Los CI deben ser entendidos como normas de corrección emanadas del discurso argumentativo de la comunidad educativa, cuando está orientada a conseguir un consenso sobre lo que se puede considerar mejor (GODINO et al., 2009). Se trata de una noción inspirada en la idea de la teoría consensual de la verdad de Peirce, y de sus desarrollos realizados por Apel (1997) y Habermas (1997); pero, que también tiene en cuenta los puntos de vista que señalan la importancia del poder en la producción y en el funcionamiento y mantenimiento de consensos (FOUCAULT, 1998). Desde esta perspectiva, la Didáctica de las Matemáticas nos puede ofrecer principios provisionales, consensuados por la comunidad interesada, que pueden servir para guiar y valorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Tal como se explica en Breda, Font y Pino-Fan (2018), las tendencias en la enseñanza de las matemáticas son una primera manera de observar consensos en la comunidad de la Didáctica de las Matemáticas, dado que pueden ser consideradas como regularidades que se hallan en los discursos sobre la mejora de la enseñanza de las matemáticas (GUZMÁN, 2007).

Un caso paradigmático de reconversión de algunas de estas tendencias en principios explícitos, es el caso de los principios y estándares del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000). En el proceso seguido para establecer, con un amplio consenso, dichos principios y estándares intervinieron profesores, asociación de profesores, formadores de profesores de matemáticas, representantes de las administraciones educativas, investigadores y matemáticos, todos ellos con gran experiencia educativa.

Por otra parte, en la Didáctica de las Matemáticas (DM) se han generado conocimientos y resultados que gozan de amplio consenso (BIKNER-AHSBAHS; PREDIGER, 2010). Una característica de muchos enfoques teóricos del área es que, además de asumir unos principios para el desarrollo de su construcción teórica, consideran que estos principios deben tenerse en cuenta en la enseñanza de las matemáticas para que ésta sea mejor, de más calidad (BREDA; FONT; PINO-FAN, 2018).

Para el desarrollo del constructo idoneidad didáctica, se han considerado las tendencias actuales sobre la enseñanza de las matemáticas (la incorporación de nuevos contenidos, presentación de una matemática contextualizada, dar importancia a la enseñanza de los procesos matemáticos, enseñanza y aprendizaje de tipo activo, considerar que saber las matemáticas implica ser competente en su aplicación a contextos extramatemáticos, principio de equidad y la incorporación de nuevas tecnologías de la información y la comunicación), los principios del NCTM y los aportes de los diferentes enfoques teóricos del área de Didáctica de las Matemáticas (GODINO, 2013; BREDA; FONT; PINO-FAN, 2018).

En el EOS se entiende la idoneidad didáctica de un proceso de enseñanza-aprendizaje como el grado en que éste (o una parte del mismo) reúne ciertas características que permiten calificarlo como idóneo (óptimo o adecuado) para conseguir la adaptación entre los significados personales logrados por los estudiantes (aprendizaje) y los significados institucionales pretendidos o implementados (enseñanza), teniendo en cuenta las circunstancias y recursos disponibles (entorno).

Tal como se explica en Breda, Font y Pino-Fan (2018), las decisiones tomadas para delimitar las bases para el desarrollo del constructo CI fueron:

La operatividad de los criterios de idoneidad didáctica exige definir un conjunto de indicadores observables, que permitan valorar el grado de idoneidad de cada una de las facetas del proceso de instrucción. Godino et al. (2006) aportan un sistema de indicadores que sirve de guía de análisis y valoración de la idoneidad didáctica, los cuales están pensados para un proceso de instrucción en cualquier etapa educativa. Hemos considerado pertinente utilizar la adaptación de dichos componentes e indicadores publicado en Breda y Lima (2016). Por cuestiones de espacio presentamos, en el Cuadro 1, los componentes e indicadores de la idoneidad epistémica, la lista completa se puede encontrar en Breda, Pino-Fan y Font (2017) y Breda, Font y Pino-Fan (2018).

Tal como se ha mencionado, tanto los componentes como los indicadores de los CI se han confeccionado teniendo en cuenta las tendencias, los principios y los resultados de la investigación en el área de Didáctica de las Matemáticas, en particular, para la idoneidad epistémica se ha tenido en cuenta el principio: los objetos matemáticos emergen de las prácticas, lo cual conlleva su complejidad (RONDERO; FONT, 2015). De este principio se deriva un componente (representatividad de la complejidad) cuyo objetivo es que se tenga en cuenta la complejidad matemática en el diseño y rediseño de las secuencias didácticas.

Una de las principales características del PROFMAT es la importancia que atribuye a la formación de los profesores en el contenido matemático. El candidato ingresa en el programa después de superar una prueba de matemática compuesta por 38 cuestiones relacionadas con: conjuntos numéricos, geometría, magnitudes y medidas, resolución de problemas, álgebra y tratamiento estadístico de la información. A lo largo de dos años completos, el estudiante tiene que cursar asignaturas obligatorias de matemáticas superiores (funciones, matemática discreta, aritmética, álgebra, geometría, cálculo, resolución de problemas), disciplinas electivas (recursos computacionales, historia de las matemáticas, otras asignaturas de matemáticas) y el trabajo de fin de máster (TFM).

Desde el punto de vista de la Didáctica de la Matemática, el programa ofrece dos asignaturas opcionales (no obligatorias): Matemática y Actualidad y Modelamiento Matemático. Para obtener el título, además de aprobar las asignaturas, el estudiante debe superar un examen de calificación (prueba de matemáticas) y debe defender con éxito el TFM. Otro aspecto que resaltar es que, según el reglamento del programa, un 80% de las plazas están destinadas a profesores que imparten clases de matemáticas en las escuelas públicas de la Educacion Básica (Fundamental I, II y Enseñanza Media).

Se ha utilizado una metodología de investigación cualitativa que se basa en la comprensión e interpretación de los datos. Se seleccionaron veinticinco TFM publicados en 2013 y 2014 en el estado de Rio Gran del Sur (RS). Este estado fue seleccionado por tres razones: a) dicho estado participa del programa con dos universidades; b) presenta un número de producciones finales razonable, de manera que se pueden inferir conclusiones y c) la facilidad de acceso a los documentos seleccionados para el análisis. Los veinticinco TFM seleccionados fueron realizados por profesores de matemáticas en ejercicio, vinculados a escuelas públicas y privadas ubicadas en el estado de RS.

De acuerdo con los objetivos previstos, el análisis de los datos se realizó para determinar: i) los tipos de propuestas de innovación desarrollada en cada TFM, ii) las fases del proceso de instrucción contempladas (planificación, implementación y rediseño); iii) las características del análisis didáctico realizado para justificar que la propuesta presentada en el TFM representa una mejora de la enseñanza de las matemáticas, y iv) la relación que hay entre las propuestas que fueron implementadas y el nivel de análisis didáctico realizado.

Para clasificar los TFM con relación a los ítems (i) y (ii), se utilizó una metodología de tipo inductiva, sin categorización previa. A partir de las descripciones realizadas por los profesores en sus TFM, se pudo determinar: a) el tipo de innovación de la propuesta desarrollada en los TFM y cuáles eran los principales argumentos dados por los profesores para justificar que dicha propuesta era innovadora; b) si el profesor había realizado solamente el diseño de la propuesta o si también la había implementado y/o rediseñado.

El análisis cualitativo referente a los objetivos (iii) y (iv) se realizó usando los componentes e indicadores de los CI expuestos en Breda, Pino-Fan y Font (2017) y Breda, Font y Pino-Fan (2018). Para analizar el uso implícito de los CI en cada TFM, se estableció un nivel de escala discreta, variando de 0 a 3, donde el resultado final de dicho valor se asignó mediante una triangulación con dos especialistas del EOS. Es decir, la asignación fue realizada mediante la implicación de investigadores del mismo campo teórico a fin de tener diferentes puntos de vista durante el análisis de los TFM − es lo que Lincoln y Guba (1985) denominan Member Checking. En el Cuadro 2 se explica las características atribuidas para cada nivel.

Es importante señalar que el nivel de cada criterio fue establecido, no sólo teniendo en cuenta el número de componentes e indicadores de cada criterio usados por el autor del TFM, sino también, por el detalle y la coherencia de las evidencias de dicho uso (por ejemplo, que los comentarios de los profesores no sean superficiales o intrancendentes).

En este apartado presentamos, como ejemplo, el análisis de un caso cuya propuesta innovadora consiste en el establecimiento de conexiones extramatemáticas. En particular, el TFM de Abeeg (2014), trata de implementar el estudio de las funciones lineales por medio de la modelación de situaciones contextualizadas con alumnos del octavo año de la Enseñanza Fundamental. Por cuestiones de espacio, ilustramos solo como se realizó el análisis desde el criterio epistémico.

Los resultados muestran que los profesores tienen en cuenta, básicamente, tres tipos de innovación: i) matemática, en la que se contempla la incorporación de contenidos de nivel superior en la Educación Básica, el establecimiento de conexiones intramatemáticas y extramatemáticas; ii) en recursos, que se caracteriza por la incorporación de materiales visuales y manipulativos y la incorporación de recursos informáticos; iii) en valores, dónde se introduce la idea del pensamiento crítico y la ciudadanía. A continuación, siguen unos breves párrafos tomados de tres TFM donde se ilustran, respectivamente, tres tipos de innovaciones: conexiones extramatemáticas (innovación matemática), materiales visuales y manipulativos (innovación en recursos) y pensamiento crítico y ciudadanía (innovación en valores).

Con relación a las fases del proceso de instrucción contempladas, trece de los TFM presentan solamente la planificación, once realizan la implementación y sólo un incluye el rediseño (Cuadro 3).

Las justificaciones dadas por los profesores con relación a los tres tipos de innovación son: a) nuevas formas de relacionar y acercar los contenidos matemáticos; b) realización de procesos relevantes (por ejemplo, la generalización, la modelación, la significación); c) permiten un aprendizaje constructivista y significativo; d) permiten clases más atractivas que despiertan el interés de los estudiantes; e) estimula a los estudiantes a interpretar y tomar decisiones en el mundo donde viven.

Con relación a los objetivos (iii) y (iv), se evaluó el nivel del uso de cada CI (epistémico, cognitivo, mediacional, interaccional, emocional y ecológico) en cada TFM. Para ello, se utilizó la escala presentada en el Cuadro 2. En las Figuras 1, 2 y 3 se muestra el nivel de uso de los criterios presentados por los veinticinco TFM.

En las figuras 1, 2 y 3 se observa que los TFM que contemplan solamente el diseño de un proceso de instrucción, presentan un análisis didáctico mucho más enfocado en los aspectos epistémicos y ecológicos. Por otro lado, los TFM cuya propuesta se implementó presentan un nivel de análisis didáctico más profundo, usan más CI y consideran un cierto equilibrio entre ellos.

Tomemos, por ejemplo, las gráficas que muestran el nivel de uso de los criterios para los TFM que tienen como innovación las conexiones extramatemáticas. En relación al criterio emocional, los tres TFM que implementan la propuesta presentan el nivel 3. Por otro lado, los tres TFM que presentan solamente el diseño, se calificaron en el nivel 1. De manera general, se observa que las justificaciones utilizadas para argumentar que las propuestas promueven una mejora en la enseñanza de las matemáticas, se relacionan, sobre todo, con los criterios de idoneidad epistémico, ecológico y mediacional, y que otros criterios como el cognitivo, el emocional y el interaccional están poco presentes; lo mismo se puede concluir para los demás tipos de innovaciones: Contenidos de nivel superior en la Educación Básica, Conexiones Intramatemáticas y Recursos informáticos.

El TFM que basa su innovación en los Recursos Materiales y fue implementado presenta un nivel de uso del criterio cognitivo y mediacional un poco más elevado que los otros criterios y el TFM que basa su innovación en Valores, presenta un nivel de la idoneidad ecológica un poco más elevado, dado que la naturaleza de la propuesta está enfocada en valorar la utilidad laboral y social de la propuesta.

Con relación al objetivo (iv) − la relación que hay entre las propuestas que fueron implementadas y el nivel de análisis didáctico realizado − se infiere que los TFM que implementaron la propuesta didáctica presentan un uso más equilibrado y más profundo de los criterios de idoneidad didáctica, comparado con los TFM cuyas propuestas no fueron implementadas. Es decir, el nivel de análisis didáctico en los trabajos que implementan la propuesta está mucho más desarrollado y es más detallado que el que se realiza en los TFM que no contemplan la fase de implementación.