El análisis de libros de texto es un tema relevante tanto para la práctica de la enseñanza como para la investigación en educación matemática. La revisión realizada por Fan, Zhu y Miao (2013) revela que se han hecho progresos importantes, en las últimas décadas, en la investigación sobre libros de textos de matemáticas, abarcando temáticas tales como: papel de los libros en la enseñanza y el aprendizaje; análisis de las características de los libros y comparación entre dos o más series de libros; uso de los libros por parte de los profesores y los estudiantes; otros temas, como las relaciones entre los libros y el rendimientos de los estudiantes, libros electrónicos etc.

Según American Association for the Advancement of Science (2000) el libro de texto es considerado, por muchos profesores, como su principal guía en la implementación del currículo. El Proyecto 2061 de esta asociación comenzó la evaluación de libros de texto basándose en tres proposiciones: los libros pueden ser claves para mejorar la educación matemática, la calidad de los libros debe juzgarse en base a su efectividad para ayudar a los estudiantes a lograr objetivos de aprendizaje de matemáticas establecidos en los programas de estudio, y tercero, es necesario un análisis profundo que contemple no solo el contenido abordado en un libro con el fin de evaluar el potencial del libro para que los estudiantes lo aprendan.

En este trabajo desarrollamos un método para realizar el análisis en profundidad y amplitud de las características de una lección de un libro de texto, que aborda el estudio de la proporcionalidad en el último curso de educación primaria, aplicando herramientas del Enfoque Ontosemiótico (EOS) (GODINO, 2017; GODINO; BATANERO; FONT, 2007). El método descrito complementa y amplia los aportes presentados en Godino, Font y Wilhelmi (2006), Font y Godino (2006) y otros trabajos realizados en el marco del EOS (GEA, 2014; ORTIZ, 1999). Una lección de un libro de texto, la vamos a considerar como un proceso de instrucción (potencial o planificado) que se compone de la secuencia de prácticas matemáticas y didácticas que propone el autor para el estudio del tema en cuestión, en nuestro caso la proporcionalidad en sexto curso de primaria.

La secuencia de actividades que se proponen en un libro, bien como ejemplos introductorios de conceptos o procedimientos, o como problemas y ejercicios a realizar por los estudiantes, no solo incluyen el desarrollo del contenido matemático (faceta epistémica, esto es, conocimientos institucionales planificados), sino que, también, ponen en juego conocimientos previos que los estudiantes deben tener para que puedan involucrarse y comprender el desarrollo de la lección. Esto quiere decir que en el análisis de una lección también se debe tener en cuenta cómo se gestionan los conocimientos previos, lo cual involucra un aspecto de las facetas cognitiva (significados personales).

En el libro de texto se describen los problemas matemáticos que se deben resolver aplicando el modelo matemático correspondiente, los ejemplos introductorios, definiciones, explicaciones, justificaciones; también se indica lo que deben hacer los alumnos, y en algunos casos cómo hacerlo (trabajando en equipo o individualmente). Con frecuencia se incluyen, también, elementos motivadores (ilustraciones, contextos de aplicación) y referencia a recursos didácticos complementarios (manipulativos, applets etc.).

En nuestro caso, el análisis didáctico se orienta a identificar elementos que pueden ser potencialmente conflictivos, desde el punto de vista de los conocimientos matemáticos pretendidos, y del proceso instruccional que se propone. Esta información puede ser útil para el profesor que use el libro como recurso, a fin de tener en cuenta tales conflictos y prever posibles soluciones.

Este trabajo se organiza en las siguientes secciones: (a) Marco teórico, problema y método; (b) Conocimientos didáctico-matemáticos sobre proporcionalidad; criterios de idoneidad; (c) Descripción general de la lección sobre proporcionalidad; (d) Análisis de las facetas epistémica y cognitiva; (e) Faceta instruccional; (f) Síntesis de hechos didácticos significativos; (g) Comentarios finales e implicaciones.

Considerando la lección de un libro de texto como un proceso instruccional (previsto o planificado), las distintas herramientas teóricas elaborados por el Enfoque Ontosemiótico (EOS) del conocimiento y la instrucción matemáticos (GODINO, 2017; GODINO; BATANERO; FONT, 2007; GODINO; BATANERO; FONT, 2019a) se pueden aplicar para realizar un análisis sistemático de lecciones de los libros de texto. La Teoría de la Idoneidad Didáctica (TID) (BREDA; FONT; PINO-FAN, 2018; BREDA; PINO-FAN; FONT, 2017; GODINO, 2013) ayuda a formular el problema del análisis didáctico de los libros de texto en términos de caracterizar la idoneidad de las trayectorias didácticas propuestas en los mismos e identificar posibles cambios para mejorar los aprendizajes pretendidos. Las diferentes facetas, componentes e indicadores de idoneidad pueden servir de base para la elaboración de una Guía de análisis de libros de textos en la cual se reflejen las diversas variables a tener en cuenta.

La emisión de juicios razonados sobre la idoneidad de un proceso instruccional requiere tener en cuenta los diversos significados de los objetos matemáticos de los contenidos implicados y la identificación de la trama de objetos y procesos que se ponen en juego en las prácticas matemáticas que se realizan. Estos análisis se apoyan en las nociones de significado pragmático y configuración ontosemiótica (GODINO et al., 2017) las cuales ayudan a identificar conflictos epistémicos y cognitivos potenciales en el desarrollo de la lección.

La noción de configuración didáctica proporciona criterios para descomponer el proceso de instrucción en unidades de análisis, en las cuales se identifican hechos didácticos significativos (GODINO et al., 2014b) relativos a las diferentes facetas, componentes e indicadores de idoneidad. En Godino, Contreras y Font (2006) la noción de configuración didáctica (CD) se asocia a una situación problema y tiene en cuenta los conocimientos implicados en la solución, los recursos usados y las acciones docentes y discentes que se realizan. En este trabajo consideramos que el foco de una CD puede ser otro tipo de objetos primarios, por ejemplo, la introducción de un concepto o un procedimiento.

La herramienta dimensión normativa (GODINO et al., 2009) nos lleva a pensar en el tipo de contrato didáctico que, de manera más o menos explícita, induce el autor del texto, los condicionamientos curriculares bajo los cuales se desarrolla el proceso instruccional, y cualquier otra restricción, hábito o comportamiento que pueda influir en los aprendizajes alcanzables.

Suponiendo que un profesor ha tomado la decisión de usar el libro de texto como recurso para apoyar su enseñanza y el aprendizaje de los estudiantes, y teniendo en cuenta el estado de los conocimientos didáctico-matemáticos sobre el tema, las cuestiones que nos planteamos son:

De acuerdo con el marco teórico del EOS, la reconstrucción del significado de referencia global de un objeto matemático, en nuestro caso la proporcionalidad, debe tener en cuenta los conocimientos sobre las diferentes dimensiones implicadas en los procesos de enseñanza y aprendizaje. En esta sección, incluimos una síntesis de conocimientos didácticos que servirán de referencia para valorar la idoneidad didáctica del libro de texto.

La lección que se analiza es la unidad 8 (Porcentajes y proporcionalidad) del libro de Ferrero et al. (2015)¹ de sexto curso de primaria. La lección comienza con una sección en la que se describe una situación de uso del doble, triple y mitad de cantidades de peso y valor, en un contexto de preparación de una receta de cocina. Puede ser un contexto que motiva el estudio de las relaciones de proporcionalidad entre magnitudes, pero no se usa aquí con esa finalidad. Seguidamente se recuerda el concepto de porcentaje, como una forma de escritura de los números racionales y se aplica para hallar el porcentaje de una cantidad. El concepto de porcentaje y su aplicación se vuelve a considerar al final de la lección.

En las dos primeras páginas de la unidad se introducen las magnitudes directamente proporcionales; de la 114 a 115, la regla de tres; de la 116 a 117, el tanto por ciento o porcentajes; en las 118 y 119, cálculo del tanto por ciento de una cantidad; 120 y 121, repaso de la unidad, en la que se incluye una sección de recuerdo (definiciones de magnitudes directamente proporcionales, reducción a la unidad, regla de tres y cálculo de porcentajes).

En la página 122 se incluye una sección titulada Aprendo a resolver problemas, donde se da una pauta a seguir para resolver un problema de proporcionalidad simple directa, aplicando el método de la regla de tres; se incluyen, también, dos nuevos problemas para resolver. La lección termina con una nueva tarea titulada El desafío. Tarea competencial, en la que se plantea una situación de preparación de limonadas y bizcochos, similares a las tratadas previamente. En esta misma sección se incluye una tarea abierta en la que, siguiendo criterios de proporcionalidad, se debe preparar una receta para nueve personas con ingredientes que se deben elegir libremente.

En este artículo centramos el análisis en la parte de proporcionalidad, sin considerar la sección de porcentajes. En el siguiente apartado definimos las unidades de análisis (configuraciones didácticas) en que dividimos las secciones del texto que analizamos.

En esta sección centramos la atención en ocho unidades de análisis o configuraciones didácticas. En cada una de ellas describimos, en primer lugar, las prácticas matemáticas operativas y discursivas que se proponen e identificamos los objetos matemáticos que intervienen en las mismas. Seguidamente, describimos los principales procesos matemáticos, y los conflictos epistémicos y cognitivos que se manifiestan, teniendo en cuenta el marco de referencia y en particular el modelo epistémico y didáctico de estudio de la proporcionalidad que previamente hemos elaborado.

La faceta instruccional incluye, en el marco del EOS, las interacciones entre docente y discentes o entre discentes y el uso de recursos didácticos, entre los cuales se incluye el tiempo asignado al desarrollo del tema.

En el caso de una lección de un libro de texto, el autor (en su papel de docente) presenta la información, incluyendo las tareas (ejercicios y problemas) que debe realizar el lector (estudiante). Bajo este esquema, el modelo instruccional es esencialmente de tipo objetivista/transmisivo (GODINO et al., 2016; GODINO et al., 2019b).

La implementación de un modelo constructivista/indagativo, centrado en la construcción del conocimiento por parte del estudiante, no parece posible si el docente diseña y planifica el proceso de instrucción en base únicamente a un libro de texto, cuando se trata de lecciones escritas con un formato de libro tradicional. La primera fase de un modelo constructivista, como puede ser el propuesto por la Teoría de Situaciones Didácticas en Matemáticas (TSDM) (BROUSSEAU, 1997), consistente en la presentación de las consignas de una situación-problema, sería posible de implementar. Pero las siguientes fases de trabajo autónomo del estudiante (momentos de exploración, formulación, comunicación y validación) no pueden quedar plasmadas en un libro de texto.

Esencialmente, el libro centra la atención en lo que podríamos llamar la fase o momentos de institucionalización, donde se presentan y fijan los conocimientos institucionales pretendidos. Parece imposible articular, de manera interactiva, la trayectoria epistémica (secuencia de los conocimientos institucionales pretendidos) con la trayectoria cognitiva (secuencia de los aprendizajes de los estudiantes).

El modelo instruccional característico de los libros de texto parece que está restringido a lo que podríamos describir como: primero teoría, después, ejemplos, ejercicios y aplicaciones. Este es el modelo que hemos podido apreciar en la secuencia de configuraciones (trayectoria didáctica) de la lección de proporcionalidad del libro que analizamos. Incluso la teoría (el contenido) queda restringido a algunos aspectos conceptuales y una fuerte dosis de procedimientos rutinarios, siendo prácticamente ausentes las justificaciones de los procedimientos y proposiciones que intervienen.

En Godino et al. (2016) y Godino et al. (2019b) se analiza la tensión dialéctica existente entre los modelos instruccionales de tipo objetivista y los constructivista, argumentando a favor de un modelo de tipo mixto en el que el diálogo, la cooperación, el trabajar conjuntamente en la solución de tareas problemáticas puede incrementar la idoneidad didáctica del proceso instruccional, cuando se asumen presupuestos de tipo sociocultural (LERMAN, 2001; RADFORD, 2011) sobre el aprendizaje matemático.

Bajo esta perspectiva, el libro de texto podría ser usado como recurso que facilite la implementación de ese modelo instruccional de tipo mixto. La presentación de ejemplos de problemas resueltos en los cuales se contextualicen los conocimientos pretendidos puede ser más efectiva que la exploración autónoma por los propios estudiantes.

Como afirman Sweller, Kirschener y Clark (2007, p. 118),

Estos autores afirman que la investigación empírica del último medio siglo, sobre este problema, proporciona una abrumadora y clara evidencia de que una mínima guía durante la instrucción es significativamente menos efectiva y eficiente que una guía específicamente diseñada para apoyar el procesamiento cognitivo necesario para el aprendizaje. Resultados similares se reflejan en el meta-análisis de Alfieri et al. (2011).

Un aspecto importante que se debe considerar es el orden que sugiere el libro de texto con respecto a la secuencia de los conocimientos y competencias matemáticas pretendidas. Tal como se muestra en la sección 5, en las unidades de análisis se identifican con ocho tipos de configuraciones:

El hecho de que la primera configuración sea de conceptualización choca con el consenso que parece existir en la comunidad de educadores e investigadores acerca de que lo ideal sería la enseñanza a través de la resolución de problemas. Se espera que la resolución de problemas sea, no solo el objetivo fundamental del aprendizaje de las matemáticas, sino también que constituya el eje vertebrador sobre el que articular la totalidad de los contenidos establecidos por el currículo. Gaulin (2001) describe las tres opciones de enseñanza que puede considerar un docente con relación al papel de la resolución de problemas:

Otros autores, como Castro (2008), se hacen eco de estas opciones de enseñanza, y de las ideas, tendencias e influencias en la resolución de problemas en España. English y Gainsburg (2016) reflexionan acerca de la importancia del contenido matemático per se y de las expectativas de la sociedad. Como punto de encuentro, recomiendan la utilización de problemas ricos, que precisen de la utilización de contenido curricular.

En la configuración 3, se comienza describiendo, de manera general, el procedimiento, sin describir previamente los problemas que se quieren resolver dejando a la vista una enseñanza procedimental centrada en resolver ejercicios y no a través de la resolución de problemas.

Se resalta el hecho de que no se traten situaciones que hagan reflexionar sobre si la relación en una situación-problema es multiplicativa o aditiva. De acuerdo con Dole y Shield (2008, p. 20) “ser capaz de distinguir entre situaciones aditivas y multiplicativas es la base para poder determinar situaciones proporcionales y no proporcionales”.

Las situaciones-problemas que se trabajan en el texto suelen referir al enfoque aritmético, y los problemas suelen ser de comparación y valor faltante. Sin embargo, se echa en falta la existencia de estrategias progresivas para avanzar de lo aditivo a lo multiplicativo. También, debe cuidarse la redacción de las condiciones en los problemas, señalando, por ejemplo, si las cantidades de litros por botellas son las mismas.

No se trabaja la proporcionalidad con los otros enfoques antes mencionados, que son relevantes para abordar el tema de una manera global. Este hecho, unido con las expectativas de aprendizaje según el MECD (2014) evidencia carencias en la propuesta. Sin embargo, se debe destacar que se proponga el uso de tablas y ecuaciones, así como el uso de números naturales pequeños.

Tampoco se generaliza la linealidad y = kx; se dan por conocidos varios conceptos relevantes y no se menciona el concepto de constante de proporcionalidad el cual es imprescindible para entender el paso que se hace de la representación tabular a fracciones equivalentes relatada en la configuración 6. Además, como señalamos anteriormente, según Lamon (2007) el reconocimiento de la razón constante es la clave para comprender el razonamiento proporcional; tampoco el concepto de razón se menciona o trabaja.

La introducción de la regla de tres desprovista de argumentos que la sustenten puede desencadenar conflictos y razonamientos inadecuados, incentivando a aplicar el procedimiento como una rutina.

Ante ese conflicto, se agrega que la solución de las situaciones-problemas también puede darse mediante una vinculación con el tema de fracciones equivalentes, haciendo uso de simplificación o amplificación de fracciones según sea el caso. De este modo, se evidencia que la resolución de un problema puede hacerse de diversas formas, poniendo en juego, según las estrategias usadas, diferentes niveles de algebrización.

Por último, en el análisis se destaca un fuerte vínculo entre los procesos de representación y los métodos de resolución propuestos por los problemas; por ejemplo, considerando la instrucción en las configuraciones precedentes, en la configuración 5 se refleja que la representación tabular condiciona el método de resolución del problema planteado. Resultado ya señalado por Martínez-Juste et al. (2017) cuando analizan la proporcionalidad en libros de texto de nivel secundario.

Hemos presentado un método para analizar lecciones de libros de texto aplicando las herramientas teóricas del EOS, ejemplificado en el caso de una lección sobre proporcionalidad de un libro de sexto curso de primaria. Se han tenido en cuenta las facetas y componentes que la Teoría de la Idoneidad Didáctica propone para el análisis de un proceso de instrucción matemática.

Se parte del supuesto de que una lección de un libro de texto constituye la planificación de un proceso de instrucción en el que un estudiante hipotético usa el texto para abordar el estudio del contenido correspondiente.

El texto propone una trayectoria epistémica, esto es, la selección y secuencia de un sistema de prácticas operativas, discursivas y normativas, implicadas en la realización de una muestra de tareas (ejemplos, ejercicios, problemas de aplicación). La trayectoria cognitiva del estudiante hipotético (lector), que refleja la progresión del aprendizaje, solo es posible describirla en el componente parcial de los conocimientos previos requeridos. La confrontación de la trayectoria epistémica y cognitiva, cuando se contrasta con los conocimientos didáctico-matemáticos disponibles sobre el tema, permite identificar potenciales conflictos, información que puede ser de utilidad en la planificación de las trayectorias didácticas que, efectivamente, puede implementar un docente que use el libro de texto.

Cuando un docente usa la lección como recurso se abre un panorama más rico y complejo para el análisis didáctico, ya que el docente puede modificar la trayectoria epistémica prevista en la lección y articularla con las trayectorias cognitivas de sus estudiantes. También, puede incorporar el uso de recursos manipulativos y tecnológicos complementarios, así como gestionar adecuadamente el tiempo y la evaluación progresiva de los aprendizajes.

El modelo instruccional básicamente objetivista-transmisivo, inherente a la presentación del contenido que hace el libro de texto tradicional, puede evolucionar con la intervención del profesor hacia un modelo mixto en el que la solución de las situaciones-problemas introductorias que propone el texto puede hacerse de manera dialógica y cooperativa, incrementando la idoneidad instruccional de las trayectorias didácticas efectivamente implementadas. Nuestro método de análisis puede ayudar a abordar el tema del uso que deberían hacer los profesores del libro de texto (FAN; ZHU; MIAO, 2013), y la consiguiente línea de investigación sobre formación de profesores.

La realización del tipo de análisis didáctico detallado de las configuraciones didácticas que hemos presentado en este trabajo debería ser una competencia del profesor de matemáticas, formando parte de la competencia más general de planificación de lecciones. El diseño de talleres formativos sobre este tema es una cuestión abierta a nuevas investigaciones en el campo de la formación de profesores. También, es una cuestión abierta el diseño y evaluación de lecciones basadas en el uso de hipertextos y otros recursos tecnológicos que permiten implementar trayectorias epistémicas, cognitivas e instruccionales más interactivas que las permitidas por los libros de texto tradicionales.