En el marco del EOS, el análisis de los procesos de visualización implicados en la resolución de la tarea requiere la elaboración de la configuración epistémica y las configuraciones cognitivas asociadas a dicha tarea.

En este estudio, la información viene expresada externamente de forma gráfica, a través de las representaciones planas de las imágenes de los cuerpos generados (al haberlo solicitado en la tarea), o de forma verbal, mediante la descripción escrita de dichas imágenes. El análisis de este proceso se presenta a través de la descripción de las nueve configuraciones cognitivas identificadas. En ellas se indica el tipo de imagen creada y la representación externa asociada.

CC1-Representación de una simetría. En esta configuración las imágenes mentales creadas son las figuras simétricas de las dadas. El procedimiento seguido consiste en tomar algunos puntos de las figuras y marcar sus simétricos respecto al eje dado. En el caso A los estudiantes tomaron los vértices del triángulo, en el B los vértices de la lúnula y algunos puntos de las curvas que la definen. En la Figura 3 se muestra como el estudiante 25 emplea este tipo de procedimiento para representar su solución.

CC2-Representación en perspectiva sin apoyo de los ejes. En este caso los alumnos representan en perspectiva, al otro lado de los ejes, los cuerpos de revolución generados mentalmente. No utilizan los ejes para construir la representación plana de los cuerpos.

CC3-Representación de una secuencia de giros en el plano. La representación gráfica asociada a esta configuración está conformada en cada caso por un conjunto de figuras congruentes a la dada, por medio de las cuales los estudiantes representan el proceso por el que llegan a la imagen mental final, que coincide con la figura de partida. La Figura 4 ejemplifica esta representación gráfica, junto con una representación escrita, donde el alumno 132 replica varias veces las figuras dadas en el plano entorno a los ejes.

CC4-Representación en perspectiva con apoyo de los ejes. La representación gráfica asociada a esta configuración consiste en dibujar las figuras simétricas a las dadas, y marcar las circunferencias (elipses en perspectiva) que se generan al rotar la figura y contienen a puntos simétricos.

CC5-Representación de la sección ortogonal-frontal. En esta configuración el procedimiento seguido para la representación plana de los cuerpos generados consiste en dibujar las figuras simétricas a las dadas y después unirlas mediante segmentos, dando lugar a la sección ortogonal-frontal de cada uno de los cuerpos de revolución generados. En el caso A esa representación plana presenta la imagen de un trapecio formado por tres triángulos isósceles congruentes, y en B dos curvas cerradas que aproximan a elipses concéntricas (Figura 5).

CC6-Representación escrita. La representación externa de esta configuración es verbal, describiéndose exclusivamente mediante texto escrito los cuerpos resultantes y las acciones llevadas a cabo para obtenerlos, sin apoyo de representaciones gráficas.

CC7-Representación de una secuencia de giros en el espacio. Aquí, la representación plana muestra cada una de las figuras en distintas posiciones a medida que se van girando alrededor del eje. Esta secuencia de imágenes sugiere el movimiento realizado mentalmente al hacer girar las figuras alrededor del eje. Esas imágenes se coordinan e integran dando lugar a las imágenes mentales resultantes, que serán sólidos de revolución. En la Figura 6 el alumno 25 dice obtener como resultado una pirámide para el caso A y una esfera para el B.

CC8- Representación de la composición giro-traslación. En este caso las imágenes mentales obtenidas son las figuras giradas 180° con respecto a las dadas. Se giran las figuras dadas 180° y se trasladan para que queden en línea con las figuras iniciales, pero del otro lado del eje.

CC9-Representación de la planta y alzado. La representación asociada a esta configuración se obtiene dibujando las figuras simétricas a las dadas y trazando rectas paralelas al eje que pasan por los vértices del triángulo y por los vértices de la lúnula para determinar en cada caso dos circunferencias concéntricas que representan la planta de los cuerpos de revolución generados.

Si se atiende al espacio donde se realiza la acción, el análisis del procesamiento visual que realizaron los alumnos de la información dada permite agrupar las configuraciones en: (1) aquellas en las que la acción se realiza en el espacio bidimensional y, por tanto, el cuerpo resultante es una figura plana; (2) aquellas en las que la acción se realiza en el espacio tridimensional, dando lugar a cuerpos tridimensionales.

En el primer grupo se encuentran las configuraciones CC1, CC3 y CC8, que suponen el 57% de la muestra. En el caso de las configuraciones CC3 y CC8, la acción a realizar es un giro y en el caso de la configuración CC1 una simetría. De la misma forma, las habilidades de reconocimiento de las relaciones y posiciones espaciales y la rotación mental se aplican en el plano. En este grupo, los estudiantes no integran la información del texto escrito con la representación gráfica dada en la tarea, lo que les conduce a dar como resultado figuras planas.

En el segundo grupo están las configuraciones CC2, CC4, CC6, CC5, CC7 y CC9, que siguen el 30% de los estudiantes. La información que extraen de las representaciones externas dadas en el enunciado de la tarea (gráfica y verbal) conduce a los estudiantes a considerar los ejes dados como ejes de rotación en el espacio y, por tanto, la acción de rotar y las habilidades espaciales implicadas se ejecutan también en el espacio. Las imágenes mentales que generan se corresponden con cuerpos de revolución y, a diferencia del anterior grupo, no hay una figura mental asociada de forma exclusiva a cada una de estas configuraciones.

Las imágenes mentales generadas por los estudiantes como consecuencia de este proceso de visualización (VPI) fueron para el caso A: cono, tronco de cono, tronco de cono sin un cono invertido, pirámide y cilindro; y para el caso B: esfera, esfera hueca, elipsoide achatado con un agujero y esfera truncada o esfera achatada.

El porcentaje de estudiantes que obtuvieron imágenes correctas no alcanzó el 9% de la muestra y el 5% de ellos dieron como solución figuras no identificables. El 49,17% de los que han considerado que se generaban figuras tridimensionales han dado como cuerpo resultante en A un cono, mientras que en B el cuerpo más frecuente ha sido una esfera (56,67%), sin especificar en ninguno de los dos casos otro tipo de características internas (huecos, agujeros).

A partir del análisis de los procesos de visualización, se han identificado errores y dificultades asociados a cada uno de ellos (Tabla 2). Cabe destacar el bajo porcentaje de estudiantes que dan una representación correcta de los cuerpos de revolución generados (8,5% para el caso A y 5,25% para el B).

Se detectaron dos errores relacionados con el proceso VPI: (1) considerar el eje de rotación como eje de simetría, (2) girar las figuras en el plano; y una dificultad asociada a no considerar la distancia de las figuras al eje. El primer error se produce cuando los estudiantes identifican la representación gráfica de una figura y un eje a su derecha como la imagen del concepto de simetría, lo que conduce a que se asocie con dicho concepto y no interpreten bien el enunciado de la tarea. Se relaciona con la dificultad de separar un concepto geométrico de su representación externa (MESQUITA, 1992).

Este error está asociado de forma directa a la configuración CC1. Los resultados muestran dos imágenes conceptuales de simetría subyacentes, una se refiere a la simetría como movimiento rígido en el plano que guarda equidistancia de un punto y su simétrico al eje, y la otra considera la simetría como un movimiento que físicamente no se produce en el plano, sino que hay que salirse del plano para mover la figura y que se produzca un cambio de orientación (JAIME; GUTIÉRREZ, 1996).

El segundo error se deriva de la noción primaria de los estudiantes sobre los giros, que tiene que ver con la característica visual que corresponde al desplazamiento circular sobre un plano que se traza al girar (por ejemplo, las manecillas del reloj). Es un error exclusivo de la configuración CC3. No considerar la distancia al eje impide establecer correctamente la relación entre la figura y el eje de rotación (equidistancia al centro de giro). Esta dificultad se relaciona directamente con la habilidad de reconocimiento de posiciones en el espacio y provoca que no se reconozcan los huecos interiores, generados precisamente por la distancia al eje de determinados puntos en cada una de las figuras.

En relación con el proceso IFI, los alumnos manifestaron, principalmente, dificultades para describir (verbal o gráficamente) las figuras resultantes. Al analizar las descripciones escritas se encontró que los estudiantes incorporan leyendas relativas a atributos de los componentes de las figuras, al igual que en el trabajo de Hazaña y Akai (1993).

Así, por ejemplo, nombran la forma de las caras etiquetando cual es la superior, frontal etc., incluso ofreciendo, en algunos casos, descripciones verbales del sólido entero, por ejemplo, en el caso A que parece una taza y en el caso B una pelota. Ellos mismos reflejan las dificultades que encuentran cuando dibujan sus representaciones gráficas, indicando la confrontación existente con su imagen mental.

Al igual que ocurre en las investigaciones realizadas con estudiantes de primaria (GUTIÉRREZ, 1998a), los estudiantes para maestro son conscientes de la incorrección de sus dibujos, borrándolos y volviéndolos a hacer. Estas dificultades se traducen en errores de procedimiento a la hora de coordinar las diferentes direcciones de los segmentos que integran la representación plana. Están ligados, principalmente, a las configuraciones CC6 y CC5. Si hacemos una comparación entre las dos figuras, esta dificultad se manifiesta, en mayor medida, para A (7,75% frente al 5,25%), lo que puede ser debido a la falta de simetría con respecto a un eje horizontal, que provoca que haya, en la misma perpendicular, puntos a diferente distancia del eje de rotación y dificulta la creación de la imagen mental y, por tanto, su descripción verbal o representación gráfica.

El proceso IFI es el encargado de analizar las imágenes mentales generadas en la visualización y de expresarlas externamente a través de una nueva imagen. En la tarea propuesta en este estudio se exige una representación gráfica de los cuerpos de revolución generados, lo que conlleva que cada configuración cognitiva tenga asociada una representación de esos cuerpos, como se ha visto en la sección 4. Por otra parte, esas representaciones son, como ya se ha comentado, la principal evidencia que se tiene de cómo son las imágenes de los cuerpos generados por los estudiantes.

Esto sugiere estudiar si es posible establecer algún tipo de jerarquía en las configuraciones en función de la representación gráfica asociada. Se han utilizado para ello los niveles de sofisticación en la representación de formas tridimensionales que proponen Pittalis, Mousoulides y Christou (2009).

En las configuraciones CC1, CC3, CC8 la atención se centra en asociaciones visuales con los ejemplos más populares, aquellos que existen en la imagen del concepto de todos los estudiantes (HERSHKOWITZ, 1990), en este caso la imagen del concepto de simetría. Algunos de los estudiantes establecen asociaciones verbales de una palabra con su significado más habitual, en esta tarea en la palabra giro. Las habilidades de reconocimiento de las relaciones y posiciones espaciales y de rotación se aplican al plano y no al espacio. Por tanto, no cabe aquí establecer ningún paralelismo con los niveles de Pittalis et al. (2009) ya que no hay cuerpos tridimensionales que representar.

En la configuración CC6 se ponen en funcionamiento las habilidades de rotación mental, reconocimiento de posiciones en el espacio y conservación de las relaciones espaciales; pero no se utilizan convenciones de representaciones planas de objetos tridimensionales para representar gráficamente dichos cuerpos. La dificultad se centra en la comunicación gráfica del proceso IFI, pero las imágenes mentales creadas pueden ser correctas. No se encuentran estudiantes de nivel 1, según la clasificación de Pittalis, Mousoulides y Christou (2009), debido a que los estudiantes que siguen esta configuración, donde la representación externa es verbal (escrita), son conscientes de que sus dibujos no representarían los objetos y de que es necesario coordinar caras y diferentes vistas de los cuerpos tridimensionales, aunque no los sepan dibujar.

En la configuración CC5 la representación de los cuerpos tridimensionales generados se presenta únicamente por una de las vistas ortogonales. El tipo de representación realizado necesita apoyo verbal para comunicar la estructura completa de dichos cuerpos. Alguna de esas representaciones gráficas consiste en representar el cono como un triángulo con una cara curva únicamente, sin más convenciones, y una esfera como circunferencia. Esas representaciones gráficas sitúan a los estudiantes en el nivel 2 de Pittalis, Mousoulides y Christou (2009).

Las configuraciones CC2 y CC7 utilizan convenciones para el dibujo de objetos tridimensionales, sin embargo, no se indican huecos ni otras características internas de las figuras, lo que no da una información completa de las imágenes creadas. No se consigue dotar plenamente a los cuerpos de profundidad y por ello, en la mayor parte de los casos, el tipo de representación es mixto, necesitando apoyo verbal o escrito para comunicar la estructura del cuerpo generado. El tipo de representación se corresponde con el nivel 3 de Pittalis, Mousoulides y Christou (2009).

En las configuraciones CC4 y CC9 se implementan las convenciones para representaciones bidimensionales de cuerpos tridimensionales, indicando elementos de la estructura interna y externa de los cuerpos. La comunicación de la información sobre las imágenes mentales creadas es bastante clara, lo que manifiesta que las habilidades de reconocimiento de posiciones y relaciones espaciales y la de rotación mental están bastante desarrolladas. El tipo de representación corresponde al nivel 4 de Pittalis, Mousoulides y Christou (2009).

Para aquellas configuraciones cognitivas susceptibles de producir resultados correctos (CC2, CC4, CC5, CC6, CC7 y CC9), podemos considerar su efectividad, entendida como el porcentaje de resultados correctos en la resolución de la tarea por los estudiantes que siguieron esa configuración (GORGORIÓ, 1998).

En la Tabla 3 se presenta la relación ente los niveles de representación gráfica de las configuraciones cognitivas y la efectividad de estas. Se observa que a mayor nivel de representación mayor efectividad de las configuraciones. Los resultados muestran que la configuración CC2, la de mayor frecuencia (17%), tiene una efectividad poco relevante.

Por otro lado, la configuración menos frecuente, la CC9, tiene mayor efectividad, lo que puede deberse a que los estudiantes con los que se asocia están habituados al dibujo técnico y a trabajar con diferentes puntos de vista, como muestran el lenguaje y los códigos de representación plana que han utilizado. Lo anterior se traduce en que la parte del proceso IFI que se ocupa de expresar la información sobre los sólidos generados fue determinante para resolver la tarea con éxito.