A pesar que la investigación en la enseñanza de las matemáticas escolares ha hecho valiosos aportes, aún es posible encontrar que el trabajo en las aulas de educación básica primaria se reduzca a una mera reproducción memorística de algoritmos y notaciones matemáticas, relegando al estudiante “el papel de receptor de información, con la única función de memorizar ideas, técnicas y procedimientos, y sin posibilidad de opinar, preguntar y mucho menos reflexionar sobre lo que debe memorizar” (JIMÉNEZ; PINEDA, 2013, p. 103).

En este proceso de maestro-emisor y estudiante-receptor, la comunicación se limita al discurso del maestro; descuida aspectos tan importantes como el tipo de lenguaje que pueden utilizar los estudiantes para representar sus raciocinios matemáticos, y la propia interacción entre estudiantes en la construcción social del conocimiento matemático (FONT, 2002).

En relación con lo anterior, es pertinente aclarar que la enseñanza de las matemáticas puede verse como una práctica social, en la que estudiantes y docentes, a través de un contexto comunicativo apropiado, pueden asignar significado y construir representaciones sobre conceptos y procedimientos de la matemática.

En la clase se utilizan, de manera explícita o implícita, unas reglas de comunicación, a partir de concepciones, de expectativas y comprensiones, respecto al acto de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, que son propias de la naturaleza cultural en la que se está inmerso. Parece una obviedad hacer tal precisión; sin embargo, el proceso de comunicación en la clase de matemáticas no ha tenido la suficiente importancia.

De aquí que investigar la enseñanza y el aprendizaje de la matemática desde su dimensión comunicativa puede conducir a importantes reflexiones e inquietudes sobre cuestiones de la didáctica misma. Por tal razón, en esta investigación se buscó identificar el rol de la lengua materna en la construcción del pensamiento matemático y para ello fue necesario interpretar los tipos de lenguajes utilizados por los estudiantes para comunicar y expresar procedimientos y conceptos matemáticos.

La investigación aquí presentada se sustenta en un enfoque cualitativo, desde la perspectiva de la investigación-acción y el material empírico recolectado se discute desde el lenguaje (HART, 1982; ROBITAILLE, 1992; ROMBERG, 1991; DÍAZ, 2009; DÍAZ; PALOMINO; PRIMERO, 2009), las representaciones (DUVAL, 2003, 2004; D'AMORE, 2005; HUGHES, 1987) y la comunicación en clase de matemáticas (JIMÉNEZ; SUÁREZ; GALINDO, 2010; GOÑI; PLANAS, 2011; JIMÉNEZ; PINEDA, 2013).

Además, se consideran las clases exploratorio-investigativas de matemáticas (FIORENTINI; CRISTOVÃO, 2006), como aquellas que priorizan el desarrollo de situaciones comunicativas, que movilizan y desencadenan tareas y actividades de pensamiento abierto, exploratorio y destacan procesos de significación matemática.

En suma, el estudio muestra un ejemplo de intervención pedagógica de cómo la comunicación de los estudiantes a través de su lengua materna – en sus diferentes representaciones – puede ser una herramienta fundamental en el manejo concreto, conceptual o simbólico de los procedimientos, notaciones y algoritmos usuales de la clase de matemáticas; pues es a partir de allí que los estudiantes discuten significados, porque este tipo de lenguaje es comprendido y aceptado por sus compañeros en la construcción del conocimiento matemático, y es natural que así sea por ser el tipo de lenguaje con el que las personas se expresan con mayor frecuencia.

La investigación siguió un enfoque cualitativo, que se interesa por interpretar realidades sociales, como la del salón de clase, con la mirada y explicación de los propios sujetos involucrados en la investigación (CORBETTA, 2007).

La investigación cualitativa se interesa por el estudio de los significados e intenciones de las acciones humanas desde la perspectiva de los propios agentes sociales; es decir, se sirve de palabras, de acciones y de documentos orales y escritos para estudiar las situaciones sociales tal como son construidas por los participantes (LATORRE; RINCÓN; ARNAL, 2003).

Siguió un patrón de investigación-acción (I-A), la cual toma en cuenta al ser humano y al entorno donde se desenvuelve, vinculado con la práctica profesional, orientada a la transformación y al cambio (KEMMIS; MCTARGGART, 1992; ELLIOTT, 2005).

En al ámbito escolar la I-A se entiende como el estudio de una situación social en la que participan maestros y estudiantes con el objeto de reflexionar sobre la acción para mejorarla, para transformarla, para (re)significarla. El proceso de (re)significar se da a partir de la reflexión crítica sobre la experiencia, la construcción y reconstrucción de conocimientos en la acción, constituida por los sujetos que comparten sus conocimientos (JIMÉNEZ, 2002).

La investigación usó la observación participante (CORBETTA, 2007) junto con las notas de campo registradas durante y después de la observación; notas que atendieron a la dinámica de la clase y a los objetivos específicos de la investigación. Las notas de campo, en la concepción de Fiorentini y Lorenzato (2010, p. 119) son “uno de los instrumentos más ricos de la recolección de información durante el trabajo de campo. En estas el investigador registra observaciones de los fenómenos, hace descripciones de las personas y escenarios, describe episodios o retrata diálogos”.

Además, se emplearon registros como grabaciones de audio y vídeo (CARRILLO; MUÑOZ-CATALÁN, 2011). También fueron tenidos en cuenta las producciones escritas de los estudiantes, obtenidas en tareas de clases investigativas (FIORENTINI; CRISTOVÃO, 2006).

La investigación se adelantó en una Institución de Educación Básica del área rural de la región del Casanare (Colombia), con un total de dieciocho niños inscritos en los grados preescolar, primero y segundo, con edades entre los cinco y ocho años. La población escolar presenta una notoria inasistencia a la escuela, debida a que los padres de familia tienen a sus hijos como ayudantes en sus largas jornadas de trabajo del campo. El nivel educativo de los papás de estos niños apenas llega al segundo grado de básica primaria.

La investigación sigue el proceso cíclico en espiral del método de investigación-acción (ELLIOTT, 2005). El trabajo de campo se diseñó a partir de tareas exploratorio-investigativas; las clases fueron grabadas en vídeo y, posteriormente, se transcribieron las acciones, discusiones, explicaciones y tareas realizadas por los niños y la profesora.

Además en el trabajo de campo, la observación estuvo presente en todo momento; centrándose en aspectos como la distribución de los niños en el aula, la manera en que solicitaban el turno para expresarse, las intervenciones de la docente y de cada uno de los niños, y los trabajos escritos por ellos.

Especial atención y análisis se tuvo en los momentos de discusión, conclusiones y generalizaciones de cada tarea, así como las intervenciones de cada estudiante. Es de destacar que la investigación siguió los protocolos éticos de manejo de información y conocimiento informado con los sujetos de la investigación y con los papás de los niños.

Para el análisis del material empírico se establecieron categorías, las cuales surgieron del análisis de datos cualitativos, hasta “generar afirmaciones empíricas, en gran medida a través de la inducción”; y “para establecer una evidencia probatoria”, siguiendo a Erickson (1986, p. 146).

También se hace a través de la búsqueda sistemática de la confirmación o negación de los datos. En este proceso dialéctico, se requiere “fracturar sistemáticamente los datos”, para generar categorías, y “regularidades en los datos” (AGAR, 1980, p. 9). Así, en la búsqueda de los aspectos centrales del material empírico, la totalidad de los datos se examinó en profundidad y en varias ocasiones.

Las categorías establecidas son mixtas, porque se obtuvieron mediante un proceso interpretativo, directamente del material de campo al ser confrontado con la literatura (FIORENTINI; LORENZATO, 2010). Las categorías de análisis establecidas, de acuerdo al lenguaje empleado por los niños en la representación de conceptos y procedimientos matemáticos, fueron: a) lenguaje verbal oral: el niño expresa su raciocinio matemático oralmente utilizando términos de su lengua materna y lenguaje matemático; b) lenguaje verbal escrito: apoya su raciocinio matemático utilizando términos de su lengua materna y lenguaje matemático de forma escrita; c) lenguaje pictórico: emplea dibujos y grafías para representar y apoyar su raciocinio matemático; y d) lenguaje simbólico: emplea símbolos convencionales del lenguaje matemático para representar y apoyar su raciocinio matemático.

En cuanto al proceso de análisis, se hizo de forma transversal, pues todas las categorías se consideran simultáneamente cuando se analiza una situación o un discurso. Este tipo de análisis resulta apropiado porque las categorías no son totalmente disjuntas (FIORENTINI; LORENZATO, 2010).

Una de las actividades en campo comienza con la lectura los juguetes ordenados (SACRISTÁN; MUÑOZ; SALA, 2014), la cual narra la historia de un niño que luego de utilizar sus juguetes los dejaba en desorden, hasta que un día los juguetes no quisieron seguir jugando debido a la desorganización. La actividad continúa con la introducción de la tarea exploratoria para lo cual se procedió a leer una carta de la niña que había prestado los juguetes para llevarlos al salón de clase. En la carta se solicitaban sugerencias para organizar esos juguetes en una nueva habitación con un espacio muy reducido. Luego cada niño recibió un juguete y se organizaron según su preferencia para jugar por unos minutos. Mientras jugaban libremente fue posible observar cómo algunos niños intentaban colocar en cierto orden sus juguetes.

Para realizar la tarea exploratorio-investigativa los niños de preescolar manipularon cinco juguetes mientras que los estudiantes de grados primero y segundo la realizaron con diez juguetes. En la tarea exploratorio-investigativa enfocada a inspeccionar la ordinalidad, la maestra propone responder a la carta que concluía el cuento en la cual tendrían que sugerir a una niña cómo organizar sus juguetes para evitar el desorden de su habitación. A continuación, apartes de la socialización y discusión de la actividad (Figura 1):

La estudiante que hace la descripción se encuentra frente a los juguetes tal como muestra la Figura 2, con una perspectiva frontal de proyección horizontal; sin embargo, ella refiere el primer objeto de izquierda a derecha y lo menciona como adelante, hasta el momento no utiliza ningún adjetivo ordinal para argumentar su representación.

El propósito de la maestra era que, inicialmente, cada niño argumentara su representación individualmente; sin embargo, sus compañeros, que estaban atentos, intervinieron oralmente, generando, probablemente, la posibilidad de construcción social de conocimiento. En esta transcripción se evidencia cómo la estudiante E4 sugiere a su compañero términos de cardinalidad, pues el niño que comenzó la descripción tenía una perspectiva frontal de proyección horizontal pero no logró utilizar adjetivos ordinales para argumentarla. La niña E4 deja ver que en la numeración de posiciones tiene cierta dificultad al expresar el objeto en la cuarta posición, aunque ella sabe la secuencia verbal cardinal, hace un intento por expresar esa posición en ordinal, por tal razón dice cuatrorce aunque no muy segura de su intervención. Cuando la maestra pregunta de nuevo por la posición de ese objeto, ella prefiere cambiar su respuesta y dice atrás.

La maestra en su afán por escuchar adjetivos ordinales en las argumentaciones de sus estudiantes, comienza por hacer interrogantes con los mismos para identificar si ellos logran reconocerlos, y evidentemente, los niños reconocen adjetivos como primero, último y entre, sin embargo, hasta aquí ninguno los utilizó. Seguidamente la maestra propone que los organicen entre los tres, quedando así (Figura 3):

Al solicitar argumentación del trabajo realizado se tuvo en cuenta la posición desde la cual el sujeto hace descripción del objeto; para el caso, los niños han tenido perspectiva frontal con proyección horizontal y ellos han comenzado de izquierda a derecha según su ubicación; sin embargo, aún utilizan adjetivos como adelante y atrás, aunque ya incluyeron dos adjetivos de ordinalidad; para ellos, el primero guarda relación con adelante, y el objeto que se ubique a continuación estará atrás; desde este razonamiento lógico, el último será el de atrás teniendo en cuenta la relación entre que tiene con todos y cada uno de los demás objetos (FERNÁNDEZ, 2001). Veamos el diálogo y argumentación (Figura 4):

Cuando la maestra quiere constatar una respuesta para identificar que el niño tiene completamente claro qué significa su expresión, ellos prefieren cambiar su respuesta, aunque tratan de utilizar adjetivos ordinales no se sienten seguros de ello y prefieren utilizar su lenguaje informal.

Dirigiéndose a los estudiantes de grado primero, pregunta la maestra:

Veamos la Figura 5:

El estudiante E7 comienza con los cinco primeros objetos nombrándolos como primero; a los cinco siguientes les asigna el después. Uno de sus compañeros interviene para indicarle que cada objeto se puede designar de otra forma (con un adjetivo ordinal). Nótese que cuando la maestra pregunta por la relación entre, el estudiante lo expresa y lo asimila con dentro y al pie, si bien la concepción del estudiante hace referencia a nociones topológicas, la relación entre hace referencia a una relación asimétrica y transitiva respecto a dos relaciones simultáneas, siguiente y anterior (FERNÁNDEZ, 2001).

Evidentemente, a la maestra le llama la atención cómo los niños incluyen en su descripción términos no usados por sus compañeros anteriormente; adjetivos como mayor y menor, que si bien son propios de su lengua materna, tienen su propio significado en el lenguaje matemático “tienen sentido entre números o entre medidas expresadas en las mismas unidades […] son adjetivos que indican relaciones entre números” (D'AMORE; FANDIÑO; IORI, 2013, p. 96). Hasta aquí los estudiantes asignan los adjetivos mayor y menor respecto al tamaño del juguete (grande-pequeño).

La maestra, dirigiéndose a grado segundo: ¿cómo lo hicieron ustedes? Veamos el diálogo:

Veamos la Figura 6:

Aquí, los estudiantes no tienen muy clara la relación antes-después, lo interesante es cómo logran asimilar el antes en su lengua materna, de pa'tras [de para atrás]; sin embargo, resulta curioso cuando expresan al revés pues cuando la maestra solicita mayor argumentación, ellos reconocen que no puede ser una posición siguiente porque, para el caso, el décimo es el último objeto.

Hay que destacar, también, que los niños ante la dificultad del manejo de los ordinales (noveno y décimo), cambian el orden y toman al último (décimo) como el primero del orden inverso. La maestra replantea la pregunta solamente cambiando el ordinal y los niños no responden; no es claro aún la relación asimétrica biunívoca del anterior inmediato, por lo cual la maestra plantea una pregunta sugestiva a la relación asimétrica transitiva anterior (FERNÁNDEZ, 2001). Puede intuirse que cuando afirman al revés, los niños invierten el orden (ahora el décimo parece el primero), porque es más sencillo comenzar con los ordinales primero, segundo… que devolverse con décimo, noveno etc.

En las conclusiones y generalizaciones de la tarea se ubicó a los estudiantes de preescolar más cerca de las representaciones para que pudiesen tener mayor control del etiquetado al contar.

Si bien la intervención de todos es fundamental en la construcción del conocimiento, es de resaltar cómo entre ellos utilizan términos propios con los que se entienden mejor. Por ejemplo, la relación entre, es asociada con en la mitad y en el centro, porque el objeto que ocupa la posición de la relación en cuestión, visualmente se identifica en medio de la representación; por tal razón la maestra hace la misma pregunta, cambiando de ordinales, a lo cual los estudiantes responden haciendo uso del conteo en secuencia verbal ordinal.

Esta tarea permite identificar relaciones de ordinalidad; sin embargo, en concordancia con Fernández (2001), se evidencia que no se ha prestado la suficiente atención al respecto, pues en el currículo escolar la construcción de las relaciones de ordinalidad se da como supuesto; parece muy trivial, reduciéndolo en el aula a la memorización de algunos adjetivos ordinales y la utilización de material de copia para ejercitar aquellos adjetivos; por lo tanto, resulta interesante ver cómo los estudiantes construyen este tipo de concepto a partir de su interacción con material concreto y con la resolución de tareas investigativas que les permitan expresar su raciocinio al argumentar sus representaciones, desde su lenguaje natural.

Se puede observar la diferencia en el lenguaje de los niños, de acuerdo al grado de escolaridad. En preescolar y primero, para la ordinalidad usan más expresiones de la lengua materna, como este va aquí, este le sigue, este va al pie; mientras que ya en el grado segundo usan los ordinales y los mencionan en secuencia, pero para identificar un determinado ordinal, por ejemplo el noveno, necesitan repetir la secuencia otra vez, para concluir que es el que está antes del décimo; usando el orden inverso es de para atrás.

Para los niños de preescolar y primero, al parecer, ordenar unos elementos significa apenas que uno esté al lado de otro, bien sea atrás, adelante, en medio de, al pie o después. Lo anterior parece indicar que la sola repetición de los ordinales no significa que ya los niños manejan la ordinalidad, así mencionen correctamente la secuencia. Puede intuirse la importancia de explorar la lengua materna para el rastreo en esas nociones elementales de lo que Alcalá (2002) llama la jerga matemática, que se usa en lenguaje natural y lenguaje matemático, pero que a pesar de su relación estrecha, sin la primera no se llega a la segunda.

Si bien el lenguaje matemático es soporte y parte constitutiva del conocimiento matemático mismo, hay que tener en cuenta que la actividad matemática va mucho más allá de la actividad lingüística (GODINO, 2003), representacional o simbólica, como puede evidenciarse en los pasajes analizados.

La comunicación en la clase de matemáticas a través de la lengua materna puede ser, posiblemente, la principal herramienta en el manejo concreto, para pasar al conceptual y al simbólico de las notaciones y algoritmos usuales de la clase de matemáticas; pues es a partir de allí que los estudiantes tienen la posibilidad de construcción de significado.

Esto puede evidenciarse cuando la maestra pregunta: ¿cuál está antes del décimo? y un niño responde: el que está al revés. Continúan con el diálogo: – M: ¿cómo es eso de que está al revés? – E: porque no hay más. – M: ¿si alguien les dice que están ubicados así: décimo, noveno, octavo, séptimo… los habrían ordenado de qué manera? – E: al revés, de pa'tras [para atrás]. Esto se soporta en que una de las capacidades lingüísticas más importantes consiste en asignar sentido a lo que se lee, escucha o representa a través de la interacción en una situación comunicativa – oral o escrita – tal como indica el lingüista Jakobson (1978, apud PIMM, 1990, p. 81): “el lenguaje carente de significado es un sinsentido”.

La comunicación verbal (oral y escrita) es una poderosa herramienta didáctica debido a que es una forma universal de interacción del ser humano, de allí que el lenguaje verbal resulta ser bastante atractivo como instrumento de comunicación de conceptos y procedimientos matemáticos; además, hace patente el pensamiento de los estudiantes, haciéndolo público, asequible a los demás, donde, bajo una discusión orientada se origina la negociación de significado, se fomenta la comunicación, prestando especial atención al argumento, procurando expresiones precisas y sucintas.

Por ejemplo, cuando la maestra dirigió unos interrogantes a una estudiante y otro de sus compañeros intervino. – M: Podrías explicarnos ¿cómo lo hiciste? – E5: (Señalando con el dedo) la pelotaaa, el carroo… – M: ¿En qué posición está la pelota? – E5: alante [adelante] y el carro está atrás. – E4: y el carro está atrás, el carro es el dos y el oso es el tres. – E5: el oso alante [adelante] y la muñeca está adelante y el pulpo atrás. – E4: (señalando la muñeca) eso es al pie. – M: ¿la muñeca dónde está? – E4: en el cuatrorce [cuarto] – M: ¿dónde? – E4: Atrás. Sin embargo, resultaría insuficiente reducir las clases de matemáticas a este tipo de lenguaje, pues es muy importante reconocer los diferentes tipos de representación de las ideas y conceptos matemáticos.

Para finalizar, como implicación didáctica se destaca la potencialidad de las tareas de clases exploratorio-investigativas, al ser un escenario que propicia un contexto adecuado para la comunicación y la producción de significados matemáticos a través de la argumentación y la reflexión de los estudiantes, tanto en la necesidad de expresar y explicar cómo pensaron, como para comprender a sus compañeros.

Además, estas tareas permiten valorar los diferentes tipos de lenguajes usados por los estudiantes en la representación de sus ideas, conceptos y conocimientos matemáticos. Se percibe la necesidad de seguir investigando para profundizar en la forma como los niños logran conceptualizar la ordinalidad y buscar aportes que ayuden al profesor de esos niveles a realizar su tarea.