A proporcionalidade engloba, sob o ponto de vista do ensino e da aprendizagem, muitas vertentes suscetíveis de serem aprofundadas. Uma delas diz respeito à compreensão da evolução conceitual da comparação multiplicativa.

A comparação multiplicativa é considerada um aspecto relevante da proporcionalidade e surge alicerçada na construção dos conceitos de fator multiplicativo, razão e proporção. As conexões entre compreensão de conceitos, especificamente de comparação multiplicativa, e estratégias de resolução e representações, suportadas nos números envolvidos e suas relações e nas operações e suas propriedades, foram, até o momento, pouco estudadas e assumem neste trabalho um papel relevante.

O objetivo deste artigo é caracterizar o modo como Bruno evolui na comparação multiplicativa, entendida como uma articulação adaptativa e flexível de conceitos, estratégias, relações numéricas, propriedades das operações e representações.

As estruturas multiplicativas surgem como uma etapa posterior das estruturas aditivas e da necessidade de resolver problemas a que estas não dão resposta. São entendidas, além da operação multiplicação, como aquelas que incluem a divisão por números diferentes de zero. As relações entre estas duas operações permitem, segundo Long, Dunne e Craig (2010), relacionar os conceitos de fração, razão, proporção, rate (taxa), decimal e percentagem. A multiplicidade de conceitos e as suas relações justificam, em parte, a complexidade do tema proporcionalidade no qual a comparação multiplicativa é considerada como um aspecto relevante da sua consolidação.

Ao referirmo-nos a fator multiplicativo, fazemo-lo na acepção de número racional (inteiro ou não inteiro) considerado como um operador que altera ou transforma um outro número ou quantidade, aumentando-o/a ou diminuindo-o/a (FREUDENTHAL, 2002; NCTM, 2010).

O conceito de razão é definido como uma relação de comparação multiplicativa entre duas grandezas ou dois sistemas de medida (KILPATRICK; SWAFFORD; FINDELL, 2001) ou como o resultado de comparar multiplicativamente duas quantidades (THOMPSON, 1994).

A razão classifica-se em: (i) interna ou escalar, ou razão “em”, se as grandezas (magnitudes, no original) que a constituem partilham o mesmo espaço ou sistema de medida; (ii) externa ou funcional, ou razão “entre”, quando é composta por grandezas de diferentes espaços de medida. No entanto, a razão pode ir além desta classificação e ser interpretada, num contexto fenomenológico, como um quociente em que a razão interna é um número (comparação multiplicativa) e a razão externa é uma grandeza diferente das iniciais (unidade composta) (FREUDENTHAL, 2002; NCTM, 2010).

A evidência de formação de uma unidade composta surge com frequência na ação de repeti-la ou de dividi-la em partes iguais e, se pensarmos em situações ligadas à vida real, surgem vários tipos de unidades compostas: a velocidade (razão entre as medidas das grandezas distância e tempo); o declive de uma rampa (razão entre as medidas de altura e comprimento da base da rampa); o sabor do refresco (razão entre as medidas de grandeza de concentrado de sumo e de água, por exemplo).

Considerar um determinado valor como uma razão evidencia, como defendem Thompson e Saldanha (2003), a ação de medir, uma vez que a medição de grandezas é ela própria um processo de comparação e, por isso, “a ideia de razão está no coração da medição” (p. 15).

A partir do conceito de razão surge o de proporção, considerada uma igualdade entre duas razões, ou seja, uma relação entre relações multiplicativas. Compreender que “quando duas quantidades se relacionam proporcionalmente, a razão de uma relativamente à outra é numericamente invariante quando ambas as quantidades mudam através de um mesmo fator” (NCTM, 2010, p.11) permite efetuar conexões entre razão, proporção e raciocínio proporcional.

No desenvolvimento do raciocínio proporcional podemos considerar, entre outros, três importantes aspectos (KILPATRICK et al., 2001; LAMON, 2007; NCTM, 2010): a consciência de que existe uma comparação relativa e não absoluta, ou seja, temos uma comparação multiplicativa e não aditiva; a ideia de que numa proporção os valores indicados nas razões podem ser alterados, mas a relação multiplicativa entre eles mantém-se; a construção de unidades compostas, expressas através de tantos destes para tantos daqueles, ou unidades de unidades, em que a partir daí é possível gerar um número infinito de razões iguais, basta para tal considerar as respectivas sequências de múltiplos das duas quantidades envolvidas.

Os aspectos conceituais do raciocínio proporcional, mesmo numa fase embrionária da aprendizagem, evidenciam-se também, de acordo com Cramer e Post (1993), Kilpatrick et al. (2001) e Lamon (2007), pelo tipo de problemas a resolver: problemas de comparação numérica (dadas duas razões averiguar qual delas é maior ou menor); problemas de valor omisso (são dados três dos valores de uma proporção e procura-se o outro) e problemas de comparação qualitativa (avaliar numa razão o efeito de uma mudança qualitativa em uma ou ambas as quantidades que a integram).

Os problemas devem surgir em contextos diversificados, com auxílio de representações físicas ou esquemáticas e fazer apelo a uma tradução simbólica em linguagem matemática. Seguindo estas ideias, Galen, Feijs, Figueiredo, Gravemeijer, Herpen e Keijzer (2008) propõem uma trajetória de ensino e aprendizagem das proporções alicerçada, entre outros, na exploração de tabelas de razões e de comparação proporcional, abordagem que adotamos, em parte, para este trabalho.

Na evolução conceitual da comparação multiplicativa começa-se por considerar apenas um campo de medida (razão interna ou escalar). Posteriormente, tem-se em conta dois campos de medida (razão externa ou funcional) e, por último, considera-se a comparação como uma função linear (Figura 1). Em simultâneo, o conceito de fator multiplicativo evolui para coeficiente de proporcionalidade que, na sua interpretação gráfica, representa o declive de uma reta.

O modo como se entende flexibilidade não é unânime em várias investigações já efetuadas, principalmente no que se refere à flexibilidade de estratégias de resolução. Alguns autores distinguem flexibilidade de adaptabilidade, outros consideram-nas sinônimos. Em muitas das investigações, flexibilidade surge ligada a áreas relacionadas com cálculo aritmético ou algébrico e, em particular, com o cálculo mental. O corpo de conhecimento sobre as características da flexibilidade na utilização de estratégias baseia-se em estudos que analisam situações de cálculo desprovidas de contexto e que permitem, por isso, evidenciar o que se faz com os números e como se pensam os números nas relações entre si e no seu papel operativo.

A flexibilidade na utilização de estratégias relaciona-se com multiplicidade (múltiplos procedimentos na resolução de um conjunto de problemas) (BERK; TABER; GOROWARA; POETZL, 2009; RITTLE-JOHNSON; STAR, 2007; SELTER, 2009; SOWDER, 1992), versatilidade (utilizar múltiplos processos de resolução de um dado problema) (BERK et al. 2009) e eficiência (escolher um, de entre vários métodos, com base na competência relativa) (BLOTE et al., 2001 inBERK et al., 2009; ROBINSON; LEFEVRE, 2012; STAR; NEWTON, 2009)

Para esta coexistência entre multiplicidade e versatilidade, Verschaffel, Luwel, Torbeyns e Van Dooren (2009) defendem que é preciso considerar dois tipos de perícia bastante diferentes. Por um lado, possuir uma perícia de rotina (routine expertise, no original) permite resolver problemas rotineiros de forma rápida e eficiente, utilizando procedimentos que se automatizaram; por outro lado, ser detentor de uma perícia adaptativa (adaptive expertise, no original) permite compreender como e porque funcionam os procedimentos e ser capaz de modifica-los e adapta-los, à medida que as condições do problema se alteram. Possuir perícia adaptativa significa, por isso, não estar limitado a regras ou procedimentos e ter acesso a muitas formas de encontrar com sucesso uma solução.

Relativamente à flexibilidade de estratégias de resolução, mais especificamente de estratégias de cálculo mental, Threlfall (2009) discorda que elas sejam utilizadas e defende que sejam construídas, no sentido que não são selecionadas de uma coleção e depois aplicadas, mas são sim de natureza emergente. Os números do problema não são considerados para influenciar a estratégia, mas sim para decidir o que fazer a seguir e, como ele refere, “a estratégia de cálculo não foi selecionada e aplicada, foi aparecendo” (p. 548), ou seja, o processo cognitivo de cálculo mental na flexibilidade de estratégias não considera os números do problema para decidir sobre a estratégia de cálculo a aplicar, pelo contrário, considera os números do problema e chega a uma estratégia de cálculo.

A estratégia não é o que foi feito considerado como um todo, embora possa ser reconstruída como tal, mas antes uma construção passo a passo. A este processo, Threlfall (2009) designa como “zeroing-in” e define-o através do perceber aspectos dos números e das relações entre eles, de um modo de descoberta, quase não consciente. Esta caracterização permite afirmar que, quanto maior for o conhecimento dos números, das suas propriedades e relações (como os podemos decompor, aproximar, combinar, substituir, etc.), e do seu papel a nível operativo, mais opções dominamos e mais facilmente construímos a nossa estratégia.

À flexibilidade de cálculo mental, considerada como uma ação apropriada de agir perante um problema, Rathgeb-Schnierer e Green (2013) acrescentam a ideia de que apenas uma combinação dinâmica entre meios estratégicos (composição e decomposição de números, uso de analogias entre as diferentes ordens na representação dos números, …), características dos problemas, padrões numéricos e suas relações a permite evidenciar. Neste trabalho aliamos as últimas propostas destes autores com as de Threlfall (2009) para considerarmos que o uso flexível de estratégias (entendidas como procedimentos de cálculo) é visto como um processo dinâmico que vai progressivamente se definindo.

A discussão em torno da flexibilidade na construção de estratégias desenvolve-se ainda na relação entre conhecimento conceitual (compreender porque fazer) e de procedimentos (saber como fazer), na influência que cada um determina no outro e no quanto ambos são imprescindíveis para a compreensão matemática.

Sfard (1991) defende que, na construção do conhecimento matemático, os termos estrutural (conceito) e operacional (processo) apresentam-se inseparáveis e são, como ela própria afirma, “facetas de uma mesma coisa” (p. 9). Alega que devemos lidar com esta dualidade e Gray e Tall (1994) reforçam-na e sugerem “pensamento proceptual” caracterizado como “a capacidade de manipular o simbolismo de forma flexível ou como processo ou como conceito, alternando livremente diferentes símbolos para o mesmo objeto” (p. 7).

Na aprendizagem e no ensino da Matemática as representações têm vindo a adquirir um papel de relevo e são tidas como elementos essenciais na compreensão de conceitos, de procedimentos e de relações entre ambos (NCTM, 2007).

A um nível macro, Bruner (1964) classifica as representações como: ativas, icônicas e simbólicas. Igualmente a este nível, Thomas, Mulligan e Goldin (2002) consideram que existem três tipos fundamentais de sinais ou caracteres que surgem como componentes nas representações produzidas pelos alunos na resolução de tarefas: pictóricos, icônicos e simbólicos. Para estes investigadores, representações pictóricas são definidas como desenhos de objetos que podem, ou não, ser acompanhados por uma descrição oral. Representações icônicas são definidas de forma a englobarem registros de marcas, quadrados, círculos ou pontos numa tradução menos realista que as anteriores. Representações simbólicas são evidenciadas pelo uso predominante de numerais e outros símbolos matemáticos e podem surgir na reta numérica, numa matriz, numa régua ou numa coluna vertical.

Tendo em conta o foco deste trabalho, estas classificações globais não são, no entanto, suficientemente finas. Por exemplo, a representação simbólica tanto pode incluir a adição de parcelas iguais como a multiplicação, aspectos que revelam diferentes níveis de compreensão relativamente à evolução conceitual da comparação multiplicativa. Optamos, por isso, por adaptar as representações propostas por Greer (1992), focando-nos nas que dizem respeito à comparação multiplicativa (adição de parcelas iguais, tabela de razões/linha numérica dupla (relações escalar e funcional) e gráfico).

Este artigo incide sobre parte de um estudo mais amplo, conduzido pela primeira autora, cujo objetivo é compreender o modo como alunos do 6.° ano desenvolvem a comparação multiplicativa, relacionando as representações e os procedimentos que utilizam com as características dos números envolvidos e com as propriedades das operações. O estudo insere- se numa metodologia de investigação baseada em design (GRAVEMEIJER; COBB, 2006), na modalidade de experiência de ensino e aprendizagem na sala de aula (COBB; CONFREY; DISESSA; LEHRER; SCHAUBLE, 2003).

A preparação, primeira das três fases da experiência de ensino e aprendizagem, engloba a clarificação do que se pretende estudar e operacionaliza uma teoria local de ensino e aprendizagem (GRAVEMEIJER; COBB, 2006) que engloba a planificação de um conjunto de tarefas, organizadas numa sequência a explorar na sala de aula e uma hipotética antecipação no modo como os alunos poderão raciocinar e que conceitos e procedimentos poderão utilizar. No caso em questão, as tarefas podem ser genericamente consideradas fechadas, tipo problema (PONTE, 2005), e foram propostas numa sequência pensada a partir de uma evolução dos conceitos / procedimentos de comparação multiplicativa, surgindo como introdução ao conteúdo curricular Proporcionalidade direta.

A segunda fase da experiência de ensino e aprendizagem decorreu em dois ciclos de experimentação, no início dos anos letivos 2015/16 e 2016/17, em duas turmas de duas escolas básicas, situadas em dois distritos do continente português. Por questões de natureza ética, as escolas não são identificadas e, quer as professoras, quer os alunos surgem com nomes fictícios, tendo em vista manter o seu anonimato e privacidade.

Este artigo reporta-se a uma parte da terceira fase, realização de análise retrospectiva do segundo ciclo de experimentação, que envolveu sete aulas de 90 min, nas quais as tarefas foram desenvolvidas de uma forma intercalada com a temática que estava a ser lecionada, uma vez que a professora entendeu não alterar a planificação anual do departamento para não criar muito desfasamento entre os alunos, tendo em atenção a opção pedagógica em vigor na própria escola.

Os dados foram recolhidos a partir das produções escritas dos alunos (entregues no final de cada aula e digitalizadas) e das transcrições integrais das gravações vídeo das aulas. Não houve da parte das autoras do artigo qualquer participação a nível da exploração das tarefas na sala de aula.

Neste artigo focamo-nos em um aluno, Bruno (11 anos), que participou no segundo ciclo de experimentação. Este aluno mostrou empenho, revelou-se o impulsionador do trabalho no grupo a que pertencia e as suas muitas intervenções orais, quando da discussão em grande grupo, permitem complementar os seus registros escritos da resolução das tarefas propostas.

A análise de dados incide na descrição pormenorizada dos registros escritos de Bruno e nas suas intervenções orais, identificadas nas transcrições das gravações em vídeo das aulas em que foram propostas as cinco tarefas da experiência de ensino e aprendizagem. Na análise da evolução conceitual de Bruno ao nível da comparação multiplicativa, usamos um conjunto de categorias, baseadas na literatura e numa primeira análise de dados, no qual articulamos (Quadro 1) as suas ideias de comparar multiplicativamente com: (i) estratégias de resolução; (ii) relações numéricas e propriedades das operações; (iii) representações.

A adaptabilidade/flexibilidade é assinalada pelas relações horizontais entre as colunas (i), (ii) e (iii), de sentido duplo, e pelas articulações verticais, de sentido de baixo para cima, que simbolizam o desenvolvimento conceitual de um nível a outro.

A sequência de tarefas apresentada permitiu uma primeira abordagem dos alunos, concretamente de Bruno, à comparação multiplicativa através dos conceitos de razão e de proporção. Consideradas como um recurso do processo de ensino e aprendizagem, as tarefas surgiram em contextos diversificados (grandezas discretas/contínuas; situações da vida real e situações meramente de cálculo) e proporcionaram a exploração de diversos tipos de representações: ativas (tiras de cartolina utilizadas como unidades, não padronizadas, de medida de comprimento), icônicas e simbólicas (tabelas de razões, linhas numéricas duplas, razões sob a forma de fração ou de quociente).

A análise das resoluções escritas e dos diálogos com a professora, evidencia que, ao longo das cinco tarefas propostas, Bruno altera o seu raciocínio, de aditivo para multiplicativo, e, como tal, as suas estratégias de resolução aditivas, baseadas na adição de parcelas iguais, são substituídas por estratégias multiplicativas, em que a ideia chave é utilizar as operações multiplicação ou a divisão de números maioritariamente inteiros.

No final, para Bruno as relações de comparação multiplicativa entre quantidades de dois campos de medida (ou grandezas) mantêm-se quando ambas são multiplicadas ou divididas por um mesmo fator (preferencialmente um número inteiro positivo), evidenciando uma fase referida por Freudenthal (2002). Para além da aplicação algorítmica das operações (no início), Bruno evidencia conhecimento de relações numéricas básicas e o olhar de uma certa forma para os números, permite-lhe ir construindo e adaptando as suas estratégias de cálculo, aspecto mencionado por Threlfall (2009).

Decompõe números não inteiros, representados sob a forma decimal, na sua parte inteira e decimal; relaciona números com os seus múltiplos e divisores; aplica propriedades das operações: comutativa da multiplicação e distributiva da multiplicação em relação à adição.

Bruno evidencia, deste modo, flexibilidade de cálculo tal como Rathgeb-Schnierer e Green (2013) especificam para o cálculo mental. As representações utilizadas por Bruno são maioritariamente simbólicas e a linha numérica dupla com apenas dois pontos, vai-se tornando dominante como um recurso para a interpretação dos procedimentos. Este tipo de representação está de acordo com o que Greer (1992) indica como característica da comparação multiplicativa. Bruno escolhe a representação de um número racional (sob a forma de fração, de numeral decimal ou numeral misto) que, na sua opinião, mais se adapta ao cálculo a efetuar.

O quadro 2 resume a evolução conceitual de Bruno na exploração de tarefas que envolvem a comparação multiplicativa, colocando-o, nesta etapa do seu percurso de aprendizagem, na ligação entre fator multiplicativo e razão escalar. Evidencia a validação do quadro conceitual teórico adotado inicialmente, ampliando e/ou concretizando algumas relações de adaptabilidade/flexibilidade, ilustradas pelas setas verticais e horizontais (assinaladas com 1 no quadro anterior).