encuentran la resolución de problemas y la modelación matemática. Ambas están estrechamente unidas. Pérez (2015), tras obtener un modelo matemático de la elipse, basado en la resolución de un problema concluyó que, una vez obtenido el modelo matemático, este pasa a formar parte del conocimiento de cada estudiante y se incorporará a un campo teórico conocido como cónicas, que será aplicado posteriormente en la resolución de otros problemas y en la obtención de nuevos modelos.

Dentro de la Educación Matemática o Matemática Educativa existen diversas concepciones de ver a la modelación, por ejemplo, la modelación como un proceso de representación (MOCHÓN, 1997), o la modelación es vista como una forma de actividad necesaria para la reconstrucción de significados matemáticos (SUÁREZ; CORDERO, 2008). Para Biembengut y Hein (2004) la modelación es vista como método de enseñanza de las Matemáticas, en otros casos la modelación es vista como un proceso mediante el cual se desarrollan capacidades (ARAVENA; CAAMAÑO; GIMÉNEZ, 2008), o bien, la modelación es vista como una herramienta didáctica para la construcción de conceptos matemáticos (VILLA; RUIZ, 2009).

Para Molina y Arrieta (2011) la modelación, particularmente concebida, ha sido sugerida como una práctica que posibilita el establecimiento de puentes entre la escuela y su entorno, y que la constitución de dichas prácticas en los sistemas escolares, dará pauta a la vinculación. Para Zöttl, Ufer y Reiss (2011) es concebida como una competencia y una herramienta para desarrollar competencias Matemáticas.

La modelación matemática, en Chile, se aborda desde una óptica curricular integrada en los planes de estudio. Se considera que modelar es construir un modelo físico o abstracto que capture parte de las características de una realidad para poder estudiarla, modificarla y/o evaluarla; asimismo, ese modelo permite buscar soluciones, aplicarlas a otras realidades (objetos, fenómenos, situaciones etc.), estimar, comparar impactos y representar relaciones. La finalidad es que los alumnos aprenden a usar variadas formas para representar datos, y a seleccionar y aplicar los métodos matemáticos apropiados y las herramientas adecuadas para resolver problemas. De tal modo que las ecuaciones, las funciones y la geometría cobren un sentido significativo para ellos (MINEDUC, 2013).

Por otra parte, en los programas vigentes de Matemáticas en Chile, se introduce la noción de función como un cambio lineal, y sus representaciones toman mayor fuerza en la habilidad de modelar situaciones de la vida diaria y de otras asignaturas, considerando problemas abiertos y que pueden ser resueltos por medio de la función y de sus representaciones (MINEDUC, 2015). Se inicia con el empleo de formas simples de modelamiento, continuando en la enseñanza secundaria con la aplicación de modelos lineales que representan la relación entre variables hasta modelar situaciones diversas a través de funciones (DÍAZ; PÉREZ, 2016).

Investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje del objeto matemático función lineal han evidenciado que existen dificultades relacionadas, principalmente, con las representaciones y el significado de los atributos (coeficientes), por ejemplo: Azcárate y Deulofeu (1996), Sierpinska (1992), Sastre, Rey y Boubée (2008) han manifestado que tradicionalmente en la escuela los maestros centran su interés en mostrar el aspecto algebraico del concepto dejando de lado, en muchas ocasiones, un análisis profundo y detallado sobre los elementos propios que permitan consolidar un concepto con suficiente significado para ser aprendido convenientemente. Consecuencia de esto es que los estudiantes, en muchos casos, terminan teniendo la posibilidad de repetir rutinas sobre objetos algebraicos que poco sentido tienen para ellos.

En este marco, surge la siguiente interrogante guía de la investigación: ¿es posible formular en Matemáticas una situación problema que permita dar cuenta del estado emocional del resolutor? Responder a esta interrogante implica manejar nociones teóricas provenientes del dominio afectivo y cognoscitivo e ilustrar la incorporación de la resolución de problemas en Matemática.

El instrumento evaluativo utilizado consistió en una situación de aprendizaje con doce preguntas orientada a la resolución de un problema de modelación matemática de la Ley de Hooke, posterior a haber realizado un experimento con un resorte. Esta práctica parte de datos numéricos, obtenidos de la interacción con el fenómeno, para establecer redes de modelos con el fenómeno.

La situación problema planteada fue la siguiente:

Se va a investigar la elasticidad de un resorte. Se tiene un soporte universal y un resorte colgando de él. En su extremo se le coloca una porta pesas que contiene un indicador, una flecha que apunta a una regla y se cuenta con seis pesas de 20 gramos cada una. Entonces, colocando pesas y leyendo las posiciones de la flecha del porta pesas, se elaboró una tabla como se muestra en la figura.

La secuencia de experimentación se desarrolla desde la pregunta N°1 a la pregunta N°11, proponiendo cuatro actividades a los estudiantes:

Con el fin de conocer las emociones experimentadas por los estudiantes durante la aplicación del instrumento evaluativo, en forma individual y una vez desarrollada las once preguntas asociadas a la secuencia de experimentación, el estudiante realizaba una autovaloración de su emocionalidad respecto a la actividad de aprendizaje realizada y medida según la siguiente escala tipo Likert en la pregunta N°12: ¿Cómo te sentiste desarrollando esta actividad? [ ] Responde de 1 a 5, según la siguiente escala.

No se colocó una opción de neutro, de manera que el estudiante opte por una opción de emocionalidad. Lo que se busca en el estudiante con la escala emocional es, que éste se plantee ser su propio observador de su estado emocional, y luego pueda declararla frente a la secuencia, para así poder analizar el fluir emocional discreto en cada estudiante, en el proceso de la modelación matemática.

A continuación se presentan los resultados obtenidos del análisis de la totalidad de la muestra que corresponde a 349 sujetos de estudio, en función de la externalización del estado emocional en la resolución del problema de modelación matemática. La Figura 3 detalla la frecuencia de la totalidad de las respuestas distribuidas en función de la escala de 1 a 5 puntos utilizada.

En la Figura 3 se observa cierta simetría entre la manifestación de emociones positivas y negativas, dado que 131 estudiantes al término de la actividad de aprendizaje, declaran sentirse muy bien y bien, en tanto que 125 alumnos (as) dicen sentirse desanimados (as) y mal o pésimo al realizar la actividad. Sin embargo, se observa una mayoría de frecuencias de estado emocional en las emociones moderadas con 83 estudiantes. En términos porcentuales, esta comparación se muestra en la Figura 4.

De acuerdo a la Figura 4, los porcentajes de respuesta por género asociados a emociones positivas son 41,2 % (muy bien y bien, mujeres) y 33,6% (muy bien y bien, hombres), mayores que los porcentajes de respuesta asociados a emociones negativas, que son 29,7 % (desanimada, mal o pésimo, mujeres) y 41,9% (desanimado, mal o pésimo, hombres). Con emociones moderadas el 28,6 % (mujeres) y 24,6% (hombres). Por lo tanto, se puede observar que en el género femenino existen emocionalidades levemente más altas que entre los hombres, sin embargo es necesario determinar si estas diferencias son significativas. En base a una tabla de contingencia que relacionó las variables género y emocionalidad, se elaboró la Figura 5.

Al aplicar una prueba Chi-Cuadrado para determinar la relación entre la variable género y nivel emocional, como conclusión con un nivel de confianza del 95% se rechaza la hipótesis H₂ en la que existe relación entre la variable género y la manifestación emocional (sig = 0,13).

A continuación se presentan los resultados en el rendimiento en la situación de aprendizaje orientada a la resolución de un problema de modelación matemática. En la Tabla 2 se detallan los puntajes obtenidos por los estudiantes distribuidos por género.

A continuación, la Figura 6 muestra a simple vista que las distribuciones en el rendimiento de matemática entre hombres y mujeres son muy similar, sin embargo se aplicó una prueba T de comparación de medias para determinar si existen diferencias significativas entre ellos.

Al realizar una prueba de T de comparación de medias se tiene que con una significancia de contraste del 5% (sig = 0,584), se puede concluir que no se rechaza la hipótesis H₃ ya que no existen diferencias significativas entre hombres y mujeres en el rendimiento en Matemáticas (Tabla 3).

A continuación, la Figura 7 muestra que a simple vista hay diferencias de logros obtenidos entre algunos colegios, sin embargo es necesario determinar si estas diferencias son significativas.

Para ello se aplicó un ANOVA de un factor, seguido de una prueba de Tukey para determinar diferencias por cada par de colegio. Los resultados no apoyan la hipótesis H₄ respecto a que los colegios tienen distinto nivel de logro en Matemáticas. De acuerdo a la estadística de prueba de Levene para determinar varianzas homocedásticas entre los colegios, este concluye que existen varianzas iguales entre ellos (sig > 0,005).

En cuanto a la comprobación de la hipótesis H_5, como puede verse a continuación, en la Figura 8, al analizar el Box Plot, se observa que los colegios mantienen una concentración similar del puntaje obtenido en Matemáticas entre hombres y mujeres, a excepción del colegio A y B y las mujeres del colegio C.

Al realizar una prueba ANOVA de un factor, no se acepta la hipótesis H₅ basados en la igualdad de medias entre colegios y género.