Asumimos un problema abierto como aquel en el que el enunciado no revela su solución o respuesta. Cuando un problema pide, explícitamente, establecer una conjetura (i.e., proposición condicional p → q) que exprese relaciones de dependencia entre elementos o propiedades de las figuras (o configuraciones) involucradas en la situación, este se denomina problema abierto de conjeturación (BACCAGLINI-FRANK; MARIOTTI, 2010).

Específicamente, la innovación descrita en la sección anterior pretende que los problemas que se proponen en clase sean lo que Ponte, Fonseca y Brunheira (1999) denominan investigaciones matemáticas. En primer lugar, estas son problemas abiertos que permiten a los resolutores diversas alternativas de exploración y de solución, dado que los datos o meta implican un grado de indeterminación significativo (PONTE, 2004).

En segundo, son tareas que pretenden que el resolutor efectúe un proceso semejante al que realiza un investigador matemático, es decir, que determine la cuestión que se va a estudiar, ponga a prueba y refine conjeturas, explique o demuestre, y comunique resultados. Finalmente, son tareas que dan lugar a la introducción de un nuevo objeto de estudio para discutir y producir su significado, o hacer que un objeto conocido se resignifique (PONTE, 2003). Como se ilustrará, los tipos de problemas abiertos que se presentarán cumplen con las características descritas.

Según el modelo básico de Toulmin (BOERO et al., 2010), un argumento es un enunciado oral o escrito, de estructura ternaria, que relaciona proposiciones particulares (datos y aserción) y una general (garantía). En cualquier argumento, inicialmente se expresa un punto de vista (una afirmación, una opinión), denominado aserción (q) (claim en términos Toulminianos); luego se proporcionan datos (p) (o data) para apoyar la aserción. La garantía (r) (o warrant) justifica el uso de los datos como soporte para la aserción.

La garantía, que puede ser expresada como un principio o una regla, actúa como un puente entre los datos y la aserción. Las proposiciones pueden no ser explícitas, pero para formalizar lo expresado debe ser posible identificarlas. La forma como se relacionan las proposiciones particulares (p y q) y la general (r) define el tipo de argumento: deductivo, inductivo o abductivo. La siguiente descripción² para cada tipo de argumento es propuesta por el grupo Æ • G y presentada en (PERRY et al., 2013).

En un argumento deductivo se aplica una proposición general conocida (r: p → q) a unos datos que se tienen (p₁: particularización de p), para obtener necesariamente la aserción (q₁: particularización de q). El esquema del argumento es: (p₁ ∧ r) → q₁ (Diagrama 1³). Este tipo de argumentos ocurre, primordialmente, en el proceso de demostración de una conjetura (Figura 1).

En un argumento inductivo se tienen n casos que particularizan la proposición p (p₁, p₂, p₃,…p_n) para los cuales, para cada uno, se satisface la proposición general (q). Se concluye la proposición general (r: p → q). El esquema del argumento es: (p₁ ∧ q) ∧ (p₂ ∧ q) ∧ (p₃ ∧ q) ∧ … (p_n ∧ q)→r(Figura 2).

La conclusión obtenida es de índole provisional, es una conclusión plausible y para indicarlo en el diagrama usamos una línea punteada. Sería una conclusión válida si q coexiste con todos los casos posibles de p, situación que se podría esquematizar con la tautología: (p ∧ q) → (p → q). Si es posible validarla, se constituye en un nuevo elemento del sistema teórico. Los argumentos inductivos se dan, principalmente, en el proceso de conjeturación.

En un argumento abductivo, la proposición particular que se tiene se refiere a un hecho que se observa q₁ (caso de q). Se conocen proposiciones generales r₁: p → q, r₂:s → q,… y, por ejemplo, se concluye que es posible el hecho p₁ (caso de p). El esquema del argumento es (q₁ ∧ r) –→ p₁ (Diagrama 3). La conclusión (o inferencia) así obtenida es de índole provisional y plausible; indicamos esto en el esquema con el símbolo “–→”.

Cabe mencionar que la procedencia de la regla general no es única: o es una regla hipotética que proviene de una exploración empírica o es una regla aceptada como elemento del sistema teórico con el que se cuenta, elegida en una exploración teórica. Si bien en ambos casos p es posiblemente verdadero, en el primero está el asunto de la validez de la regla, cosa que podría desencadenar en una argumentación deductiva que permita justificarla. Los argumentos abductivos pueden surgir en los procesos de conjeturación y de demostración de una conjetura (Figura 3).

Acorde con las descripciones previas de argumento, entendemos por argumentación al acto comunicativo en el que se provee la formulación de argumentos para apoyar una idea.

Como los tipos de problemas que se describirán requieren el uso de geometría dinámica, se presenta un marco referencial que muestre la relación entre los EGD y los procesos de resolución de problemas, de conjeturación y de argumentación. Baccaglini-Frank, Mariotti y Antonini (2009) afirman que los EGD han revolucionado el enfoque para entender la compleja relación entre representaciones gráficas y conceptos en la geometría euclidiana. En particular, mejoran el razonamiento geométrico en la resolución de problemas, pues promueven la exploración visual y el descubrimiento.

En un EGD, las figuras representadas a través de una secuencia de comandos elegidos por el usuario son configuraciones con una lógica que se corresponde, en esencia, a los postulados de la geometría euclidiana. Las propiedades geométricas que obedecen los comandos controlan la aparición de invariantes bajo la función de arrastre. Por ello, la dependencia lógica intrínseca entre las propiedades de los elementos de la figura dinámica puede afectar la interacción entre los componentes figurales y conceptuales implicados en la solución de una tarea (LABORDE, 2000).

Específicamente, algunos investigadores han mostrado cómo los diferentes tipos de arrastre y la posibilidad de ver, en tiempo real, muchos casos de una situación, favorece la producción de argumentos de diverso tipos (inductivos, abductivos) cuando abordan un problema (e.g., ARZARELLO et al., 2002; BACCAGLINI-FRANK; MARIOTTI, 2010; STYLIANIDES; STYLIANIDES, 2005); provoca la construcción de conjeturas y su demostración (producto de la explicitación de propiedades dependientes de otras), y hace ostensivas las estrategias llevadas a cabo por los estudiantes (e.g, CAMARGO et al., 2009; SAMPER et al., 2010; SANTOS-TRIGO, 2014).

Presentamos, grosso modo, una descripción de los diferentes tipos de arrastre propuestos por Arzarello et al. (2002) que se tendrán en cuenta para hacer el análisis de las producciones de los estudiantes: arrastre libre, consistente en mover los puntos base de la construcción aleatoriamente; arrastre limitado/ligado, consistente en mover un punto sólo sobre el objeto al que pertenece; arrastre guiado, consistente en mover los puntos base de la representación para darle una forma determinada; arrastre de lugar ficticio, consistente en mover un punto base para que el dibujo conserve una propiedad descubierta (el punto que se mueve sigue un camino sin que los usuarios se den cuenta de ello); arrastre mantenido (BACCAGLINI-FRANK; MARIOTTI, 2010), consistente en mover un punto base para que el dibujo conserve una propiedad descubierta o deseada (el punto que se mueve sigue un camino que los usuarios perciben y que al poner traza al punto evidencian).

El contexto experimental del estudio fue el curso de geometría euclidiana plana, ubicado en el segundo semestre del programa de formación inicial de profesores de matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia). Se consideraron dos grupos de dicho curso, uno realizado en el primer semestre del año 2013 (diecisiete estudiantes), y el otro desarrollado en el segundo semestre del mismo año (catorce estudiantes); cada curso fue dirigido por cada autor de este reporte, respectivamente. Las edades de los estudiantes oscilaban entre 18 y 24 años.

El curso Geometría Plana tiene como propósito que los estudiantes aprendan a demostrar deductivamente. Se emplea una estrategia metodológica que se caracteriza porque, a raíz de problemas abiertos de investigación propuestos por el profesor, los estudiantes (en grupos de dos o tres) se involucran en la resolución (con el apoyo de un EGD) que les exige formular conjeturas y validarlas con elementos del sistema teórico⁴ que se va conformando.

Cada grupo de estudiantes debe presentar sus producciones de manera escrita, incluyendo: i) una narración de cómo se procedió para establecer la solución del problema (e.g., qué se construyó para obtener la configuración que se realizó en el EGD, qué exploración empírica se hizo, qué tipo de invariante se determinó); y ii) la conjetura (solución del problema) enunciada como proposición condicional que reporta la relación entre lo construido y lo descubierto. A veces se exige consignar un intento de demostración de la conjetura.

El profesor da espacio para que cada grupo presente ante la clase sus producciones. Luego de una discusión en la que participan estudiantes, orientada por el profesor, se escogen las conjeturas que son correctas desde un punto de vista matemático (y que solucionan el problema), se ajustan si es necesario (i.e., se precisan antecedente y consecuente de la conjetura, se formula explícitamente como condicional etc.), y se procede a realizar colectivamente su demostración.

Los datos para el presente reporte son producciones escritas de los estudiantes en las que reportan la solución de tres problemas específicos tomados de Samper y Molina (2013), cuyos enunciados se presentarán más adelante. Estos problemas se escogieron porque son representativos de la tipología que se describirá y porque tenían como propósito involucrar el objeto mediatriz de un segmento⁵ como elemento clave para establecer una solución más completa.

Se contó, además, con otras dos fuentes: i) notas de clase elaboradas después de cada clase por grupos de dos o tres estudiantes, tarea asignada desde el principio del semestre. En ellas, los estudiantes debían reconstruir los principales aspectos tratados en la clase (precisando, por ejemplo, las producciones que los grupos de estudiantes presentan, y los comentarios – del profesor u otros estudiantes – que surgen al respecto de estos) y enviarlas, vía correo electrónico, al profesor, quien luego de revisarlas y corregirlas, las ubicaba en una carpeta virtual en la web a la cual tienen acceso todos los estudiantes del curso; ii) reconstrucción narrativa – método que en inglés se conoce como retrospective recall (SHERIN; RUSS; COLESTOCK, 2011) – hecha por el profesor luego de cada sesión de clase, que permitió complementar la información consignada en las notas de clase.

El análisis de los datos consta de dos partes. Un análisis preliminar (de índole teórico), donde se describe, brevemente, cómo debería proceder un estudiante para establecer su solución, según el tipo del problema y se sugiere, a priori, el tipo de argumento que se debe favorecer. Otro retrospectivo (de índole empírico) contrastado con el teórico, donde se identifican tanto las estrategias más comunes de solución de los problemas como sus respectivas conjeturas-solución, evidenciadas en las producciones de los estudiantes. De ambos análisis, obtuvimos insumos para identificar el papel del EGD en el proceso de solución y los tipos de argumentos (inductivos, abductivos y deductivos) que necesariamente se provocan cuando los estudiantes resuelven un tipo particular de problemas. Para el primer caso, empleamos como herramienta analítica los tipos de arrastre (ARZARELLO et al., 2002); para el segundo, el Modelo de Toulmin para un argumento (BOERO et al., 2010).

Vale indicar que, para cada uno de los problemas escogidos, la identificación de los argumentos asociados y los tipos de arrastre que emergieron se hizo a partir de los siguientes datos específicos: para dar cuenta de los tipos de arrastres, principalmente se tuvo en cuenta el reporte escrito de la narración de los estudiantes respecto a cómo ellos procedieron para establecer la solución del problema; esto es, qué construyeron para obtener la configuración que realizaron en el EGD y qué exploración empírica llevaron a cabo para determinar algún invariante.

La reconstrucción hecha por los profesores en relación con las formas de exploración ayudó a complementar la información al respecto. De otro lado, una lectura de estos mismos elementos de los reportes escritos de los estudiantes junto con lo que se evidencia en los documentos notas de clase (que registran la interacción de lo sucedido en cada clase), fueron los datos que nos llevaron a identificar los tipos de argumentos que emergieron de la actividad de los estudiantes.

Lo que presentamos son casos prototípicos construidos a partir de los datos analizados. Para ganar validez en los análisis, en primera instancia estos fueron realizados por cada uno de los autores del artículo, separadamente. Luego, tales análisis se compararon hasta establecer un consenso que fue puesto a consideración de otros académicos conocedores del tema⁶.

En este tipo de problemas están dadas condiciones suficientes y se deben hallar las consecuencias necesarias de estas; por ello, se denominan problemas de búsqueda del consecuente. En estos, la representación gráfica de la situación descrita en el enunciado exige la construcción de figuras que cumplan las condiciones dadas; la búsqueda de invariantes (que conformará el consecuente) se hace mediante la exploración de las figuras construidas.

Para solucionar el problema, la representación construida en el EGD debe cumplir las condiciones dadas (en cursiva) en el enunciado (Figura 4). Hecha tal representación, el estudiante debe iniciar un proceso de exploración de varios casos (varias posiciones para el punto B) a través de un arrastre libre para determinar propiedades invariantes del punto T. Así, a priori, concebimos que debe surgir un argumento inductivo en el proceso de solución.

Las producciones de los estudiantes mostraron que fue difícil determinar a simple vista las propiedades invariantes mediante el arrastre libre del punto B. Propusieron dos estrategias (representativas) para solventar esto: una consistente en marcar el punto T_i para posiciones particulares del punto B (denotadas por B_i); en este caso, marcar tres puntos fue suficiente para que los estudiantes visualizaran una invariante: los puntos T_i son colineales (Figura 5). La otra estrategia consistió en activar la traza o rastro del punto T y arrastrar libremente al punto B; ahí se dieron cuenta que aparece dibujado un segmento de recta (Figura 6).

La primera estrategia imita una exploración que se puede hacer con papel, lápiz, regla y compás, mientras que la segunda es posible solo en un EGD. Por supuesto, esta última es mucho más significativa por cuanto, en tiempo real, se representan varias posiciones de B_i y no solo tres como sucede en el primer caso. Así, con la primera estrategia es posible que solo se infiera la equidistancia de los puntos T_i a los puntos A y C, mientras que la segunda estrategia aporta mayor evidencia empírica para inferir que T_i es un punto de una recta especial. Estas estrategias permiten establecer una conjetura como resultado de un argumento inductivo, la cual podría estar o no expresada en términos dinámicos. En consecuencia, las conjeturas que se establecen coinciden con la garantía o regla que se induce. Para el caso que estamos reportando, las conjeturas más recurrentes en los reportes de los estudiantes fueron:

El argumento inductivo, que tuvo lugar en los procesos de solución reportados por los estudiantes, se representa con el Modelo de Toulmin mediante el Diagrama (Figura 7).

Este ejemplo nos permite concluir que el tipo de problemas búsqueda del consecuente favorece la producción de un argumento inductivo: el resolutor toma varios casos que cumplen ciertas condiciones dadas (fuente cursiva en el enunciado del problema), observa (empíricamente) una propiedad invariante (T pertenece a la mediatriz del A C ¯ ) que depende de tales condiciones, e induce una regla general (conjetura). El EGD favorece de mejor manera la inducción pues vía el arrastre libre es posible visualizar la propiedad invariante para infinitos casos.

En este tipo de problema se deben hallar las condiciones suficientes para las cuales las propiedades mencionadas en el enunciado son la consecuencia necesaria; por ello se denominan problemas de búsqueda del antecedente. Resolverlos exige no sólo representar gráficamente los objetos mencionados en el enunciado, sino también realizar construcciones auxiliares que provean las condiciones geométricas suficientes para reconocer, mediante la exploración, las propiedades de un objeto existente o determinar las que aseguren la existencia de un objeto. Estas deben ser reportadas en el antecedente de la conjetura pues el consecuente está dado.

El resolutor debe hacer una representación en el EGD que satisfaga las condiciones (en cursiva) dadas en el enunciado, y buscar condiciones del punto E para obtener como consecuencia necesaria la congruencia del ΔABE y ΔCDE. Precisamente, es necesario establecer parte del antecedente de la conjetura que sería la solución del problema. Es decir, debe completar la siguiente proposición abierta para que sea verdadera:

A priori, concebimos que este tipo de problema favorece la producción de un argumento abductivo durante el proceso de conjeturación. Es probable, también, que los estudiantes usen un arrastre libre de los extremos de los segmentos o de un punto E buscando una solución, un arrastre guiado (e.g., poner los segmentos dados en una posición específica), un arrastre de lugar ficticio (e.g., mover el punto E intentando mantener los triángulos en cuestión congruentes sin darse cuenta de la trayectoria seguida por tal punto) o un arrastre mantenido (e.g., hacer lo mismo, pero percatándose de la trayectoria seguida por el punto E).

Los registros que analizamos muestran que los estudiantes procedieron de distintas formas válidas. Unos adjudicaron una relación particular a los A B ¯ y C D ¯ (e.g., que fueran paralelos entre sí, que los segmentos se bisecaran, que fueran perpendiculares etc.), y evocaron los criterios de congruencia de triángulos. Por ejemplo, unos estudiantes asumieron que A B ¯ || C D ¯ (siguiendo un arrastre guiado) y tomaron a E como la intersección de las diagonales del □ABCD para dar una solución al problema (Figura 8).

Pero ¿por qué asumieron que A B ¯ y C D ¯ son paralelos entre sí? Según su relato, evocaron dos hechos geométricos conocidos por ellos que permitirían establecer una nueva meta (submeta 1): la congruencia de los lados correspondientes de los triángulos involucrados en la situación ( A E ¯ ≅ E C ¯ , B E ¯ ≅ E D ¯ ) para, así, obtener (posiblemente usando el criterio Lado-Lado-Lado) la congruencia de los triángulos, meta del problema. Evocaron el hecho: si un cuadrilátero es paralelogramo entonces sus diagonales se bisecan. Esto les conducía a tener como un dato nuevo: un paralelogramo para el cual dos de sus lados eran los segmentos dados. Reconocemos en esto la producción de un argumento abductivo (Diagrama de la Figura 9). Para obtener el dato nuevo, evocaron otro hecho: si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes y paralelos, entonces es un paralelogramo. Esto para determinar datos nuevos sobre los segmentos dados que llevaran a configurar un paralelogramo (submeta 2). De nuevo reconocemos un argumento abductivo (Diagrama de la Figura 10).

Finalmente, los estudiantes formularon la siguiente conjetura como solución al problema 2: A B ¯ y C D ¯ son congruentes y paralelos y E es la intersección de A C ¯ y B D ¯ , entonces ΔABE y ΔCDE son congruentes. Además, si los estudiantes realmente usaron el criterio Lado-Lado-Lado (en su relato no lo explicitaron) para asegurar la congruencia de los triángulos (meta del problema), se habría dado un argumento deductivo (Diagrama de la Figura 11 ⁷).

La segunda estrategia que evidenciamos consistió en buscar el punto E con el arrastre de lugar ficticio, es decir, sin caracterizarlo geométricamente. Los estudiantes realizaron exploraciones buscando la congruencia de parejas de segmentos o de ángulos correspondientes. Varios grupos de estudiantes, por ejemplo, reportaron que querían establecer que el A E ¯ fuera congruente al C E ¯ o el B E ¯ al D E ¯ . Algunos de ellos reconocieron que, para que ello sucediera, el punto E debería estar en la mediatriz del A C ¯ , objeto geométrico que ya conocían.

Otros usaron una estrategia basada en el arrastre mantenido, tomando un punto E cualquiera, activando su traza, y moviéndolo con el objetivo de mantener la propiedad que deseaban (i.e., congruencia de A E ¯ con C E ¯ ); dicha traza les permitió reconocer que el punto E debería estar en la mediatriz del A C ¯ (Figura 5). Luego, como lo afirmaron ambos grupos de estudiantes, producto de un análisis similar, determinaron que E también debería estar en la mediatriz del B D ¯ . Así, establecieron que la congruencia de los triángulos se lograba cuando E era la intersección de las mediatrices (Figura 12). El enunciado formulado como conjetura-solución fue similar a: Si A B ¯ y C D ¯ son congruentes y E es el punto de intersección de las mediatrices de A C ¯ y B D ¯ , entonces ΔABE y ΔCDE son congruentes.

Las acciones realizadas en la segunda estrategia de solución seguramente obedecieron a un argumento abductivo (Diagrama de la Figura 14).

Aunque los procesos llevados a cabo en ambas estrategias favorecen la producción de argumentos abductivos, existe una diferencia fundamental entre ellos. El proceso de la segunda estrategia tiene un carácter creativo, pues el resolutor descubre, producto de su exploración empírica basada en el arrastre mantenido, posibles datos que llevarían a la congruencia de los triángulos. En contraste, el proceso de la primera estrategia se apoya en una evocación teórica de un hecho geométrico conocido por los estudiantes cuyo consecuente se corresponde con la congruencia de los triángulos. Así, unos argumentos que surgen para resolver el problema están fundados en experimentos empíricos, otros en evocaciones de hechos teóricos conocidos.

En un problema de determinación de dependencia - análogo a una de las tipologías citadas por Yevdokimov (2004) – el enunciado provee un conjunto referencial de figuras geométricas y unas propiedades, y solicita establecer dependencias entre “tipos de figuras del conjunto referencial” y las “propiedades dadas”. Existe la libertad de decidir qué se toma como antecedente (o consecuente) de la conjetura: el conjunto referencial o las propiedades.

En un problema como este, el resolutor podría realizar por lo menos dos estrategias para abordarlo: i) asumir como antecedente tipos de cuadriláteros o ii) asumir como antecedente la propiedad las mediatrices de dos de sus lados coinciden. En cualquiera de los dos casos, se debería construir, blandamente (mediante arrastre guiado) o robustamente⁹, en el EGD las propiedades del antecedente escogido. Para el primer caso, se esperaría que el resolutor estudie varios casos del tipo de cuadrilátero escogido, a través del arrastre libre, y observe lo que sucede con sus mediatrices buscando invariantes (en especial, la propiedad del enunciado); lo deseable sería que hiciere el mismo proceso de exploración con cada uno de los tipos de cuadriláteros (cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo, cometa, trapecios isósceles o no, cuadrilátero cíclico) y de todos ellos generalizase para formular una conjetura representativa de todos los casos. Para la segunda estrategia, lo deseable sería que el resolutor observe lo que sucede con el cuadrilátero determinado por los extremos de los segmentos, cuando las mediatrices coinciden, para formular una conjetura general.

Evidenciamos las estrategias anteriormente descritas en la producción de los estudiantes; la primera tiene mayor frecuencia que la segunda; además, la tendencia para hacer la exploración es usar configuraciones blandas más que construcciones robustas. Así, por ejemplo, para la primera estrategia varios grupos de estudiantes realizaron configuraciones blandas de cuadrados, rectángulos, trapecios, paralelogramos y cometas –ninguno aludió a un cuadrilátero cíclico – (Figura 15); las conjeturas-solución producidas fueron como las siguientes:

Quienes usaron la segunda estrategia hicieron como configuración un cuadrilátero con sus mediatrices; arrastraron uno de sus vértices hasta que coincidieran las mediatrices de lados opuestos – i.e., hicieron un arrastre guiado – (Figura 16). Formularon conjeturas-solución como: Si en un cuadrilátero las mediatrices de dos de sus lados coinciden, entonces es un rectángulo o un trapecio isósceles.

A partir de estos ejemplos, se evidencia que el argumento que se favorece con la estrategia 1 es abductivo: se conoce el resultado y se quiere determinar qué propiedades causan ese resultado. En cambio, con la segunda estrategia el argumento es de carácter inductivo, pues sucede algo similar a lo descrito para los problemas de búsqueda de consecuente. En consecuencia, tenemos insumos para concluir que el tipo de problemas de determinación de dependencia favorece la formulación de argumentos inductivos y abductivos. No obstante, un análisis más fino da la posibilidad de que se favorezcan argumentos abductivos y deductivos.

Veamos el caso de un grupo de estudiantes que, en el marco de la primera estrategia, hicieron una construcción robusta para tipos de cuadriláteros. En su relato, reportaron que pensaron en las propiedades que debían construir para obtener un tipo especial de cuadrilátero (e.g., cometa) y determinaron sí se cumplía la propiedad solicitada; vemos en este proceder un argumento abductivo que esquematizamos en el diagrama expreso por la Figura 17. Su conjetura solución fue: Si A C ↔ es mediatriz de B D ¯ entonces □ABCD es una cometa. Para la segunda estrategia, no reportaron exploraciones con una construcción robusta; si lo hubieran hecho, habría surgido un argumento abductivo (un ejemplo, se esquematiza en el diagrama expreso en la Figura 18).

Por otro lado, los argumentos deductivos tuvieron lugar cuando, en uno de los cursos, se propuso como tarea producir una sola conjetura que generalizara los resultados reportados en las conjeturas enunciadas resultado de la primera estrategia; ello implicó analizar los antecedentes de estas (pues el consecuente en ambas es el mismo). Los estudiantes establecieron las propiedades comunes del rectángulo y del trapecio isósceles: dos de sus lados son paralelos y los ángulos adyacentes de la base son congruentes. De este suceso, entrevemos la producción de dos argumentos deductivos (diagramas expresos en las Figuras 19 y 20).

De las aserciones de tales argumentos deductivos (ver lo sombreado), fue generalizado el antecedente de la nueva conjetura-solución del problema 3. La reformulación propuesta fue: Si es un cuadrilátero dos de sus lados son paralelos y los ángulos adyacentes de la base son congruentes, entonces las mediatrices de sus lados paralelos coinciden.