A investigação que deu origem a esse artigo foi desenvolvida no contexto da formação de professores que ensinam Matemática nos Anos Iniciais, mais específicamente acerca do modo de organização do ensino da Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. A partir destas conjecturas foi elaborada uma proposta de organização dos conceitos matemáticos desenvolvida no âmbito da disciplina “Conteúdos e processos de ensino de Matemática”, ofertada no 4° período da Licenciatura de Pedagogia da Universidade Estadual de Goiás -Campus Quirinópolis. O desenvolvimento de tal disciplina tornou-se o contexto empírico do experimento formativo, sendo o mesmo sustentado no materialismo histórico dialético. Entretanto, para a construção desse trabalho fizemos um recorte na pesquisa, de modo que fosse dado destaque ao entendimento das operações de adição e subtração por meio da compreensão da estrutura interna do sistema de numeração. Ou seja, demos ênfase para a operacionalização do sistema de numeração, na especificidade da adição e da subtração.

Com essa proposta formativa, que possuía entre seus objetivos a aprendizagem de conceitos matemáticos, mediante a organização do ensino que privilegiasse os nexos internos existentes nos conceitos matemáticos ensinados nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, esse artigo tem como objetivo específico compreender como ocorreu a aprendizagem das operações de adição e subtração, a partir da compreensão da estrutura interna do sistema de numeração por intermédio de atividades de ensino desenvolvidas com as quatorze licenciandas em Pedagogia, em uma Instituição de Ensino Superior goiana.

Diante de tal contexto, acreditamos que as ações desenvolvidas de acordo com as bases materialistas histórico-dialéticas, como aqui propostas, é um dos encaminhamentos possíveis para o entendimento e necessária superação do atual modo de organização do ensino de Matemática nas Séries Iniciais, consoante pesquisadores como Madeira (2012), Souza (2013), Rosa, Damazio e Alves (2013), Rosa, Damazio e Crestani (2014), Sousa (2014) e outros. Os mesmos aconselham que o ensino de Matemática no Brasil, em especial nas Séries Iniciais do Ensino Fundamental, no que tange à apreensão das operações de adição e subtração por meio da compreensão da estrutura interna do sistema de numeração deva contemplar a relação universal válida para todas as bases numéricas. Desse modo, há condições de superar as proposições que se limitam ao sistema de numeração decimal, por contemplar todas as bases, mas também dando conta dessa particularidade.

Para que se possa entender as ações que antecederam a elaboração desse artigo, inicialmente buscaremos compreender o objeto de pesquisa a partir da concepção teórica adotada para a mesma; depois será discutido o método e a metodologia escolhidos. Após, traremos o desenvolvimento da estrutura de análise composta de unidade, episódio, cenas e flashes. Por fim, algumas considerações acerca da investigação realizada.

Inúmeras são as dificuldades apresentadas por professores dos Anos Iniciais e seus alunos durante o processo de aprendizagem dos conceitos matemáticos, inclusive aqueles considerados básicos, como, por exemplo, o sistema de numeração e as operações de adição e subtração. Tais problemas são decorrentes da falta de compreensão por parte de alunos e de seus professores da estrutura interna que organiza e sustenta tais conceitos (MOURA et. al., 2010; ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013; ROSA; DAMAZIO; CRESTANI, 2014). Na concepção de Rosa (2012), as proposições para o ensino de Matemática, nas Séries Iniciais, apresentadas em grande parte dos livros didáticos brasileiros, aproximam-se daquela denominada por Davydov (1982) de tradicional. Segundo esse autor, a principal finalidade do ensino escolar tradicional é “inculcar nas crianças generalizações e conceitos empíricos” (DAVYDOV, 1982, p. 14).

Conforme Davydov, o processo de generalização, no ensino tradicional, ocorre por meio da passagem, da descrição dos nexos externos do objeto para separá-los em uma classe comum. Neste movimento generalizador os alunos destacam algumas características que se repetem nos diferentes objetos e as separam das demais, que não se repetem.

Ao terminarem o processo de generalização, os alunos separam, nos objetos, as características variáveis das invariáveis e as abstraem, tal como ocorre atualmente na maioria das proposições brasileiras para o ensino de Matemática nas Séries Iniciais (ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013). “As características da abstração, generalização e conceito, desenvolvidas no ensino tradicional, coincidem rigorosamente com a descrição da lógica formal tradicional” (DAVYDOV, 1982, p. 45).

Mas, em que consistem a abstração, generalização e conceito, de acordo com os fundamentos da lógica formal tradicional? O termo generalização na lógica formal tradicional, segundo Davydov (1982), é utilizado para designar múltiplos aspectos do processo de apropriação dos conhecimentos pelos alunos. A generalização formal está conectada ao processo de abstração, pois o conhecimento do geral, fixado em um signo, resulta em algo abstrato.

O conceito, nesta mesma lógica, “é a forma na qual se refletem as características essenciais do objeto” (ROSENTAL, 1962, p. 233). Seu processo de formação está associado ao “simples descobrimento e separação de qualquer indício comum entre os mais diversos objetos” (KOPNIN, 1978, p. 155). De acordo com Rosa (2012), o processo de generalização empírica, continuamente repetido nos processos formativos dos professores dos Anos Iniciais, acaba por encaminhar esses professores (ao assumirem suas salas de aula) à busca e nomeação “por meio da palavra, de certo invariante entre a diversidade de objetos e suas propriedades […], como também a identificação dos objetos na diversidade dada com a ajuda do invariante escolhido” (DAVYDOV, 1982, p. 13).

Essa lógica, conforme nossa proposição teórica (que é apenas uma das opções de compreensão do mundo ao nosso derredor) não dá conta de representar, no pensamento, o movimento da realidade. Para tal captação, deve-se considerar a necessidade da lógica dialética. Isto porque, de acordo com essa opção teórica, as leis da lógica dialética são exatamente as que dirigem o movimento objetivo da realidade, transformadas em leis do pensamento, que a nós se apresentam por meio de conceitos de máxima generalidade. Então, por que temos a continuidade e predomínio dos fundamentos da lógica formal nas proposições brasileiras no que tange a formação de professores para os Anos Iniciais e para o ensino de conceitos matemáticos nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental?

De acordo com Mészáros (2008, p. 25), “os processos educacionais e os processos sociais mais abrangentes de reprodução estão intimamente ligados”. Isto significa que há uma conexão entre os processos formativos desses professores, a forma como está organizado o ensino de Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental e o atual modo de produção capitalista.

Tais reflexões podem ajudar na compreensão das razões que determinam o predomínio dos fundamentos da lógica formal na maioria das proposições brasileiras de ensino de Matemática e para o processo formativo de professores de Matemática das Séries Iniciais. Ou seja, é uma questão de coerência com o próprio modo de produção vigente. Esta questão tornase ainda mais complexa, porque a reformulação significativa dos processos formativos de professores para as Séries Iniciais do Ensino Fundamental e, posteriormente, a reorganização do ensino de Matemática nessas séries é inconcebível “sem a correspondente transformação do quadro social no qual as práticas educacionais da sociedade devem cumprir as suas vitais e historicamente importantes funções de mudança” (MÉSZÁROS, 2008, p. 25).

E agora? O que fazer? Simplesmente esperar uma transformação de tal realidade social? Não, afinal a educação escolar compõe-se como possibilidade de, no processo de luta pela transformação das condições alienadoras de nossa sociedade, as quais impedem a formação humano-genérica dos sujeitos, permitir a objetivação de um determinado projeto de sociabilidade. Não se pode aguardar inerte, mas sim movimentar pela pesquisa, afinal, de acordo com Kopnin (1978, p. 228) a “pesquisa autenticamente científica está imediatamente voltada para a procura de formas e ideias segundo as quais o mundo deve ser mudado”.

A pesquisa tinha como hipótese que as professoras em formação podiam desenvolver o pensamento teórico acerca das operações de adição e subtração por meio da apropriação da estrutura interna do sistema de numeração. Em outras palavras, almejava-se organizar e estruturar o ensino de conceitos matemáticos na disciplina que subsidiava o experimento formativo, de forma tal que beneficiasse a aprendizagem de conceitos científicos com potencial para o desenvolvimento do pensamento teórico.

Entretanto, o desenvolvimento do pensamento teórico não ocorre mediante generalizações empíricas. É imprescindível a revelação de “certa sujeição à lei, uma inter-relação necessária dos fenômenos particulares e singulares com a base geral de certa totalidade, descobrindo assim a lei de formação da unidade interna deste” (DAVIDOV, 1988, p. 152). Essa generalização não se alcança mediante a simples comparação dos traços de objetos isolados, o que é característico da generalização puramente indutiva, “mas por meio da análise da essência dos objetos e fenômenos estudados; sua essência define-se precisamente pela unidade interna de sua diversidade” (DAVIDOV, 1988, p. 152).

Buscamos, ancorados nessas proposições davydovianas, a lógica do conceito do sistema de numeração, a formação das diferentes ordens de medidas a partir dos agrupamentos, seus nexos internos - quantificação, medida e unidade de medida - e sua consequente interdependência no entendimento das operações de adição e subtração. Tal lógica reflete a sua história, porém sem repeti-la fielmente, mas refletindo-a. Afinal, historicamente, os agrupamentos eram realizados nas diferentes bases.

Assim, por que não propor um ensino do sistema de numeração que transite pela lógica comum das diversas bases numéricas particulares? Nesse entendimento, intencionalmente, mediou-se o processo de aprendizagem de conceitos matemáticos às professoras em formação, criando condições para que alguns questionamentos surgissem: Como esse movimento se expressa na operacionalização do sistema de numeração decimal vigente? E ainda, como o sistema de numeração se expressa nas operações fundamentais de adição e subtração?

Ao encontro das possíveis respostas a essas questões, foram sendo criadas condições para que se apercebessem de que o movimento conceitual posto a elas, adotado na proposição de ensino das operações de adição e subtração, a partir do entendimento da estrutura interna do sistema de numeração, contemplava a unidade entre o lógico e o histórico. Para Rosental (1960, p. 330), “a unidade do lógico e do histórico se expressa, também, na complexa conexão dialética existente entre o universal, o particular e o singular”.

Neste sentido, e com a finalidade de interpretar com profundidade o movimento conceitual referente ao entendimento da estrutura interna do sistema de numeração e sua interconexão com as operações de adição e subtração, adotamos como método o materialismo histórico dialético e, como metodologia de pesquisa o experimento formativo. Tais opções se sustentam na ideia de Kosik (1995, p. 28) de que “não é possível compreender imediatamente a estrutura da coisa ou a coisa em si mediante a contemplação ou a mera reflexão, mas sim, mediante a uma determinada atividade” (p. 28).

Assim, a opção pelo desenvolvimento do experimento formativo com as professoras em formação passou necessariamente por uma atitude ativa do sujeito perante o objeto de conhecimento e, portanto, sugere uma dimensão prática da atividade. A seguir será mostrado como o experimento se organizou e se objetivou sustentado nas premissas do materialismo histórico dialético.

Como destaca Araújo (2003, p. 5), o “método de exposição só é possível depois de um longo percurso de investigação, que exige trabalho analítico rigoroso”. Além disso, em coerência com o materialismo histórico dialético, a exposição não se limita à simples descrição, mas contempla a explicação. Trata-se da análise explicativa em detrimento da descritiva. Como resultado da análise explicativa, alcança-se a verdadeira concreticidade do fenômeno.

Nessa trajetória, definimos, a partir dos dados obtidos na forma de gravação audiovisual de todos os momentos do experimento formativo realizado com as professoras em formação, uma unidade que seria, conforme Vigotski (2001, p. 19), “[…] uma parte viva e indivisível da totalidade”.

Dessa unidade, selecionamos um episódio de ensino que pode ser entendido como ações reveladoras do processo de formação (MOURA et. al., 2010). De tal modo, para melhor compreensão do fenômeno que ali se constituía, o episódio de ensino foi dividido em duas cenas, uma vez que somente uma cena não seria suficiente para evidenciar o movimento de apropriação formativa das licenciandas. Estas se compuseram, na visão de Moura et. al. (2010), em momentos nos quais os sujeitos confirmam indicativos de apropriação do movimento formativo instituído.

Dessas cenas, destacaram-se os flashes que seriam “os indícios da transformação do pensamento do sujeito” (autores, 2015, p. 61). Os flashes encontrados nas cenas não seriam somente uma mera definição dos sinais, mas sim uma tentativa de encontrar na sua trama, não somente a existência, mas também a natureza do processo de significação dos sujeitos envolvidos. Nesse movimento processual de expor o desenvolvimento e entendimento do fenômeno, estruturou-se a análise abaixo.

Nessa unidade de análise, buscamos o entendimento pelas professoras em formação de que o aceite da estrutura geral do sistema de numeração decimal, isto é, a sua generalização, acarreta sua compreensão como caso particular de qualquer sistema numérico, conduzindo assim à possibilidade de ação arbitrária nesse e em qualquer sistema. “O critério de tomada de consciência reside na possibilidade de passagem para qualquer outro sistema, pois isto significa generalização do sistema decimal” (VIGOTSKI, 2000, p. 373).

Com o episódio selecionado, foram buscados indicativos de superação das condições pré-existentes de entendimento para as operações de adição e subtração, a partir do desenvolvimento de atividades de ensino de acordo com a proposta teórica. Tais atividades de ensino procuravam o ensino da operacionalização do sistema de numeração, na especificidade dos conceitos de adição e subtração. Tais atividades foram previamente selecionadas para que representassem o movimento conceitual da operacionalização do sistema de numeração. O intuito era desenvolver atividades que fugissem do padrão ‘siga modelos’, mas que procedessem com independência e, ao mesmo tempo, interconexão capaz de revelar modelos genéricos. Portanto, de acordo com os princípios dessa proposição, o objetivo do ensino é desenvolver conceitos, e não apenas o saber prático e imediato. Atividades de ensino desse norte podem “permitir superar o postulado do caráter imediato, típico das tendências mecanicistas” (DAVIDOV, 1988, p. 16).

As duas cenas escolhidas para esse episódio possuem como particularidade comum o fato de representarem ações coletivas que demonstram o caminho percorrido pelas professoras em formação. O intuito desvelado nesse processo é o entendimento de que não seria possível apreender o conceito de adição e subtração sem a compreensão da lógica interna do sistema de numeração, pois o entendimento do funcionamento dos sistemas de numeração é basilar na apreensão dos algoritmos das operações básicas. Na sequência, contempla-se o desenrolar da primeira cena no Quadro 3.

Em consonância com as opções teóricas, é possível ratificar que o ensino do sistema de numeração decimal deve ser revelado a partir de diversos sistemas particulares, como o sistema ternário, quaternário ou quinário, dentre outros. Inicialmente, tal revelação deve ocorrer por meio de bases numéricas menores e de modo aleatório apresentar outras bases. Isso porque as bases menores possibilitam as devidas transformações de forma mais simples durante a ação objetal. Dessa forma, a introdução do sistema pode ser realizada a partir do elo que interrelaciona a lógica das diferentes bases numéricas, ou seja, a partir da formação das diferentes ordens de medidas, por meio dos agrupamentos. Observem os flashes que trazem os indícios dessa compreensão pelas professoras em formação: (Flash 9 - Lilás, Cena 1); (Flash 10 - Negra, Cena 1); (Flash 11 -Branca, Cena 1).

Estes flashes permitem entender a gênese de um sistema de numeração, isto é, qual é a essência desse sistema, as características que o compõe, já que os signos numéricos não podem ser tomados soltos; é preciso que se estabeleça uma relação com os demais conceitos. “Nessa organização o objetivo é que o indivíduo compreenda os conceitos essenciais de um sistema de numeração” (ROSA; MORAES; CEDRO, 2010, p. 152). Na mesma direção o movimento de compreensão tem sua continuidade nos seguintes flashes: (Flash 7 - Vermelha, Cena 1); (Flash 8 - Verdinha, Cena 1); (Flash 9 - Lilás, Cena 1).

As características invariantes constituem o conteúdo do conceito, já os flashes nos indicam que o movimento proposto nesse momento do experimento formativo pretendia estabelecer o conteúdo do conceito de sistema de numeração. Ou seja, desejava-se indicar os indícios substanciais imagináveis no mesmo, constituindo assim uma operação lógica que transcendesse o que já estava posto acerca de tal conceito. Isso se chama definição e o intuito era justamente que as professoras em formação construíssem a definição do que seria e para que realmente serviria um sistema de numeração e não o sistema de numeração decimal vigente.

Para trilhar o caminho de criação de um conceito científico universal é necessário separar, abstrair dos atributos próprios, dos fenômenos singulares e deixar só as características comuns a toda uma classe de fenômenos. Nos flashes 7, 8 e 9 há a compreensão, por parte delas, de que neste procedimento de generalização o geral se contrapõe ao singular e aos vários fenômenos singulares. Tanto no geral, quanto no particular, separa-se e estuda-se cada um por si, por isso elas conheceram variados sistemas de numeração antes que fosse introduzido o sistema de numeração decimal. “Deste modo, semelhante divisão e estudo por separado das características é importante, é indispensável para diferenciar uns objetos de outros, as características particulares do geral” (ROSENTAL, 1962, p. 237).

Entretanto, a realidade vivenciada por elas no experimento formativo não é o que comumente se presencia nas salas de aula das Séries Iniciais do Ensino Fundamental. Branca destaca sobremaneira essa questão em: (Flash 11 - Branca, Cena 1).

De acordo com Vigotski (2000, p. 373), a “criança aprende a atuar no plano do sistema decimal antes de tomar consciência dele, porque ela não domina o sistema, mas é tolhida por ele”. O flash de Branca está em consonância com a discussão de que as crianças nas Séries Iniciais não vivenciam essa forma de organização do ensino do sistema de numeração vigente, mas ao contrário convivem com um movimento de ensino de conceitos matemáticos que consiste na passagem do sensorial ao abstrato, conforme confirma Amarela em: (Flash 12 -Amarela, Cena 1).

Amarela se refere às generalizações empíricas nas quais os estudantes “seguem o esquema de baixo para cima e frequentemente não garantem o movimento de cima para baixo, a passagem do geral para o particular” (DAVYDOV, 1982, p. 29). Esse processo de generalização, característico do ensino tradicional, está relacionado à percepção, representação e conceito. Assim, a generalização empírica ocorre no plano da percepção direta, das representações em nível de conceitos empíricos.

Como se percebe no flash de Azulona, as professoras em formação procuram não mais por uma organização qualquer do ensino do sistema de numeração, querem uma Matemática que não seja concebida como uma ciência neutra, reduzida a um conjunto de técnicas, regras e algoritmos, em que o aluno deve realizar uma série de exercícios conforme o modelo sugerido. Espaço em que a ênfase incide no fazer em detrimento de outros aspectos importantes, como compreender, refletir, analisar, justificar e provar: (Flash 18 - Azulona, Cena 1).

Essa busca tornou-se ainda mais intensa no desenrolar do experimento formativo e tendeu a se emoldurar mais efetivamente à medida que as licenciandas demonstraram apropriações das relações existentes entre a operacionalização do sistema de numeração decimal e as operações de adição e subtração.

No decorrer da próxima cena, percebem-se, por intermédio dos flashes, indícios dos momentos em que elas, diante da compreensão da interconexão da base numérica do sistema no processo de operacionalização das operações de adição e subtração, vão se apropriando desses importantes conceitos numéricos comumente ensinados exclusivamente como uma sequência de regras que devem ser memorizadas e repetidas mecanicamente ao longo da vida.

Durante o experimento formativo as licenciandas operacionalizaram o sistema de numeração na reta numérica e tiveram condições teórico-práticas de concluírem que os sistemas de numeração podem ser compostos por várias bases numéricas e estas são determinadas pela quantidade que compõe cada agrupamento representado nas retas numéricas a elas ofertadas, que ora possuíam dois, quatro, cinco ou dez unidades, sendo que cada novo agrupamento formava uma nova ordem (Figura 1).

Foram, então, sendo criadas condições para que as professoras em formação apreendessem a interconexão existente entre qualquer base numérica de um sistema de numeração qualquer e o processo de operacionalização das operações de adição e subtração (Figura 2).

Desta feita, no universal está implícita a riqueza do singular e do particular no sentido de que, “apreendendo as leis, ele está refletindo, nessa ou naquela medida, todos os casos particulares de manifestação do singular” (KOPNIN, 1978, p. 108). Assim, sem compreender a dialética do universal e do singular nas categorias é impraticável a descoberta da gênese e relação desta com o conceito. Os flashes que corroboram a discussão aqui levantada são: (Flash 14 - Verde, Cena 2); (Flash 15 - Pink, Cena 2).

No intuito de que as licenciandas entendessem a operacionalização do sistema de numeração decimal e sua conexão com as especificidades das operações de adição e subtração, optou-se por conduzi-las intencionalmente a procedimentos que tivessem como resultado o processo de medição de grandezas discretas e\ou contínuas representadas aritmeticamente, algebricamente ou geometricamente (Flash 7 - Roxa, Cena 2) e (Flash 16 - Azulona, Cena 2).

Nesse viés o universal novamente se faz presente “como essência aparece na forma de lei” (DAVIDOV, 1988, p. 147). As licenciandas dão sinais de compreenderem a existência de uma unidade de nexos e relações essenciais, expressas por meio do modelo da relação geneticamente inicial de todo sistema. Está implícita nos flashes a ideia de universal como unidade interna dos traços, atributos e distinções singulares. O universal “determina o surgimento e o desenvolvimento de outros fenômenos particulares e singulares dentro de determinado todo” (DAVIDOV, 1988, p. 144). Desse modo, a vinculação entre essência universal e sua demonstração singular é mediatizada pela particularidade.

Ainda, no desenrolar da apresentação das atividades de ensino que elas desenvolviam coletivamente e fazia parte do terceiro momento do experimento formativo, houve sinais de que partiriam do pressuposto que a unidade entre o lógico e o histórico e a conexão dialética entre o universal-singular determinam, juntamente com outros aspectos, o movimento conceitual que, na verdade, deveria ser desenvolvido nas aulas de Matemática das Séries Iniciais. Os flashes denunciam essa compreensão (Flash 22 - Branca, Cena 2) e (Flash 23 - Verdinha, Cena 2).

Reiteramos, assim, que a forma de organização do ensino de Matemática para os Anos Iniciais aqui proposta contempla o desenvolvimento de sistemas numéricos vistos como sistemas conceituais inter-relacionados com sua fragmentação, vista aqui como as operações de adição e subtração, para que, desse modo, os elementos sejam revelados, pelos alunos e não para eles, desde os Anos Iniciais do Ensino Fundamental (ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013).

Assim sendo, o desenvolvimento dessas operações, desde o primeiro ano escolar, deve contemplar a ação objetal, o modelo universal da relação parte-todo, a operacionalização na reta numérica, mas nos limites do sistema de numeração decimal e, somente depois, chegar ao algoritmo. Esse caminho, confirmam os flashes (Flash 18 - Azul, Cena 2), (Flash 19 - Negra, Cena 2), (Flash 20 - Branca, Cena 2) e (Flash 21 - Marrom, Cena 2).

A superação de tais questões evidenciadas nos últimos flashes exige que um dos caminhos é iniciar as ideias da adição e da subtração com quantidades razoavelmente pequenas, tendo como ponto de partida o experimento objetal referente às grandezas discretas e contínuas (ROSA; DAMAZIO; ALVES, 2013), para que, dessa forma, o aluno tenha condições teórico- práticas de enxergar relações entre o sistema de numeração e as operações que realiza. É possível perceber a continuidade de tais entendimentos nos flashes: (Flash 10 - Marrom, Cena 2), (Flash 11 - Verdinha, Cena 2), (Flash 9 - Lilás, Cena 2) e (Flash 17 - Roxa, Cena 2).

No decorrer da cena é visível que as atividades planejadas para que as licenciandas desenvolvessem em sala de forma compartilhada, eram atividades referentes à operacionalização do sistema de numeração que não mais contemplassem somente a ação objetal. Por conseguinte, “compreende a transformação em nova qualidade” (KOPNIN, 1978, p. 209). Em razão disso, a formação dos conceitos de adição e subtração ocorre a partir “da separação da relação fundamento e o estudo de suas propriedades à identificação das possíveis consequências […]” (DAVIDOV, 1988, p. 211).

Fica evidente que a cena se desenrola no objetivo de estabelecer que a relação fundamental das operações da adição e subtração consiste no contínuo desenvolvimento da relação essencial do sistema de numeração. Nesse sentido, a relação parte-todo e a formação das diferentes ordens constituem a essência do algoritmo das operações aqui destacadas. Notemos como isso se destaca nos seguintes flashes: (Flash 1 - Roxa, Cena 2), (Flash 2 - Lilás, Cena 2), (Flash 3 - Marrom, Cena 2) e (Flash 4 - Cinza, Cena 2).

Ao propor que, nesse dia, as professoras em formação explicassem na lousa atividades que envolvessem a reta numérica, o entendimento que estava implícito era que a reta numérica representava o lugar geométrico dos infinitos números reais. Por conseguinte, a reta possibilita a inter-relação entre as operações de adição e subtração na forma de acréscimo e decréscimo de unidades, por meio de deslocamentos para a direita e para a esquerda. Nesse caminho percebe-se que as ideias de adição e subtração vão se fazendo parte da constituição do próprio sistema de numeração para as professoras em formação.

Acerca da formação de futuros professores que ensinam Matemática nos Anos Iniciais o presente artigo auxilia na tomada de consciência da necessidade e possibilidade de repensar, a partir da relação essencial revelada no presente estudo, os conteúdos e métodos de ensino referentes às diversas operacionalizações do sistema de numeração. Dessa forma, esse trabalho possibilita compreender que esses professores devem vivenciar, em seus processos formativos, atividades que evidenciem a essência das operações de adição e subtração, ou seja, precisam vê-las como constituídas por agrupamentos e reagrupamentos das ordens, determinadas pelo valor da base numérica e isso enriquece a lógica do sistema de numeração, justamente porque abarca seu desenvolvimento.

Tais questões sinalizam que a apropriação da lógica interna das operações de adição e subtração como premissa para a operacionalização do sistema de numeração existe em movimento processual, revelando o entendimento de suas diferentes formas de desenvolvimento, assim como a manifestação da interface entre as operações de adição e subtração e o sistema de numeração se materializando na circulação eminentemente contraditória de desenvolvimento do experimento formativo.

Assim, almejava-se que o experimento formativo as conduzisse ao entendimento conjunto e relativo do desenvolvimento dessa interconexão para que, a partir dela, houvesse condições de descobrir a composição significativa da realidade com a qual se deparavam. Pelo experimento, foram oferecidas aos futuros professores condições objetivas para que pudessem transformar-se em produtores da organização do ensino de Matemática das Séries Iniciais do Ensino Fundamental e, dessa forma, poderiam extrair novas condições de si próprias, tais como ampliarem seu conhecimento no desenvolvimento das atividades de ensino ofertadas a eles, criar novas representações, novos modos de relações, exigências e outra linguagem teórico-metodológica para o ensino de sistemas de numeração e as operações de adição e subtração nessas Séries Iniciais.

Diante dessas necessidades e da realidade sobre a formação de futuros professores que ensinam Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental no Brasil (ROSA, 2012), a novidade de nossa proposta está no fato de não apenas ter se alicerçado na percepção das características externas do objeto (as operações de adição e subtração aqui compreendidas como objeto), de não somente se preocupar em atingir o objeto em sua dimensão empírica (HOBOLD, 2014).

Entretanto, trouxemos de original um processo formativo para esses professores a fim de lhes possibilitar que inculcassem generalizações e conceitos teóricos, e não apenas empíricos acerca das citadas operações e suas interdependências com o sistema de numeração (DAVYDOV, 1982). A inovação no que se apresentou está baseada como uma sugestão de superação do modo de organização do ensino das operações de adição e subtração com vistas ao desenvolvimento do pensamento teórico (DAVIDOV, 1988) com professoras que ensinarão Matemática nas Séries Iniciais.

Tal novidade aqui se materializou na realização de atividades intencionalmente preparadas para esse determinado fim, para que assim desenvolvessem, nos sujeitos, capacidades distintas das efetuadas pela sua inserção nas experiências formativas que já temos postas para essas professoras (ROSA; DAMÁZIO; ALVES, 2013). Portanto, acreditamos que a proposição formativa pode contribuir para a formação de futuros professores que ensinam Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental no Brasil.

O objetivo primordial foi compreender como ocorreu a aprendizagem das operações de adição e subtração, a partir da inclusão da estrutura interna do sistema de numeração por intermédio de atividades de ensino desenvolvidas por um grupo de licenciandas em Pedagogia, de uma Instituição de Ensino Superior pública, do Estado de Goiás.

De acordo com as proposições teóricas adotadas, foi possível apreender que parte das licenciandas se apropriou da ideia de que o sistema de numeração é desenvolvido a partir da lógica interna das diferentes bases numéricas e de que o sistema decimal é uma particularidade dos sistemas de numeração. Tal entendimento teórico acerca do sistema decimal acarreta na sua compreensão como caso particular de qualquer sistema numérico. Esse critério de assunção reside na “possibilidade de passagem para qualquer outro sistema, pois isto significa generalização do sistema decimal, formação de um conceito geral sobre os sistemas de cálculo” (VIGOTSKI, 2000, p. 373).

Assim, os flashes analisados e o registro dos esquemas dos números e operações na reta feitos pelas professoras em formação (Figuras 1 e 2) ressaltam os elementos de compreensão atingidos por elas em relação aos conceitos matemáticos trabalhados. São dessa forma, o concreto ponto de chegada das atividades referentes ao sistema de numeração. Deste modo, os esquemas das ordens - e suas mudanças - e a reta, consistem no ponto de chegada do entendimento do sistema de numeração, assim como o ponto de partida para as operações de adição e subtração.

No caminho de ascensão são determinadas as transformações dos conceitos, ou seja, os conceitos abstratos se tornam concretos e os concretos se transformam em abstratos. O conceito de adição e subtração formado no curso da reprodução do sistema de numeração é concreto em relação ao anterior. Dessa forma, conforme o pensamento vai prosseguindo estabelece conceitos ainda mais concretos, em que o antecedente se transforma em conceito abstrato em relação ao novo, mais concreto. Portanto, se “o concreto é a unidade de múltiplos fenômenos, é natural que, ao conhecer a multiplicidade das propriedades das coisas, os próprios conceitos relacionados a eles se tornarão mais concretos” (ROSENTAL, 1962, p. 326).

Diante dessa perspectiva teórica há que se destacar indícios de apropriação da aprendizagem por parte das professoras em formação da relação essencial do sistema de numeração, a formação de suas ordens e a gênese das operações de adição e subtração, ou seja, sua ordem interna correlata com as citadas operações e a relevância de ações desse norte para a formação de professores para os Anos Iniciais de maneira que evitem o ensino escolar tradicional. Nessa fuga buscamos organizar o processo formativo tal como sucedeu no desenvolvimento histórico do conhecimento, que vai se “aprofundando no processo que parte do fenômeno, dos aspectos externos que saltam aos olhos, para a essência, os nexos e relações internas das coisas” (ROSENTAL, 1960, p. 355). Afinal, o conceito não pode ser apresentado pronto aos sujeitos, mas em desenvolvimento, em um processo que conduza à diversidade das manifestações e à revelação das interconexões na relação do singular com o universal como algo concreto (DAVYDOV, 1982).